Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

Функции распределения частиц. Функция Ферми-Дирака

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

Функцией распределения в статистической теории принято называть функцию, которая в условиях термодинамического равновесия при заданной температуре Т пропорциональна вероятности того, что некоторая частица занимает определенный энергетический уровень Е.

Вид функции распределения зависит от возможного количества частиц в данном разрешенном энергетическом состоянии и от того, являются ли данные частицы различимыми. Различимость – это свойство частиц изменять физические характеристики твердого тела при перестановке частиц местами.

В классической физике частицы считаются различимыми и могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние. Распределение частиц газа по энергиям описывается с помощью функции распределения Максвелла — Больцмана:

; (2.32)

где μхимический потенциал, выражающий изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц в системе на одну при постоянной температуре и постоянном объеме системы: (фактически – работа выхода); С – постоянная, которая находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу N. Название химический потенциал, а не какой–либо другой, подчеркивает лишь то обстоятельство, что рассматриваемые частицы способны двигаться по законам механики.

В отличие от классических представлений в квантовой механике микрочастицы являются неразличимыми. Микрочастицы подразделяются на 2 группы: бозоны и фермионы.

Бозоны могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние, причем тем легче, чем больше их в этом состоянии находится. Фермионы подчиняются запрету Паули.

Это значит, что одно квантовое состояние может быть занято не более чем одним фермионом.

К бозонам относятся: фотоны, фононы, пионы, а к фермионамэлектроны, протоны, нейтроны.

Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

(2.33)

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии, поэтому химический потенциал бозонов равен нулю. Отсюда следует

(2.33А)

Распределение фермионов по энергетическим уровням описывается с помощью функции Ферми-Дирака:

(2.34)

где k – постоянная Больцмана, Т – температура, EF – энергия Ферми или электрохимический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц на одну единицу.

В случае, когда частицами, составляющими статистическую систему, являются электроны, которые помимо массы обладают еще и электрическим зарядом, изменение энергии возможно за счет изменения заряда.

Электрохимический потенциал, который представляет собой алгебраическую сумму химического и электростатического потенциалов, то есть равен (EF=μ-qj), где j — электростатический потенциал, и отражает это. Обычно его отождествляют с уровнем (энергией) Ферми.

Можно показать, что в условиях термодинамического равновесия энергия Ферми оказывается постоянной в любой системе контактирующих тел. Поэтому необходимым условием равновесия системы можно считать постоянство уровня Ферми.

Характерно, что вид функции Ферми-Дирака не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Графическое изображение функции распределения Ферми-Дирака представлено на рис. 2.4.

Основные свойства функции Ферми-Дирака.

1. , т.е. уровень Ферми занят с вероятностью 0,5 (всегда!).

То есть уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля равна 0.5.

2. К. Тогда:для и для ,

т.е. при температуре К все разрешенные состояния ниже уровня Ферми заняты, а все выше него – полностью свободны. Это отличается от случая классических частиц, когда при К все электроны имеют .

Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

3. Если энергия электронов значительно выше энергии Ферми, т.е. , тогда

. (2.35)

Формула (2.35) представляет собой классическое распределение Максвелла-Больцмана. Таким образом, функция Ферми-Дирака при больших энергиях переходит в распределение Максвелла-Больцмана.

4. Если энергия электрона ниже ЕF настолько, что , тогда:

, (2.36)

т.е. в области энергий, существенно меньших , разрешенные состояния заняты с вероятностью, близкой к 1.

5. В области функция изменяется очень быстро от значений, близких к 1, до нуля. Скорость изменения зависит от , и для температуры абсолютного нуля равна бесконечности (рис.2.4 в).

Функция распределения Ферми-Дирака (2.34) характеризует вероятность заполнения данного состояния электроном. Вероятность того, что в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

(2.37)

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электрона.

(а) (б)
(в)
Рис. 2.4. Распределение Ферми-Дирака.

При Т>0 часть электронов за счет теплового движения смогут перейти в состояние с E>EF. Число частиц, перешедших на более высокие уровни, равно количеству образовавшихся свободных состояний в области Е>, выражение для F(E) принимает вид:

, (2.38)

то есть совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам.

Если распределение носителей заряда по энергиям в полупроводнике подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называют невырожденными.

Невырожденными являются такие полупроводники, у которых уровень Ферми расположен внутри запрещенной зоны на расстоянии более нескольких kT от границы с разрешенной зоной.

2.3.Степень заполнения примесных уровней

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь в концентрации Nd. Донор, удерживающий электрон, электрически нейтрален.

Это соответствует, например, случаю, когда один из узлов кристаллической решетки кремния занят атомом мышьяка.

При этом пятый валентный электрон атома донорной примеси не принимает участия в ковалентной связи и ему соответствует энер­гетический уровень, расположенный ниже дна зоны проводимости на величину Еd (рис. 2.5 а).

