Принцип Даламбера теоретической механики

Содержание
  1. Принцип Даламбера теоретической механики
  2. Определение принципа Даламбера
  3. Принцип Даламбера для материальной точки
  4. Принцип Даламбера для механической системы
  5. Силы инерции. Метод кинетостатики — Техническая механика
  6. Бесплатные решения Яблонского: Д14, Д15, Д16, Д17, Д18, Д19, Д20, Д21, Д22. Аналитическая механика
  7. Задание Д.14. Применение принципа возможных перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной степенью свободы
  8. Задание Д.15. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции
  9. Задание Д.16. Применение принципа Даламбера к определению реакций связей
  10. Задание Д.17. Определение реакций опор при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
  11. Задание Д.19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы
  12. Задание Д.20. Применение уравнений Лагранжа II рода к определению сил и моментов, обеспечивающих программное движение манипулятора
  13. Задание Д.21. Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы
  14. Задание Д.22. Определение положений равновесия (покоя) консервативной механической системы с одной степенью свободы и исследование их устойчивости
  15. 3.7. Принцип Даламбера
  16. 3.8. Элементы аналитической механики

Принцип Даламбера теоретической механики

Принцип Даламбера теоретической механики

Определение 1

Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно этому принципу, при условии присоединения силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получается уравновешенная система.

Данный принцип получил название в честь французского ученого Ж. Даламбера, впервые предложившего его формулировку в своем сочинении «Динамика».

Определение принципа Даламбера

Замечание 1

Принцип Даламбера звучит следующим образом: если к воздействующей на тело активной силе прикладывается дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесном состоянии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получит нулевое значение.

Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:

$F_i+N_i+J_i=0$, где:

  • $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
  • $N_i$ — реакция связи, наложенной на точку;
  • $J_i$ — сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.

Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.

Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции воздействия не оказывает, поскольку для нее она представляет фиктивную силу. При этом точка оставалась бы в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на точку оказывала воздействие еще и сила $Ф$.

Замечание 2

Принцип Даламбера позволяет применять при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его широкое применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении с целью установления реакций связей в ситуации, когда известен закон происходящего движения или он получен при решении соответствующих уравнений.

Разновидностью принципа Даламбера выступает принцип Германа-Эйлера, фактически представлявшего собой форму данного принципа, но обнаруженную до появления публикации сочинения ученого в 1743 году.

При этом принцип Эйлера не рассматривался его автором (в отличие от принципа Даламбера) в качестве основы для общего метода решения задач движения механических систем со связями.

Принцип Даламбера считается более целесообразным в применении в случае необходимости определения неизвестных сил (для решения первой задачи динамики).

Принцип Даламбера для материальной точки

Многообразие типов решаемых в механике задач нуждается в разработке эффективных методик составления уравнений движения для механических систем. Одним из подобных методов, позволяющих посредством уравнений описать движение произвольных систем, считается в теоретической механике принцип Даламбера.

Опираясь на второй закон динамики, для несвободной материальной точки запишем формулу:

$m\bar{a}=\bar{F}+\bar{R}$,

где $R$ представляет реакцию связи.

Принимая значение:

$\bar{Ф}=-m\bar{a}$, где $Ф$— сила инерции, получаем:

$\bar{F}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

Эта формула является выражением принципа Даламбера для материальной точки, согласно которому, для движущейся в любой момент времени точки геометрическая сумма воздействующих на нее активных сил и силы инерции получает нулевое значение. Этот принцип позволяет записывать уравнения статики для движущейся точки.

Принцип Даламбера для механической системы

Для состоящей из $n$-точек механической системы, можно записать $n$-уравнений вида:

$\bar{F_i}+ \bar{R_i}+\bar{Ф_i}=0$

При суммировании всех этих уравнений и введении следующих обозначений:

$\sum{F_i}=FE$

$\sum{R_i}=R$

$Ф_i=Ф$,

которые являются главными векторами внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно, получаем:

$\sum{F_i}+\sum{R_i}+\sum{Ф_i}=0$, т. е.

$FE + R + Ф = 0$

Условием для равновесного состояния твердого тела является нулевое значение главных вектора и момента действующих сил. Учитывая это положение и теорему Вариньона о моменте равнодействующей в результате запишем такое соотношение:

$\sum{riF_i}+\sum{riR_i}+\sum{riФ_i} = 0$

примем следующие обозначения:

$\sum{riF_i}=MOF$

$\sum{riR_i}=MOR$

$\sum{riФ_i}=MOФ$

главные моменты внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно.

