Потенциальность электростатического поля

Потенциальность электростатического поля

Потенциальность электростатического поля

Определение

Поле (для любых сил) называется потенциальным (консервативным), если работа при перемещении в нем зависит только от конечной и начальной точки пути и не зависит от траектории движения тела. Существует и другое, но абсолютно равнозначное определение потенциальности поля. Поле называется потенциальным, если при перемещении по любому замкнутому контуру работа сил поля равна нулю.

Нам известно, что сила гравитации ($F_G\sim \frac{1}{r2}$), которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, является потенциальной, причем ее потенциальность обусловлена именно такой зависимостью от расстояния.

Сила Кулона также, обратно пропорциональна квадрату расстояния, мы помним закон Кулона ($F_E\sim \frac{1}{r2}$), тоже потенциальна. Все математическое описание потенциала было создано при исследовании сил гравитации. Понятие о потенциале возникло в работах Ж.Л. Лагранжа в 1777 г.

Термин «потенциал» ввели в науку гораздо позднее Дж. Грин и К.Ф. Гаусс.

На основании принципа суперпозиции из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля. Математически доказать это очень просто. Циркуляция вектора напряженности поля точечного заряда ($\overrightarrow{E_i}$) по любому замкнутому контуру равна нулю:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E_i}d\overrightarrow{s}=0\ \left(1\right).}\]

Если поле создается N точечными зарядами, то по принципу суперпозиции мы можем результирующее поле найти как:

\[\overrightarrow{E}=\sumolimits_i{\overrightarrow{E_i}}\ \left(2\right).\]

Найдем интеграл:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=\oint\limits_L{\sumolimits_i{\overrightarrow{E_i}}}d\overrightarrow{s}=\sumolimits_i{\oint\limits_L{\overrightarrow{E_i}d\overrightarrow{s}}}=\sumolimits_i{0}=0\ \left(3\right).}\]

Выше описанный критерий потенциальности поля не является дифференциальным, вследствие чего, его бывает трудно применять. Приходится проверять равенство нулю работы по замкнутому контуру. Это значит необходимо исследовать бесконечное количество циклов, что, в конечном счете, невозможно.

Критерий потенциальности можно применить только тогда, когда известна аналитическая формула работы, что бывает совсем не всегда. Следовательно, необходимо найти другой критерий потенциальности поля, который был бы легок в применении. Таким критерием стала дифференциальная формулировка.

Она дается с помощью понятия ротор вектора ($rot\overrightarrow{A}$).

Что такое ротор

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение

Ротором называют вектор, проекция которого на направление единичного вектора $\overrightarrow{n}$ определяется следующим образом:

\[{rot}_n\overrightarrow{A}={\mathop{lim}_{\triangle S\to 0} \frac{\oint{\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{s}}}{\triangle S}\ }\left(4\right),\]

где $\triangle S$- площадь, лежащая в плоскости перпендикулярной к $\overrightarrow{n}$, которая ограничена малым контуром $L$, на контуре $L$ —направление положительного обхода связано с $\overrightarrow{n}$ правилом правого винта.

(Обратите внимание, что здесь большой буквой $S$ обозначается площадь, маленько буквой $s$ — линейное перемещение.)

Ротор характеризует интенсивность «завихрения» вектора. При практическом вычислении ротора используют формулы:

\[rot\ \overrightarrow{A}=\overrightarrow{abla }\times \overrightarrow{A}=\left| \begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ A_x & A_y & A_k \end{array}\ \right|\left(5\right).\]

Независимость работы от пути перемещения заряда в электростатическом поле выражается равенством:

\[\int\limitsB_{ \begin{array}{c}A \\ L_1 \end{array}}{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}}=\int\limitsB_{ \begin{array}{c}A \\ L_2 \end{array}}{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}\ \left(6\right),}\]

где $L_1\ и\ L_2$ различные пути между точками А и В. Учтем, что при замене местами пределов интегрирования получим:

\[\int\limitsB_{ \begin{array}{c}A \\ L_2 \end{array}}{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-\int\limitsA_{ \begin{array}{c}B \\ L_2 \end{array}}{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}\ ,}\left(7\right),}\]

Выражение (6) представим как:

\[\int\limitsB_{ \begin{array}{c}A \\ L_1 \end{array}}{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}+\int\limitsA_{ \begin{array}{c}B \\ L_2 \end{array}}{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\oint\limits_L{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}}=0\ (8),}}\]

где $L=L_1+L_2$. Применим формулу Стокса:

\[\int\limits_S{rot}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{S}=\oint\limits_L{\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{s}(9)}\]

к уравнению (8), получим:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}}=\int\limits_S{rot\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}}=0\ \left(9\right),\]

где $S$ — поверхность, которая ограничена контуром $L$. Так как поверхность произвольна, то интеграл в выражении (9) может быть равен нулю, только если равно нулю подынтегральное выражение, а так как $d\overrightarrow{S}e 0$ то есть:

\[rot\overrightarrow{E}=0\left(10\right).\]

Формула (10) является дифференциальной формулировкой потенциальности электростатического поля.

