Проблемы математической физики

Проблемы математической физики

Проблемы математической физики

Определение 1

Математическая физика – это наука, которая изучает математические модели физических явлений.

Данные методы начали формироваться в 18 веке при изучении колебаний стержней и струны, гидродинамики, задач акустики, аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, П. Лаплас, Д. Бернулли).

Идеи математической физики развивались в XIX веке в связи с возникшими задачами в изучении диффузии, теплопроводности, оптики, упругости, нелинейных волновых процессов, электродинамики, теории устойчивости движения (С. Пуассон, Ж. Фурье, О. Коши, К. Гаусс, П. Дирихле, М. В.

Остроградский, С. В. Ковалевская, Б. Риман, А. М. Ляпунов, Д. Стокс, Д. Гильберт, В. А. Стеклов).

Замечание 1

Стоит отметить, что новый этап математической физики начинается в двадцатом веке, когда в нее включаются задачи квантовой физики, теории относительности, новые проблемы кинетических уравнений, газовой динамики, физики плазмы, теории ядерных реакторов (Н.Н. Боголюбов, А. Эйнштейн, П. Дирак, П. Маслов, В. С. Владимиров).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Основные классы задач

Задачи классической математической физики зачастую сводятся к краевым задачам для интегро-дифференциальных или дифференциальных уравнений — уравнений математической физики, которые вместе с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют модели рассматриваемых физических процессов.

Основными классами таких задач являются:

  • гиперболические,
  • эллиптические;
  • задача Коши;
  • параболические задачи.

Среди постановок перечисленных задач различают обобщенные и классические постановки. Очень важная концепция обобщенных решений и обобщенных постановок задач базируется на точки зрения обобщенной производной с использование пространств Сергея Львовича Соболева.

Математическим средствам исследования задач математической физики служат теория интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, теория функциональных пространств и функций, вычислительная математика и приближенные методы, функциональный анализ.

Проблемы формирования основ математической физики в школе

Общеизвестно, что математика — язык всех точных наук.

Поэтому проблема повышения уровня профессиональной подготовки будущего инженера тесно связана с повышением уровня его математического образования, с фундаментальной математической подготовкой.

Нынешнему студенту требуется не только необходимая сумма знаний, но и умение применять аппарат современной математики в своей профессии, чтобы впоследствии он мог с успехом решать новые задачи, возникающие в процессе инженерной деятельности.

Ясно, что для решения этих проблем осуществление идеи непрерывной математической подготовки студента на протяжении всех лет обучения в вузе является весьма актуальным.

На первых порах дело обстоит благополучно: преподаватели математических кафедр ведут эту работу, начиная с подготовки абитуриентов в 10 — 11 классах школ (профильные инженерные классы) и на подготовительных курсах, далее на первом и втором курсах вуза.

Там изучены основы таких предметов, как: векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления, теория вероятностей и математическая статистика.

Изучение математической физики в вузах

Курс высшей математики заканчивается и часто вместе с ним заканчивается и математическая подготовка студентов.

В то время как непрерывная математическая подготовка — это не только изучение основ, но и применение математических методов (давно известных и новых) в специальных дисциплинах, а в идеале — на протяжении всей профессиональной деятельности выпускника (но выражению Д. Писарева, «только самообразование есть истинное образование»).

Часто преподавателям математики приходится выслушивать сетования педагогов, ведущих специальные предметы инженерного цикла, о том какая недостаточная математическая подготовка у студентов, почему они не знают тензорного исчисления, не владеют свободно теорией конформных отображений и т. п. При этом никто из них не интересуется, есть ли в учебном плане по математике для данной специальности подобные разделы? Выделены ли на них учебные часы?

Задача преподавателя математики в вузе заключается в том, чтобы студент осознанно и полно усвоил математические алгоритмы, методы и применял их к решению типовых задач.

