Пространственное преобразование Фурье

Содержание
  1. Пространственное преобразование Фурье
  2. Фраунгоферова дифракция как пространственное преобразование Фурье
  3. Линза как элемент, который реализует преобразование Фурье
  4. Свойства преобразования Фурье
  5. Свойство временного сдвига
  6. Преобразование Фурье свертки сигналов
  7. Преобразование Фурье произведения сигналов
  8. Масштабирование и инверсия во времени
  9. Преобразование Фурье производной исходного сигнала
  10. Свойство интегрирования исходного сигнала
  11. Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала
  12. Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала
  13. Двойственность преобразования Фурье
  14. Убывание спектральной плотности сигнала по частоте
  15. Выводы
  16. Смотри также
  17. Примечания
  18. Список литературы
  19. Простыми словами о преобразовании Фурье
  20. Преобразование Фурье: самый подробный разбор
  21. Геометрическая интерпретация преобразования Фурье
  22. 1. Наматываем сигнал
  23. 2. Ищем центр масс
  24. 3. Анализируем влияние смещения
  25. 4. Выделяем частоты полигармонического сигнала
  26. Вывод преобразования Фурье
  27. Применение преобразования Фурье для фильтрации
  28. ФУРЬЕ́-О́ПТИКА

Пространственное преобразование Фурье

Пространственное преобразование Фурье

Преобразование Фурье в оптике обладает физической реализацией.

Так, каждая оптическая система при дифракции в когерентных волнах создает соответствие между освещенным объектом и его изображением на плоскости. Эта плоскость определяется законами геометрической оптики.

Изображение — двумерный фурье образ, определяют законы дифракции. Формирование изображений и преобразования Фурье — проявления явления дифракции.

В задачах оптики интерес вызывает пространственная структура светового поля, которая задается в плоскости в виде функции от координат. Эта функция — комплексная амплитуда поля.

Спектральное разложение на основании преобразований Фурье дает возможность представить любое поле света как суперпозицию плоских монохроматических волн.

Вследствие линейности волнового уравнения каждая волна распространяется независимо от других. Такая ситуация позволяет привести анализ преобразования сложного поля к преобразованию простой волны.

Суммарное поле находят как суперпозицию волн, прошедших через дифракционную систему.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Фраунгоферова дифракция как пространственное преобразование Фурье

Допустим, что световая волна плоская, но имеет в поперечном сечении участки с полем равным нулю. Она распространяется и достигает экрана. Пусть поле, которое было бы сзади экрана, если бы строго соблюдались законы геометрической оптики, обозначается $E_0$. Часть плоскости поперечного сечения волны на которой $E_0e 0$ будет обозначена $S$.

Так как любая такая плоскость будет волновой поверхностью плоской волны, то $E_0=const$ вдоль всей площади $S$. Следует отметить, что волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть абсолютно плоской.

В ее пространственное разложение Фурье войдут компоненты с волновыми векторами разных направлений (именно это является источником дифракции).

Сделаем разложение поля $E_0$ в двумерный интеграл Фурье по координатам y,z в плоскости поперечного сечения волны. Компоненты Фурье имеют вид:

где $q$ — постоянный вектор в плоскости $YZ$. Фактически интегрирование в (1) ведется по части $S$ плоскости $YZ$, где $E_0e 0.$ В том случае, если $\overrightarrow{k}-\ $волновой вектор падающей волны, то полевой компоненте $E_qe{iqr}$ отвечает вектор, определяемый как:

Получаем, что вектор $\overrightarrow{q}$ определяет изменение волнового вектора при дифракции. Так как абсолютные значения векторов $k'=k=\frac{\omega }{c}$, малые углы дифракции ${\theta }_y,\ {\theta }_z$ в плоскостях $XY$ и $XZ$ определены как:

В случае малых отклонений от геометрической оптики (малые углы отклонения от первоначального направления лучей) составляющие разложения поля $E_0$ можно считать такими же, как компоненты истинного света подвергшегося дифракции, так что формула (1) определяет распределение по направлениям интенсивности дифрагированного света на больших расстояниях от экрана.

Линза как элемент, который реализует преобразование Фурье

Тонкая линза выполняет такое преобразование фазы плоской волны, что она преобразуется в сферическую сходящуюся или расходящуюся волну.

При этом распределение амплитуд в фокальной плоскости линзы есть образ Фурье распределения амплитуд на входе в линзу. Точность при этом достаточно велика (масштабные и фазовые множители).