В итоге получаем:

$\bar{FE}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

$\bar{M_0F}+\bar{M_0R}+\bar{M_0Ф}=0$

Эти две формулы являются выражением принципа Даламбера для механической системы. В любой момент времени для движущейся механической системы геометрическая сумма главного вектора реакций связей, внешних сил, и сил инерции получает нулевое значение. Также нулевой будет и геометрическая сумма главных моментов от сил инерции, внешних сил и реакций связей.

Полученные формулы являются дифференциальными уравнениями второго порядка из-за присутствия в каждом из них ускорения в силах инерции (второй производной закона движения точки).

Принцип Даламбера позволяет решать методами статики задачи динамики. Для механической системы можно записывать уравнения движения в виде уравнений равновесия. Из таких уравнений можно определить неизвестные силы, в частности, реакции связей (первая задача динамики).

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/teoreticheskaya_mehanika/princip_dalambera_teoreticheskoy_mehaniki/

Силы инерции. Метод кинетостатики — Техническая механика

Принцип Даламбера теоретической механики

§1.Силы инерции при поступательном движении.

Принцип Даламбера.

Все методы решения задач динамики, которые мы до сих пор рассматривали, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствиями этих законов. Однако, этот путь не является единственным.

Оказывается, что  уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более эффективные методы решения соответствующих задач.

В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.

Пусть мы имеем систему, состоящих из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой . Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил  и  (в которые входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к инерционной системе отсчета некоторое ускорение .

Введем в рассмотрение величину

,

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки (иногда даламберовой силой инерции).

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим общим свойством:  если  в каждый момент времени к фактически действующим на точку силам  и  прибавить силу инерции , то полученная система сил будет уравновешенной, т.е. будет

.

Это выражение выражает принцип Даламбера для одной материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой точки дает . Перенося здесь член   в правую часть равенства и придем к последнему соотношению.

Повторяя проделанные высшее рассуждения по отношению к каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы:если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; что делает единообразный подход к решению задач и обычно намного упрощает соответствующие расчёты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый общий метод решения задач динамики.

Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что на точку механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние и внутренние силы  и , возникающие в результате взаимодействия точек системы друг с другом и с телами, не входящими в систему; под действием этих сил точки системы и движутся с соответствующими ускорениями . Силы же инерции, о которых говорится в принципе Даламбера, на движущиеся точки не действуют (иначе, эти точки находились бы в покое или двигались без ускорений и тогда не было бы и самих сил инерции). Введение сил инерции — это лишь приём, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра Оравны нулю, причём по принципу отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но и на любую изменяемую систе6му. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

Введём обозначения:

Величины и  представляют собой  главный вектор и главный момент относительно центра Осистемы сил инерции. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств:

Применение уравнений (16), вытекающих из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, т.к. эти уравнения не содержат внутренних сил.

В проекциях на оси координат эти равенства дают уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики. Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражение главного вектора и главного момента сил инерций.

Источник: https://www.sites.google.com/site/tehmehprimizt/lekcii/teoreticeskaa-mehanika/dinamika/sily-inercii-metod-kinetostatiki

Бесплатные решения Яблонского: Д14, Д15, Д16, Д17, Д18, Д19, Д20, Д21, Д22. Аналитическая механика

Принцип Даламбера теоретической механики

Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения.

Задание Д.14. Применение принципа возможных перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной степенью свободы

Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, показаны на рис. 171–173, а необходимые данные приведены в табл. 50.

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в предпоследней графе табл. 50.

Примечание. Механизмы в вариантах 3, 6, 10, 14, 16, 18, 19, 25 и 30 расположены в вертикальной плоскости, а остальные – в горизонтальной.

Варианты с решением:123456789101112131415161718192021222324252627282930(решено 100%)

Задание Д.15. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции.

