Распространение световых волн в анизотропных средах

Основные сведения из теории. Распространение света в изотропной среде отличается от распространения в среде анизотропной

Распространение световых волн в анизотропных средах

Распространение света в изотропной среде отличается от распространения в среде анизотропной.

Если в первом случае при прохождении излучением в среде отсутствуют причины, изменяющие как направление движения световых волн, так и положения векторов напряженностей их электромагнитных полей в силу равноправности всех направлений, то во втором случае этого не происходит.

По определению, при этом имеются направления, физические свойства вдоль которых, включая оптические, отличны от других направлений. Одним из проявлений таких свойств является двулучепреломление.

Суть этого эффекта заключается в том, что при прохождении анизотропной среды (в частности кристалла) луч света разделяется на два, каждый из которых распространяется со своей скоростью и вектора поляризации которых перпендикулярны друг другу.

Первое означает, что среда обладает разными показателями преломлений, зависящих от направления вектора поляризации. Доказывается, что показатель преломления у одного из лучей не зависит от направления его распространения, и такой луч называется обыкновенным. Показатель преломления его принято обозначать (индекс от слова ordinary – обыкновенный).

У другого же луча, наоборот, такая зависимость существует, и показатель преломления обозначают — ( от слова extraordinary – необыкновенный). Разность часто называют двулучепреломлением. Однако в среде есть направление[1], в котором эти показатели преломлений совпадают – это направление называется оптической осью среды или кристалла – при распространении излучения параллельно этой оси кристалл ведет себя как изотропная среда. Доказывается, что при распространении перпендикулярно оптической оси двулучепреломление максимально. Этот случай представляет наибольший интерес, рассмотрим его подробно.

Итак, пусть имеется плоскопараллельная пластина, изготовленная из одноосного кристалла, причем ее входная грань ошлифована параллельно оптической оси (рис.5.1). Пусть на эту грань падает эллиптически поляризованная волна

(5.1)

где — амплитуды взаимноперпендикулярных составляющих эллипса, параметрический вид которого представлен выражением

  (5.2)

где -разность фаз между и . При этом угол между составляющей и оптической осью (которая направлена по оси ) равен .

Разложим составляющие эллипса по осям и , т.е. найдем амплитуды необыкновенного и обыкновенного лучей на входе в кристалл (направление поляризации необыкновенного луча параллельно оптической оси).

  (5.3)

После прохождения кристалла длиной между обыкновенным и необыкновенным лучом в результате двулучепреломления возникнет разность фаз

(5.4)

которая добавится к обыкновенному лучу. Выражения для составляющих эллипса, т.е. параметрическое уравнение эллипса примет вид

  (5.5)

Для получения явного вида уравнения эллипса из системы (5.5) необходимо исключить время . Для ее решения введем дополнительный угол с помощью известной тригонометрической формулы

, (5.6)

где ; .

Применяя эту формулу к системе (5.5), получим

(5.7)

где ;

.

Из (5.7) получим

(5.8)

В результате вычитания одного уравнения из другого зависимость от времени исключается.

(5.9)

Вычисляя косинусы из обеих частей уравнения, после преобразований окончательно получим

. (5.10)

Это уравнение эллипса в самом общем виде относительно и . Рассмотрим некоторые частные случаи прохождения излучения через среду.

Рассмотрим случай, когда падающий свет плоскополяризован. Тогда согласно рис.5.1 и .

Параметры эллипса примут вид

; ; (5.11)

так как то ; аналогично из , и выражение для эллипса примет вид

. (5.12)

Рассмотрим некоторые случаи прохождения такой волны через среду:

а) или . Плоскость поляризации параллельна главной оси или перпендикулярна ей. Для рассмотрения этого случая воспользуемся следующим результатом аналитической геометрии: эллипс общего вида с центром в начале координат, параметрический вид которого

(5.13а)

а явный вид

(5.13б)

вписан в прямоугольник со сторонами и (рис.5.2).

Из рисунка видно, что на выходе из среды излучение остается плоскополяризованным, поскольку при и плоскость поляризации останется параллельной (прямоугольник, а с ним и вписанный в него эллипс, вырождается в прямую линию), а при и плоскость поляризации останется перпендикулярной оптической оси . Таким образом, в данном случае состояние поляризации не меняется.