Пример 1

Задание: Найти $rot_n\overrightarrow{v}\ $для точек оси вращения, если $\overrightarrow{v}$ — вектор скорости точек твердого тела, которое вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси коллинеарной $\overrightarrow{n}$.

Решение:

Рис. 1

В качестве контура L выберем окружность радиусом R с центром на оси вращения, перпендикулярную оси (рис.1). Мы знаем, что:

\[v=\omega R\left(1.1\right),\] \[\triangle S=\pi R2\left(1.2\right).\]

Определим, что такое $vds$. $ds$- скалярное значение элемента окружности. Поэтому, используем формулу — определение ротора, получаем:

\[{rot}_n\overrightarrow{v}={\mathop{lim}_{R\to 0} \frac{\oint{\overrightarrow{\omega R}\cdot d\overrightarrow{s}}}{\pi R2}\ }={\mathop{lim}_{R\to 0} \frac{\omega R2\pi R}{\pi R2}\ }=2\omega \ \left(1.3\right),\]

где $\oint{ds}=2\pi R$- длина окружности.

Ответ: Ротор линейной скорости точек вращающегося тела равен ${rot}_n\overrightarrow{v}=2\omega .$

Пример 2

Задание: Доказать, что из условия потенциальности поля следует, что тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля не прерываются.

Решение:

Так как электростатическое поле потенциально, то выполняется равенство:

\[A=\oint\limits_L{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}=0\ \left(2.1\right).}\]

Рис. 2

Тангенциальные составляющие — это касательные к произвольной поверхности в любой ее точке. Непрерывность означает, что касательные составляющие напряженности имеют одинаковые значения по обе стороны поверхности. Допустим обратное. Пусть вдоль поверхности S (рис.2) непрерывность не выполняется.

Это значит, что если 1,2 и 3,4 разделенные поверхностью S, но при этом бесконечно близкие друг к другу точки, то работа электростатических сил на пути $1\to 2$ отличается на конечную величину от работы тех же сил на пути $3\to 4$.

Так как мы считаем, что отрезки $1\to 2$ и $3\to 4$ бесконечно малые, силы конечны, следовательно, и работа, выполняемая электрическими силами на заданных отрезках — бесконечно малая величина. Получается, что работа на пути $1\to 2\to 3\to 4\to 1$ должна быть не равна нулю.

То есть работа сил по перемещению пробного заряда по замкнутому контуру не равна нулю. Такое невозможно, так как электростатическое поле потенциальное. Мы показали, что тангенциальные составляющие напряженности электростатического поля ненепрерывны.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/potencialnost_elektrostaticheskogo_polya/

Потенциал электрического поля

Потенциальность электростатического поля

Важным свойством электрического поля, как поля не имеющего вихрей и созданного одними неподвижными источниками, является его потенциальность.

Электрическое поле называется потенциальным, если работа, которую совершает носитель заряда в таком поле, при перемещении его по любому замкнутому контуру равняется нулю.

Гравитационное поле силы тяжести также является потенциальным.

Если поднять груз определенной массы на некоторую высоту, а затем опустить его обратно на поверхность Земли, в прежнюю точку, то полная механическая работа будет также равна нулю.

Причем, совершенно не важно по какой траектории осуществлялся подъем и спуск груза. Источником такого гравитационного поля является в этом примере Земля (тело с массой во много раз большей чем масса поднимаемого груза).

Электростатическое поле, то есть такое поле, которое образовано неподвижными электрическими зарядами, также обладает аналогичной потенциальностью.

Работа носителя заряда при его перемещении по замкнутому контуру в электростатическом поле будет равняться нулю.

Траектория такого перемещения замкнута и называется контуром и эта траектория может быть любого вида, принципиальное значение имеет ее замкнутость, а не форма.

На рисунке изображены разные траектории движения заряда в электростатическом поле плоского конденсатора. Не имеет значения по какому маршруту двигался заряд (картинка слева), совершенная им работа будет одинаковой, то есть A1=A2=A3.

