Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

Условие наблюдения дифракции Френеля, дифракция Френеля на круглом отверстии и экране

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

Условие применимости достаточно слабо, и позволяет все характерные размеры взять как сравнимые величины, если апертура много меньше, чем длина пути. К тому же так как нас интересует только малая область недалеко от источника величины x и y много меньше чем z, предположим , что означает и r в знаменателе можно аппроксимировать выражением .

В противоположность дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля должна учитывать кривизну волнового фронта, для того чтобы правильно учесть относительные фазы интерферирующих волн.

Электрическое поле для дифракции Френеля в точке (x,y,z) дано в виде:

Это — интеграл дифракции Френеля; он означает, что, если приближение Френеля действительно, распространяющееся поле — сферическая[источник не указан 1280 дней] волна, начинающаяся в апертуре и движущаяся вдоль z.

Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения возможно только в редких случаях.

Для дальнейшего упрощения, действительного только для намного больших расстояний от источника дифракции

1. Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распростра­няющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия

Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным m.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А =А1, т.

е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (см. § 177). Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции.

Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если т нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивно­сть в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то Am ≪ A1 и результирующая амплитуда A = A1/2, т. е. такая же, как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

2. Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем иа экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска

В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает т первых зон френеля

Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол jт между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается.

При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

8.Дифракция Фраунгофера на узкой щели. Дифракция света на дифракционной решетке, главные дифракционные максимумы и их ширина.

Дифракция Фраунгофера на одной щели

Рассмотрим схему наблюдения дифракции Фраунгофера, представленную на рис.3. Плоская монохроматическая волна падает нормально на плоскость Щ, где расположена бесконечно длинная щель шириной b (щель можно считать бесконечно длинной, если ее длина намного больше ее ширины. Так при ширине в 0,01 — 0,05 мм длина в несколько миллиметров может считаться бесконечной).

За щелью расположена линза Л, в фокальной плоскости которой находится экран Э. Наличие линзы равносильно тому, что экран расположен как бы на «бесконечном» расстоянии от объекта.

Если бы свет распространялся прямолинейно в соответствии с законами геометрической оптики, то в фокальной плоскости линзы получилась бы бесконечно узкая светлая полоса, проходящая через точку N0 на экране Э. Но в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая точка волнового фронта, достигающего плоскости, где расположена щель, является источником вторичных волн.

Тогда лучи, идущие от всех этих вторичных источников под некоторым углом j к первоначальному направлению, образуют плоский волновой фронт и соберутся в фокальной плоскости линзы в т.Nj

Расчет поля в плоскости экрана проведём непосредственно на основе принципа Гюйгенса-Френеля, не используя формулу (1). Для этого разобъем открытую часть поверхности щели на зоны в виде узких полосок одинаковой ширины dх, параллельных краям щели.

Эти элементарные участки становятся источниками вторичных волн. Амплитуды dA0 этих волн, приходящих в т. Nj на экране от разных полосок, одинаковы, так как все зоны имеют одинаковую площадь и одинаковый к направлению вторичных волн угол j.

Эти амплитуды будут пропорциональны произведению амплитуды падающей волны Е0 на размер полоски dx, т.е.

dA0 = CE0 dx (2)

где С — коэффициент пропорциональности.

Однако фазы колебаний, приходящих от различных участков щели, будут различаться.

Для определения разности фаз проведем прямую М0Мb', перпендикулярную к направлению дифрагированных лучей, и найдем разность хода, возникающую на пути от прямой М0Мb до прямой М0Мb'. Из рис.

3 видно, что разность хода между волнами, идущими от точки М0 и от точки Мх, расположенной на расстоянии х от т.М0, равна хSinj.

Следовательно, если считать, что фаза волны, приходящей в т. Nj из т.М0, равна нулю, то колебание dUj, приходящее от элемента dх из окрестности точки Мх в т. Nj, может быть записано в виде:

dUj = dА0 cos(wt-kxSinj)

где k=2p/l — волновое число, w — частота колебания.

Для вычисления величины Uj в т. Nj необходимо просуммировать вклады от различных участков щели, т.е. проинтегрировать dUj в пределах от х = 0 до х = b:

(3)

Сомножитель cos(wt-1/2kbsinj) в формуле (3) описывает временное изменение поля в точке наблюдения с частотой w, а модуль выражения, стоящего перед косинусом, есть амплитуда Aj результирующей волны в точке Nj :

(4)

Отметим, что амплитуда волны, распространяющейся в направлении j=0, пропорциональна ширине щели b и равна

A0=CE0b (5)

и выражение (4) можно переписать в виде

(4')

Интенсивность света определяется квадратом амплитуды, т.е.