Поскольку у донорной примеси имеется только один электрон, который может принимать участие в проводимости, то полное число состояний для донорной примеси должно быть равно количеству атомов введенной примеси на единицу объема кристалла, т. е. равно Nd.

  Рис. 2.5. Электронный (а) и акцепторный (б) полупроводники.

Предположим, что концентрация электронов, находящихся на уровне донорной примеси, равна пd. В этом случае концентрация ионизованных донорных атомов рd, образовавшихся в результате тепловых переходов электронов с донорных уровней в зону прово­димости и имеющих положительный заряд, составит

рd = Nd — пd (2.39)

Если бы на примесном донорном уровне согласно принципу Паули могли расположиться два электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы функцией Ферми—Дирака (2.34), в которой вместо Е следовало поставить Еd — энергию электрона на уровне примеси.

Но на уровне Еd может быть только один электрон, который может быть захвачен в зону проводимости двояким образом в зависимости от направления спина. Следовательно, нейтральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по сравнению с ионизованным состоянием.

Так как при отсутствии электрона на уровне донорной примеси вероят­ность такого состояния равна 1, то, исходя из принципа Больцмана, можно написать:

(2.40)

Используя (2.39), это равенство можно записать в виде

(2.41)

откуда следует,что концентрация электронов, находящихсянауровнях донорной примеси, равна:

, (2.42)

Где g – фактор спинового вырождения (физический смысл – число квантовых состояний с одной и той же энергией).

а концентрация положительных ионов донорной примеси на осно­вании равенств (2.40) и (2.42) будет выражаться соотношением вида:

(2.43)

Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией Еd будет определяться выражением:

, (2.44)

а функция распределения для положительных ионов донорной примеси на основании и (2.43) будет:

(2.45)

Таким образом, для одновалентной донорной примеси, для которой примесный уровень двукратно вырожден, фактор (сте­пень) спинового вырождения g = 2.

Рассмотрим теперь акцепторный полупроводник, например кремний, легированный бором. Допустим, что концентрация введенной примеси равна Na. Энергетическая схема такого полупроводника Представлена на рис. 2.5 б.

Нейтральный атом бора с соседними атомами кремния образует три ковалентные связи, четвертая связь одного из четырех соседних атомов кремния остается незавершенной, и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как положительная дырка. В эту незавершен­ную связь может перейти электрон от соседнего атома кремния, и для этого потребуется энергия, равная Еа.

В результате образуется свободная дырка, а атом бора превращается в отрицательно заря­женный ион бора.

Таким образом, на энергетическом уровне акцеп­торной примеси находится один электрон с произвольным направ­лением спина (нейтральное состояние акцепторной примеси) либо имеется два электрона с антипараллельными спинами в случае, когда атом акцепторной примеси для укомплектования парной связи захватывает электрон из валентной зоны (ионизованное состояние акцепторной примеси). Следовательно, степень вырождения акцеп­торного уровня g = 2. Поэтому концентрация электронов na на уровнях акцепторной примеси (или концентрация отрицательных ионов) при данной температуре будет определяться соотношением вида

(2.46)

а концентрация дырок на акцепторной примеси ра соответственно будет равна:

(2.46а)

Источник: https://studopedia.su/9_76635_funktsii-raspredeleniya-chastits-funktsiya-fermi-diraka.html

Foet_3

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

          3.1. Статистическое описание коллектива частиц.

Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны

          Согласно результатам зонной теории твердых тел электроны в кристаллах удобно рассматривать как свободные частицы, эффективная масса которых отличается от массы свободного электрона.

В полупроводниках, кроме электронов, носителями заряда являются и положительно заряженные частицы — дырки. Таким образом, в явлениях, в которых основную роль играют эти частицы (электропроводность, теплопроводность, взаимодействие со светом и т.д.

) твердое тело можно рассматривать как газ электронов и дырок.

          Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа.

Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям.

Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.

          Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в заданном интервале.

Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям, которую обозначают обычно f(E).

Если dZ — число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE, а dN — число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению

                                                                                 (3.1)

          Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами.

          Для молекул идеального газа f(E) известна как функция распределения Максвелла-Больцмана:

                                                                         (3.2)

где С — параметр, не зависящий от энергии; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.

          Формулу (3.2) называют часто также каноническим распределением или распределением Гиббса. Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений:

          1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.

          2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).

          3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.

          Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов.

Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины.

Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах.

          В отличие от классической статистики Максвелла-Больцмана квантовая статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц. Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию.

Для электронов и всех частиц с полуцелым спином необходимо учитывать также принцип Паули. Согласно этому принципу в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Такие частицы называются фермионами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака.

Иной квантовой статистикой описываются частицы с нулевым и целым спином. Эти частицы не подчиняются принципу Паули и в одном состоянии их может бытьсколько угодно. Такие частицы называются бозонами, квантовая статистика, которая описывает их распределение по энергиям, — статистикой Бозе-Эйнштейна.