Этот факт определен тем, что дифракционная картина в фокальной плоскости линзы описывается формулой:

где

Рисунок 1.

$n$ — показатель преломления вещества линзы, ${\triangle }_0$ — максимальная толщина линзы, $\Psi'\left(x',y'\right)-\ $амплитуда волны на входе в линзу, $f$ — фокусное расстояние линзы.

Пример 1

Задание: Поясните, что такое коэффициент пропускания линзы, как он связан с фокусным расстоянием линзы и коэффициентом преломления вещества, из которого линза изготовлена.

Решение:

Запишем выражение для фазы волны, если $n$ — показатель преломления вещества линзы, ${\triangle }_0$ — максимальная толщина линзы, в таком случае полная фаза изменения волны при прохождении пути от левой одной плоскости линзы до другой равно:

\[\varphi \left(x,y\right)=kn\triangle \left(x,y\right)+k\left[\triangle_0-\triangle \left(x,y\right)\right]=k\triangle_0+k(n-1)\triangle (x,y)\left(1.1\right),\]

$\triangle \left(x,y\right)$- функция толщины линзы.

Величина $\tau \left(x,y\right)$ определяемая как:

\[\tau \left(x,y\right)=e{i\varphi (x,y)}\ (1.2)\]

называется коэффициентом пропускания линзы. Используя (1.1) получим, что:

\[\tau \left(x,y\right)=e{ik{\triangle }_0}e{ik(n-1)\triangle (x,y)}\ \left(1.3\right).\]

Для линзы коэффициент пропускания исключительно фазовый. Для фокусного расстояния линзы имеется соотношение вида:

\[\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\to \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)=\frac{1}{f\left(n-1\right)}\left(1.4\right),\]

где $R_1$, $R_2$ — радиусы кривизны линзы. При расчете функции толщины линзы считаем, что радиус кривизны выпуклой поверхности по ходу луча считают положительным, радиус кривизны вогнутой поверхности — отрицательным. Для $\triangle \left(x,y\right)$ можно записать:

\[\triangle \left(x,y\right)={\triangle }_0-\frac{x2+y2}{2}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\left(1.5\right).\]

Тогда выражение для $\varphi (x,y)$ получит вид:

\[\varphi \left(x,y\right)=k{\triangle }_0+k\left(n-1\right)\left({\triangle }_0-\frac{x2+y2}{2}\frac{1}{f\left(n-1\right)}\right)=kn{\triangle }_0-k\frac{x2+y2}{2}\frac{1}{f}\left(1.6\right).\]

В таком случае выражение для $\tau \left(x,y\right)\ $примет вид:

\[\tau \left(x,y\right)=e{ikn?_0}e{-ik\frac{x2+y2}{2f}}.\]

Ответ: $\tau \left(x,y\right)=e{ikn?_0}e{-ik\frac{x2+y2}{2f}}.$

Пример 2

Задание: На основании результатов, полученных в предыдущем примере, поясните какие величины в выражении для коэффициента пропускания линзы отвечают за преобразование плоской волны в сферическую. При каких условиях волна является расходящейся, при каких сходится?

Решение:

Рассмотрим выражение для коэффициента пропускания линзы, которое представлено как:

\[\tau \left(x,y\right)=e{ikn{\triangle }_0}e{-ik\frac{x2+y2}{2f}}(2.1).\]

Множитель $e{ikn{\triangle }_0}$ в выражении (2.1) не ведет к искажению формы фронта плоской волны, когда свет проходит через линзу. Множитель $e{-ik\frac{x2+y2}{2f}}$ переводит плоскую волну в сферическую. Эта волна может быть сходящейся или расходящейся.

Это обстоятельство зависит от знака экспоненты. Если $f>0$, вторая экспонента в выражении (2.1) отрицательна, то периферические части волны терпят меньшую задержку фазы, чем центр волны в ходе прохождения линзы. Как результат — сходящаяся сферическая волна.