(6)

где I0 — интенсивность в центре дифракционной картины, u =1/2 kbSinj.

Рис.4. Дифракция Фраунгофера на одной щели: распределение интенсивно­сти на экране в зависимости от синуса угла дифракции.

На рис.4 приведен график зависимости интенсивности Ij от синуса угла дифракции j. Интенсивность максимальна для направления j0max=0, совпадающего с направлением распространения падающей волны. Направления, соответствующие последующим максимумам, можно найти из решения задачи поиска экстремума функции (6).

Эти направления примерно соответствуют значениям u, равным u1max= 1.43p@3p/2, u2max= 2.46p@5p/2, u3max= 3.47p@ 7p/2,… Соотношения интенсивностей главного и последующе­го максимумов равны I0max = I1max = I2max = I3max =… = 1 : 0,045 : 0, 016 : 0,008:. и не зависят ни от ширины щели, ни от длины волны.

В то же время для направлений Sinj = l/b, 2l/b, 3l/b, 4l/b… , удовлетворяющих уравнению Sin u = 0, интенсивность равна нулю. Эти направления соответств­уют случаю, когда разность хода между волнами, приходящими от крайних участков щели, равна целому числу длин волн.

Это означает, что для любого произвольно выбранного участка щели всегда найдется другой, равный по величине, участок, излучение от которого придет строго в противофазе с излучением от выбранного участка.

Тем самым, в результате интерференции интенсивность распространяющегося в этих направлениях излучения будет равна нулю.

Из рис.4 видно, что основная часть светового потока сосредоточена в центральной дифракционной полосе, определяемой значениями Sinj =l/b (так называемый центральный максимум), малая его часть будет распростра­няться в пределах первых (около 5%) и вторых (около 2%) максимумов и т.д.

Рассмотрим влияние ширины щели на распределение интенсивности дифракционной картины (рис.5).

Увеличение ширины щели приводит к приближению первых минимумов к центру дифракционной картины, при этом резкость дифракционного максимума увеличивается (рис.5, кривая 2).

Соотношение интенсивностей света в отдельных максимумах не изменяется, однако увеличивается абсолютное значение интенсивности, связанное с тем, что с увеличением ширины щели увеличивается энергия проходящего через нее излучения.

В заключении отметим, что дифракция Фраунгофера может наблюдаться и при падении сферической волны на объект, и при отсутствии линзы. Из формулы (1) можно показать, что условия для наблюдения дифракции Фраунгофера имеют вид: b2/lr

Источник: https://infopedia.su/13x9943.html

Волновая Оптика

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера
1.2. Дифракция света1.2.4. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера

При компьютерном моделировании дифракционных задач удобно выражение (2.2) записать в координатной форме, отбросив несущественные постоянные множители:

(2.9)

Здесь – комплексная амплитуда поля в плоскости наблюдения, – комплексная амплитуда поля в плоскости экрана, удовлетворяющая постулату Френеля о граничных условиях (рис. 2.10).

Выражение (2.9) должно быть проинтегрировано по открытым частям плоскости

При конкретных расчетах обычно используют различные приближения, выбор которых определяется геометрией задачи.

Рисунок 2.10.Геометрия дифракционной задачи.

1. Дифракция Френеля. Размер препятствия порядка размера зоны Френеля. Их отношение оказывается порядка единицы:

(2.10)

Безразмерный параметр p называют волновым параметром. В этом случае справедливо френелевское приближение — в фазовом множителе расстояние r заменяют приближенным выражением

(2.11)

Амплитудный множитель заменяют приближенным выражением , не зависящим от переменных интегрирования (при условии, что размер препятствия мал по сравнению с расстоянием до плоскости наблюдения). Указанные выше приближения используются при рассмотрении дифракции на экранах с осевой симметрией и на одномерных препятствиях.

Таким образом, в области френелевской дифракции (так называемая ближняя волновая зона) выражение (2.9) записывается в виде

(2.12)

2. Дифракция Фраунгофера. Размер препятствия много меньше размера зоны Френеля и, следовательно,

(2.13)

Неравенство (2.13) означает, что дифракционная картина наблюдается на достаточно удаленном экране (в пределе – на бесконечности). В этом случае радиусы-векторы , проведенные от различных точек экрана к точке наблюдения практически параллельны друг другу. Это обстоятельство резко упрощает фазовые соотношения.

В области дифракции Фраунгофера в фазовом множителе можно приближенно положить

(2.14)

где – расстояние от центра экрана до точки наблюдения Р. В амплитудном множителе, как и в случае френелевской дифракции, выражение заменяют на . В области дифракции Фраунгофера

(2.15)

Следует подчеркнуть, что выражение (2.15) имеет вид двумерного преобразования Фурье функции (см. главу 1.2.3) — граничного возмущения в плоскости z = 0. Область дифракции Фраунгофера принято называть дальней волновой зоной.