Сравнение этих трех статистик приведено на рис. 3.1 на примере распределения двух частиц по трем состояниям. Различные состояния частиц на этом рисунке изображены клетками.

          Все возможные способы распределения двух частиц, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана, по трем состояниям показаны на рис. 3.1,а. Поскольку частицы в этой статистике различимы, они обозначены разным цветом.

Всего возможно девять микросостояний, математическая вероятность каждого из них равна 1/9. В квантовых статистиках Бозе-Эйнштейна и  Ферми-Дирака микросостояния 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 принципиально неразличимы и каждая пара таких состояний должна  рассматриваться как одно микросостояние.

Для бозонов число возможных микросостояний равно 6  (рис. 3.1,б), а вероятность каждого из них — 1/6. Для фермионов микросостояния, в которых в каждом состоянии находятся по две частицы, реализоваться не могут.

Остаются в статистике Ферми-Дирака только три возможных микросостояния, изображенные на рис. 3.1,в. Вероятность каждого из них равна 1/3.

Рис. 3.1. Сравнение различных статистик на примере распределения двух частиц по трем состояниям:а — статистика Максвелла-Больцмана; б — статистика Бозе-Эйнштейна;в — статистика Ферми-Дирака

          Статистике Бозе-Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид

                                                                   (3.3)

Здесь ЕВ — химический потенциал системы бозонов.

          Если полное число частиц не фиксировано, а должно определяться из условия термодинамического равновесия, как это имеет место для фотонов при излучении абсолютно черного тела, или фононов в кристалле, химический потенциал равен нулю. В этом случае формула (3.3) совпадает с формулой Планка, определяющей среднее число фотонов в данном типе колебаний теплового излучения абсолютно черного тела.

3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми.

Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

          Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:

                                  ,                                      (3.4)

здесь EF — химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина EF называется энергией Ферми.

          Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (3.

4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю.

Это значит, что все энергетические состояния с Е > EF совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е 0K

Рис. 3.2. Функция распределения Ферми-Дирака (а) и распределение электронов в зоне проводимости металла при Т=0К (б)

          При условии

                                                                                  (3.5)

экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду

                       (3.6)

Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.

               Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна

                               (3.7)

Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда.

               Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным. Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называются невырожденными.

3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок

          Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению

                                                                                       (3.8)

Здесь, как и раньше, dZ — число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE. Функцию g(E) вычислим для кубического кристалла со стороной L. Энергия электрона у дна зоны проводимости приближенно может быть представлена в виде

                                                  (3.9)     

здесь энергия дна зоны проводимости,  — эффективная масса электрона у дна зоны проводимости, k — квазиимпульс электрона, — его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:

  Каждому набору чисел nx, ny, nz отвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , где V — объем кристалла.

Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусом k, соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностями k = const и k+dk = const. Объем этого слоя составляет .

Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:

                                       .                                          (3.10)

Согласно (3.9)

Подставляя значения k2 и dk в формулу (3.10), получим

.

Учитывая (3.8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:

                                                                  (3.11)

          Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:

                                                                                (3.12)

где Ev — энергия потолка валентной зоны, — эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:

                                                                  (3.13)

          Следует подчеркнуть, что формулы (3.11) и (3.13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 3.4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Рис. 3.4. Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зонеПлощадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий dE

3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике.

Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок

          Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN,  находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (3.1) определяется выражением

.

Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим

                                   .                                        (3.14)

Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (3.14) в пределах зоны

                            ,                                           (3.15)

здесь Еп — энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности.

Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E)n0 · p0, то . Это условие соответствует инжекции (вбрасыванию) избыточных носителей.

Если np< n0 p0 , то говорят об экстракции (обеднении) носителей.

          Неравновесные носители играют важную роль в работе полупроводниковых приборов.

Источник: http://sibsauktf.ru/courses/foet/Foet_3.htm

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

Согласно закону квантовой механики, который установил В. Паули: Если мы имеем систему, которая содержит множество электронов, в стационарном состоянии, которое определено четырьмя квантовыми числами (главное — n, орбитальное — l, магнитное — m, спиновое — $m_s$), не может быть больше одного электрона.

Этот принцип является следствием того, что тождественные частицы в микромере невозможно отличить друг от друга, так как они имеют одинаковую массу, заряд и абсолютную величину спина. Если два электрона поменять местами, атом своего состояния не изменит.

Кроме электронов принципу Паули подчиняются другие частицы, спин которых равен $\frac{\hbar }{2}$.

Для системы из электронов в атоме закон Паули записывается как:

где $Z_1\left(n,l,m,m_s\right)$ — количество электронов, состояние которых описано набором квантовых чисел $n,l,m,m_s$.