При $f

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/prostranstvennoe_preobrazovanie_fure/

Свойства преобразования Фурье

Пространственное преобразование Фурье

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Пусть даны непериодические сигналы и , а также их спектральные плотности и соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что и  — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала равно

(1)

Следствием является свойство умножения на константу :

(2)

Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал как результат временного сдвига исходного сигнала на произвольную величину . Тогда преобразование Фурье сигнала имеет вид:

(3)

Введем замену переменной , тогда и . При любом конечном пределы интегрирования не меняются и спектральная плотность равна:

(4)

Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал представляет собой свертку сигналов и :

(5)

Тогда спектральная плотность сигнала равна:

(6)

Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:

(7)

Таким образом, спектральная плотность свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Преобразование Фурье сигнала равно:

(8)

Подставим в (8) вместо сигнала обратное преобразование Фурье его спектральной плотности :

(9)

Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

(10)

Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов

(11)

пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал представляет собой масштабированный во времени сигнал ,  — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала равно:

(12)

Введем в выражении (12) замену переменной , тогда , . При этом пределы интегрирования при положительном не меняются: , откуда , и аналогично . Тогда (12) принимает вид:

(13)

При отрицательном , помимо масштабирования имеет место инверсия сигнала во времени. Тогда вводя замену переменной в (12), пределы интегрирования при также меняются: , , и аналогично , откуда . В результате при получаем:

(14)

Знак минус в выражении (14) появился в результате перестановки нижнего и верхнего пределов интегрирования. Объединяя выражения (13) и (14), для любого вещественного можно записать:

(15)

Следствием (15) является свойство преобразования Фурье инверсного во времени сигнала при :

(16)

Временна́я инверсия сигнала приводит к частотной инверсии его спектральной плотности.

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна . Тогда сигнал также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

(17)

Используем правило интегрирования по частям [2, стр. 330]:

(18)

Учтем, что модуль комплексной экспоненты равен единице, а сигнал является абсолютно интегрируемым, т.е. . Тогда два первых слагаемых выражения (18) равны нулю, и окончательно можно записать:

(19)

Таким образом, спектральная плотность производной сигнала равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на .

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя приводит к тому, что с ростом частоты затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала .

Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность сигнала равна нулю при .

Тогда сигнал

(20)

представляет собой выход интегратора при входном сигнале .

Обратим внимание, что при , сигнал  является абсолютно интегрируемым.

Рассмотрим спектральную плотность сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

(21)

При , спектральная плотность рассчитывается без особого труда. Однако на частоте получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье приводит к окончательному выражению вида:

(22)

Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя .

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где  — синфазная и  — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

(23)

где , , и  — соответствующее значение каждого из четырех интегралов. Заметим, что справедливы следующие равенства:

(24)

Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала :

(25)

Учтем свойство (24), тогда:

(26)

и сравнивая с (23) можно заключить, что:

(27)

Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.

Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал , чья спектральная плотность равна . Поскольку сигнал вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

(28)

Таким образом, спектральная плотность вещественного сигнала обладает симметрией относительно нулевой частоты.

Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом можно представить:

(29)

и спектральная плотность (23) вещественного сигнала принимает вид:

(30)

Тогда определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а  — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

(31)

Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты , а ФЧХ — нечетной: .

Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Рисунок 1. Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса:
а — сигнал во времени; б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)

Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал имеет спектральную плотность . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности :

(32)

Обратите внимание, интегрирование идет по переменной , хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно преобразовать:

(33)

Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на . Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье.

Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области.

Таким образом, свойство остается справедливым если в формулировке данного свойства поменять местами время и частоту.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту.

Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени.

Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности смещенной по частоте на величину , равно:

(34)

Вводя замену переменной получаем , . Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:

(35)

Как мы и предполагали, смещение спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту.

Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала по частоте, мы нарушаем симметрию , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.

Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Мы говорили, что спектральная плотность вещественного сигнала  является симметричной относительно нулевой частоты: . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: , то его спектральная плотность чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде . Тогда . Если выполняется условие симметрии , то:

(36)

Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:

(37)

где

(38)

Заметим, что (38) представляет собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность и нечетность мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности , симметричного во времени сигнала , также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала приводит к умножению спектральной плотности на , т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность исходного сигнала. При интегрировании сигнала  — наоборот, спектральная плотность делится на и убывает быстрее исходного сигнала.

Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности зависит от степени гладкости исходного сигнала  и наша цель установить данную зависимость.

Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.

Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье абсолютно-интегрируемой функции является ограниченной функцией частоты , при этом стремится к нулю при .

Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты , но не дает количественной оценки скорости убывания .

Пусть исходный сигнал является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема  раз, причем все  первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции.

Тогда производную порядка сигнала можно обозначить как .