Таким образом, критерием наблюдения дифракционных картин различного вида может служить значение волнового параметра . При наблюдается френелевская дифракция. Характерная качественная особенность френелевских дифракционных картин состоит в том , что область наблюдения дифракции приблизительно совпадает с границами геометрической тени.

Например, при освещении плоской волной отверстия диаметра D в непрозрачном экране, размер дифракционной картины в плоскости z = b окажется порядка D. При наблюдается дифракция Фраунгофера. В этом случае дифракционная картина значительно шире размеров геометрической тени.

Второй важной особенностью фраунгоферовских дифракционных картин, в отличие от френелевской дифракции, является то, что при разных положениях плоскости наблюдения дифракционные картины подобны друг другу; при переходе к другой плоскости наблюдения изменяется только масштаб картины.

По этому признаку наблюдаемые на экране дисплея дифракционные картины легко можно отнести к френелевской или фраунгоферовой дифракции.

Отметим здесь, что фраунгоферова дифракция может наблюдаться в фокальной плоскости линзы (см. главу 8). Параллельный пучок лучей, распространяющийся под углом к оси (рис. 2.

11), сводится линзой в некоторой точке фокальной плоскости без нарушения фазовых соотношений (таутохронизм).

Поэтому распределение поля в фокальной плоскости в некотором масштабе воспроизводит дифракционную картину, которую можно наблюдать в отсутствие линзы на достаточно удаленной плоскости наблюдения. В оптических инструментах, как правило, наблюдается дифракция Фраунгофера.

Рисунок 2.11.Наблюдение дифракции Фраунгофера в фокальной плоскости линзы.

Положение точки наблюдения при дифракции Фраунгофера удобно задавать с помощью угловых координат. В частности при дифракции на щели ширины D распределение интенсивности, рассчитанное с помощью (2.15), имеет вид

(2.16)

Это распределение качественно изображено на рис. 2.11.

Первый нуль функции наблюдается при условии . Полагая дифракционные углы достаточно малыми и обозначая полуширину главного дифракционного максимума через , получаем соотношение

(2.17)

Соотношение (2.17) является классическим аналогом соотношения неопределенности Гейзенберга в квантовой физике .

Отметим в заключение, что неравенство можно рассматривать как критерий геометрической оптики. В этом случае плоскость наблюдения располагается достаточно близко от препятствия (например, экрана с отверстием). Дифракционные явления практически незаметны, и в плоскости наблюдения возникает геометрическая тень препятствия с четко обозначенными границами.

Источник: http://www.en.edu.ru/shared/files/old/waveoptics/content/chapter1/section2/paragraph4/7473_theory.html

Основные характеристики дифракции Фраунгофера

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

2. Основные характеристики дифракции Фраунгофера.

3. Дифракция плоской монохроматической волны на длинной прямой щели в непрозрачном плоском экране.

4. Угловое распределение интенсивности дифрагированной на щели волны в приближении Фраунгофера.

Пусть имеется скалярная монохроматическая волна

, (7.1)

распространяющаяся в положительном направлении оси z. Если в некоторой плоскости z=0 задано распределение комплексной амплитуды этой волны

, (7.2)

то распределение комплексной амплитуды в любой точке с координатами () другой плоскости z=L можно найти с помощью принципа Гюйгенса-Френеля:

. (7.3)

Здесь функция описывает в точке вклад вторичной волны, приходящей в эту точку от вспомогательного источника с координатами (x, y,0). Координатные оси и лежат в плоскости z=L параллельно соответствующим координатным осям х и y в плоскости z=0 и имеют такие же направления, а их начало находится на оси z.

В зависимости от величины волнового параметра

(7.4)

обычно выделяют три приближения в вычислении интеграла (7.3). Здесь λ — длина волны и d – характерный размер объекта в плоскости z=0, на котором происходит дифракция. Это линейный размер освещаемого отверстия в непрозрачном экране или непрозрачного предмета на пути распространения волны.

1) Приближение геометрической оптики справедливо для случая Рв1 и

. (7.6)

Данное выражение представляет собой интегральное преобразование исходного волнового поля и описывает дифракцию Френеля, в которой учитывается кривизна (зависимость от поперечных координат) волновой поверхности вторичных волн.

В результате при распространении волны на рассматриваемое расстояние необходимо учитывать изменение поперечного распределения волнового поля. При этом величина определяется значениями в некоторой окрестности точки , и размерами .