Электроны в атоме, имеющие состояния с равными значениями главного квантового числа (n) составляют электронный слой. Различают такие электронные слои как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Из принципа Паули следует, что максимальное количество электронов $(Z(n)),$ которые находятся в состояниях, которые определяет значение n, может быть найдено при использовании выражения:

В слое электроны распределяются по оболочкам. Оболочка соответствует определенному значению орбитального квантового числа $\left(l\right).$

Принцип Паули играет существенную роль в развитии атомной и ядерной физики. На его основе строится современная теория твердого тела. На основе принципа Паули была обоснована периодическая система Д.И. Менделеева.

Статистика Ферми-Дирака

В отличии от классической квантовая статистика учитывает, что частицы совершают финитные движения в силовом поле находятся в определенных квантовых состояниях. Этим состояниям соответствуют некоторые значения энергии (энергетические уровни системы). В случае финитных движений энергетические уровни дискретны (отделены друг от друга конечными интервалами).

Электронный газ, с помощью которого описывают проводимость веществ, подчиняют статистике Ферми — Дирака. Сама статистика учитывает принцип Паули. Выполнение этого принципа значит, что между свободными электронами существует взаимодействие, следовательно, нельзя считать электроны абсолютно независимыми. Но, надо отметить, что это взаимодействие не силовое, а исключительно квантовое.

Распределение электронов по энергиям описывается функцией Ферми — Дирака:

\[f\left(E,T\right)={\left\{1+exp\frac{E-E_F}{kT}\right\}}{-1}\left(4\right),\]

где $E$ — энергия электрона, $E_F$- энергия Ферми (или иногда ее обозначают $\mu $). $E_F$ — энергия при которой функция Ферми Дирака равна $\frac{1}{2}$.

Функция Ферми — Дирака сколько электронов в среднем приходится на одно квантовое состояние с энергией E. Для металлов энергия Ферми является максимальной энергией электрона в зоне проводимости при T=0K.

Это положение является достаточно точным для большинства металлов вплоть до температуры их плавления.

Энергия Ферми используется для определения статистических свойств электронов в диэлектриках и полупроводниках.

Импульс электрона (p) связан с его кинетической энергией выражением:

\[E=\frac{p2}{2m_e}\left(5\right),\]

где $m_e$ — масса электрона. Тогда количество квантовых состояний с импульсами от 0 до p может быть представлено выражением:

\[Z=\frac{8\pi }{3h3}p3\left(6\right).\]

Число квантовых состояний, в которых импульс принимает значения от $p\ до\ p+dp$ равно:

\[dZ=\frac{8\pi }{h3}p2dp\left(7\right),\]

а с кинической энергией от E до E+dE:

\[dZ=\frac{4\pi }{h3}{\left(2m\right)}{\frac{3}{2}}E{\frac{1}{2}}dE\left(8\right).\]

Полупроводники

К полупроводникам относят большое количество неорганических веществ. Качественным различием между металлами и полупроводниками является зависимость их сопротивления от температуры. С уменьшением температуры проводимость металлов растет, тогда как полупроводников, наоборот.

При высоких температурах проводимость полупроводников приближается к проводимости металлов, а около абсолютного нуля полупроводник становится изолятором.

Такая зависимость проводимости от температуры объяснятся тем, что концентрация носителей тока в металлах от температуры почти не зависит, в а полупроводниках носители тока появляются в результате теплового движения.

В полупроводниках, как и диэлектриках, валентная зона целиком занята электронами, а зона проводимости свободна. Эти зоны разделены запрещенной зоной конечной ширины. В полупроводниках ширина запрещенной зоны меньше, чем в диэлектриках.

В том случае, если температура вещества отлична от абсолютного нуля, электрон может получить каким — либо образом энергию порядка kT и перейти в зону проводимости. Так же как в металлах, в полупроводниках проводимость создается электронами, находящимися в зоне проводимости.

Но у полупроводников существует и другой способ проводить ток. После того, как электрон ушел из валентной зоны, в этой зоне остается незаполненное состояние, которое называют дыркой. Другой электрон в валентной зоне может перейти в это вакантное состояние. Так образуется новая дырка.

Так вместе с движением электрона происходит движение дырки, но в обратном направлении.

https://www.youtube.com/watch?v=On2Bxm7Pkzw

Проводимость полупроводников сильно увеличивается с повышением температуры благодаря усилению теплового движения электронов. При наличии примесей, также увеличивается вероятность переходов электронов с примесных уровней в зону проводимости.