Если все первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность равна:

(39)

откуда . Таким образом, можно заключить, что спектральная плотность убывает быстрее чем , если сигнал может быть раз дифференцируем.

Если сигнал является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс , то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени .

Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью с ростом частоты.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Спектральные плотности некоторых сигналов

Примечания

Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном .

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[3] Хургин, Я.И., Яковлев, В.П. Финитные функции в физике и технике. Москва, Наука, 1971, 408 с.

[4] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[5] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[6] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

© Бахурин Сергей 2015 — 2020. Все права защищены. Любое копирование материалов сайте без разрешения автора запрещено.

Источник: http://ru.dsplib.org/content/fourier_transform_prop/fourier_transform_prop.html

Простыми словами о преобразовании Фурье

Пространственное преобразование Фурье

Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье.

Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна.

Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые.

(с) xkcd

Без использования сложных формул и матлаба я постараюсь ответить на следующие вопросы:

  • FT, DTF, DTFT — в чем отличия и как совершенно разные казалось бы формулы дают столь концептуально похожие результаты?
  • Как правильно интерпретировать результаты быстрого преобразования Фурье (FFT)
  • Что делать если дан сигнал из 179 сэмплов а БПФ требует на вход последовательность по длине равную степени двойки
  • Почему при попытке получить с помощью Фурье спектр синусоиды вместо ожидаемой одиночной “палки” на графике вылезает странная загогулина и что с этим можно сделать
  • Зачем перед АЦП и после ЦАП ставят аналоговые фильтры
  • Можно ли оцифровать АЦП сигнал с частотой выше половины частоты дискретизации (школьный ответ неверен, правильный ответ — можно)
  • Как по цифровой последовательности восстанавливают исходный сигнал

Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл, комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций, плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака. Не знаете — не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение”

Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье — это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w):

Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье — такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика: График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля — “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ). Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Удобство подобного странного на первый взгляд представления возникает из того что фурье-образы различных функций часто необходимо перемножать между собой. При подобном поточечном умножении комплекснозначных фурье-образов их фазовые спектры складываются, а амплитудные — перемножаются. Первое выполняется легко, а второе — сравнительно сложно. Однако логарифмы амплитуды при перемножении амплитуд складываются, поэтому логарифмические графики амплитуды можно, как и графики фаз, просто поточечно складывать. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). На логарифмической шкале оба графика (и амплитуды и мощности) выглядят идентично и отличаются только коэффициентом — все значения на графике мощности ровно вдвое больше чем на шкале амплитуд. Соответственно для построения графика распределения мощности по частоте (в децибелах) можно не возводить ничего в квадрат, а посчитать десятичный логарифм и умножить его на 20. Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим :). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе. Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся — списком из семи пунктов справа: Первое из этих свойств — линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2: Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике — это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины. Второе свойство преобразования Фурье — это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр. Третье свойство — растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности. Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот — поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно. Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi…pi) — нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра — для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является). Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии — остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является). Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”: Гребенка Дирака — это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T

Источник: https://habr.com/post/196374/

Преобразование Фурье: самый подробный разбор

Пространственное преобразование Фурье

Преобразование Фурье – одно из базовых понятий в обработке сигналов и анализе данных. Но что оно означает? Геометрическая интерпретация.

Возьмём классическую задачу – работу со звуком. Теперь добавим конкретики.

Ваш друг приносит запись своего живого выступления. И это очень удачное выступление. Но! Хотя запись делали на хороший микрофон, в ней всё равно присутствует шум. Друг просит помочь убрать его или хотя бы уменьшить.

Здесь и пригодится знание преобразования Фурье.

Что такое звук в математическом смысле?

Отдельная нота – это гармонический сигнал с определённой частотой и амплитудой.

Как правило, мелодию, речь или иной звуковой сигнал можно представить как сумму гармонических сигналов. Шумом в таком случае мы называем слагаемые, соответствующие любым нежелательным звукам.

Преобразование Фурье позволяет разложить исходный сигнал на гармонические составляющие, что потребуется для выделения шумов.

Запишем определение:

Здесь g(t) – это исходный сигнал (в нашем случае запись друга). В контексте преобразования Фурье его называют оригиналом. G(f) – изображение по Фурье, а параметром f выступает частота.