б) . Тогда уравнение эллипса будет выглядеть так

. (5.14)

Из теории кривых второго порядка известно, что угол наклона оси эллипса (рис.5.2) связан с его параметрами соотношением

. (5.15)

В рассматриваемом случае , следовательно , откуда и . Таким образом, при падении плоскополяризованного света на анизотропную среду с углом между вектором поляризации и оптической осью образуется эллиптическая поляризация с углом наклона оси эллипса в при любом значении двулучепреломления .

Если значение в среде равно четверти периода, т.е.

, (5.16)

то на выходе будет круговая поляризация, поскольку уравнение (5.14) выродится в уравнение окружности с радиусом

, (5.17)

т.е. при условии (17) среда представляет собой хорошо известную пластинку , обладающую свойством превращать линейно поляризованный свет в поляризованный по кругу.

Рассмотрим также случай прохождения эллиптически поляризованного света с одинаковыми составляющими (как в выражении (5.14))

(5.18)

через пластину , ось которой на входной грани составляет с вектором угол . Как следует из (5.15) полуоси такого эллипса всегда составляют угол в со сторонами описанного прямоугольника (рис. 5.2) и большая полуось параллельна или перпендикулярна оптической оси пластины в зависимости от того превышает фаза чем или нет. Вычисляя значения и при условиях и , получим

. (5.19)

Т.е. и эллипс вырождается в прямую линию

, (5.20)

тангенс угла наклона которой равен

. (5.21)

Величина может быть измерена, и ее значение позволит определить разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучом.

в) . Среда с таким условием представляет собой пластинку . Выражение (11) будет представлять при этом собой известное выражение для квадрата разности

, (5.22)

представляющего собой уравнение отрезка прямой, параллельного направлению вектора поляризации падающей на среду световой волны, т.е. среда с таким двулучепреломлением сохраняет направление поляризации при любых углах вышеуказанного вектора, в отличие от случая а).

г) . Это пластинка . После подстановки данного параметра в (11), оно, подобно (16) превратиться в квадрат суммы

, (5.23)

при этом линейная поляризация сохранится, но направления вектора изменится, а при это направление изменится на .

Важно отметить, что все рассмотренные случаи строго монохроматичны, т.е. при использовании длин волн, отличающихся от тех, для которых рассчитывались данные среды, все сделанные выводы будут неверны. Однако если, например, на пластинку падает излучение с длиной волны в два раза меньше, то для него пластинка будет вести себя как .

Предыдущая234567891011121314151617Следующая

Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 560; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/1-91070.html

Распространение волн в анизотропных средах

Распространение световых волн в анизотропных средах

В предыдущих параграфах были рассмотрены свойства плоских волн при распространении в однородной изотропной среде. Наряду с изотропными, имеются так называемые анизотропные среды, т.е.

среды, параметры которых (e, m) зависят от направления.

Например, ионосфера Земли – часть атмосферы выше 60-70 км – является анизотропной, её диэлектрическая проницаемость зависит от направления распространения в ней волны.

Другой пример – ферритовая среда под действием постоянного магнитного поля представляет собой анизотропную среду по магнитной проницаемости. Ферриты применяются в технике СВЧ.

Ферриты составляют группу ферромагнитных веществ, обладающих очень малой проводимостью s = 10-7 – 10-11 См/м, называемых поэтому магнитодиэлектриками (e = 5…20). Магнитную проницаемость феррита принято характеризоватьтензором , который равен

, , , (2.28)

где величины и зависят от частоты, величины приложенного к ферриту постоянного магнитного поля и химического состава феррита.

Для ферритовой среды с тензором (2.28) материальное уравнение, связывающее вектор и вектор , определяется формулой вида

.

Последнее уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям

, , .

Из последних равенств следует, что в намагниченном феррите векторы и не параллельны.

Пусть имеется ферритовая среда в постоянном магнитном поле. Распространение волны в произвольном направлении в однородной ферритовой среде можно представить как суперпозицию двух частных случаев: распространение вдоль постоянного магнитного поля и перпендикулярно ему. В практических устройствах используется либо один, либо другой способ намагничивания.

Рассмотрим вначале продольное распространение волн.

В этом случае в феррите без изменения своей структуры могут распространяться только волны круговой поляризации. Другими словами собственными волнами ферритовой среды являются волны круговой поляризации.