Пример 1

Задание: Используя принцип Паули, найдите максимальное количество электронов (Z) в атоме, имеющих заданные значения трех квантовых чисел ($Z_2\left(n,l,m\right)$), двух квантовых чисел ($Z_3\left(n,l\right)$) и одного квантового числа $Z\left(n\right).$

Решение:

Определим максимальное число электронов $Z_2\left(n,l,m\right),\ \ $состояние которых определяется набором трех квантовых чисел $n,l,m$. В данных состояниях электроны отличаются только ориентацией спинов. $m_s=\pm \frac{1}{2}$, тогда следует записать, что:

\[Z_2\left(n,l,m\right)=2\ \left(1.1\right).\]

Найдем максимальное количество электронов $Z_3\left(n,l\right).\ $Состояния электронов определяют два квантовых числа, то есть состояния отличаются набором значений магнитного квантового числа (m). Это число может принимать $2l+1$ значений. Значит, максимальное число $Z_3\left(n,l\right)$ выразится как:

\[Z_3\left(n,l\right)=2\left(2l+1\ \right)\left(1.2\right).\]

Вычислим максимальное количество электронов Z(n), которые находятся в состояниях, определяемых главным квантовым числом n. Орбитальное квантовое число изменяется (при заданном n) от n до n-1. Значит, можно найти как сумму:

\[Z\left(n\right)=\sum\limits{l=n-1}_{l=0}{Z_3\left(n,l\right)=}\sum\limits{l=n-1}_{l=0}{2\left(2l+1\ \right)=\left\{2\left(n-1\right)+2\right\}n}=2n2.\]

Ответ: $Z_2\left(n,l,m\right)=2,\ Z_3\left(n,l\right)=2\left(2l+1\ \right),Z\left(n\right)$=$2n2.$

Пример 2

Задание: Чему равна полная энергия электронного газа (W) вблизи абсолютного нуля температур (вырожденный газ), если функция Ферми — Дирака при T=0K имеет вид:

\[\left\{ \begin{array}{c}1,\ если\ E\mu . \end{array}\right.\left(2.1\right).\]

Решение:

Максимальная энергия, которую может принимать электрон $E_{max}=\mu $, соответственно импульс ($p_{max}$) равен:

\[p_{max}=\sqrt{2m_e\mu }\left(2.2\right).\]

Количество электронов в единице объема выразим как:

\[n=Z_{max}=\frac{8\pi }{3h3}{p_{max}}3=\frac{8\pi }{3h3}{\left(2m_e\mu \right)}{\frac{3}{2}}\left(2.3\right).\]

Выразим энергию Ферми ($\mu $), получим:

\[\mu =E_{max}={\left(\frac{n3h3}{8\pi }\right)}{\frac{2}{3}}\frac{1}{2m_e}=\frac{{\left(3n\right)}{\frac{2}{3}}h2}{8{m_e\pi }{\frac{2}{3}}}\left(2.4\right).\]

В таком случае полная энергия ($W$) равна:

\[W=\int{EdZ}=\frac{3n}{2}{\mu }{-\frac{3}{2}}\int\limits{\mu }_0{E{\frac{3}{2}}dE=\frac{3\mu n}{5}.}\]

Ответ: $W=\frac{3\mu n}{5}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanizmy_elektroprovodnosti/princip_pauli_statistika_fermi-diraka_poluprovodniki/

ПОИСК

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

    Для описания металлической связи как единого коллектива взаимодействующих частиц в твердом теле применяют зонную теорию кристаллов. В основу зонной теории проводимости металлов, а также других кристаллических тел (см, 5.

10) положены по существу два принципиальных вывода из квантово-мехаиических представлений энергия электронов в металле (твердом теле) может принимать только дискретные значения распределение электронов по уровням энергии подчиняется квантовой статистике Ферми — Дирака, удовлетворяющей принципу Паули. [c.122]

    Ферми-Дирака распределение (200, 203) — равновесное распределение по энергиям для частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули ( фер-мионам ). Наибольшее значение имеет для описания свойств электронного газа в металлах. [c.315]

    Соотношение (56.10) показывает связь наблюдаемого коэффициента а с функцией распределения Ферми — Дирака [см. уравнение (55.4)1. Так как функция п (е) заключена в пределах от 1 до О, то согласно [c.288]

    В статистике Ферми—Дирака распределение пропорционально выражению [c.666]

    ПО Ферми—Дираку (распределение является квантовым, антисимметричным в каждом индивидуальном квантовом состоянии не может находиться больше одной частицы) [c.75]

    Ферми и Дирак предложили статистику для частиц, подобных электронам, которые подчиняются принципу Паули и обладают спином +1/2 или —1/2. По статистике Ферми — Дирака, функция распределения электронов в электронном газе имеет вид [c.169]

Рис. 23. Распределение Ферми — Дирака при 7 = 0 и вблизи абсолютного нуля

    Таким образом, уравнение (IV,95) учитывает насыщение в ионной атмосфере по сравнению со средним насыщением в растворе. Интересно, что по форме это распределение соответствует распределению в статистике Ферми — Дирака. [c.211]

    Для неразличимых частиц, описываемых в квантовой механике антисимметричными волновыми функциями (частиц с полу-целым спином), каждую из неразличимых ячеек, принадлежащих уровню 8 , может занимать не больше одной частицы. Свойства ансамбля таких частиц описывает фуикция распределения Ферми — Дирака. [c.200]

    Другое проткЕоречис, заложенное в протон-электронной модели, можно обнаружить при рассмотрении статистики ядер изотопа N.