3) Приближение Фраунгофера, справедливое в дальней волновой зоне, где Рв. п.>>1 и , описывается выражением

. (7.7)

Это интегральное преобразование, описывающее дифракцию Фраунгофера, есть преобразование Фурье для переменных (x, y) и . При выполнении условия комплексная амплитуда с точностью до постоянного множителя является Фурье – образом комплексной амплитуды . В этом случае величина в каждой точке зависит от всего распределения волнового поля .

В выражении (7.7) суммируются вклады вторичных плоских волн

, (7.8)

которые для фиксированной точки наблюдения () в плоскости z=L имеют одинаковый волновой вектор

, (7.9)

т. е. распространяются в одном направлении. Здесь предполагается, что .

В связи с этим говорят, что дифракция Фраунгофера есть дифракция в параллельных лучах. Для наблюдения распределения интенсивности такой дифрагированной волны используется собирающая линза, которая фокусирует все параллельные лучи в одну точку своей фокальной плоскости. Роль такой собирающей линзы может выполнять глаз человека.

https://www.youtube.com/watch?v=mDilsGUgKt8

Таким образом, в дальней зоне дифракции участок сферической волновой поверхности вторичной волны можно с достаточной точностью заменить участком плоской волновой поверхности, если линейные размеры этого участка малы. При этом вторичные лучи, приходящие в точку наблюдения от разных вспомогательных источников, можно с той же точностью считать параллельными.

Естественное двумерное преобразование Фурье (7.7) поперечного распределения волнового поля, осуществляемое при свободном распространении монохроматической волны (7.1) между двумя параллельными плоскостями, используется в специализированных оптических компьютерах для обработки информации, записанной на световой волне.

Время выполнения такого преобразования Фурье равно времени распространения света между двумя плоскостями. Исходное поперечное распределение волнового поля в плоскости z=0 задается с помощью транспаранта, коэффициент пропускания которого Т(x, y) зависит нужным образом от координат x и y.

При освещении транспаранта плоской монохроматической волной на его выходной поверхности формируется необходимое распределение Т(x, y)A=φ0(x, y) волнового поля. Здесь А — амплитуда падающей на транспарант плоской волны. Вычисления на основе реально протекающих физических процессов называются имитационными.

В рассматриваемом случае свободное распространение волны осуществляет вычисление образа Фурье (7.7) заданного пространственного распределения волнового поля.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера для случая нормального падения плоской монохроматической волны

(7.10)

на плоский непрозрачный экран, расположенный в плоскости z=0. В экране параллельно и симметрично относительно оси у прорезана длинная прямая щель шириной b>>λ (рис.7.1). Наблюдение ведётся в дальней волновой зоне, где справедливо приближение Фраунгофера.

Рис.7.1

Плоскость наблюдения соответствует z=L. Параллельные дифрагированные лучи с помощью собирающей линзы фокусируются в точку Р фокальной плоскости линзы. Точка P задается с помощью угла , отсчитываемого от оси z (при , а при ).

Рассматриваемая задача дифракции имеет плоскость симметрии yoz, поэтому все элементарные вспомогательные источники на поверхности щели удобно сгруппировать в зоны в виде полосок бесконечно малой шириной dx, параллельных щели, т.

е. оси у.

Каждая такая полоска является источником цилиндрической вторичной волны, которую в небольшой области около точки наблюдения можно считать плоской волной и записать её комплексную амплитуд в точке P следующим образом

, (7.11)

где С — постоянная для всех полосок, зависящая от амплитуды А падающей волны (1.10) и расстояния L, но не зависящая от координаты x рассматриваемой полоски.

Вторичные волны, приходящие в точку наблюдения, отличаются только набегом фазы, обусловленным разностью хода данных волн от их вспомогательных источников до точки наблюдения.

Здесь разность фаз отсчитывается от фазы вторичной волны, приходящей от центральной полоски x=0.

Согласно принципу суперпозиции полное волновое поле

, (7.12)

где и была использована формула Эйлера

Отметим, что в силу симметрии задачи распределение поля дифрагированной волны не зависит от координаты y.

Интенсивность дифрагированной волны, пропорциональная , описывается формулой

(7.13)

где -максимальная интенсивность, наблюдаемая при , – интенсивность плоской волны с амплитудой А, падающей на экран с щелью, – волновой параметр. Здесь учтено, что

и максимум функции равен 1. График зависимости этой интенсивности от параметра приведён на рис.7.2. Распределение интенсивности симметрично относительно θ=0, поскольку .