Собственными волнами называются волны, структура векторов которых не меняется по мере движения волны. Отметим, что в однородной изотропной среде собственными волнами являются волны с любой поляризацией.

Пусть волна круговой поляризации распространяется в направлении вектора постоянного магнитного поля . Обозначим магнитную проницаемость фер­рита для волны правой поляри­зации через , а для волны левой поляризации через . Зависимости этих величин от частоты приведены на рис. 2.3.

Из рис. 2.3. видно: что вели­чина резко возрастает на неко­торой частоте f0, которая зависит от величины , а величина прак­тически не меняется и мала; вели­чина при некоторых частотах отрицательна, а величина мало отличается от единицы. Отсюда следует, что:

– скорости распространения волн с правой и левой поляризацией различны;

– волна с левой поляризацией распространяется практически без поглощения;

– волна с правой поляризацией на частоте f0 испытывает сильное поглощение. Это явление называетсяпродольным ферромагнитным резонансом;

– структура волны с линейной поляризацией меняется – ее плоскость поляризации по мере распространения поворачивается по часовой стрелке.

Явление вращения плоскости поляризации волн в анизотропных диэ­лектриках и магнетиках называется эффектом Фарадея. Существенно, что на­магниченный феррит является невзаимной средой: направление вращения плос­кости поляризации волны всегда происходить по часовой стрелке вокруг нап­равления вектора (вне зависимости от направления распространения волны).

В направлении, перпендикулярном направлению , в феррите могут распространяться так называемые обыкновенная и необыкновенная волны с разными постоянными распространения.

Обыкновенная волна – это поперечная плоская волна, подобная волне свободного пространства. Необыкновенная волна – это непоперечная волна.

На определённой частоте необыкновенная волна испытывает резонансное поглощение – явление поперечного ферромагнитного резонанса.

При определённых значениях правополяризованная и необыкновенная волны не могут распространяться в феррите, так как магнитные проницаемости для этих волн принимают отрицательное значение. Если такие волны распространяются в среде с ферритом конечных размеров, то они вытесняются из ферритовой среды и это явление называется эффектом смещения поля.

Перечисленные явления и эффекты используются для создания следующих невзаимных волноводных устройств (см. Приложение С):

– гиратор – невзаимный двухплечий узел, вращающий плоскость поляризации волны типа Н11 в круглом волноводе. Гиратор может входить в состав других невзаимных волноводных устройств. Принцип его действия основан на эффекте Фарадея;

– вентиль (изолятор) – двухплечий узел с весьма малым затуханием в прямом направлении передачи и большим затуханием в обратном направлением;

– невзаимный фазовращатель – двухплечий узел, который создает разные фазовые сдвиги для волн разных направлений распространения;

– циркулятор – трех- или четырехплечий узел, пропускающий волну между соседними плечами в определенном направлении. В противоположном направлении волна испытывает большое поглощение.

Ферриты начали применяться в сантиметровом диапазоне волн. Для получения соответствующих эффектов в диапазоне миллиметровых волн нужны сильные магнитные поля порядка 10 МА/м, которые невозможно создать внешними магнитами, имеющими приемлемые размеры.

В настоящее время получены ферритовые кристаллы с очень сильными эффективными внутренними магнитными полями (естественной анизотропией), которые работают при отсутствии внешних полей или в слабых полях. Это позволило использовать ферритовые устройства в дециметровом диапазоне.

Современные ферритовые устройства занимают диапазон от 20 МГц до 150 ГГц.

Раздел 3

Источник: https://studopedia.su/10_92977_rasprostranenie-voln-v-anizotropnih-sredah.html

8 Распространение света в изотропных и анизотропных средах

Распространение световых волн в анизотропных средах

Лекция № 8

Распространение света в изотропных и анизотропных средах

Взаимодействие электромагнитной волны с веществом. Электрические и оптические свойства среды. Излучение электрического диполя

         Всякую среду можно рассматривать как вакуум, в который вкраплены атомы вещества. Под действием падающей волны внутри каждого атома возбуждаются колебания электронов и ядер. Вследствие этого атомы становятся источниками вторичных сферических волн, распространяющихся между этими частицами со скоростью света в вакууме.

Эти волны когерентны, так как они возбуждаются одной и той же волной. Их интерференция между собой и с падающей волной определяет волновое поле во всем пространстве. В поле световой волны атомы приобретают меняющиеся во времени  дипольные моменты и излучают как точечные диполи.

