Поток вектора напряженности электрического поля

1.3. Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля


Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS.

Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.

1):
где En – модуль нормальной составляющей поля

Рисунок 1.3.1.К определению элементарного потока ΔΦ

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

Рисунок 1.3.2.Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR2. Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 1.3.3).

Рисунок 1.3.3.Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ0 = E0ΔS0,   ΔΦ = EΔS cos α = EΔS '.

Здесь ΔS' = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n.

Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:
Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов.

Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов.

Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию.

Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу.

Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

Рисунок 1.3.4.Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:
где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r 

Источник: https://physics.ru/courses/op25part2/content/chapter1/section/paragraph3/theory.html

1.4 Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку DS (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью nк этой площадке угол a. Полагая, что вектор напряженности Ене меняется в пределах площадки DS, определим поток вектора напряженности через площадку DS как

DFE = E DS cos a.       (1.3)

Поскольку густота силовых линий равна численномузначению напряжённости E, токоличество силовых линий, пересекающих площадку DS, будет численно равно значению потока DFE через поверхность DS.

Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и DS= nDS, где n – единичный вектор нормали кповерхности DS. Для элементарной площадки dS выражение (1.

3) принимает вид

dFE = E dS

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Поток вектора электрической индукции. Потоквектора электрической индукцииопределяетсяаналогично потоку вектора напряженности электрического поля

dFD = D dS

Вопределениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, чтодля каждой поверхности можно задать двенормалипротивоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считаетсявнешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q, находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен
  (1.4)

Составляющую dSD = dScosa элементаповерхности dS в направлении вектораиндукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r, в центре которой расположен заряд q.

Учитывая, что dSD / r2 равен элементарному телесномууглу dw, подкоторым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS, преобразуем выражение (1.4) к виду dFD = qdw / 4p, откуда послеинтегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределахтелесного угла от 0 до 4p, получим

FD = q.

Поток вектора электрической индукции череззамкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этойповерхности.

 Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S1 и S2. Поток вектора Dчерез поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S1 и S2:

.

Обе поверхности източки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w. Поэтомупотоки равны

.

Поскольку при вычислении потока через замкнутуюповерхность используется внешняя нормальк поверхности, легко видеть, что поток Ф1D< 0, тогда как поток Ф2D> 0. Суммарный поток ФD= 0. Это означает, что поток вектора электрическойиндукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов,расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q1, q2,¼, qn, которая охватывается замкнутой поверхностью S, то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

    (1.5)

Следует отметить, что заряды qi не обязательно должны быть точечными, необходимое условие — заряженная область должна полностью охватываться поверхностью.

Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S, электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.

5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S:

   (1.6)

Выражение(1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса: поток вектораэлектрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равенсуммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит отзарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности. Теорему Гауссаможно записать и для потока вектора напряженности электрического поля:

.

Изтеоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваютсятолько на электрических зарядах или уходят в бесконечность.

Еще разподчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля Eиэлектрическая индукция Dзависят от расположения впространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутуюповерхность S определяются толькотеми зарядами, которые расположенывнутри поверхности S.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Отметим,чтоинтегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения междуисточниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрическогополя (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений,величины. Производя деление объема V намалые объемы Vi , получимвыражение

справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

    (1.7)

ирассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенноев фигурных скобках, при неограниченном делении объема V. В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукцииD):

Дивергенциявектора D вдекартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7)преобразуется к виду:

.

Учитывая,что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выраженияпереходит в объемный интеграл, получим

Полученноесоотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если значенияподынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно,дивергенция вектора D связана сплотностью заряда в той же точке равенством

или длявектора напряженности электростатического поля

.

Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

.

Выражениеназывается формулой Гаусса — Остроградского и связывает интеграл по объему отдивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность,ограничивающую объем.

Вопросы

1)     В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса дляэлектростатического поля в вакууме

2)     В центре куба находится точечный заряд q. Чемуравен поток вектора Е:

а) черезполную поверхность куба; б) через одну из граней куба.

Изменятся ли ответы, если:

а) заряднаходится не в центре куба, но внутри его;б) заряд находится вне куба.