Возможно, вам уже знакомо это определение. Но знаете ли вы, как происходит это преобразование? Если бы увидели его впервые, поняли бы, как с его помощью анализировать исходный сигнал?

Геометрическая интерпретация преобразования Фурье

Грант Сандерсон предлагает геометрический аналог преобразования Фурье. За несколько графических переходов от исходного сигнала к изображению каждая из компонент определения обретает смысл, а само преобразование получает новое геометрическое прочтение.

В дальнейшем обсуждении предполагается, что вы знакомы с векторами, интегрированием и понятием комплексного числа. Если каких-то знаний вам всё-таки не хватает, ознакомьтесь с материалами из нашей подборки по вузовской математике.

1. Наматываем сигнал

Давайте начнём с самого простого случая. Рассмотрим гармонический сигнал, совершающий 3 колебания в секунду (f0 = 3с-1):

g(t) = 1 + cos (6πt).

Отобразим g(t) на комплексную плоскость. Для этого введём радиус-вектор, который равномерно вращается по часовой стрелке. Его длина в каждый момент времени равна модулю значения сигнала, а частота вращения выбирается произвольным образом.

Теперь построим траекторию движения конца вектора, совершающего полный оборот за две секунды, или, другими словами, с частотой вращения fВ = 0.5 об/с.

Выглядит, будто мы намотали исходный сигнал на начало координат. В минимумах сигнала полученная «намотка» сливается с началом координат, а при приближении к максимумам – отклоняется.

Пока выглядит не особо информативно, не так ли?

А теперь увеличим частоты намотки.

Сначала график распределяется довольно симметрично относительно начала координат до частоты вращения fВ = 3 об/с. Затем максимумы резко смещаются в правую полуплоскость, а намотка перестаёт напоминать узор спирографа.

2. Ищем центр масс

Посмотрим внимательнее, что происходит. В качестве характеристики намотки возьмём усреднённое значение всех её точек – центр масс (отметим его оранжевым цветом).

Строим зависимость положения центра масс от частоты намотки. Сейчас нам достаточно рассмотреть х-кординату, но в дальнейшем для определения преобразования Фурье потребуются обе координаты.

Мы видим два пика: в точках fВ = 0 об/с и fВ = 3 об/с. На основании такого поведения центра масс уже можно судить о частоте исходного сигнала (он колеблется с f = 3с-1).

Тогда что означает всплеск на низких частотах?

3. Анализируем влияние смещения

Возможно, вы обратили внимание, что рассматриваемый нами сигнал смещён на единицу. Сдвиг был введён для наглядности, но именно он приводит к усложнению поведения центра масс.

При нулевой частоте всё отображение сигнала на комплексной плоскости располагается на оси абсцисс. На малых частотах намотка по-прежнему группируется в правой полуплоскости.

Как только мы убираем сдвиг, т. е. берём сигнал вида g(t) = cos (6πt), намотка при низких частотах сдвигается влево по оси абсцисс.

Построение радиус-вектора остаётся аналогичным. Его длина равна модулю значения сигнала, направление вращения – положительное. Но при смене знака g(t) направление вектора меняется на противоположное.

Сейчас вы увидите, как меняется намотка и х-координата центра масс несмещённого сигнала.

Таким образом, на графике остался только один резкий скачок.

Это важный момент при использовании преобразования Фурье: линейный тренд и смещение проявляются на низких частотах, потому их исключают из исходного сигнала.

4. Выделяем частоты полигармонического сигнала

Теперь рассмотрим сумму двух гармонических сигналов с частотой колебаний f1 = 2 с-1 и f2 = 3 с-1. Проделаем с ней те же операции – «намотаем» возле начала координат, и, меняя частоту вращения, построим график х-координаты центра масс.

Мы наблюдаем два пика в точках fВ = 2 об/с и fВ = 3 об/с, что соответствует частотному составу исходной суммы.

Отметим ещё один интересный факт, верный как для х-координаты, так и для преобразования Фурье. Преобразование для суммы сигналов и сумма преобразований сигналов имеют один и тот же вид. Т. е. преобразование Фурье линейно.

Таким образом, этот подход позволяет определить частоту колебаний как моно-, так и полигармонического сигнала. Осталось математически описать процедуру вычисления центра масс намотки.

Вывод преобразования Фурье

В самом начале рассмотрения мы отобразили исходный сигнал на комплексную плоскость. Такой выбор не случаен – это позволяет рассматривать точки на плоскости как комплексные числа и использовать формулу Эйлера для описания намотки:

eiφ=cos(φ)+i·sin(φ).