Пусть в вакууме вдоль оси х распространяется плоская монохроматическая волна  (1), на пути которой перпендикулярно к оси х поставлен бесконечно тонкий плоскопараллельный слой толщиной dξ, состоящий из точечных неподвижных атомов, равномерно распределенных по объему слоя (рис.1).

Учитываем только составляющую дипольного момента перпендикулярно излучению, так как только эта составляющая будет давать излучение вдоль х.

         Дипольные моменты атомов слоя, возбужденные падающей волной, можно представить в виде  (2), ξ – абсцисса слоя

,                                           (3)

где r – расстояние от диполя. Такие выражения надо просуммировать по всем диполям слоя. Используем метод зон Френеля. Результирующая напряженность , всех диполей слоя в точке А будет равна половине напряженности поля, возбуждаемого в этой точке диполями одной центральной зоны.

Вторичные волны, возникающие от края центральной зоны отстают по фазе на p. Следовательно возникает замедление скорости распространения фазы волны в результате прохождения ее через слой вещества. Возьмем кольцо с внутренним радиусом r и наружным r+dr.

В элементе объема dV=2πpdρdξ находится NdV диполей N – число диполей в единице объема. На это число умножим (3), проинтегрируем по центральной зоне и разделим на 2. Из ρ2=r2-(x-ξ)2 при постоянном x получаем ρdρ=rdr. В качестве переменной интегрирования берем расстояние r.

В пределах центральной зоны величину  можно считать постоянной и равной . Тогда

,                                                      (4)

а после введения коэффициента перед интегралом получится

                                       (5)

Интегрирование по остальным зонам из-за убывания  их действие медленно убывает с возрастанием номера зоны и при n ® ¥ стремится к нулю.

         Добавив   к падающей волне найдем полное поле в т. А

                       (6)

где    .

Таким образом, наличие слоя вносит дополнительное отставание по фазе dФ. Если толщина слоя конечна, то отставание по фазе равно

                                                    (7)

Связь между амплитудами  и  сложна. Для не очень плотных газов , b — поляризуемость атома, связанная с диэлектрической проницаемостью e и показателем преломления n соотношением

,

тогда                                                                             (8)

         В твердых и жидких телах тепловое движение атомов приводит к модулированию поля световой волны. В результате не только сохраняются вторичные волны с прежней частотой, но возникают волны с новыми частотами. Если среда однородна, то в ней могут распространяться дипольные колебания в виде бегущей волны

                                             (9)

Если длина волны велика по сравнению с межатомным расстоянием, то среду можно считать сплошной и характеризовать ее состояние вектором поляризации

                                               ,                                          (10)

где N – число атомов в единице объема.

Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела двух диэлектрических сред. Формулы Френеля.

         Полагаем, что однородная изотропная среда граничит с вакуумом. Падающая на нее плоская электромагнитная волна возбудит в среде дипольную волну, которую можно рассматривать как волну поляризаций.

         Пусть луч L, падающий на границу раздела двух сред содержит вектор  перпендикулярно плоскости падения (рис. 2).

Компоненты электрического поля по х, z равны нулю и следовательно Еу=Е; ЕуRR; ЕуDD (11).

EA, ED – отраженные и преломленные составляющие. Для магнитной составляющей электромагнитной волны из рис. 2 будем иметь

                                              Hx=-Hcosα;           Hz=Hsinα

                                              HxR=HRcosα;          HzR=HRsinα                            (12)

                                              HxD=-HDcosβ;        HzD=HDsinβ

Из граничных условий имеем для тангенциальных составляющих Et1=Et2; Ht1=Ht2. Ими являются компоненты по х и у. Таким образом,

E+ER=ED;      (H-HR)cosα=HDcosβ.                    (13)                    

Из электромагнитной теории имеем . Для оптического диапазона μ=1;  – абсолютный показатель преломления. Следовательно

n1(EER)cosα=n2EDcosβ                             (14)                   

Используя соотношения закона преломления , получим

                     (15)            

Теперь все величины снабдим индексом для выбранного направления колебания. Заменим в (15) ED=EER, тогда, преобразовав его, получим

 (16) – коэффициент отражения по амплитуде. По интенсивности

                                 (17)

Напряженность отраженной волны

                                          (18)

Подставляя значения ER в E+ER=ED, получим амплитуду прошедшей волны

                                        (19)

Коэффициент пропускания Т можно определить из условия R+T=1, T=1- R.

