Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике

Галилея принцип относительности

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике

Галилея принцип относительности, принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы.

Отсюда следует, что никакими механическими опытами, проводящимися в какой-либо инерциальной системе, нельзя определить, покоится ли данная система или движется равномерно и прямолинейно. Это положение было впервые установлено Г. Галилеем в 1636.

Одинаковость законов механики для инерциальных систем Галилей иллюстрировал на примере явлений, происходящих под палубой корабля, покоящегося или движущегося равномерно и прямолинейно (относительно Земли, которую можно с достаточной степенью точности считать инерциальной системой отсчёта): «Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно… Бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей» («Диалог о двух главнейших системах мира птоломеевой и коперниковой», М. — Л., 1948, с. 147).

  Движение материальной точки относительно: её положение, скорость, вид траектории зависят от того, по отношению к какой системе отсчёта (телу отсчёта) это движение рассматривается. В то же время законы классической механики (см. Ньютона законы механики), т. е.

соотношения, которые связывают величины, описывающие движение материальных точек и взаимодействие между ними, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

Относительность механического движения и одинаковость (безотносительность) законов механики в разных инерциальных системах отсчёта и составляют содержание Г. п. о.

  Математически Г. п. о. выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой — преобразований Галилея.

  Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, S, условимся считать покоящейся; вторая система, S', движется по отношению к S с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах S и S' будут иметь вид:

  x' = x — ut, у' = у, z' = z, t' = t     (1)

  (штрихованные величины относятся к системе S', нештрихованные — к S). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта.

  Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:

  v' = v — u,     (2)

  a' = a.

  В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:

  F = ma, (3)

  где m — масса точки, a F — равнодействующая всех приложенных к ней сил. При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой. Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется. Это и есть математическое выражение Г. п. о.

  Г. п. о. справедлив лишь в классической механике, в которой рассматриваются движения со скоростями, много меньшими скорости света.

При скоростях, близких к скорости света, движение тел подчиняется законам релятивистской механики Эйнштейна (см.

Относительности теория), которые инвариантны по отношению к другим преобразованиям координат и времени — Лоренца преобразованиям (при малых скоростях они переходят в преобразования Галилея).

  В. И. Григорьев.

Инерциальная система отсчёта S' (с координатными осями x', y', z') движется относительно другой инерциальной системы S (с осями х, у, z) в направлении оси х с постоянной скоростью u. Координатные оси выбраны так, что в начальный момент времени (t = 0) соответствующие оси координат совпадают в обеих системах.

Оглавление

Источник: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/008/164.htm

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике

В 1632 г. в книге «Диалог о двух главнейших системах мира — Птолемеевой и Коперниковой» Галилей обосновал принцип относительности, ставший одним из первых основных принципов физики.

Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми внутри данной ИСО, нельзя установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Этот принцип является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений механики Ньютона к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств ИСО, в силу чего именно эти системы должны, как правило, использоваться для изучения механических явлений.

Рисунок 1. Инерциальные системы отсчёта

Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной ИСО к другой. Допустим, что система отсчета S инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета S', движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью ${\overrightarrow{v}}_0$ (рис. 1). Свяжем с каждой системой отсчета декартову систему координат.

Для простоты можно принять, что координатные оси системы S соответственно параллельны координатным осям системы S' и что в начальный момент t0 = 0 начало О системы координат, связанной с системой отсчета S, совпадает с началом О' системы координат, связанной с системой отсчета S'. Кроме того, предположим, что скорость $\overrightarrow{v}$ параллельна оси OX.

При этих условиях ось OХ будет все время совпадать с осью ОХ'.

Пусть в момент времени $t_0$ = 0 движущаяся точка находится в положении M.

За время t начало координат ИСО S' переходит из точки О в положение О', причем, так как ${\overrightarrow{v}}_0=const$, то то $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}'+{\overrightarrow{v}}_0t'$, $t=t'$, где $\overrightarrow{r}$ и ${\overrightarrow{r}}'$ — радиус-векторы движущейся точки соответственно в системах отсчета $S\ $ и $S'$.