На правом изображении показано движение заряда по замкнутому контуру. Начальная и конечная точки поля совпадают. Заряд двигался из точки 1, затем 2, 3, и снова прибыл в точку 1, тем самым образовав замкнутую траекторию, то есть контур.

В этом случае говорят, что совершенная им механическая работа равна нулю.

Потенциал

Так как электростатическое поле является потенциальным, то в нем каждая точка пространства имеет потенциал характеризующий это поле. Для гравитационного поля это будет гравитационный потенциал, а для электрического — электрический потенциал. Что же такое потенциал и как он определяется?

Потенциалом φ точки электрического поля называется работа, которую нужно затратить, чтобы переместить заряд +q в количестве одного Кулона из бесконечности в данную точку поля, или же работа по перемещению этого же заряда +q из данной точки в бесконечность.

Из определения потенциала получается, что потенциал — это показатель характеризующий работу заряда, то есть это по-сути энергетическая характеристика поля. Что же следует понимать под бесконечностью? Это всё-таки некоторое расстояние, а не математическое понятие ∞.

Под бесконечностью в определении потенциала следует понимать такое расстояние в пространстве, на котором поле можно считать равным нулю, то есть напряженность поля в ней настолько мала, что ее можно принять за ноль.

Силовые линии электрического поля одиночного заряда уходят в бесконечность и даже в этой бесконечности с противоположной стороны вполне может встретится заряд противоположного знака, и тогда эти две бесконечности встретятся. Вот такое место встречи и есть то место, где влияние поля одиночного заряда равно нулю.

Это место нулевого потенциала, где потенциал φ=0, после перехода этой зоны нулевого потенциала его значения поменяют свой знак. В реальной природе, во вселенной, каждый заряд имеет свою противоположную пару и потому точка бесконечности — это точка равновесия, баланса.

Из практических соображений бывает удобно принять некоторую линию или поверхность (эквипотенциальную) равной нулю. Это значит, что относительно некоторого источника электрического поля она всё же имеет некоторое значение, но принимается за ноль из практической необходимости. Получается обоснованная относительная система отсчета потенциалов поля.

На этот счёт есть аналогия с гравитационным полем Земли (отсчет от уровня моря), когда влияние гравитации Солнца несущественно, но для высоких орбит космических спутников следует учитывать и гравитацию Солнца.

При значительном приближении космического аппарата к Луне, влияние гравитационного потенциала Луны станет первостепенным и потребуется лунная система отсчета. Подобным образом обстоят дела и с электрическим полем Земли.

Если в физике при рассмотрении теоретических вопросов выбирают бесконечность, то в электротехнике поступают иначе, и принимают за нулевой потенциал поверхность Земли. Соответственно на определенной высоте от поверхности Земли, в атмосфере, потенциал будет иметь некоторое отличное от нуля значение.

В каком случае понятие потенциала теряет смысл? Если при движении заряда по разным траекториям будет совершатся разная работа, то есть она будет зависеть от формы пути, то здесь потенциал поля не имеет смысла. Итак, понятие потенциала относится только к потенциальному полю.

Потенциальная энергия

Известное в механике понятие потенциальной энергии также относится к потенциальному полю. При отсутствии потенциального поля не может быть никакой речи о потенциальной энергии.

Потенциальной энергией тела мы как раз и называем ту работу, которую необходимо затратить, чтобы переместить это тело из бесконечности в данную точку. Иначе говоря, требуется затратить энергию, чтобы перенести тело из области с нулевым потенциалом в область с высоким потенциалом.

Опять же, если затрачиваемая работа зависит от формы пути, то нет потенциального поля, а значит невозможно говорить о потенциальной энергии.

Как было уже сказано выше, потенциал — это энергетическая характеристика поля и потому достаточно легко определить потенциальную энергию через потенциал.

Потенциальная энергия Up равна произведению заряда q на потенциал φ.

Дата: 01.05.2015

© Valentin Grigoryev (Валентин Григорьев)

Источник: http://electricity-automation.com/page/potentsial-elektricheskogo-polya

Потенциал электрического поля: потенциальная энергия, потенциал поля, эквипотенциальные поверхности

Потенциальность электростатического поля

В статье расскажем про потенциальную энергию и потенциал поля Е, узнаете что такое линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности, а так же про потенциальный градиент.

Потенциальная энергия U нагрузки в поле E и потенциал поля V E

Энергетический подход очень эффективен при описании электрических явлений, поскольку можно определить потенциальную энергию U заряда в электрическом поле. Рассмотрим электрическое поле между двумя параллельными пластинами, на которых есть нагрузки одинаковой величины, но с противоположными знаками.