Подставляя значения R, получим

                                              (20)

Для волны, у которой вектор  лежит в плоскости падения, имеем

Ex=-Ecosα;           Ez=Esinα;             Hy=H

ExR =-ERcosα;       EzR=ERsinα;          HyR=HR                                                    (21)

ExD =-EDcosβ;      EzD=EDsinβ;                  HyD=HD

Амплитуды и коэффициенты будут иметь следующие выражения

;       

;                     (22)

Формулы для коэффициентов отражения и пропускания называют формулами Френеля.

Остановимся на световых волнах, у которых имеются и Е и Е||, т.е. свет неполяризованный. Интенсивность для этих волн I=I+I|| (23) и . В этом случае, учитывая, что I=2I=2I|| имеем

                                   (24)

или, подставляя R и R||, получим

                               (25)

Если , то tg(α+β) = ∞,    R||=0.

В этом случае компонент электрического поля с Е||  не испытывает отражения и отраженный свет будет иметь только составляющую Е.

         Угол aБ, при котором получается это явление, называется углом Брюстера, или углом полной поляризации. Так как cos(aБ+β)=0, , то , cosaБ=sinβ, sinaБ=nsinβ.  Oткуда имеем

tgaБ=n                                                      (26)

Если a®0, то в выражениях для R и R|| синусы и тангенсы можно заменить аргументами и

                                    (27)

Источник: https://studizba.com/lectures/73-fizika/1063-optika/19428-8-rasprostranenie-sveta-v-izotropnyh-i-anizotropnyh-sredah.html

Распространение света в анизотропных средах

Распространение световых волн в анизотропных средах

Для экспериментального получения эллиптически поляризованных волн из линейно поляризованной используют анизотропные кристаллические пластинки, в которых волны с ортогональными направлениями поляризации распространяются с различными скоростями. В результате в зависимости от толщины соответствующей пластинки можно получить любое состояние поляризации волны после прохождения пластинки.

В анизотропных веществах оптические свойства не одинаковы в различных направлениях, вследствие чего наблюдается целый ряд интересных явлений. В частности, в 1670г. датский исследователь Эразм Бартолин впервые наблюдал явление, названное впоследствии явлением двойного лучепреломления.

Если на пластину из исландского шпата, вырезанную определённым образом, нормально к поверхности направить пучок света, то на выходе наблюдаются два пучка. Один из них проходит через пластинку без отклонения и представляет собой продолжение падающего.

Его принято называть обыкновенным лучом и обозначать буквой «о«. Второй, несмотря на нормальное падение, испытывает преломление и выходит параллельно первому, но при этом несколько смещён в сторону. Этот луч называют необыкновенным и обозначают буквой «е«.

С помощью анализатора можно убедиться, что выходящие пучки, во-первых, линейно поляризованы, а во-вторых, их плоскости поляризации взаимно перпендикулярны.

Двойное лучепреломление возникает при прохождении света через анизотропные вещества (в данной работ для наблюдения этого явления свет пропускают через кристалл исландского шпата). Скорость распространения электромагнитных волн в веществе может зависеть от ориентации вектора (т.к.

различным ориентациям соответствуют различные значения высокочастотной диэлектрической проницаемости ( ) и, следовательно, различные абсолютные показатели преломления среды ; если среда не ферромагнитная, т.е. , то .

При прохождении кристалла исландского шпата свет разделяется на две части, направления векторов в которых взаимно перпендикулярны. Образовавшиеся таким образом два луча распространяются в веществе с различными скоростями (для этих двух лучей показатели преломления вещества оказываются различными).

Один из лучей является обыкновенным, а второй – необыкновенным. Если направление падающего на кристалл света не совпадает с оптической осью кристалла, то образовавшиеся обыкновенный и необыкновенный лучи обладают следующими свойствами:

1. Показатели преломления вещества кристалла для лучей различны.

2. Показатель преломления обыкновенного луча не зависит, а необыкновенного луча зависит от угла падения светового луча на кристалл.