Макроскопические сеойстез, такие как распределение энергии по молекулам газа, описываются классической статистикой Больцмана, но для ядер и элементарных частиц оказалось необходимым ввести новый статистический подход. На основе квантовой теории были разработаны два типа статистики.

Если координаты двух идентичных частиц в системе можно взаимно переставить без изменения знака волновой функции, описывающей систему, то она подчиняется статистике Бозе—Эйнштейна.

Однако, если волновая функция антисимметрична, другими словами, если знак волновой функции меняется при перестановке координат, то система подчиняется статистике Ферми —Дирака, причем различие состоит в том, что принцип запрета Паули [c.392]

    Распределение Ферми—Дирака относится к тому случаю, когда в одной ячейке нельзя расположить две одинаковые частицы. При этом всегда Дг>М(. Тогда Pi можно определить как число способов, которыми gi ячеек можно разделить на две группы — М запятых ячеек и gi—М ) пустых ячеек, и исключить перестановки идентичных объектов — пустых и занятых ячеек  [c.201]

    Среднее число электронов с энергией в и заданной ориентацией спина при температуре Т определяется функцией распределения Ферми—Дирака (29), где — химический потенциал, который определяется из условия нормировки, т. е. из условия [c.119]

    Равновесное распределение свободных электронов при любой температуре дается функцией распределения Ферми—Дирака [см. (29)]. Когда же на электронный газ действует внешнее силовое поле, вероятность того, что данное кван- [c.133]

    Остановимся еще раз на значении принципа Паули как закона, определяющего сам факт существования молекул как устойчивых систем, состоящих из положительно и отрицательно заряженных частиц Прежде всего отметим, что правило заполнения уровней энергии в квантовой системе, подчиняющейся принципу Паули, действует не для любых отрицательных зарядов, а лишь для таких, которые обладают полуцелым спином Так что использование природой для построения молекул именно электронов не является случайным Правда, могут существовать атомы и молекулы, содержащие антиядра (антипротоны) и антюлектроны (позитроны) Это, однако, экзотика, и в обычной химии с такими обьектами не встречаются Представим себе теперь, что в пространстве в положениях, отвечающих положениям атомов в молекуле бензола, размещены соответствующие ядра или наборы кулоновских потенциальных ловушек Пусть в это пространство по одному впрыскиваются электроны Если бы они вели себя как классические частицы, не подчиняющиеся специальной квантовой статистике Ферми—Дирака и следующему из нее принципу Паули, то вполне могло бы случиться, что попавшие в ловушку атома углерода 6 электронов, даже с учетом их взаимного отталкивания, разместились бы в глубине потенциальной ямы в непосредственной близости от ядра Тогда такое образование повело бы себя как электрически нейтральное уже на малых расстояниях от центра Ловушка просто исчезла бы, и молекула не могла бы образоваться То обстоятельство, что электроны подчиняются принципу Паули и вынуждены располагаться на уровнях энергии атомов, постепенно приблЕжающихся к верхней части кулоновской потенциальной ловушкю>, приводит, во-первых, к характерному для изолированных атомов заполнению всех ловушек и, следовательно, к возникновению распределенного в пространстве всей [c.137]

    Для двух одинаковых молекул, находящихся в сосуде, существует два типа состояний, четное и нечетное, в зависимости от того, изменяет или нет знак полная волновая функция системы из двух молекул (включая ядерный спин), когда молекулы меняются местами (переставляются индексы).

В зависимости от ядерного спина разрешены (в соответствии с принципом Паули) только четные или только нечетные состояния. Четные состояния и интегралы величин 5 (статистика Бозе—Эйнштейна), а нечетные состояния и полуинтегралы величин 5 (статистика Ферми— Дирака) учитываются вместе [21, стр. 135, 172].

Кроме того, ядерно-спиновая часть полной волновой функции сама может быть четной или нечетной для спина 5 существует 5(25 + 1) нечетных и (5+1) (25+1) четных ядерно-спиновых состояний. Часть волновой функции, исключая ядерный спин, должна подтверждать это, чтобы полная волновая функция была нечетной или четной.

Например, если полная волновая функция должна быть четной, а ядерно-спиновое состояние — нечетным, то рассмотренная часть волновой функции должна быть нечетной, чтобы в результате получить четное состояние [21, стр. 135, 172].

Функцию распределения, полученную суммированием всех уровней энергии, соответствующих четному бесспиновому состоянию, обозначим через 2№(В ), а нечетному состоянию — через [c.48]

    Одновременно с Эйгеном и Викке индийские ученые Бахчи и Датта приложили к растворам статистику, подобную статистике Ферми — Дирака, и получили хорошее согласие с опытными данными.

Однако необходимо отметить, что вообще статистика Ферми — Дирака к растворам неприменима, так как здесь нет условий вырождения.