Схемы конструкций показаны на рис. 176–178, а необходимые для решения данные приведены в табл. 51. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Варианты с решением:123456789101112131415161718192021222324252627282930(решено 100%)

Задание Д.16. Применение принципа Даламбера к определению реакций связей

Определить реакции внешних связей механической системы:

а) в произвольный момент времени – для вариантов 4, 5, 10, 12–18, 21–30 (рис. 185–187);

б) в момент времени t=t1 – для вариантов 1, 8, 9, 11, 20;

в) в тот момент времени, когда угол поворота φ=φ1, – для вариантов 2, 3, 6, 7;

г) в положении, показанном на чертеже для вариантов 15 и 19.

На схемах (рис. 185–187) плоскость xOy (xAy) горизонтальна, плоскость yOz (yAz) вертикальна. Необходимые для решения данные приведены в табл. 52, в которой ω – угловая скорость, φ0 и ω0 – значения угла поворота и угловой скорости в начальный момент времени.

Примечания: 1. Вращающиеся тела, для которых не указан радиус инерции, рассматривать как тонкие однородные стержни (варианты 1–5, 11–15, 18, 19, 23, 24, 29, 30) или сплошные однородные диски (варианты 6–9, 16, 20, 22, 28); в варианте 10 тело 2 рассматривать как материальную точку.

2. На схемах 1, 8, 9, 11, 16, 17, 20–22 указаны внешние моменты M.

Варианты с решением:123456789101112131415161718192021222324252627282930(решено 100%)

Задание Д.17. Определение реакций опор при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Однородное тело Q массой m вращается вокруг неподвижной вертикальной оси z под действием пары сил с моментом M, расположенной в горизонтальной плоскости.

Определить реакции подпятника A и подшипника B в момент времени t=t1, считая, что в этот момент плоскость материальной симметрии тела совпадает с плоскостью yAz. Начальная угловая скорость ω0=0.

Массой стержней, связанных с телом Q, пренебречь.

Варианты задания показаны на рис. 189–191, необходимые данные – в табл. 53.

Варианты с решением:1234567810111214151617182021222829(решено 70%)

Задание Д.19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Варианты механических систем показаны на рис. 198–200, а необходимые для решения данные приведены в табл. 55.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Примечания: 1. Радиусы инерции даны относительно центральных осей, перпендикулярных плоскости чертежа (рис. 198–200).

2. Коэффициент трения принимать одинаковым как при скольжении тела по плоскости, так и при торможении колодкой (варианты 9–12).

Варианты с решением:123456789101112131415161718192021222324252627282930(решено 100%)

Задание Д.20. Применение уравнений Лагранжа II рода к определению сил и моментов, обеспечивающих программное движение манипулятора

Манипулятор (рис. 205–207), состоящий из звеньев 1, 2 и захвата D, приводится в движение приводами A и B. Захват D перемещается вдоль прямой ON.

Со стороны привода A к звену 1 прикладывается либо управляющий момент MA (варианты 2, 4, 7, 8, 12, 22, 24–26, 29), либо управляющее усилие PA (варианты 1, 3, 5, 6, 9–11, 13–21, 23, 27, 28, 30).

Привод B воздействует на звено 2 либо моментом MB (варианты 1–3, 5, 6, 8–11, 13–21, 23, 27), либо управляющим усилием PB (варианты 4, 7, 12, 22, 24–26, 28–30).

Перемещение звена 1 (варианты 3, 4, 7, 12, 22, 24–26, 28–30) или звена 2 (варианты 1, 2, 5, 6, 8–11, 13–21, 23, 27) манипулятора ограничено препятствиями K и L, поэтому изменение угла поворота φ=φ(t) этого звена возможно лишь в интервале [φ(0),φ(τ)], где τ – время движения звена.

Технические условия работы манипулятора требуют, чтобы указанное звено сошло со связи K при t=0 и «мягко» коснулось препятствия L при t=τ, т.е. так, чтобы были удовлетворены условия
[dφ(t)/dt]|t=0,t=τ = 0; [d2φ(t)/dt2]|t=0,t=τ = 0.
Программные движения звена 1, удовлетворяющие требованиям «мягкого» касания, приняты в таком виде:

1) φ(t)=φ(0)+[φ(τ)-φ(0)](10-15t/τ+6t2/τ2)t3/τ3 (варианты 2, 4, 6, 7, 11, 12, 16, 19, 22, 24–26, 28–30);

2) φ(t)=φ(0)+[φ(τ)-φ(0)][t/τ-(1/(2π))sin(2πt/τ)] (варианты 1, 3, 5, 8–10, 13–15, 17, 18, 20, 21, 23, 27).