 Размер плит велик по сравнению с расстоянием между ними, и, таким образом, в большинстве областей поле между ними можно рассматривать как однородное.

 Небольшой положительный точечный заряд +q имеет наибольшую потенциальную энергию U, когда он находится в точке на поверхности положительного электрода, как на чертеже.

Это означает, что в этот момент заряд +q обладает наибольшей способностью выполнять работу при его возврате к отрицательному электроду.

 Нам нужно дать эту энергию заряда U, выполняя работу по переносу этого заряда с отрицательного на положительный электрод.

 Работа выполняется против силы электростатического отталкивания F = Q*E . В разделе dl мы сделаем работу dW равной:

или

Работа по переносу заряда +q между двумя электродами, то есть потенциальной энергии U этого заряда на положительном электроде, равна:

Поскольку электрическое поле является потенциальным полем, работа по переносу заряда из точки а в точку b не зависит от формы пути нагрузки между этими точками.

Ранее мы определяли напряженность электрического поля, как силу, действующую на единицу нагрузку.

 Аналогичным образом мы определяем электрический потенциал V или просто потенциал как отношение потенциальной энергии, которую заряд q имеет в электрическом поле, к величине заряда.

 Следовательно, если любой заряд q имеет потенциальную энергию U в некоторой точке поля, то потенциал поля V в этой точке равен:

В общем случае, когда поле E не является однородным, мы должны написать общее соотношение, которое также верно и для однородного поля:

Теперь мы можем выразить напряженность поля E, уменьшив потенциал dV на участке dl:

Когда направление сдвига dl не параллельно направлению поля E, тогда общее соотношение между обсуждаемыми значениями будет получено путем записи его в векторной форме. Тогда падение dV-потенциала будет скалярным произведением, и в общем случае неоднородного поля приращения dU и dV равны:

Разность потенциалов Vab между точками А и В на рисунке выше, даже если поле было неоднородным, получим интегрированием:

Линии напряженности электрического поля и эквипотенциальные поверхности

Назовем линии E-поля дорожками тест-положительных зарядов, движущимися под действием этого поля. Поверхности, где электрический потенциал имеет одинаковое значение, называются эквипотенциальными поверхностями. Линии поля E (зеленые) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (красные). На рисунке ниже показано окружение точки нагрузки.

Распределение линий E (зеленые), перпендикулярных эквипотенциальным поверхностям (красные), окруженным диполем, можно представить следующим образом:

Поверхность металла всегда является эквипотенциальной поверхностью. Таким образом, когда нагрузки в состоянии покоя распределяются по поверхности металла, электрическое поле непосредственно над поверхностью металла должно быть перпендикулярно его поверхности в каждой точке.

Потенциальный градиент и поле E

Поскольку, как мы показали выше, интенсивность поля E связана с уменьшением потенциала dV и расстояния dl, на котором это уменьшение происходит с помощью формулы:

Этот вектор напряженности поля E может быть определен непосредственно как градиент потенциала:

Полученная связь между вектором поля E и градиентом потенциала:

Как мы помним из свойств векторных функций, градиент скалярной функции (в данном случае потенциал V) равен размеру вектора E. Компоненты этого вектора выражаются частными производными (уменьшаются по x, y и z)

Если поле E является постоянным и однородным, то градиент потенциала также является постоянным, и теперь очень простым и удобным правилом для определения разности потенциалов V (напряжения) в этом поле является отношение, которое напрямую вытекает из соотношения между E и градиентом потенциала:

где расстояние l отсчитывается вдоль поля. Это правило зависит от изменения напряжения, показанного вольтметром, если мы плавно изменим положение его клемм, касаясь провода сопротивления, по которому течет ток.

Напряжение, определяемое по этому правилу, называется шаговым напряжением. Название «шаговое напряжение» возникает из-за риска поражения электрическим током, когда мы предпринимаем длинные шаги (например, бегаем), а удар молнии рядом с нами ударит о землю.

 Ступенчатое напряжение опасно для скота, остающегося на поляне во время шторма.

Только разность потенциалов может быть измерена в эксперименте. Единица измерения электрического потенциала и разности потенциалов составляет 1 вольт (1 В = 1 Дж / 1 С).