Решаются посильные прикладные задачи таким образом:

  1. Изменяется содержание программы по высшей математике для специальности «Прикладная механика» с учетом изучения курса «Математическая физика». Так, темы «Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами», «Ряды Фурье» переносятся в курс «Математическая физика».
  2. Изучение курса математической физики сопровождается систематическими повторениями нужных тем высшей математики, выдаются индивидуальные задания (например, «Приведение дифференциального уравнения второго порядка к каноническому виду», «Разложение функций в ряд Фурье»).
  3. В курс математической физики включаются главы, посвященные спец функциям и их применению к уравнениям математической физики.
  4. В конце курса математической физики обзором даются «Основы теории функций комплексного переменного» с выходом на решение задач по специальным дисциплинам.

Таким образом ведется математическая подготовка абитуриентов, студентов к изучению курса математической физики, далее повторяются и применяются математические методы к самому курсу математической физики, а в конце перекидывается своеобразный «математический мостик», связывающий чистую математику и специальные дисциплины.

Но жизнь показывает, что для непрерывной математической подготовки этого недостаточно, поэтому профилирующие кафедры должны вести эту работу дальше сами или в сотрудничестве с математическими кафедрами.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/matematicheskaya_fizika/problemy_matematicheskoy_fiziki/

Предпосылки возникновения и история математической физики как науки

Проблемы математической физики

Статья посвящена становлению математической физики как науки, а также предпосылкам её возникновения. Математическая физика занимается построением и исследованием математических моделей физических явлений. Интересно то, что далёким предком этой науки была мифология различных народов и культур. В статье также упоминаются имена учёных, внесших свой вклад в развитие данной науки.

Математическая физика представляет собой  теорию математических моделей физических явлений. Данная наука входит в математические так как математическое доказательство у нее является критерием истинности . Но от других математических наук описываемая все же отличается.

Отличие состоит в том, что ее задачами являются физические задачи, решаемые с помощью математических методов. Окончательные результаты таких задач носят физическую интерпретацию и выдаются в виде теорем, таблиц или графиков.

Основываясь на подобном понимании такой науки, как математическая физика, в нее необходимо включить такие разделы механики, как теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости. В качестве самостоятельной науки математическая физика выступила приблизительно в конце восемнадцатого века.

Известному французскому математиком Пуанкаре, изучавшемудостаточно долго проблемы теоретической физики, принадлежит следующее высказывание: «Математическая физика, как мы знаем, произошла от небесной механики, которая произвела ее на свет в конце 18 века в ту пору, когда она только что достигла полного развития».

Из этого следует сделать о «механическом» происхождении математической физики, которое еще долгое время оказывало на нее существенное влияние. Согласно общему определению, математическая физика является наукой о построении и анализе математических моделей физических явлений. Интересно то, что способы изучения природных явлений с помощью определенных моделей появились очень давно.

Еще задолго до возникновения математической физики такие явления люди пытались объяснить с помощью мифологии. Именно мифы имели функции – выступать в качестве моделей для объяснения необъяснимых в то время явлений. Известный даже детям романтический миф о похищении дочери богини плодородия Деметры Персефоны повествовал о смене времен года: «…

каждый год покидает свою мать Персефона и каждый раз Деметра погружается в печаль и снова облекается в темные одежды. Вся природа горюет об ушедшей: желтеют на деревьях листья…». Согласно мифам различные природные явления происходят в зависимости от поведения богов. Боги – это существа, которые выступают в качестве составляющих модели.

Мотивы их поступков в основном человеческие: любовь, ненависть, месть, стремление помочь одним и навредить другим. Подобные мотивы в мифах выступают в качестве «модельных аксиом», которым не требуются никакие объяснения. В мифологии наблюдаемые явления объясняются именно деятельностью богов.

На основании принятой модели явлений, люди строили свой образ жизни и стремились оказывать влияние на природу — они молились, устраивали жертвоприношение, накладывали на себя какие-нибудь обеты. В дальнейшем начали возникать попытки научного обоснования природных явлений. Труды на эту тему принадлежали таким ученым, как Фалес, Анаксимен, Гераклит и Демокрит.