Геометрически это соотношение означает, что при любом φ точка eiφ на комплексной плоскости лежит на единичной окружности.

Построим радиус-вектор eiφ при разных значениях φ.

При изменении φ на вектор проходит полный оборот против часовой стрелки, так как – длина единичной окружности. Чтобы задать скорость вращения вектора, показатель степени домножаем на ft, а для смены направления вращения – на -1.

Тогда намотка сигнала g(t) описывается как g(t)e-2πift.

Теперь вычисляем центр масс. Для этого отметим N произвольных точек на графике намотки и вычислим

Если мы будем увеличивать количество рассматриваемых точек, придём к предельному случаю:

где t1 и t2 – границы интервала, на котором рассматривается сигнал.

Выражение перед интегралом представляет собой масштабирующий коэффициент, но не отражает поведение центра масс. Потому его можно отбросить.

Полученное выражение и будет являться преобразованием Фурье с той разницей, что в общем виде интегрирование задаётся на интервале от -∞ до +∞.

Такой переход к бесконечному интервалу означает, что мы не накладываем никаких ограничений на длительность рассматриваемого сигнала.

Применение преобразования Фурье для фильтрации

Теперь, говоря о преобразовании Фурье, вы можете представлять его геометрическую интерпретацию – намотку сигнала на комплексную плоскость и вычисление центр масс.

При этом частота намотки f становится входным параметром для изображения по Фурье. Центр масс выступает оценкой, насколько хорошо соотносится (коррелирует) параметр f с присутствующими в сигнале частотами.

После того, как вы найдёте в принесённой другом записи все частотные компоненты, вам останется только вычесть их из изображения и применить обратное преобразование Фурье.

Источник: https://proglib.io/p/fourier-transform/

ФУРЬЕ́-О́ПТИКА

Пространственное преобразование Фурье

Авторы: Г. Р. Локшин

ФУРЬЕ́-О́ПТИКА, раз­дел оп­ти­ки, в ко­тором за­ко­ны пре­об­ра­зо­ва­ния све­то­вых по­лей оп­тич. сис­те­ма­ми ис­сле­ду­ют­ся с по­мо­щью фу­рье-ана­ли­за (спек­траль­но­го раз­ло­же­ния) и тео­рии ли­ней­ной фильт­ра­ции.

Общ­ность ме­то­дов ис­сле­до­ва­ния сис­тем, слу­жа­щих для пре­об­ра­зо­ва­ния сиг­на­лов (вре­мен­ны́х фильт­ров), и оп­тич.

сис­тем, слу­жа­щих для пре­об­ра­зо­ва­ния све­то­вых по­лей (про­стран­ст­вен­ных фильт­ров), обу­слов­ле­на общ­но­стью за­ко­но­мер­но­стей, управ­ляю­щих про­цес­са­ми в сис­те­мах ра­дио­элек­тро­ники и оп­ти­ки, общ­но­стью, за­ло­жен­ной в уни­вер­саль­но­сти урав­не­ний Мак­свел­ла элек­тро­ди­на­ми­ки. Это по­зво­ля­ет удоб­но и про­сто опи­сы­вать их по­ве­де­ние еди­ным об­ра­зом, ис­поль­зуя уни­вер­саль­ный ап­па­рат тео­рии ли­ней­ной фильт­ра­ции и Фу­рье пре­об­ра­зо­ва­ния.

В Ф.-о. ис­сле­ду­ет­ся про­стран­ст­вен­ная струк­ту­ра вол­ны, опи­сы­вае­мая для гар­мо­нич. волн фик­си­ро­ван­ной час­то­ты ком­плекс­ной ам­пли­ту­дой, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет рас­пре­де­ле­ние ам­пли­туд и фаз ко­ле­ба­ний и яв­ля­ет­ся вход­ным и вы­ход­ным сиг­на­лом ко­ге­рент­ной оп­тич.

сис­те­мы. Та­кая сис­те­ма рас­смат­ри­ва­ет­ся как про­стран­ст­вен­ный фильтр, пре­об­ра­зую­щий вход­ной сиг­нал [ком­плекс­ную ам­пли­ту­ду вол­ны $f(x,y)$ во вход­ной плос­ко­сти оп­тич. сис­те­мы] в вы­ход­ной сиг­нал [ком­плекс­ную ам­пли­ту­ду вол­ны $g(x,y)$ в вы­ход­ной плос­ко­сти оп­тич.