Рис.7.2

Минимальная интенсивность наблюдается при углах, удовлетворяющих уравнению

, . (7.14)

Если величина угла Θ, измеренная в радианах, удовлетворяет условию , то , уравнение (7.14) упрощается и принимает вид

, . (7.15)

Максимумы интенсивности приходятся на углы, лежащие примерно посередине между двумя углами и , определяющими два соседних минимума (7.15). Центральный дифракционный максимум с интенсивностью наблюдается при

, (7.16)

а все побочные максимумы соответствуют углам наблюдения

, , (7.17)

где знак «+» берется для ,а знак «-» – для Интенсивность побочных максимумов быстро убывает с ростом величины :

. (7.18)

Полная мощность N излучения, прошедшего через щель шириной b и единичной длины, описывается формулой

, (7.19)

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/2-osnovnye-xarakteristiki-difrakcii-fraungofera

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

Обычно дифракцию наблюдают в плоскости, которая параллельна преграде (экрану) с отверстиями. Назовем плоскость, в которой проводим наблюдение плоскостью дифракционной картины. Другая плоскость будет плоскостью источников.

В обеих плоскостях введем прямоугольные системы координат, причем оси $X$ и $Y$ будут параллельны, а оси $Z$ совпадут (рис.1). Единичный вектор нормали ($\overrightarrow{n}$) направлен в ту сторону, из которой пришло излучение.

Рисунок 1.

Волну, которая движется к точке $A_0$, будем описывать функцией $\frac{e{ikr_{01}}}{r_{01}}$. Координатами точки${\ A}_0$ при этом будут в плоскости картины дифракции $(x,y)$. Координатами точки $A_1$ в плоскости источников являются $\left(x',y'\right).$ Тогда элементом площади на поверхности источников станет:

Амплитуда источников пусть задана функцией $\Psi \left(x',y'\right)=A\frac{e{ikr_{12}}}{r_{12}}.$ В таком случае можно записать:

где $r=\sqrt{l2+{\left(x-x'\right)}2+{(y-y')}2}\ (2')$, здесь $l$ — расстояние между плоскостями. В подынтегральном выражении выражение в квадратных скобках является медленно изменяющейся функцией, если сравнивать ее с множителем $e{ikr}.

$ Значит, данное выражение не оказывает существенного влияния на картину интерференции, только минимально влияет на среднюю величину яркости. Помимо этого углы в функциях косинусов меняются в пределах нуля. Следовательно, данные косинусы можно положить равными единице.

В таком случае выражение (2) примет вид:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Упростить формулу (3) можно, если учитывать, что углы $\widehat{\overrightarrow{n}\overrightarrow{r_{12}}}\ и\ \widehat{\overrightarrow{n}\overrightarrow{r_{01}}}$ малы, что можно сформулировать как неравенства:

Используя условие (4) выражение ($2'$) можно разложить в ряд, ограничиваясь членами второго порядка имеем:

Используя выражение (5), преобразуем (3) к виду:

где $r\approx l$. Эту переменную можно вынести из под знака интеграла, так как она медленно изменяется и не влияет на видимость картины интерференции.

Выражение вида (5) называют приближением Френеля, оно приводит к (6). Приближение Френеля используется в большом количестве случаев на практике. Дифракция, которая рассматривается в данном приближении, носит название дифракции Френеля.

Приближение Фраунгофера

Представим выражение как:

подставим его в (6), имеем:

Распределение интенсивности определено в картине дифракции квадратом модуля $Ф(x,y)$. Значит, можно считать, что экспоненты перед знаком интеграла не оказывают влияния на распределение интенсивности в картине дифракции, так как их модуль равен единице. Интегрирование в формуле (7) проводится по всей площади $S'\ (-\infty

Допустим, что отверстие мало, расстояние до плоскости дифракционной картины большое ($l\to \infty $), в таком случае можно считать, что:

Дифракция, которая рассматривается при условии (8) называется фраунгоферовой. Критерием, определяющим возможность принять экспоненту в (8) равной единице служит условие (приближение Фраунгофера):

Так как множитель $\frac{k}{2\pi i}\frac{e{ikl}}{l}exp(\frac{ik\left(x2+y2\right)}{2l})$ в выражении (7), не влияет на распределение интенсивности в картине дифракции, и, учитывая выше сказанное, соответствующую формулу записывают как:

В таком написании выражение (11) служит для нахождения относительных величин интенсивностей в картине дифракции.

Пример 1

Задание: На прямоугольное отверстие со сторонами $a\ и\ b$ падает плоская волна (рис.2), распространяющаяся по оси $Z$. На отверстии фаза и амплитуда волны ($A_0$) постоянны. Как определена амплитуда волны в точке с координатами ($x,y$), если она падает перпендикулярно плоскости щели. Считайте, что можно использовать приближение Фраунгофера.

Рисунок 2.