Индийские ученые получили удовлетворительные результаты только потому, что использованная ими статистика оказалась применимой лишь формально, так как на распределение влияли некоторые причины, вскрытые впоследствии Викке и Эйгеном. [c.211]

    Различие в характере распределения фермионов и бозонов по одночастичным квантовым состояниям приводит к тому, что ансамбли этих частиц подчиняются различным статистикам для фермионов это статистика Ферми — Дирака, для бозонов — статистика Бозе — Эйнштейна (рис. П.З). Таким образом, квантовая природа частиц сказывается и в том, что возможные состояния системы дискретны, и в способе распределения ча-стид (фермионов или бозонов) по микросостояниям. Однако [c.79]

    Статистика Ферми — Дирака описывает распределение в системе тождеств, частиц с полуцелым спином /2, 2> в единицах Ь = к/2п. Частица (или квазичастица), хюдчи-няющаяся указанной статистике, наз. фермионом.

К фер-мионам относятся электроны в атома)с, металлах и полупроводниках, атомные ядра с нечетным атомным номером, атомы с нечетной разностью атомного номера и числа электронов, квазичастицы (напр., электроны и дырки в твердых телах) и т.д. Данная статистика бьша предложена Э. Ферми в 1926 в том же году П. Дирак выяснил ее квантовомех. смысл.

Волновая ф-ция системы фермионов антисимметрична, т.е. меняет свой знак при перестановке координат и спинов любой пары тождеств, частиц. В каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (см. Паули принцип).

Среднее число частиц л, идеального газа фермионов, находящихся в состоянии с энергией Е,, определяется ф-цией распределения Ферми-Дирака л,- = 1 ехр[ ,- — l)/kT — где /-набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы. [c.417]

    Есть три класса систем, соответствующих трем различным способам заполнения уровней энергии Г-пространства. В результате этого появляются три различные функции распределения — Максвелла— Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Однако это не три различные статистики.

Статистический метод здесь один, а отличия связаны только с различной природой изучаемых систем.

С точки зрения решаемой здесь задачи конкретные различия систем классифицируют по трем основным признакам 1) по различимости или неразличимости изучаемых частиц 2) по различимости ячеек фазового пространства, отвечающих данному значению энергии 3) по наличию ограничений, налагаемых на заполнение отдельных ячеек данного уровня энергии. [c.199]

    Поскольку каждое из состояний с энергией ё не зависит от состояний с другим значением энергии е/, полное число различных микросостояпий для функции распределения ансамбля систем Ферми — Дирака составит [c.201]

    Расскажите о функциях распределения Максвелла, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Укажите на области их совпадения и несовпадения. [c.301]

    Статистика систем многих частиц, слабо взаимодействующих между собой (характер распределения частиц по одночастичпым квантовым состояниям), будет различной в зависимости от того, являются частицы фермионами или бозонами.

Соответственно двум классам частиц существуют две статистики статистика Бозе—Эйнштейна статистика ансамблей бозонов) и статистика Ферми—Дирака статистика ансамблей фермионов). Для иллюстрации различия между двумя квантовыми статистиками на рис.

22 показаны возможные способы распределения двух частиц по трем одночастичным квантовым состоя- [c.158]

Смотреть страницы где упоминается термин Ферми Дирака распределение: [c.418]    [c.288]    [c.169]    [c.139]    [c.288]    [c.281]    [c.281]    [c.172]    [c.281]    [c.589]    Введение в электрохимическую кинетику 1983 (1983) — [ c.290 ]

Ионизованные газы (1959) — [ c.108 ]

Дирак

Ферма-Дирака

Ферми

Ферми Дирака закон распределения

Фермий

Фермы

Функция распределения Ферми—Дирак

© 2019 chem21.info Реклама на сайте

Источник: https://www.chem21.info/info/10795/

Статистика электронов и дырок в полупроводниках

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

Равновесные процессы — процессы, происходящие в телах, которые не подвергаются внешним воздействиям.

В состоянии термодинамического равновесия для данного образца кристалла при заданной температуре существует определенное распределение электронов и дырок по энергиям, а также значения их концентраций.

Вычисление концентраций основных и неосновных носителей заряда составляет главную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.

Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто квантовомеханическую — нахождение числа возможных квантовых состояний электронов и статистическую — определение фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям при термодинамическом равновесии.

1.3.1. Распределение квантовых состояний в зонах

Стационарные состояния электрона в идеальном кристалле характеризуются квазиимпульсом р. Запишем принцип неоднородностей Гейзенберга для квазиимпульсов dpx, dpy и dpz:

(1.1)

Перемножим соответственно левые и правые части этих соотношений. Получим

(1.2)

где и , то есть dp — это некоторый объем в пространстве квазиимпульсов px, py, pz, то есть внутри зоны Бриллюэна, а dV — некоторый объем внутри полупроводника. При этом объем dV — не обязательно бесконечно малая величина. Он может быть и конечным.