3. Оба луча после прохождения кристалла оказываются линейно поляризованными во взаимно перпендикулярных плоскостях так, что плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна главному сечению кристалла, а плоскость колебаний необыкновенного луча совпадает с главным сечением кристалла.

Величина смещения второго пучка относительно первого зависит как от толщины пластины, так и от ориентации пластины. Оказалось, что для исландского шпата существует такое направление в кристалле, при распространении вдоль которого двойное лучепреломление не наблюдается, т.е.

для излучения на выходе не изменяются ни направление распространения, ни поляризация. Такое направление называют оптической осью кристалла. (Оптической осью кристалла называется направление, вдоль которого не происходит двойного лучепреломления в кристалле).

Главным сечением кристалла называется любая плоскость, проходящая через оптическую ось кристалла и направление падающего луча.

Примечание. Явление двойного лучепреломления можно наблюдать не только в кристаллах, но и в некоторых прозрачных аморфных средах — жидких и газообразных, если они под действием каких-либо причин (механических деформаций, действия электрического или магнитного поле и т.п.) становятся анизотропными.

Большинство изотропных тел состоит из анизотропных молекул или групп молекул, хаотично расположенных по объёму тела, в результате макроскопическая среда остается изотропной. Если на такую среду подействовать извне так, чтобы выявилось выраженное преимущественное направление структуры, то возможна перегруппировка анизотропных элементов, приводящая к появлению макроскопической анизотропии.

Анизотропные кристаллы подразделяют на одноосные и двуосные. В одноосных существует единственное направление, при распространении вдоль которого не происходит расщепление падающего пучка. К таким кристаллам относятся кристаллы из исландского шпата, кварца и др.

В двуосных кристаллах явление двулучепреломления не наблюдается для двух направлений распространения (для таких кристаллов не существует понятий обыкновенного и необыкновенного лучей). При дальнейшем рассмотрении речь будет идти только об одноосных кристаллах.

Физической причиной анизотропии является тот факт, что возникающий в таких кристаллах под действием электрического поля оптической волны дипольный момент не совпадает по направлению с электрическим полем волны.

Это вызвано тем, что для различных направлений в кристалле величина смещения электронов в атомах под действием поля различна.

В соответствии с электронной теорией дисперсии это означает, что собственные частоты колебаний электронов в атомах будут различными для двух взаимно перпендикулярных направлений.

Поскольку поляризуемость атома зависит от собственной частоты колебаний, то, следовательно, значения диэлектрической проницаемости и показателя преломления будут различными для разных поляризаций распространяющихся в кристалле волн. В итоге после прохождения пластины, сделанной из анизотропного вещества, состояние поляризации может измениться.

Пусть на одноосный кристалл по направлению, не совпадающему с оптической осью кристалла, падает пучок света. Плоскость, образованную направлением распространения падающего света, и направлением оптической оси кристалла, принято называть главным сечением кристалла.

Падающий свет можно представить как сумму двух линейно поляризованных волн со взаимно перпендикулярными направлениями поляризации: первая волна поляризована в плоскости, перпендикулярной к главному сечению кристалла (она называется обыкновенной), а для второй плоскость поляризации совпадает с главным сечением (такая волна называется необыкновенной).

Можно показать, что обыкновенная волна распространяется в кристалле во всех направлениях с одинаковой скоростью и характеризуется постоянным значением показателя преломления, обозначаемым .

Для необыкновенной волны скорость распространения зависит от направления распространения, для нее значение показателя преломления, максимально отличающееся от , обозначается . В зависимости от знака разности ( ) кристаллы подразделяются на положительные и отрицательные: если ( )>0, то кристалл — положительный, если наоборот — то отрицательный.

Поскольку фазовая скорость распространения света в веществе связана с показателем преломления и равна (с — скорость света в вакууме), то в положительном кристалле скорость распространения обыкновенной волны больше скорости распространения необыкновенной лежащей в интервале от до .

При этом максимальное значение скорости необыкновенной волны (совпадает со скоростью обыкновенной) будет при распространении волны вдоль оптической оси, а минимальное — при распространении строго перпендикулярно к оптической оси. В отрицательном кристалле, напротив, обыкновенная волна распространяется медленнее необыкновенной.

Рассмотрим случай, когда линейно поляризованный свет падает нормально на пластину, сделанную из одноосного кристалла, параллельные грани которой вырезаны вдоль оптической оси (оптическая ось лежит в плоскости грани).