Решение:

Пусть начало координат лежит в центре прямоугольного отверстия. В качестве основы для решения задачи используем приближение Фраунгофера и соответствующую ему формулу:

\[Ф\left(x,y\right)=\int\limits_{S'}{\Psi \left(x',y'\right)exp\left\{-\frac{ik\left(xx'+yy'\right)}{l}\right\}}dx'dy'\left(1.1\right).\]

Имея в виду, что функция $\Psi$ имеет размерность амплитуды отнесенной к площади, положим:

\[\Psi \left(x',y'\right)=\frac{А_0}{ab}\left(1.2\right),\]

где $A_0$ — комплексная амплитуда волны. Тогда используя формулу (1.1), (1.2) и полагая $Ф\left(x,y\right)=А\left(x,y\right)$ — амплитуда волны, имеем:

\[A\left(x,y\right)=\frac{A_0}{ab}\int\limits{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}{exp\left\{-\frac{ik\left(xx'\right)}{l}dx'\right\}}\int\limits{\frac{b}{2}}_{-\frac{b}{2}}{exp\left\{-\frac{ik\left(yy'\right)}{l}dy'\right\}}=A_0\frac{sin\alpha }{\alpha }\frac{sin\beta }{\beta }\left(1.3\right),\]

где $\alpha =\frac{kax}{2l},\ \beta =\frac{kby}{2l}.$

Ответ: $A\left(x,y\right)=A_0\frac{sin\alpha }{\alpha }\frac{sin\beta }{\beta }$.

Пример 2

Задание: Используя условия и результаты Примера 1, определите интенсивность колебаний в точке с координатами ($x,y$).

Решение:

Используем связь между амплитудой волны и интенсивностью:

\[I\sim {\left|A\right|}2\left(2.1\right).\]

Следовательно, зная, что:

\[A\left(x,y\right)=A_0\frac{sin\alpha }{\alpha }\frac{sin\beta }{\beta }(2.2)\]

можно записать:

\[I\left(x,y\right)={\left|A_0\right|}2\frac{sin2\alpha }{{\alpha }2}\frac{sin2\beta }{{\beta }2}.\]

Ответ: $I\left(x,y\right)={\left|A_0\right|}2\frac{sin2\alpha }{{\alpha }2}\frac{sin2\beta }{{\beta }2}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/priblizhenie_frenelya_i_priblizhenie_fraungofera/

�������������� ������

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

��������� (�� ���. difractus — ������������) � �������������� ������ — �������� ������� �����������, � �����������, ����� ������� ������ — ����� ���������� ��� ��������������� ���� �� ������� �������������� ������ (17.1).

������� ���������, ��� � ������������� (18), — ������������ ����, ������� �������� � ����������������� �������������. ���� ����� ��������������� ���������� �������, �� ������� �� ������������� ���� (18). ��� ����������� ������������� ���������� ������� � ��������� ����.

��������� ����������� � ���� ����� �������.

19.1 ��������� ������� � �����������

���� λ — ����� �����, b — ������� �����������, L — ���������� �� ����������� �� ����� ����������, �� ��������� ��������� ��������:

19.2. ������� ��������-�������

������� ������� ����� ������������� ������ ��� �������� ���� �������� � ���������� ������� ��������� ��������� (13.4.) � ���������������� ���������� ���������.

� ������ ������� �������� ����� ������������ ������� ������������� �����, ���������� �� �������� ��������-�������:

  1. ������ �����, �� ������� ������� �����, ������ ���������� ��������� ����������� ����, ��������� ������� ���� ��������� ��������� ������ � ��������� ������ ������� (�. �������, 1678 �.).
  2. ��������� �������������� ����� � ����� ����� ������������ ����� ���� ������� ��� ��������� ������������� ���� ��������� ����, � ������ �� ��� � �������� (�. �������, 1818 �
  3. .).

����� S — �������� �����������, �� �������� ������������, P — ����� �����-�����. ����� ������� ����������� dS �������� � ����� P ���������:

.

�������������� ���������:

����� k( φ) ���������� ����������� ��������� dE �� ���� ����� �������� � �������� dS � ������������ �� ����� P. ��������� a0 ���� ��������� ��������� ��������� � ��� �����, ��� ��������� dS. �������� ωk — �������� ������� � �������� ����� ����������� ����� (15.1.7.), ������������������ �� �������� dS.

19.3. ���� �������

���������� ��������� � ������ (19.2.1.) � ����� ������ — ������� ������.

� �������, ���� � ������ ���������� ���������, ��������� ��������������� ��������� ����� ����� ������� ��� �������, �� �������� � ���������� ���������.