Согласно историческим сведениям, самые ранние попытки такого рода были предприняты древнегреческим философом Аристотелем, который жил в 384-322 гг. до н.э. Аристотель привел  ряд постулатов, с помощью которых попытался объяснить некоторые природные явления.

Кое-что в этих постулатах соответствовало повседневному опыту, кое-что имело мистический характер и даже выглядело детской идеей по сравнению с выводами предшественников Аристотеля. В своих постулатах философ с помощью дедуктивного метода выводил следствия, которые в простейших случаях не шли в разрез с наблюдениями, доступными каждому.

Утверждения Аристотеля, которые на тот момент казались научными, на сегодняшний день известны даже дошкольнику. К примеру, это было утверждение, более тяжелые тела падают быстрее тех, которые легче по весу, и что любое тело можно сдвинуть с места, только если приложить силу.

Но, несмотря на всю наивность теорий Аристотеля, его большая заслуга состоит не в предоставлении конкретных сведений по описанию явлений природы, а в тщательном и постоянном развитии и применении дедуктивного метода, который популярен в современной науке, можно сказать, в своем первозданном виде. Аристотель не пытался описать природные явления количественно и представлял эксперимент критерием истинности теории. Это объясняется совершенной неподготовленностью науки к решению подобных задач в то время.

В более позднее время о необходимости эксперимента в изучении природных явлений говорили своих трудах многие древние мыслители: архитектор Витрувий, ученый, художник и философ Леонардо да Винчи.

Однако первым ученым, который стал систематически ставить эксперименты, был итальянский физик и философ Галилео Галилей.

Он был сторонником глубокого критического изучения и анализа результатов сделанных наблюдений, а, изучая движение тел под действием силы тяжести, он пытался количественно совместить теоретические и экспериментальные данные.

Важность метода экспериментов при изучении явлений способствовало возникновению в математической физике отдельного научного направления  – вычислительного эксперимента.

В 1687 году ученым Исааком Ньютона была выпущена работа, имевшая название «Математические начала натуральной философии». Это работа известна тем, что в ней были представлена первая удачная математическая модель простейшего физического явления (механического движения), и математическая формулировка одного из самых фундаментальных законов природы (закона всемирного тяготения).

В своих исследованиях Ньютон основывался на трудах Коперника, Кеплера, Галилея, а также на методах известных древнегреческих математиков. Исследования ученого вместе с трудами Галилео Галилея, ознаменовали начало новой эпохи в естествознании. Интересно также то, что начало этой эпохи совпало с началом регулярного и повсеместного использования математических методов в физике.

Ньютоном была применена своеобразная схема рассуждений, ставшая впоследствии образцом для работ по математической физике: математическая четкая формулировка задачи, решение этой задачи, интерпретация решения в терминах физической модели.

В этот же период, благодаря исследованиям многих ученых, вдохновленными идеями Евдокса и Архимеда возник аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Созданный ими аппарат первоначально использовался при решении задач механики, а в указанный период началось его систематическое применение в целях создания математических моделей распространения волн в упругих телах и в «эфире».

«Эфир» по мнению ученых того времени являлся гипотетической субстанцией, выступавшей в качестве переносчика взаимодействия. Также «эфир» выступал своего рода системой отсчета, распространения тепла, для решения задач электростатики, газовой динамики, механики жидкостей. Большинство известных математиков того времени были талантливыми физиками или механиками.

Самые известные из них Гаусс, Лагранж, Эйлер, Риман. Увеличение количества и повышения сложности математических моделей, характеризующих физические явления, стало основной предпосылкой к созданию науки, занимавшейся изучением этих моделей. Этой наукой и является математическая физика.

Построение практически всех физических моделей осуществлялось в то время на основе классической механике. Длительное время крепко держалось мнение, что полноценное обоснование всех явлений можно получить, сведя эти явления к механическому движению (атомов, «эфира» и пр.). В 1873 году был выпущена работа Дж. К.