Источник: https://meanders.ru/potencial-jelektricheskogo-polja.shtml

Эквипотенциальные поверхности. Потенциал электростатического поля

Потенциальность электростатического поля

Работа по перемещению заряда из точки А в точку В зависит только от положения точек А и В и не зависит от формы пути, по которому движется пробный заряд. Исходя из этого работа, по перемещению заряда, будет равна убыли потенциальной энергии W данного заряда:

Если работа зависит только от положения начала и  конца пути в электростатическом поле, то она может быть выражена как разница двух чисел.

Возьмем производную точку М и обозначим работу по перемещению пробного заряда qпр от М к А через φ(А), а от М к В через φ(В). После чего будет осуществлено перемещение данного заряда от А к В по пути А- М – В.

Так как работу перехода М – А мы обозначили как φ(А), то обратный переход А – М также будет φ(А), из чего следует формула:

Положение точки М по сути безразлично, так как в данном случае играет роль только разность значений функций φ. Однако, задав координаты точки М мы однозначно определим величины функций φ(А) и φ(В), хотя на величину разности φ(А) — φ(В) положение точки М никак не влияет. Как только координаты точки М выбраны, число φ определяется в любой точке пространства.

Отсюда следует важный вывод – величина φ является функцией координат x, y, zи скаляром электростатического поля. Данная скалярная функция φ называется потенциалом электростатического поля. Точка отсчета М для удобства расчетов помещается в бесконечность. Потенциал бесконечно удаленной точки принимают равным нулю φ = 0.

Физическая величина, которая равна отношению потенциальной энергии, приобретаемой положительным зарядом qпр, при его переносе из бесконечности в данную точку пространства к этому заряду, то есть:

Потенциал – это энергетическая характеристика поля. Численно он равен работе, которую нужно совершить при перенесении единичного заряда из бесконечности, где потенциальная энергия считается равной нулю, в данную точку поля.

Из формул (2) и (формулы 3 приведенной по следующей ссылке) получим выражения потенциала поля, которое создано точечным зарядом:

Когда поле образуется несколькими расположенными произвольно зарядами q1, q2,… qn, его потенциал φ в данной точке будет равен алгебраической сумме потенциалов φ1, φ2, … φn, которые создает каждый заряд в отдельности:

Если заряды q1, q2,… qn можно считать точечными, то суммарный потенциал можно посчитать по формуле:

Где r1, r2, … rn расстояние от зарядов q1, q2, … qn до данной точки поля.

В случае если поле образовано электрическим диполем, то потенциал в какой-либо точке поля, находящейся от центра диполя на расстоянии r можно определить по формуле:

Где р = q·l – электрический момент диполя (где l – это плечо диполя), а α – угол между плечом диполя l и радиус вектором r.

В случае, когда точка лежит на оси диполя α = 0, потенциал в этой точке будет равен:

Лежащие на перпендикуляре к плечу диполя точки, восстановлены с его середины, имеют нулевой потенциал (φ = 0), так как α = 900.

Если из точки А в точку В электростатического поля перемещается заряд q/, то при этом совершается работа против электрических сил:

Где φ1 и φ2 потенциалы в точках А и В или

Отсюда следует, что совершаемая полем работа по перемещению заряда измеряется произведением заряда q/, переносимого в электростатическом поле, на разность потенциалов конечной (φ2) и начальной (φ1) точек пути и никак не зависит от формы пути.

Совокупность точек с одинаковым потенциалом образуют эквипотенциальную поверхность или поверхность равного потенциала (φ = const). С помощью данных точек эквипотенциальную поверхность можно изобразить графически.

На рисунке ниже изображено электрическое поле равномерно заряженного диска, где пунктирные линии – эквипотенциальные поверхности, а сплошные – линии напряженности.

Данный рисунок иллюстрирует общее свойство эквипотенциальных поверхностей и силовых линий – эквипотенциальная поверхность и силовая линия, проведенная через любую точку, в данной точке взаимно перпендикулярны.

Поскольку все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал (φ1 – φ2 = 0), то работа не совершается при перемещении заряда вдоль нее.

Из этого следует, что действующий на заряд вектор силы, а значит и вектор напряженности все время перпендикулярен к перемещению.

Если заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности (φ = const), то работа поля будет равна нулю:

В общем случае совершаемая полем работа по перемещению заряда q/ будет равна:

Где dS – элементарное перемещение, а Е – проекция вектора напряженности Е на направление перемещения.

В результате интегрирования выражения (11) для однородного поля получим:

Где S – путь, а α – угол между направлением вектора Е и перемещения.

Источник: https://elenergi.ru/ekvipotencialnye-poverxnosti-potencial-elektrostaticheskogo-polya.html

Booksm
Добавить комментарий