����� �� ��������� ����� S ���������������� ����������������� ����������� �����, P — ����� ����������. ����� ����� O �������� ����������� �������� �����������. ��� ����������� ������������ ������ SP.

�������� ��� ����������� �� ��������� ���� I, II, III � �.�. ���, ����� ���������� �� ����� ���� �� ����� P ���������� �� λ/2 — �������� ����� �������� �����. ��� ��������� ���� ���������� O.

�������� � ���� �������� ������ �������.

��� ���� ����� ��������� ��� ������� ������������� � ����� P? ������� ������������ ����� 1 � ������ ���� �������. � ���� II ��������, � ���� ������� ���������� ���, ����� ��������������� �� �����, ��� �������� ���� �����, ������ � ����� P �� ����� 1 � 2 ����� ����� λ/2. ���������� ����� ��������� �� ����� 1 � 2 ������� ���� ����� � ����� P.

�� �������������� ������������ �������, ��� ��� �� ����� ������� ������� ��� �� ������� �������� ���������. ������ ������ ����� ������ ���� �������� ��������������� �� ����� �� ������, ��������� ������� ������� ���� �����. ��������� ��������������� ���������, ����������� � ����� P �� ���� � ������� m, ����������� � ������ m, �.�.

���������� ��� ��-�� ���������� � ������ m ���� ����� �������� � �������� ����������� � ������������ �� ����� P. ������ ������� ��������� �������� ��� ����� �� ������ ������.

����� �� ���� ����������� �������� �����, ����������� ���������� S, ���������� ������������ ����� � ������� ���������� ������� r0. ���� ��������� ��������� ������ ����� ��� �������, �� � ����� P ����� ����������� �������, ��� ��� ��� �������� ���� ����� ���������� � �������� ����, ��������� ������� � ����� P �������������� ����� ���� �����.

��� �������� ����� ��� � ����� P ����� ��������, ��� ��� ��������� ����� ���� ��������� �� �����������.

����� ��������, ��� ������ ���� ������� � ������� m ��� �� ����� ������� m:

.

���������� «a» �������� ����� ���������� �� ��������� �� ��������, ���������� «b» — �� �������� �� ����� ���������� P.

���� ��������� ��������� �������� ����� ����� ��� �������, ��, ��������� r0rm, ������� ������� ��� �������� ����� �������� ��� �������:

.

��� m ������ � ����� P ����� ������� �������������, ��� �������� — ��������.

� ������ ��������� ����������� �������� b2/(Lλ )  b.

����� �� ������� ���� ������� b ������ ������� ����������������� ����� � ������ λ.

�������� ����� ����� � ������� ���������� ����� ���, ����� ����� ����������� ��������� � ��������� ��������� �����. ����� ��������� ��������� �� ������ ��������� � ������������ ����� (L → ∞ ).

���������� ����� �������� ���������, ���������� ���������������: ����, ������ �� �������� ����������� AC �� ����� ���������� P ����� ���������� ���������� �����. ����� ������� ��������� ������������ ��������� ����, ������� ���������� ��������� ��������� �������� ����� � ����� P (��. 19.2), ������� �� �������� ����, ���������� � ������������ ABC.

��� ���������� ��������� ���������� � ��������� ������������� ������������� ������� ��� ������� (19.3): �������� ������� BC �� ������� ������ λ/2.

�� ������ ���� �������� �������� �����, ������������ ������ ��������� ������� �����, ������ ��� ����� φ. ��� ����� �������� AB — ����� ��������� ������� ����� �� ���� �������. �� ������� �� ���������� ���: AD, DEEB. ����� ��� ������� k ������� �� λ � ����� ������� BC = b Sinφ . ���� k �����, ��

.

��� ������ ����� ��� ������� k = 2m, ��� m = ±1, ±2… ��� ���� ����� ������� �� �������� ����, ������� ����� ���� ����� (19.3). ������������� ������� �������� ��� ��������� ����������� �� ���� ����� ���:

��� �������� k = 2m + 1 ���� ���� �������� ��� ���� � �� ��������� �� ����� ��������, �������������, ������� ��������� ��� ��������� ����������� �� ���� ����� ����� ���:

.

������� ��������, ��� ������� ��������� �������������� �������� ���������� � ��������� (18.1.2.3) ��� ������������� �� ���� ����������.

Источник: http://msk.edu.ua/ivk/Fizika/2_kurs/Tushev_Shizika/TUSHEV2/19.html

Приближения Френеля и Фраунгофера

Приближение Френеля и приближение Фраунгофера

Лекция 15. Дифракция Фраунгофера

Основные понятия: дифракция волн, приближения Френеля и Фраунгофера, метод векторных диаграмм, интенсивность, главные и дополнительные максимумы и минимумы, постоянная решетки, распределение интенсивности, угловая дисперсия, разрешающая способность дифракционной решетки, критерий Рэлея.