Значения φ(0) и φ(τ) заданы в табл. 56, а график φ=φ(t) показан на рис. 208. Силами сопротивления движению пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Движением захвата относительно звена 1 пренебречь.

В задании приняты следующие обозначения:
m1 – масса первого звена, захвата и переносимого в захвате объекта;
m2 – масса второго звена;
J1 – момент инерции звена 1, захвата и переносимого в захвате объекта относительно главной центральной оси инерции;
J2 – момент инерции звена 2.

Центр тяжести звена 1 находится в точке C (варианты 1–4, 6–8, 11–13, 16, 18–20, 22–30) или в точке A (варианты 5, 9, 10, 14, 15, 17, 21).

Требуется:

1. Вычислить значения управляющих сил и моментов в начале торможения звена 1. Считать, что торможение звена 1 начинается в тот момент, когда угловое ускорение звена обращается в ноль.

2. Построить графики зависимости управляющих моментов и сил от времени.

Варианты с решением:1234567891011121314151617181920212223252630(решено 87%)

Задание Д.21. Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы

Механическая система тел 1–6 (рис. 212–214) движется под воздействием постоянных сил P и пар сил с моментами M или только сил тяжести.

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах q1 и q2 при заданных начальных условиях. Необходимые данные приведены в табл. 57; там же указаны рекомендуемые обобщенные координаты (x и φ – обобщенные координаты для абсолютного движения, а ξ – для относительного движения).

При решении задачи массами нитей пренебречь. Считать, что качение колес происходит без проскальзывания. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать.

Колеса, для которых в таблице радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками. Водила (кривошипы) рассматривать как тонкие однородные стержни.

Принять, что в вариантах 6, 9, 11, 20, 22 и 30 механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Варианты с решением:123456789101112131415161718192021222324252627282930(решено 100%)

Задание Д.22. Определение положений равновесия (покоя) консервативной механической системы с одной степенью свободы и исследование их устойчивости

Для консервативной механической системы с одной степенью свободы требуется:

1. Определить положения равновесия, пренебрегая массами упругих элементов.

2. Провести исследование устойчивости найденных положений равновесия.

Варианты механических систем показаны на рис. 219–221, а необходимые соотношения приведены в табл. 58.

В качестве обобщенной координаты выбрать угол φ. На рис. 219–221 показаны механические системы при некотором положительном угле φ. Во всех вариантах качение колес происходит без проскальзывания и трение в сочленениях отсутствует. При решении задачи считать все стержни и диски однородными.

Варианты с решением:317(решено 7%)

Источник: http://exir.ru/termeh/yablonskij/analiticheskaya_mehanika.htm

3.7. Принцип Даламбера

Принцип Даламбера теоретической механики

ПринципДаламбера позволяет сформулироватьзадачи динамики механических системкак задачи статики. При этом динамическимдифференциальным уравнениям движенияпридают вид уравнений равновесия. Такойметод называют методомкинетостатики.

ПринципДаламбера для материальной точки:«Вкаждый момент времени движенияматериальной точки, фактическидействующие на нее активные силы, реакциисвязей и условно приложенная к точкесила инерции образуют уравновешеннуюсистему сил»

(3.37)

Силойинерции точкиназывают векторную величину, имеющуюразмерность силы, равную по модулюпроизведению массы точки на ее ускорениеи направленную противоположно векторуускорения

. (3.38)

Рассматриваямеханическую систему как совокупностьматериальных точек, на каждую из которыхдействуют, согласно принципу Даламбера,уравновешенные системы сил, имеемследствия из этого принципа применительнок системе. Главный вектор и главныймомент относительно любого центраприложенных к системе внешних сил и силинерции всех ее точек равны нулю:

(3.39)

Здесьвнешними силами являются активные силыи реакции связей.

Главныйвектор сил инерциимеханической системы равен произведениюмассы системы на ускорение ее центрамасс и направлен в сторону, противоположнуюэтому ускорению

. (3.40)

Главныймомент сил инерциисистемыотносительно произвольногоцентраОравенвзятой с обратным знаком производнойпо времени от кинетического момента ееотносительно того же центра

. (3.41)

Длятвердого тела, вращающегося вокругнеподвижной осиOz,найдемглавный момент сил инерции относительноэтой оси

. (3.42)

3.8. Элементы аналитической механики

Вразделе «Аналитическаямеханика» рассматривают общие принципыи аналитические методы решения задачмеханики материальных систем.