В проекциях на оси координат получим:

$\left\{ \begin{array}{c}x=x'+v_0t' \\ y=y' \\ z=z' \\ t=t' \end{array}\right.$

Формулы обратного преобразования имеют вид:

${\overrightarrow{r}}'=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{v}}_0t,\ t'=t$, или в координатной форме: $\left\{ \begin{array}{c}x'=x-v_0t \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=t \end{array}\right.$

Эти формулы называются преобразованиями Галилея. Мы присоединили к формулам преобразования координат дополнительное выражение $t=t'$, чтобы явно отметить, что время в механике Ньютона считается абсолютным (то есть не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой), и поэтому не преобразуется.

С точки зрения «здравого смысла» преобразования Галилея кажутся очевидными. Однако в основе вывода лежит предположение механики Ньютона об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно отмечена в уравнении $t=t'$, при выводе остальных формул использовалось предположение об абсолютности длин.

Чтобы получить формулы сложения скоростей в нерелятивистской механике, возьмем производную по времени: $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{r}'}{dt}+{\overrightarrow{v}}_0=\frac{d\overrightarrow{r}'}{dt'}+{\overrightarrow{v}}_0$, или $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}'+{\overrightarrow{v}}_0$, где $\overrightarrow{v}$ — скорость точки в системе отсчета S, а ${\overrightarrow{v}}'$ — в системе отсчета $S'$. Эта формула выражает закон сложения скоростей в классической механике. Повторное дифференцирование приводит нас к равенству ускорений тела в любой ИСО: $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{v}'}{dt}=\frac{d\overrightarrow{v}'}{dt'}=\overrightarrow{a}'$, где $\overrightarrow{a}$ — ускорение точки в системе отсчета S, $\overrightarrow{a}'$ — в системе отсчета S' Таким образом, ускорение точки в обеих системах отсчета одинаково. Говорят, что ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

По определению ИСО, свободная материальная точка движется в системе отсчета S без ускорения. Поэтому движение данной материальной точки в системе отсчета S' будет также неускоренным. Следовательно, S' — также инерциальная система отсчета.

Таким образом, система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно, также является инерциальной системой.

Следовательно, если существует хотя бы одна ИСО, то существует и бесконечное множество ИСО, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно.

Сила в классической механике зависит от ускорения, которое она сообщает телу. Поэтому, как видно из преобразований Галилея, она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. Отсюда следует, что уравнение, выражающее второй закон Ньютона, остается неизменным при переходе от одной ИСО к другой.

Такие уравнения называются инвариантными. Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение и составляет содержание принципа относительности Галилея.

Равноправие ИСО дает возможность в каждом конкретном случае подбирать систему отсчета, наиболее удобную для решения рассматриваемой задачи.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/dinamika/preobrazovaniya_galileya_princip_otnositelnosti_v_klassicheskoy_mehanike/

Принцип относительности Галилея. урок. Физика 10 Класс

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике

Когда мы с вами обсуждали первый закон Ньютона, речь шла про различные системы отсчета. На этом уроке мы с вами поговорим о различных системах отсчета и о процессах, происходящих в них.

Тема: Законы механики Ньютона
Урок: Принцип относительности Галилея

На этом уроке мы рассматриваем тему «Принцип относительности Галилея». Тема эта является завершающей среди вопросов, связанных с законами Ньютона.

Принцип относительности Галилея состоит в том, что все механические процессы, явления протекают одинаково в инерциальных системах отчета.

Мы говорили, что инерциальных систем может быть много и что именно в этих системах все наблюдаемые механические явления протекают одинаково.

Отметим, что в разных инерциальных системах останутся одинаковыми протекающие явления, однако величины, характеризующие эти явления, могут быть разными.

Так, например, законы движения, описывающие падение шарика в различных инерциальных системах отсчета, будут одинаковыми, тогда как координаты и скорости, входящие в эти законы, будут разными.

Следовательно, и траектории движения в разных инерциальных системах отсчета будут разными.

Рассмотрим пример. Если мы наблюдаем падающее тело в какой-либо системе отсчета, связанной с Землей, то мы можем констатировать тот факт, что тело движется вдоль прямой.

Мы знаем начальную высоту, с которой падает тело, ускорение, с которым оно движется, и его начальную скорость, следовательно, мы можем найти его положение в любой момент времени.