Для расчета концентраций носителей заряда (то есть числа носителей в единице объема полупроводника) выделим внутри кристалла единичный объем dV = 1 см3. Тогда из (1.2) получим dp ≤ h3. То есть внутри объема dp = h3 в зоне Бриллюэна может иметь место только одно квантовое состояние, которое как бы размыто по всему этому объему.

Итак, h3 — это объем одной «квартирки» в зоне Бриллюэна, в которую можно поместить только два электрона с разными спинами, и не более. Поэтому число квантовых состояний, соответствующее элементу объема dp в зоне Бриллюэна и рассчитанное на единицу объема кристалла, равно dp/h3 — то есть числу «квартирок» в объеме dp.

При заполнении зоны проводимости электронами заполняются вначале самые нижние уровни. Зона проводимости — одномерная относительно энергии (рис. 1.3а). Зона Бриллюэна — трехмерная (px, py, pz) (рис. 1.3б). Заполнение зоны Бриллюэна начинается с самых малых значений квазиимпульса p.

Поэтому в качестве dp надо выбрать элемент объема, заключенный между двумя очень близкими изоэнергетическими поверхностями (см. рис. 1.3б). Внутри этого тонкого шарового слоя радиусом p и толщиной dp число квантовых состояний будет равно:

(1.3)

Рис. 1.3. Диаграмма для расчета плотности квантовых состояний: а — распределение электронов по энергии в зоне проводимости;

б — зона Бриллюэна для расчета плотности состояний

Определим число квантовых состояний в зоне проводимости в узком интервале энергий от Е до Е+dЕ, рассчитанное на единицу объема кристалла. Его можно представить в виде N(E)dE, где N(E) есть плотность состояний.

Вблизи дна зоны проводимости для случая изотропного параболического закона дисперсии энергия электрона

(1.4)

где ЕC — энергия, соответствующая дну зоны проводимости. Для удобства эффективную массу электрона mn будем писать без звездочки. Из (1.4) получим , то есть и . Подставляем в (1.3), имеем

(1.5)

Отсюда

(1.6)

Аналогичная формула получается и для валентной зоны, но только вместо (Е — ЕC) напишем (ЕV — Е), а вместо mn — эффективную массу дырки mp.

Как видно из (1.6), плотность квантовых состояний возрастает по мере удаления от дна зоны проводимости.

1.3.2. Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми

Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми-Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, выражается функцией Ферми-Дирака:

(1.7)

Здесь F — электрохимический потенциал, или уровень Ферми. Из (1.7) видно, что уровень Ферми можно определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Вид функции Ферми-Дирака схематически показан на рисунке 1.4. При Т = 0 она имеет вид разрывной функции. Для E < F она равна 1, а значит, все квантовые состояния при E < F заполнены электронами.

Для E > F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно не заполнены. При Т > 0 функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки E = F быстро изменяется от 1 до 0.

Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Рис. 1.4. Функция распределения плотности состояний в зоне проводимости N(E), функции Ферми-Дирака f и Больцмана fБ

Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми F лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны ЕC хотя бы на 2kT (в некоторых учебниках пишут ЕC — Е > kT). Тогда в распределении (1.7) единицей в знаменателе можно пренебречь и оно переходит в распределение Максвелла — Больцмана классической статистики. Это случай невырожденного полупроводника:

(1.8)

Концентрация электронов в зоне проводимости равна:

(1.9)

Отметим, что в качестве верхнего предела в написанном интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Но, так как функция f для энергий E > F экспоненциально быстро убывает с увеличением E, то замена верхнего предела на бесконечность не меняет значения интеграла. Подставляем в (1.9) выражения (1.6) и (1.8). Расчет интеграла несложен. Получим

(1.10)

где

(1.11)

Величина NC получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости.

В случае невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми лежит выше потолка валентной зоны хотя бы на 2kT, то есть F — EC > 2kT (в некоторых учебниках пишут F — EC > kT), функция Ферми-Дирака для дырок fp имеет вид

(1.12)

а концентрация дырок в валентной зоне

(1.13)

где EV — энергия, соответствующая потолку валентной зоны, а NV рассчитывается по уравнению (1.11), если вместо mn взять эффективную массу дырки mp. Величина NV — эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Отметим, что в (1.9) перед интегралом появился множитель 2, что связано с тем, что на каждом уровне энергии могут находиться два электрона с противоположными спинами (принцип Паули).

Для расчета n и p по уравнениям (1.10) и (1.13) необходимо знать положение уровня Ферми F. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от уровня Ферми, хотя зависит от температуры:

(1.14)

Это уравнение используется для расчета p при известном n или, наоборот, для расчета n при известном p. Величина ni при некоторых температурах для конкретных полупроводников приводится в справочниках.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/5_73861_statistika-elektronov-i-dirok-v-poluprovodnikah.html

Booksm
Добавить комментарий