3.8.1.Возможныеперемещения системы. Классификация

некоторыхсвязей

Возможнымиперемещениями точекмеханическойсистемы называют любые воображаемые,бесконечно малые их перемещения,допускаемые наложенными на системусвязями, в фиксированный момент времени.По определению, числомстепеней свободымеханической системы называют числоее независимых возможных перемещений.

Связи,наложенные на систему, называютидеальными,если сумма элементарных работ их реакцийна любом из возможных перемещений точексистемы равна нулю

. (3. 43)

Связи,для которых налагаемые ими ограничениясохраняются при любом положении системы,называют удерживающими.Связи, не изменяющиеся во времени, вуравнения которых явно не входит время,называют стационарными.

Связи, ограничивающие только перемещенияточек системы, называют геометрическими,а ограничивающие скорости – кинематическими.

В дальнейшем будем рассматривать толькогеометрические связи и те кинематические,которые могут быть путем интегрированиясведены к геометрическим.

3.8.2.Принципвозможных перемещений

Дляравновесия механической системы судерживающими идеальными и стационарнымисвязями необходимо и достаточно, чтобы

суммаэлементарных работ всех активных сил,действующих на нее, на любых возможныхперемещениях системы была равна нулю

. (3.44)

Впроекциях на оси координат:

. (3.45)

Принципвозможных перемещений позволяетустановить в общей форме условияравновесия любой механической системы,не рассматривая равновесие отдельныхее частей. При этом учитываются толькодействующие на систему активные силы.Неизвестные реакции идеальных связейв эти условия не входят.

Вместе с темданный принцип позволяет определятьнеизвестные реакции идеальных связейпутем отбрасывания этих связей и введенияих реакций в число активных сил.

Приотбрасывании связей, реакции которыхнеобходимо определить, система приобретаетдополнительно соответствующее числостепеней свободы.

Пример1.Найти зависимость между силами идомкрата, если известно, что при каждомповороте рукояткиАВ= l,винт Свыдвигается на величину h(рис. 3.3).

Решение

Возможныеперемещения механизма – это поворотрукоятки и перемещение груза h.Условие равенства нулю элементарныхработ сил:

Pl– Qh= 0;

Тогда.Так какh0,то

3.8.3.Общеевариационное уравнение динамики

Рассмотримдвижение системы, состоящей из nточек. На нее действуют активные силыиреакции связей .(k= 1,…,n)Если к действующим силам добавить силыинерции точек ,то, согласно принципу Даламбера,полученная система сил будет находитьсяв равновесии и, следовательно, справедливовыражение, записанное на основе принципавозможных перемещений (3.44):

. (3.46)

Есливсе связи идеальные, то 2-я сумма равнанулю и в проекциях на оси координатравенство (3.46)будет выглядеть следующим образом:

. (3.47)

Последнееравенство представляет собой общеевариационное уравнение динамики впроекциях на оси координат, котороепозволяет составить дифференциальныеуравнения движения механической системы.

Общеевариационное уравнение динамики – этоматематическое выражение принципаДаламбера-Лагранжа:«Придвижении системы, подчиненной стационарным,идеальным, удерживающим связям, в каждыйданный момент времени сумма элементарныхработ всех активных сил, приложенных ксистеме, и сил инерции на любом возможномперемещении системы равна нулю».

Пример2.Для механической системы (рис. 3.4),состоящей из трех тел определитьускорение груза 1 и натяжение троса 1-2,если: m1 = 5m;m2= 4m;m3= 8m;r2= 0,5R2;радиус инерции блока 2 i= 1,5r2.Каток 3 представляет собой сплошнойоднородный диск.

Решение

Изобразимсилы, которые совершают элементарнуюработу на возможном перемещении sгруза 1:

,

где

Запишемвозможные перемещения всех тел черезвозможное перемещение груза 1:

.

Выразимлинейные и угловые ускорения всех телчерез искомое ускорение груза 1 (отношениятакие же, как и в случае возможныхперемещений):

.

Общеевариационное уравнение для даннойзадачи имеет вид:

.

Подставляяполученные ранее выражения для активныхсил, сил инерции и возможных перемещений,после несложных преобразований получим

.