3)     Что такое линейная, поверхностная, объемная плотностизаряда.

4)     Укажите связь объемной и поверхностной плотностизарядов.

5)     Может ли поле вне разноименно и однородно заряженныхпараллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля

6)     Электрический диполь помещен внутрь замкнутойповерхности. Каков поток сквозь эту поверхность

наверх

Источник: http://www.physicsleti.ru/files/fiz/html/point_1_4.html

Поток вектора напряженности электрического поля

Поток вектора напряженности электрического поля

Определение

Потоком вектора $\overrightarrow{a}\ $через поверхность $S$ называют алгебраическую величину${\ Ф}_a$, которая определяется следующим образом:

\[Ф_a=\int\limits_S{\overrightarrow{a}d\overrightarrow{S}}\ \left(1\right).\]

При этом знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарной площадке $dS$.

Элементарный поток вектора напряженности

Обратимся к электрическому полю. Модуль напряженности равен количеству силовых линий, которые пересекают поверхность площадь, которой равна единице, причем поверхность должна быть перпендикулярна линиям поля в данном месте.

Количество линий поля, которые пересекают вышеназванную поверхность, называются потоком вектора напряженности.

Если выделить элементарную площадку поверхности (dS), построить нормаль к этой площадке $\overrightarrow{n}$, при этом угол между направлением вектора нормали и направлением вектора напряженности составит $\alpha $, то элементарный поток вектора напряженности ($dФ_E$) можно записать как:

\[dФ_E=EdScos\alpha =\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}\ \left(2\right),\]

где

\[d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{n}dS\ \left(3\right).\]

В уравнении (3) $\overrightarrow{n}$ единичная нормаль к площадке $dS$.

Если рассматривать какую — либо произвольную поверхность $S$, то в соответствии с определением потока вектора (1) можно записать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$):

\[Ф_E=\int\limits_S{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}}\ \ \left(4\right).\]

Направление нормали

Как и в общем случае, поток вектора напряженности алгебраическая величина. Знак потока зависит от конфигурации поля и направления вектора — нормали $\overrightarrow{n}$.

Направление нормали условно.

Можно сказать, что интеграл в уравнении (4) характеризует суммарную мощность источников вектора $\overrightarrow{E}$, коими являются заряды, внутри объема, который ограничивает поверхность $S$.

Принято считать, что если имеют дело с замкнутой поверхностью, то нормаль имеет положительное направление наружу. Поток вектора напряженности в случае замкнутой поверхности записывают через криволинейный интеграл по замкнутой поверхности:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}}\ \ \left(5\right).\]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Напряженность электростатического поля задана формулой в декартовых координатах:

\[\overrightarrow{E}=\frac{x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}}{x2+y2},\]

где $\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}$ — единичные орты осей OX и OY. Найдите поток вектора $\overrightarrow{E}$ через сферическую поверхность, если ее радиус равен $R$, а ее центр находится в начале координат.

Решение:

В качестве основы для решения используем определение потока вектора напряженности, а именно:

\[Ф_E=\int\limits_S{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}}\ \ \left(1.1\right),\ \]

где $d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{n}dS$, $dS-$ элементарный участок поверхности сферы, $\overrightarrow{n}$ — нормаль к этому участку.

Запишем выражение для нормали к поверхности сферы, в виде:

\[\overrightarrow{n}=\frac{x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}}{\sqrt{x2+y2+z2}}\ \left(1.2\right).\]

Подставим уравнение (1.2) в (1.1), используем выражение для напряжённости поля из условий задачи, найдем интеграл, при этом при нахождении произведения в подынтегральном выражении, учитываем, что $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$- ортогональные единичные векторы.

\[Ф_E=\int\limits_S{\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}dS}=\int\limits_S{\frac{x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}}{x2+y2}\cdot \frac{x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}}{\sqrt{x2+y2+z2}}dS}=\int\limits_S{\frac{x2+y2}{x2+y2\sqrt{x2+y2+z2}}}\ dS=\int\limits_S{\frac{dS}{\sqrt{R2}}}=\frac{1}{R}\ \int\limits_S{dS=\frac{4\pi R2}{R}}=4\pi R.\]

Ответ: $Ф_E=4\pi R.$

Пример 2

Задание: Определите поток вектора напряженности через поверхность сферы, если внутри нее находится два точечных заряда $+q_1$ и ${-q}_2$.