Если мы рассмотрим движение этого тела из другой системы отсчета, например, связанной с велосипедистом, движущимся равномерно, то мы обнаружим, что характер движения не поменялся – оно всё так же является равноускоренным. Однако, величины, входящие в законы движения, будут иными, а следовательно, другой будет и траектория движения.

Галилей в своей работе писал буквально следующее: «Если мы разместимся в каюте парусного корабля и если мы будем производить там какие-либо эксперименты и опыты, то мы абсолютно не сможем отличить эти эксперименты, результаты этих экспериментов от тех, которые мы проводили на берегу.

И, только выйдя на палубу, мы сможем сказать, что вот оказывается, что наш корабль движется, т. е. он движется прямолинейно и равномерно, и именно поэтому все, что происходит в каюте, полностью соответствует тому, что происходило бы на берегу». Вы можете в этом легко убедиться, попав на паром в туманную погоду.

До тех пор, пока туман не рассеется и вы не увидите окружающих предметов, вы не сможете сказать, движется паром или нет.

Однако необходимо заметить такую вещь. Вы все прекрасно знаете, что прямолинейное и равномерное движение встречается крайне редко. Это означает, что и инерциальных систем отсчета тоже существует крайне мало, поэтому необходимо всегда говорить и помнить о том, что существует некое приближение к инерциальной системе отсчета.

Чаще всего мы систему отсчета связываем с Землей, хотя мы все знаем, что Земля движется вокруг Солнца, значит, она движется с ускорением. Земля крутится вокруг своей оси, и здесь, соответственно, есть ускорение. Но, тем не менее, мы почему-то всегда говорим о том, что все системы, связанные с Землей, являются инерциальными.

Дело все в том, что эти ускорения очень и очень невелики по своему значению. Например, на экваторе ускорение при вращении Земли определяется примерно 0,035 м/с2, т. е. величина этого ускорения очень и очень невелика, например, по сравнению с ускорением свободного падения. Поэтому, раз оно невелико, мы можем считать, что движение равномерное.

Обычно, мы учитываем это ускорение, говоря, что ускорение свободного падения меняется в зависимости от широты, на которой мы находимся. Если мы будем рассматривать движение Земли вокруг Солнца, это ускорение будет многократно меньше. Это означает, что и в этом случае мы тоже можем с определенной степенью достоверности применять понятие инерционной системы отсчета к Земле.

Поэтому и говорят, что если поезд движется относительно Земли прямолинейно и равномерно, то он тоже может считаться инерциальной системой отсчета.

В заключение отметим интересный факт: когда мы говорим о принципе относительности Галилея, нельзя забывать, что этот принцип был использован Ньютоном при выводе первого закона Ньютона, а также этот принцип потом вошел как частный случай в общую теорию относительности Эйнштейна. Обращаю ваше внимание также на то, что принцип относительности Галилея мы используем так или иначе при решении многих задач тогда, когда мы говорим о движении, о законах движения в инерциальной системе отсчета.

Список литературы

  1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. А. П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
  3. О. Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
  4. А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 2 ГИА и вопросам А2–А4 ЕГЭ.
  2. Задачи 146, 152, 154, 156, 158 сб. задач А. П. Рымкевич изд. 10 (Источник).
  3. Оцените ускорение, с которым Земля движется вокруг Солнца. Сравните это ускорение с ускорением свободного падения и ускорением, связанным с движением тела вокруг своей оси.
  4. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

Вопрос: Всегда ли работает принцип относительности Галилея?

Ответ: Всегда, когда скорости тел намного меньше скорости света.

Вопрос: Если тело покоится в лабораторной системе отсчета и мы рассматриваем его в движущейся инерциальной системе отсчета, можно сказать, что изменился характер поведения тела.

Ответ: Да, кажется, что тело начало двигаться равномерно прямолинейно в другой системе отсчета, однако с точки зрения динамики неподвижность и равномерное прямолинейное движение – равнозначные понятия, поскольку скорость тела при этом не меняется, а следовательно, на тело не действуют силы, или их действие скомпенсировано.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/bzakony-mehaniki-nyutonab/printsip-otnositelnosti-galileya

Booksm
Добавить комментарий