Таккак s0,следовательно, равно нулю выражение вскобках, содержащее ускорение а1,откуда a1= 5g/8,25= 0,606g.

Дляопределения натяжения троса, удерживающегогруз, освободим груз от троса, заменивдействие его искомой реакцией .Под действием заданных сил ,и приложенной к грузу силы инерциион находится в равновесии. Следовательно,к рассматриваемому грузу (точке) применимпринцип Даламбера, т.е.запишем, что .Отсюда .

3.8.4.УравнениеЛагранжа 2-го рода

Обобщенныекоординаты и обобщенные скорости.Любые независимые между собой параметры,однозначно определяющие положениемеханической системы в пространстве,называют обобщеннымикоординатами.Эти координаты, обозначаемые q1,….qi,могут иметь любую размерность. Вчастности, обобщенные координаты могутбыть перемещениями или углами поворота.

Длярассматриваемых систем число обобщенныхкоординат равно числу степеней свободы.Положениекаждой точки системы является однозначной функцией обобщенныхкоординат

Такимобразом, движение системы в обобщенныхкоординатах определяется следующимизависимостями:

. (3.48)

Первыепроизводные от обобщенных координатназывают обобщеннымискоростями: .

Обобщенныесилы.Выражение для элементарной работы силына возможном перемещенииимеет вид:

.

Дляэлементарной работы системы сил запишем

Используяполученные зависимости, это выражениеможно записать в виде:

,

гдеобобщенная сила, соответствующая i-йобобщеннойкоординате,

. (3.49)

Такимобразом,обобщеннойсилой, соответствующей i-йобобщеннойкоординате,является коэффициент при вариации этойкоординаты в выражении суммы элементарныхработ активных сил на возможномперемещении системы.Для вычисления обобщенной силы необходимосообщить системе возможное перемещение,при котором изменяется только обобщеннаякоордината qi.Коэффициент прии будет искомой обобщенной силой.

Уравнениядвижения системы в обобщенных координатах.Пустьдана механическая система с sстепенями свободы.

Зная действующие нанее силы, необходимо, составитьдифференциальные уравнения движенияв обобщенных координатах .

Применим процедуру составлениядифференциальных уравнений движениясистемы – уравнений Лагранжа 2-го рода– по аналогии вывода этих уравненийдля свободной материальной точки. Исходяиз 2-го закона Ньютона, запишем

Получиманалог этим уравнениям, используя записьдля кинетической энергии материальнойточки,

Частнаяпроизводная от кинетической энергиипо проекции скорости на ось равна проекции количества движения наэту ось, т.е.

Чтобыполучить необходимые уравнения, вычислимпроизводные по времени:

Полученнаясистема уравнений является уравнениямиЛагранжа 2-го рода для материальнойточки.

Длямеханической системы уравнения Лагранжа2-го рода представим в виде уравнений,в которых вместо проекций активных силPx,Py,Pzиспользуютобобщенные силы Q1,Q2,…,Qiи учитывают в общем случае зависимостькинетической энергии от обобщенныхкоординат.

УравненияЛагранжа 2-го рода для механическойсистемы имеют вид:

. (3.50)

Ихможно использовать для изучения движениялюбой механической системы сгеометрическими, идеальными и удерживающимисвязями.

Пример3.Для механической системы (рис. 3.5), данныедля которой приведены в предыдущемпримере, составить дифференциальноеуравнение движения, используя уравнениеЛагранжа 2-го рода,

Решение

Механическаясистема имеет одну степень свободы. Заобобщенную координату примем линейноеперемещение груза q1= s;обобщенная скорость – .Сучетомэтогозапишемуравнение Лагранжа 2-города

.

Составимвыражение для кинетической энергиисистемы

.

Выразимвсе угловые и линейные скорости черезобобщенную скорость:

Теперьполучим

Вычислимобобщенную силу, составив выражениеэлементарной работы на возможномперемещении sвсех действующих сил. Без учета силтрения работу в системе производиттолько сила тяжести груза 1Запишем обобщенную силу при s,как коэффициент в элементарной работеQ1=5mg.Далеенайдем

Окончательнодифференциальное уравнение движениясистемы будет иметь вид:

Источник: https://studfile.net/preview/1587913/page:20/

Booksm
Добавить комментарий