сис­те­мы].

Ана­ло­гом дель­та-им­пуль­са (опи­сы­вае­мо­го дель­та-функ­ци­ей), воз­бу­ж­даю­ще­го ко­ле­ба­ния в ли­ней­ном вре­менно́м фильт­ре, в за­да­чах про­стран­ст­вен­ной фильт­ра­ции яв­ля­ет­ся то­чеч­ный ис­точ­ник све­та, рас­по­ло­жен­ный во вход­ной плос­ко­сти.

При этом в вы­ход­ной плос­ко­сти воз­ни­ка­ет све­то­вое по­ле с ком­плекс­ной ам­пли­ту­дой $h(x,y)$, яв­ляю­щее­ся функ­ци­ей ко­ор­ди­нат в вы­ход­ной плос­ко­сти. Это по­ле на­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей рас­сея­ния точ­ки.

Ес­ли сдвиг то­чеч­но­го ис­точ­ни­ка по вход­ной плос­ко­сти при­во­дит лишь к сдви­гу функ­ции рас­сея­ния в вы­ход­ной плос­ко­сти, то та­кой про­стран­ст­вен­ный фильтр на­зы­ва­ет­ся ин­ва­ри­ант­ным.

За­да­ча про­стран­ст­вен­ной фильт­ра­ции – на­хо­ж­де­ние ком­плекс­ной ам­пли­ту­ды вол­ны в вы­ход­ной плос­ко­сти по за­дан­но­му по­лю во вход­ной плос­ко­сти – ре­ша­ет­ся с по­мо­щью ин­те­гра­ла су­пер­по­зи­ции. Ин­ва­ри­ант­ность ли­ней­ных фильт­ров по­зво­ля­ет пе­рей­ти к спек­траль­но­му опи­са­нию.

Связь ме­ж­ду спек­тра­ми (фу­рье-пре­об­ра­зо­ва­ния­ми) вход­но­го $F(u,v)$ и вы­ход­но­го $G(u,v)$ сиг­на­лов мож­но за­пи­сать в ви­де $$G(u,v)=F(u,v)-H(u,v)\tag{1},$$ где $H(u,v)$ – час­тот­ная ха­рак­те­ри­сти­ка про­стран­ст­вен­но­го фильт­ра – фу­рье-пре­об­ра­зо­ва­ние функ­ции рас­сея­ния точ­ки.

Од­но из важ­ней­ших пре­иму­ществ спек­траль­но­го под­хо­да – про­сто­та опе­ра­ции, свя­зы­ваю­щей спек­тры сиг­на­лов на вхо­де и вы­хо­де фильт­ра.

Пред­став­ле­ние ком­плекс­ной ам­пли­ту­ды вол­ны в ви­де дву­мер­но­го ин­те­гра­ла Фу­рье $$\iint F(u,v)\exp[i(ux+vy)]dudv\tag{2}$$ есть пред­став­ле­ние про­из­воль­ной вол­ны, за­дан­ной в не­ко­то­рой плос­ко­сти, в ви­де су­пер­по­зи­ции пло­ских волн. Пло­ская вол­на $\exp[i(ux+vy)]$ в за­да­чах про­стран­ст­вен­ной фильт­ра­ции яв­ля­ет­ся ана­ло­гом гар­мо­нич. ко­ле­ба­ния $\exp(iωt)$ с час­то­той $ω$ в за­да­чах вре­менно́й фильт­ра­ции. По­это­му па­ру чи­сел $u,v$ на­зы­ва­ют про­стран­ст­вен­ны­ми час­то­та­ми (при­чём па­ра­мет­ры $u,v$ име­ют смысл про­ек­ции вол­но­во­го век­то­ра пло­ской вол­ны на оси $x,y$).

Про­стран­ст­вен­ная мо­ду­ля­ция осу­ще­ст­в­ля­ет­ся в оп­ти­ке с по­мо­щью тон­ких пла­сти­нок – транс­па­ран­тов. В об­щем слу­чае с по­мо­щью транс­па­ран­та осу­ще­ст­в­ля­ет­ся как ам­пли­туд­ная, так и фа­зо­вая про­стран­ст­вен­ная мо­ду­ля­ция.