Пусть плоскость поляризации падающего света составляет угол с главным сечением кристалла (в данном случае это угол между направлением поляризации волны и оптической осью кристалла). В дальнейшем будем считать, что угол меняется в пределах от до .

Разложим падающую волну на две составляющие — для одной соответствующая компонента вектора Е будет параллельна оптической оси, для другой — перпендикулярна.

Амплитуда колебаний поля для первой волны будет задаваться выражением , а для второй (заметим, что так как знак зависит от знака , то при 0 (примером такого вещества является кварц, используемый в настоящей задаче). В зависимости от угла и разности фаз поляризация выходящей волны будет различной.

Для анализа ситуации воспользуемся результатами, полученными ранее, при этом учтём, что так как разность фаз может принимать любые значения, большие нуля, то с учётом периодичности для каждого будем указывать соответствующее значение разности фаз , удовлетворяющего условию .

1) или , — любое.

В этом случае состояние поляризации и амплитуда волны после прохождения кристалла не изменятся, так как амплитуда одной из составляющих на входе в кристалл (либо а, либо b) будет равна нулю.

2) 0< < , , , .

Состояние поляризации и амплитуда волны также не изменятся, так как возникающая между двумя взаимно перпендикулярными составляющими волны разность фаз кратна .

3) 00, соответствующее значение

Источник: https://infopedia.su/11xeec8.html

Распространение световых волн в анизотропных средах

Распространение световых волн в анизотропных средах

Векторы поля плоской волны света можно представить как:

Подставив выражения (1) в уравнения Максвелла, получим формулы:

Волновой вектор $\overrightarrow{k}$ указывает направление распространения фронта волны, то есть, нормален к поверхности одинаковой фазы. Фазовая скорость ($\overrightarrow{v}$) совпадает по направлению с $\overrightarrow{k}$. Направление распространения волны задают вектором $\overrightarrow{n}$, определяемым как:

Из уравнений ($2.c$) и ($2.d$) следует, что волна распространяется перпендикулярно векторам $\overrightarrow{D}\ $и $\overrightarrow{H}.

$ Из определения вектора Умова — Пойнтинга ($\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$), следует, что поток энергии направлен перпендикулярно векторам $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{H}$. Направление потока энергии в световой волне называют лучом.

В общем случае, направление движения волны и направление потока энергии не совпадает. Энергия электромагнитной волны движется с групповой скоростью. Обозначим единичный вектор в направлении луча как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Тогда можно сказать, что групповая скорость $\overrightarrow{u}$ волны совпадает с направлением $\overrightarrow{\tau }$.

Итак, первой особенностью распространения электромагнитной волны в анизотропной среде является то, что, так как векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ не коллинеарны, направление луча и распространение волны не совпадают (направление групповой и фазовой скорости не совпадают). Уравнение, связывающее векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ можно представить в виде:

Второй особенностью распространения волн света в анизотропной среде является то, что их скорость зависит от направления распространения и поляризации.

Связь фазовой скорости и направления распространения волны

Пусть волна распространяется по оси $Z$, Ось $Z$, в свою очередь, является одной из главных осей тензора диэлектрической проницаемости (${\varepsilon }_{ij}$).

Допустим, что вектор $\overrightarrow{D}$ коллинеарен оси $X$ (это значит, что $D_xe 0,\ D_y=D_z=0$) и, значит, вектор $\overrightarrow{H}$ коллинеарен оси $Y$.

При этом имеем: $E_x=\frac{D_x}{{\varepsilon }_0{\varepsilon }_x},\ E_y=E_z=0.\ $Уравнения (2 a,b) принимают вид:

Перемножим левые части уравнений (6.a) и (6.b) и правые части, получим:

Из выражения (7) следует, что:

Из выражения (8) фазовая скорость равна:

где индекс $x$ у фазовой скорости значит, что это скорость волны, векторы которой $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ коллинеарны оси X. В случае коллинеарности $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ оси $Y$, имеем:

Так как в общем случае ${\varepsilon }_xe {\varepsilon }_y$, то делаем вывод о том, что фазовая скорость волны отлична для двух направлений колебаний вектора $\overrightarrow{E}$. Следовательно, в направлении оси $Z$ распространяются только волны, в которых векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ совершают колебания параллельно либо оси $X$, или оси $Y$.