Решение:

В качестве основы для решения можно взять формулу для потока вектора напряженности в виде:

\[Ф_E=\overrightarrow{E}\cdot S\overrightarrow{n}=EScos\alpha \ \left(2.1\right),\]

где $\alpha $ — угол между нормалью к поверхности, через который ищем поток и вектором напряженности. Поле точечного заряда имеет сферическую симметрию (рис.1). Следовательно, вектор напряженности поля и вектор — нормаль будут сонаправлены ($cos\alpha ={cos 0\ }=1$). На рис. 1 изображено поле положительного заряда.

Рис. 1

Результирующая напряженность поля может быть найдена в соответствии с принципом суперпозиции полей двух зарядов, с учетом знаков.

Запишем выражение для модуля напряженности поля, которое создает первый заряд:

\[E_1=k\frac{q_1}{r2}\left(2.2\right).\]

Для второго заряда:

\[E_2=k\frac{q_2}{r2}\left(2.3\right).\]

Найдем модуль результирующей напряженности, учитывая, что положительный заряд — исток поля, а отрицательный — сток поля, то есть направления полей противоположны:

\[E=E_1-E_2=k\frac{q_1}{r2}-k\frac{q_2}{r2}\ \left(2.4\right).\]

Если мы ищем поток через сферу, которая имеет радиус R, то выражение (2.4) примет вид:

\[E=k\frac{q_1-q_2}{R2}\ \left(2.5\right).\]

Площадь поверхности сферы (S) заданного радиуса равна:

\[S=4\pi R2\left(2.6\right).\]

В таком случае, подставим выражения (2.6) и (2.5) в (2.1), учтем, что $cos\alpha ={cos 0\ }=1$, получим:

\[Ф_E=k\frac{q_1-q_2}{R2}\ 4 \pi R2=\frac{q_1-q_2}{4\pi {\varepsilon }_0R2}4 \pi R2=\frac{q_1-q_2}{\varepsilon_0}.\]

Ответ: $Ф_E=\frac{q_1-q_2}{{\varepsilon }_0}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/potok_vektora_napryazhennosti_elektricheskogo_polya/

Элементарный заряд. Закон сохранений заряда Проводники Полупроводники Диэлектрики Закон Кулона

Поток вектора напряженности электрического поля

§5 Поток вектора напряженности

Определим поток вектора  через произвольную поверхность dS,   — нормаль к поверхности.α — угол между нормалью и силовой линией вектора . Можно ввести   вектор площади . ПОТОКОМ ВЕКТОРА  называется скалярная величина ФЕ равная скалярному произведению вектора напряженности  на вектор площади

Для однородного поля

Для неоднородного поля

где — проекция  на ,  — проекция  на .

В случае криволинейной поверхности S ее нужно разбить на элементарные поверхности dS, рассчитать поток  через элементарную поверхность, а общий поток будет равен сумме или в пределе интегралу от элементарных потоков

где  — интеграл по замкнутой поверхности S (например, по сфере, цилиндру, кубу и т.д.)

Поток вектора   является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

Для однородного поля поток через замкнутую поверхность равен нуля. В случае неоднородного поля

.

§6 Теорема Гаусса и ее применение к расчету напряженности электростатического поля

I. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое единичным положительным зарядом. Заключим его в сферу радиуса R. Определим поток напряженности  через сферическую поверхность радиуса R.

Разобъем поверхность S сферы на элементарные площадки dS. Нормаль к площадке dS направлена по линии радиуса сфера и совпадает с направлением вектора :  параллельна  поэтому

Тогда поток вектора  через поверхность S будет равен сумме потоков через элементарные площадки dS и устремляя dS к 0 можно записать, что

Учитывая, что напряженность поля точечного заряда равна

получим        

Этот результат можно обобщить на случай любой поверхности.

Учитывая принцип суперпозиции можно полученный результат применить к любому количеству зарядов, находящихся внутри поверхности.