Максвелла «Трактат об электричестве и магнетизме», вкоторой ученый на основе исследований Майкла Фарадея и ряде ранее известных законов взаимодействия зарядов и токов, представил математическую модель электродинамики. Это модель актуальна и на сегодняшний день. В основе модели лежат уравнения, которые сейчас так и называются – уравнения Максвелла.

Сначала этим уравнениям приписывалось описание особого рода механических движений определенной гипотетической среды («эфира»). Но впоследствии ученые пришли к выводу, что уравнения описывают некий независимый объект – электромагнитное поле. Роль уравнений Максвелла в математической физике очень велика.

Они, как и уравнения гидродинамики, долгое время были источником задач и причиной больших успехов математической физики. Множество разновидностей математических моделей физических явлений, которые происходят в твердых, жидких и газообразных веществах создаются на основании статистических гипотез о поведении молекул этих веществ.

В исследованиях на современном этапе статистический подход применяется при расчетах параметров кинетических уравнений – уравнений, описывающих макроскопические потоки частиц вещества или излучения на основе представлений о характере микроскопического взаимодействия частиц. Ученые Р. Клаузиус, Дж. К. Максвелл, Л.

Больцман в своих работах заложили основания статистического подхода к построению математических моделей физических явлений, а в 1872 году Л.Больцман систематизировал и изложил их в своей работе «Лекции по кинетической теории газов» Использование теоретико-вероятностных подходов и статистических гипотез являлось конкретно новым направлением в математической физике.

Статистические идеи в оказали серьезное влияние на подготовку мышления физиков к принятию идей квантовой теории (например, Планк во время создания квантовой гипотезы был проникнут влиянием идей Больцмана). Максимальный размах статистический подход получил в трудах Дж. Гиббса. Методы математической физики в огромной мере обязаны своим развитием талантливым русским ученым М.В.

Острогожскому, А.М. Ляпунову и В.А. Стеклову. Начало двадцатого века ознаменовывается  революцией в теоретической физике, приведшей к изменению взглядов на большинство моделей которые изучались в математической физике, а также определению более жестких границ их использования. В это же время создалисьобстоятельства, требующие более строгого подхода к основам. В 1900 году Гилберт наряду со своими знаменитыми проблемами сформулировал проблему аксиоматического построения физики. Исследования, связанные с аксиоматикой и исследованием логической структуры различных физических теорий является важным разделом современной математической физики.

В 1916 году Альберт Эйнштейн предложил уравнение теории тяготения, известное как уравнение Эйнштейна. В 1932 году Джоном фон Нейманомбыла выпущена книга «Математические начала квантовой механики», в которой описываютсярезультаты грандиозных открытийосновоположников квантовой теории.

В этой книге впервые квантовая механика была представлена как математически непротиворечивая теория. Нынешний период развития математической физики идейно взаимосвязан с  работами Гиббса, Эйнштейна, фон Неймана и Гильберта.

Современный период характеризуется широким применением идей функционального анализа, теории вероятностей, современной геометрии и топологии.

Кроме дифференциальных уравнений математической физики, в процессе изучения математических моделей физики широко используются интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. По причине стремительного развития вычислительной математики специфическое значение для изучения математических моделей физических явленийимеют прямые численные методы, подразумевающие применение компьютерных программ. К таким относятся конечноразностные методы и прочие вычислительные алгоритмы краевых задач. Применение ЭВМ дало возможность с помощью методов математической физики эффективно находить решения новых задач газовой динамики, теории переноса, физики плазмы, в том числе и обратные задачи этих важнейших направлений физических исследований.

Список литературы:

  1. Dieudonne’ J. Les determinants sur un corps noncommutatiff // Bul. Soc. Math. France. 2014. Vol. 71. P. 27–45.
  2. Владимиров В. С. Что такое математическая физика? — Препринт, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — М.: МИАН, 2016. — 20 с.  
  3. Стеклов В. А., Основные задачи математической физики, Наука, М., 2014. 284 с.

Источник: https://sibac.info/journal/student/18/86925

Booksm
Добавить комментарий