Фазовую скорость можно найти, используя уравнение Френеля:

где $v_i$ — главные скорости распространения волны (фазовая скорость волны , соответствующая оси $X_i).

$ Надо отметить, что она не является проекцией фазовой скорости волны на ось $X_i$, а характеризует фазовую скорость волны векторы $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}$ в которой коллинеарны данной оси.

$v=\frac{\omega }{k},$ $n_i:\ n_1,\ n_2,n_3$ — направляющие косинусы. Решение уравнения (5) дает фазовую скорость ($v$) как функцию от $n_i\ и\ v_i$.

Фазовую скорость часто выражают как функцию от направления вектора $\overrightarrow{D}.$ Если обозначить единичный вектор $\overrightarrow{d}$, определяемый как:

то выражение для модуля фазовой скорости можно записать как:

что означает, фазовая скорость определяется направлением вектора электрического смещения.

Пример 1

Задание: Пусть вектор $\overrightarrow{n}$ по оси $Z$. Запишите выражения для фазовых скоростей световой волны.

Решение:

Если вектор, определяющий направление распространения волны направлен по оси $Z$, это значит, что его компоненты равны:

\[\overrightarrow{n}=\left(n_x,n_y,\ n_z\right)=\left(0,0,1\right)\left(1.1\right).\]

В качестве основы для решения задачи используем векторное уравнение:

\[\overrightarrow{D}=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0\left[\overrightarrow{E}-\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}\overrightarrow{E}\right)\right]\left(1.2\right).\]

Тогда в проекции на ось $X$ (1.2) запишем как:

\[D_x={\varepsilon }_0{\varepsilon }_xE_x=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0\left[E_x-n_x\left(\overrightarrow{n}\overrightarrow{E}\right)\right]=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0E_x\left(1.3\right).\]

В таком случае имеем:

\[v_1=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_x}}=v_x.\]

В проекции на ось $Y$ уравнение (1.2) представим как:

\[D_y={\varepsilon }_0{\varepsilon }_yE_y=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0\left[E_y-n_y\left(\overrightarrow{n}\overrightarrow{E}\right)\right]=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0E_y\left(1.4\right).\] \[v_2=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_y}}=v_y.\]

В проекции на ось $Z$:

\[D_z={\varepsilon }_0{\varepsilon }_zE_z=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0\left[E_z-n_z\left(\overrightarrow{n}\overrightarrow{E}\right)\right]=\frac{c2}{v2}{\varepsilon }_0{(E}_z-E_z)=0(1.5).\] \[v_z=0.\]

Ответ: Две волны со скоростями: $v_x=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_x}},\ v_y=\frac{c}{\sqrt{{\varepsilon }_y}}.$ Это скорости волн, котрые поляризованы в направлениях $X$ и $Y$.

Пример 2

Задание: Изобразите взаимное расположение векторов плоской световой волны в анизотропной среде.

Решение:

Рассмотрим уравнения:

\[-\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{H}=\omega \overrightarrow{D};\ \overrightarrow{\ k}\times \overrightarrow{E}=\omega {\mu }_0\overrightarrow{H};\overrightarrow{k}\overrightarrow{D}=0;\ \overrightarrow{k}\overrightarrow{H}=0(2.1).\ \]

и определения векторов:

\[\overrightarrow{n}=\frac{\overrightarrow{k}}{k},\overrightarrow{\tau }=\frac{\overrightarrow{P}}{P}\ и\ \overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\ \left(2.2\right).\]

Очевидно, что $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{H,\ }$ $\overrightarrow{\tau }\bot \overrightarrow{H}$. При этом $\overrightarrow{E}\bot \overrightarrow{H,\ }\ \overrightarrow{D}\bot \overrightarrow{H\ .}\ \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{D,\ }$ $\overrightarrow{\tau }\bot \overrightarrow{E}$.

Значит, векторы $\overrightarrow{E}$, $\overrightarrow{D}$, $\overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{\tau }$ находятся в одной плоскости, перпендикулярной $\overrightarrow{H.}$ Причем угол между векторами $\overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{\tau }$ равен углу между $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{D}\ (рис.

1).\ $

Рисунок 1.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/rasprostranenie_svetovyh_voln_v_anizotropnyh_sredah/

Booksm
Добавить комментарий