ТЕОРЕМА ГАУССА:

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверх­ность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0 (ε0 — электрическая постоянная)

II. Применение теоремы Гаусса.

  1. Напряженность поля, создаваемая бесконечно протяженной однородно заряженной плоскоти с поверхностной плотностью заряда σ.
    ПОВЕРХНОСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА показывает, какой заряд приходится на единицу площади

Пинии напряженности  перпендикулярны рассматриваемой поверхности и направлены от нее в обе стороны. Построим цилиндр с основанием S, образующая которого параллельна линиям напряженности .

Так как образующая цилиндра параллельна  , то поток через основание S равен

Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к.  перпендикулярна S cosα= cos90° = 0, следовательно,

2. Напряженность поля, создаваемая двумя параллельными бесконечно протяженными пластинами с поверхностной плотностью зарядов +σ и -σ. Найден поле Е, используя принцип

суперпозиции полей. В области между плоскостями

Слева и справа от плоскостей поля вычитаются, т.к. линии напряженности направлены навстречу друг другу  .

3. Напряженность ноля, создаваемая бесконечно протяжённой  нитью с линейной плотностью заряда τ.

Линейная плотность заряда            показывает,   какой заряд приходится на единицу длина проводника.

Требуется определить напряженность ноля на некотором расстоянии r от нити. Для этого построим цилиндр радиуса r и высотой h, по оси которого проходит нить.

Поток через основания рассматриваемого цилиндра равен нулю, т.к.  перпенди­кулярна вектору , следовательно, поток будет определяться только потоком через боковую поверхность цилиндра

4. Напряженность поля, создаваемого сферической поверхностью с поверхностной плотностью заряда σ.

На сфере радиуса R распределен заряд q. Поверхностная плотность заряда

Линии напряженности направлены радиально, отходя от поверхности сфера под прямым углом. Окружаем данную сферу сферой радиуса r и определяем поток напряженности  через cферическую поверхность радиуса r.

При r > R весь заряд q попадает внутрь сфера r. Тогда по теореме Гаусса

, т.к. Еn = E.

При r < R внутри поверхности радиуса r зарядов нет и поэтому Е=0. На этом основано экранирование - защита от внешних электрических полей.

5. Напряженность поля объемно заряженного шара с объемной плотностью заряда ρ.

Объемная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу объема

а) При r > R по пункту 4 находим

б) При r < R

Источник: http://bog5.in.ua/lection/electrics_lect/lect3_el.html

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля(Φ). Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора  пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку ΔS (рис. 1.6).

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора  на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором  и нормалью  к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS:

,

где  – проекция вектора  на нормаль  к площадке ;  — единичный вектор, перпендикулярный площадке . 

Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ

Полный поток вектора напряженности  сквозь поверхность  в общем случае равен:

,

где . (Выбор нормали  условен, но в случае замкнутых поверхностей принято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока — В·м.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки  поля  через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора  через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):

.

Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса: поток вектора  через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , т. е.:

.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом  на расстоянии  от него (рис. 1.8),

.

Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд

Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от диполя (- плечо диполя),

,

где   — электрический момент диполя, — угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.

Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,

; ,

где  — напряженность электрического поля;  — угол между векторами  и .

Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,

,

где производная берется по направлению вектора . Направление вектора  в общем случае не совпадает с направлением вектора , ни с направлением вектора . Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора , взятого в направлении .

Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:

1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра

; .

2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,

,

где  — расстояние точки от нити (оси цилиндра),  — линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:

.

Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.

OO' – ось симметрии цилиндра

3. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости (рис. 1.10)

,

где  — поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:

.

Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости

4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда и (поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны

, .

Потенциал. Разность потенциалов

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии

.

Потенциал электрического поля является энергетической скалярной характеристикой электрического поля и равен отношению потенциальной энергии положительного пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

,

где – потенциальная энергия заряда , помещенного в данную точку электрического поля. Потенциальная энергия бесконечно удаленной точки принимается равной нулю. Единица потенциала – вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж.

Работа, совершенная силами поля по перемещению положительного заряда  из точки 1 в точку 2:

или ,

где  — проекция вектора напряженности  на направление ; при этом интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2 (рис. 1.11).

Интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Теперь предположим, что заряд q0 перемещается из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сил электростатического поля , откуда получим:

.

Данное выражение позволяет сформулировать еще одно определение потенциала. Потенциал – это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки пространства в бесконечность (потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю).

Рис. 1.11. Работа сил поля при малом перемещении заряда q

Разность потенциалов и модуль напряженности электрического поля

; ,

где производная  берется в направлении быстрейшего изменения потенциала, т. е. вдоль силовой линии (рис. 1.12).

Для однородного поля ()

,

где  — расстояние между двумя точками, измеренное вдоль силовой линии.

Рис. 1.12. Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r1 и r2

Потенциал поля точечного заряда  на расстоянии  от него

.

Потенциал поля сферической поверхности (шара) радиуса , по которой равномерно распределен заряд :

1.   — для точек, лежащих вне сферы (шара) на расстоянии  от ее центра;

2.   — для точек, лежащих на поверхности сферы (шара) или внутри нее.

Потенциал электрического поля внутри непроводящего шара, равномерно заряженного по объему,

,

где  – диэлектрическая проницаемость материала шара;  – диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар.

Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля. Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

,

где  – потенциал электрического поля, созданного -м зарядом.

Для графического изображения потенциала используются эквипотенциальные поверхности – это поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках.

В любой точке эквипотенциальной поверхности силовая линия ей перпендикулярна, следовательно, перпендикулярен и вектор (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии простых электрических полей: точечный заряд; электрический диполь; два равных положительных заряда

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. Различают три типа диэлектриков:

1) Неполярные диэлектрики. Это диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент (например, N2, H2, O2, CO2).

2) Полярные диэлектрики. Это диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например, H2O, NH3, SO2, CO).

3) Ионные диэлектрики (например NaCl, KCl). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков.

Если диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, то в его объеме возникает собственное макроскопическое поле, которое всегда противоположно ориентировано по отношению к внешнему полю.

Такое явление называется поляризацией диэлектрика, и оно объясняется тем, что в его объеме возникает суммарный дипольный электрический момент молекул.

Различают три основных вида поляризации:

1) Электронная или  деформационная поляризациядиэлектрика с неполярными молекулами — за счет деформации электронных орбит возникает индуцированный дипольный момент у атомов или молекул диэлектрика (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Деформационная поляризация неполярного диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная поляризациядиэлектрика с полярными молекулами — ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю (эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и чем ниже температура) (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Поляризация полярного диэлектрика

3) Ионная поляризация диэлектрика с ионными кристаллическими решетками — смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных ионов против поля приводит к возникновению дипольных моментов.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью вещества (вектор поляризации)

,

где  – физически малый объем вещества;  – концентрация молекул;  – средний дипольный момент одной молекулы. Таким образом вектор поляризации  измеряется суммарным электрическим моментом всех молекулярных диполей в единице объема диэлектрика.

Для изотропного диэлектрика вектор  пропорционален напряженности  поля внутри него

,

где  — диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды, которые называются связанными (в отличие от свободных зарядов, которые создают внешнее поле).

Поверхностная плотность  связанных зарядов равна проекции вектора  на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:

.

Напряженность поля внутри диэлектрика равна:

,

где  — диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле и показывающая во сколько раз поле ослабляется диэлектриком. Таким образом, диэлектрическая проницаемость среды

,

где  – напряженность поля в вакууме;  – напряженность поля в среде. Диэлектрическая проницаемость является безразмерной величиной и характеризует способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле, а также показывает во сколько раз поле ослабляется диэлектриком

Для характеристики поля в диэлектрике вводится вектор электрического смещения (электрической индукции), который для изотропного диэлектрика записывается так

.

Единица электрического смещения – Кл/м2. Вектор описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Введение в рассмотрение векторов поляризации и электрического смещения позволяет изменить запись и формулировку теоремы Гаусса.

Теорема Гаусса: поток вектора  через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов qi, охватываемых этой поверхностью

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_183320_potok-vektora-napryazhennosti-teorema-gaussa.html

Booksm
Добавить комментарий