Функ­ция, оп­ре­де­ляю­щая ха­рак­тер про­стран­ст­вен­ной мо­ду­ля­ции и свя­зы­ваю­щая ком­плекс­ную ам­пли­ту­ду вол­ны на вхо­де и вы­хо­де транс­па­ран­та, на­зы­ва­ет­ся функ­ци­ей про­пус­ка­ния (или мо­ду­ля­ци­он­ной ха­рак­те­ри­сти­кой) транс­па­ран­та.

Для осу­ще­ст­в­ле­ния про­стран­ст­вен­ной мо­ду­ля­ции в оп­ти­ке ис­поль­зу­ют разл. ви­да мас­ки, пла­стин­ки, ам­пли­туд­ные и фа­зо­вые ре­шёт­ки.

В оп­ти­ке про­стран­ст­вен­ное спек­траль­ное раз­ло­же­ние тес­но свя­за­но со свой­ст­вом лин­зы фо­ку­си­ро­вать па­рал­лель­ный пу­чок све­та: па­даю­щая на лин­зу пло­ская вол­на фо­ку­си­ру­ет­ся лин­зой в точ­ку фо­каль­ной плос­ко­сти.

Про­из­воль­ная вол­на мо­жет быть пред­став­ле­на, со­глас­но (2), су­пер­по­зи­ци­ей пло­ских волн раз­ных на­прав­ле­ний (т. е. раз­ных про­стран­ст­вен­ных час­тот), и ка­ж­дая из пло­ских волн в этой су­пер­по­зи­ции фо­ку­си­ру­ет­ся лин­зой в свою оп­ре­де­лён­ную точ­ку фо­каль­ной плос­ко­сти. Т. о.

, све­то­вое по­ле фо­каль­ной плос­ко­сти лин­зы пред­став­ля­ет со­бой про­стран­ст­вен­ное спек­траль­ное раз­ло­же­ние вол­ны, па­даю­щей на лин­зу.

Фор­ми­ро­ва­ние изо­бра­же­ния, со­глас­но тео­рии Аб­бе, – двух­этап­ный про­цесс. Пер­вый этап (пер­вая «ди­фрак­ция») – это рас­про­стра­не­ние све­та от вход­ной плос­ко­сти до плос­ко­сти, где фор­ми­ру­ет­ся про­стран­ст­вен­ный спектр пред­мет­ной вол­ны (фу­рье-плос­кость). На этом эта­пе лин­за осу­ще­ст­в­ля­ет пер­вое про­стран­ст­вен­ное фу­рье-пре­об­ра­зо­ва­ние.

Вто­рой этап (вто­рая «ди­фрак­ция») – рас­про­стра­не­ние све­та от фу­рье-плос­ко­сти до плос­ко­сти изо­бра­же­ния. На этом эта­пе осу­ще­ст­в­ля­ет­ся ещё од­но фу­рье-пре­об­ра­зо­ва­ние. В ре­зуль­та­те двух по­сле­до­ва­тель­ных фу­рье-пре­об­ра­зо­ва­ний воз­ни­ка­ет пе­ре­вёр­ну­тое изо­бра­же­ние – по­ле, то­ж­де­ст­вен­ное, с точ­но­стью до ин­вер­сии, пред­мет­но­му по­лю.

По­ме­щая в фу­рье-плос­кость разл. мас­ки-транс­па­ран­ты, мож­но не­по­сред­ст­вен­но вли­ять на про­стран­ст­вен­ный спектр изо­бра­же­ния. Ме­тод управ­ле­ния час­тот­ной ха­рак­те­ри­сти­кой оп­тич.

сис­те­мы с по­мо­щью транс­па­ран­тов, ус­та­нав­ли­вае­мых в фу­рье-плос­ко­сти, на­зы­ва­ет­ся кор­ре­ля­ци­он­ной фильт­ра­ци­ей. С по­мо­щью это­го ме­то­да ре­ша­ют­ся разл. за­да­чи, та­кие как улуч­ше­ние раз­ре­шаю­щей спо­соб­но­сти, уст­ра­не­ние про­стран­ст­вен­но-пе­рио­дич.

шу­ма в изо­бра­же­нии, апо­сте­ри­ор­ная об­ра­бот­ка изо­бра­же­ния, осу­ще­ст­в­ле­ние ря­да ма­те­ма­тич. пре­об­ра­зо­ва­ний.

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/4726474

Booksm
Добавить комментарий