План лекции

1. Приближения Френеля и Фраунгофера.

2. Метод векторных диаграмм.

3. Дифракция Фраунгофера на щели.

4. Дифракция на решетке.

5. Дифракционная решетка, как спектральный прибор.

Краткое содержание

На прошлой лекции мы рассмотрели дифракцию Френеля.

Осветим объект лазерным пучком и, перемещая экран, пронаблюдаем картину дифракции на различных расстояниях.

Дифракционные картины для отверстий разной формы отличаются, но во всех них, в зависимости от расстояния, можно отметить следующие особенности.

Вблизи препятствия световой пучок сохраняет структуру, заданную формой объекта, т.е. дифракционная картина подобна изображению объекта. Эту область называют геометрооптической или прожекторной.

Затем границы изображения начинают расплываться, проступают полосы, размер которых увеличивается с ростом расстояния.

Вскоре полосы заполняют всю картину, пересекаются, образуя темные и светлые пятна, которые переходят друг в друга, меняются местами, порой (в зависимости от формы объекта) весьма причудливым образом.

Изображение на экране становится совершенно непохожим на изображение дифракционной картинки исходного объекта. Эту область называют областью дифракции Френеля.

С дальнейшим ростом расстояния пространственная структура дифракционной картины становится устойчивой. Изменяется только масштаб. Это область дифракции Фраунгофера.

На характер изменения дифракционной картины влияет также размер отверстия. Уменьшение отверстия приводит к более быстрому изменению структуры дифракционной картины с увеличением расстояния.

И, наоборот, увеличение размера отверстия замедляет скорость изменений.

Эту особенность можно пронаблюдать, используя интерактивную “программу” расчета дифракционной картины на различных расстояниях для различных отверстий.

При изменении длины волны картина дифракции также будет меняться. Чем больше длина волны, тем глубже в область тени при одном и том же расстоянии от объекта проникает световая волна, то есть тем больше размер дифракционной картины. Рис.1

(ДЕМОНСТРАЦИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ)

На рисунке приведены (экспериментально полученные картины дифракции на щели излучения гелий-неонового лазера на длине волны 0.633 мкм (красный цвет) и аргонового лазера на длине волны 0.488мкм (синий цвет).

Расстояние от источника излучения до отверстия определяет форму волнового фронта в плоскости препятствия. Если точечный источник находится очень далеко от отверстия (на бесконечности), то волновой фронт плоский.

Для конечных расстояний волновой фронт сферический, причем, чем ближе источник, тем меньше радиус сферы, тем больше кривизна волнового фронта.

Поскольку вторичные источники располагаются на волновом фронте, то ясно, что дифракционные картины будут отличаться для разных расстояний между источником света и отверстием.

Таким образом, в зависимости от расстояний от источника излучения и плоскости наблюдения до отверстия, длины волны излучения и размера отверстия можно выделить три характерные области дифракции: геометрооптическую, дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.

На рисунке схематически показано расположение этих областей для трех случаев освещения отверстия: плоской волной, расходящейся сферической волной и сходящейся сферической волной. По мере приближения точечного источника к препятствию, границы областей отдаляются. Рис.2

При небольших расстояниях можно выделить только две области дифракции: геометрооптическую и Френеля. При освещении отверстия сходящейся сферической волной дифракционная картина изменяется значительно быстрее, и все области дифракции умещаются на расстоянии до точки сходимости (фокусировки) исходной волны.

Различные случаи дифракции отличаются количеством открытых зон Френеля. Количественным критерием служит параметр . Он равен отношению радиуса первой зоны Френеля к радиусу отверстия . Если отверстие имеет щелевидную или квадратную форму, то полагают, что равен половине размера щели или стороны квадрата.

Область приближения геометрической оптики соответствует значению . Открыто много зон Френеля.

Область дифракции Френеля — . Открыты одна или несколько зон Френеля.

Область дифракции Фраунгофера — . Открыта часть зоны Френеля.

Отметим, что нет резких границ между различными областями дифракции. Они постепенно переходят друг в друга.

В области дифракции Фраунгофера вторичные сферические волны можно практически считать плоскими. Этот случай называется еще дифракцией в параллельных лучах.

Практически случай дифракции Фраунгофера весьма важен. Он находит применение при рассмотрении многих вопросов, касающихся действия оптических приборов. Этому случаю соответствует дифракция на апертуре линз в оптических приборах, дифракция на решетках. На ней основаны схемы пространственной фильтрации.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_55783_priblizheniya-frenelya-i-fraungofera.html

Booksm
Добавить комментарий