Потенциальная функция тока

Функция тока и потенциал скорости

Потенциальная функция тока

Предыдущая16171819202122232425262728293031Следующая

Понятие и важнейшие свойства функции тока. Определение функции тока по заданному полю скорости. Потенциал скорости. Потенциальные течения. Плоские течения. Примеры определения потенциала скорости по заданному полю скорости.

Функция тока и потенциал скорости

Для определения поля скорости в общем случае нужно найти три скалярные функции координат и времени vx, vy и vz.

Однако в некоторых случаях движения существует такая скалярная функ­ция, производные которой по координатам равны проекциям ско­рости.

В этих случаях для определения поля скорости достаточно найти одну лишь эту функцию, что значительно упрощает задачу. Такой функцией в одних случаях служит функция тока, в других— потенциал скорости.

Функция тока для плоско-параллельного движения несжимаемой жидкости

Понятие и важнейшие свойства функции тока. Рассмотрим плоско-параллельное движение. Функцией тока будем называть такую скалярную функцию координат и времени, градиент которой равен по модулю скорости, но повернут относительно вектора скорости на 90°, в одном и том же направлении во всех точках (рис. 1.29).

Располагая оси Ох и Оу так, чтобы поворот от первой оси ко

второй происходил бы в том же направлении, что поворот от v к grad Ψ, имеем:

, .

Иными словами, Ψ это такая функция, производные которой по координатам удовлетворяют соотношениям:

, (1.2.22)

Отсюда следует, что если Ψ1, есть функция тока, то и Ψ1 + С, где С — произвольная постоянная; также будет функцией тока.

Иначе говоря, функция тока определяется с точностью до аддитивной произвольной постоянной.

Рис.1.29

Если известна функция тока, то равенство (1.2.22) позволяет без труда найти проекции скорости. Обратная задача, т. е. определе­ние функции тока по полю скорости, разрешима не всегда, так как функция тока существует не во всех случаях движения. Действи­тельно, для существования функции Ψ, удовлетворяющей усло­виям (1.2.22), необходимо и достаточно, чтобы имело место равен­ство

,

Так как лишь в этом случае смешанные вторые производные и ,

определяемые из (1.2.22), будут равны. Это значит, что

функция существует в том и только в том случае, когда выпол­няется условие

.

Иначе говоря, введенная вышеуказанным образом функция тока существует лишь в случае плоскопараллельного движения несжи­маемой жидкости. Следует указать, что функции тока, опреде­ляемые, правда, по-иному, могут быть введены также и для пло­скопараллельного движения сжимаемой жидкости и для осесимметричного потока.

Важнейшим свойством функции тока является следующее: во всех точках линии тока функция тока имеет одну и ту же вели­чину. В самом деле, поскольку grad Ψ , а вектор направлен по касательной к линии тока, то проекция grad Ψ на направление линии тока, т. е. производная , равна нулю, и, значит, в направлении линии тока Ψ

не меняется. Это означает, что эквискалярные линии функции Ψ, т. е. линии Ψ =const, представляют собой линии тока.

Рис. 1.30

Докажем другое свойство функ­ции тока: разность между значениями функции тока в двух точках равна объему жидкости, протекаю­щей за единицу времени между этими точками, рассчитанному на единицу высоты потока.

Действительно, указанный объем равен, очевидно, потоку Q скорости через цилиндрическую поверхность σ, опирающуюся на линию АВ, которая соединяет обе точки А и В, причем высота поверхности σ равна единице.

.

Но из рис. 1.30 видно, что , т.е. . Поэтому

.

Определение функции тока по заданному полю скорости

Эта задача сводится к отысканию функции по известным частным производным.

Пример.

Найдем функцию F, удовлетворяющую следующим условиям:

, .

Функция F существует не при любых f1 и f2, а лишь в том случае, когда последние функции удовлетворяют условию

, так как только в этом случае смешанные вторые производные и , будут равны. В нашем случае это условие выполняется и, значит, функция F существует. Для отыскания ее используем сначала первое из условий.

Из него получим , где о величине можно сказать лишь то, что она не зависит от x, но может зависеть и от y. Действительно, дифференцируя последнее равенство по x, можно убедиться в том, что оно равносильно первому из равенств.

Для определения функции используем теперь второе из условий, для которого необходимо равенство

.

Отсюда находим , ,

где С – произвольная постоянная.

Окончательно .

При отыскании функции тока задача сводится к определению функции Ψ, удовлетворяющей условиям и .

Приведем примеры отыскания .

Плоский источник. Так как в этом случае , , то для определения имеем равенства:

, .

Условия существования при этом выполняется, так как выражения и получены с помощью допущения о несжимаемости жидкости. Используем первое из равенств и находим

.

Для определения используем второе равенство

,

Откуда =0, т.е. . Таким образом,

.

Уравнение линий тока плоского источника найдем, приравняв функцию тока постоянной величине. Тогда получим , что равносильно равенству или y=C4x, где С4 – произвольная постоянная. Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, исходящие из начала координат.

Безвихревое движение жидкости. В случае вращения против часовой стрелки имеем:

, .

Поэтому для определения Ψ служат равенства:

, .

Условие существования Ψ выполняется, так как жидкость является несжимаемой. Находим .

Уравнение линий тока Ψ=const сводится к уравнению семейства концентрических окружностей x2+y2=const.

В случае безвихревого вращения по часовой стрелке будем иметь

.

Потенциал скорости

Понятие и важнейшие свойства потенциала скорости

Потенциалом скорости называется скалярная функция φ, гра­диент которой равен скорости:

s w:val=»28″/>v»> . (1.2.23)

Иными словами, φ — это функция, удовлетворяющая условиям:

, , . (1.2.24)

или условию

. (1.2.25)

Очевидно, что если некоторая функция φ удовлетворяет равен­ствам (1.2.23), (1.2.24) или (1.2.25), то и функция φ +С, где С — про­извольная постоянная, будет удовлетворять им. Таким образом, потенциал скорости определяется с точностью до аддитивной про­извольной постоянной.

Эквискалярные поверхности функции φ называются эквипотен­циальными поверхностями.

Если потенциал скорости известен, то равенства (1.2.24) позво­ляют тотчас же найти проекции скорости. Обратная задача, т. е.

определение φ по известному полю скорости, разрешима не всегда, так как потенциал скорости существует лишь при выполнении опре­деленных условий.

В самом деле, в математике показывается, что для существования функции φ, удовлетворяющей условиям (1.2.24) или условию (1.2.25), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

, , . (1.2.26)

(очевидно, что лишь в этом случае смешанные вторые производ­ные от φ не будут зависеть от порядка дифференцирования). Равенства (1.2.26) равносильны условиям

, , ,

или условию

rot =0.

С учетом этих равенств, из теоремы Стокса следует, что

.

Таким образом, для существования потенциала скорости необ­ходимо и достаточно, чтобы движение было безвихревым. Отсюда вытекает, в частности, что в случае потенциального движения ли­нии тока не могут быть замкнуты.

Действительно циркуляция по замкнутой линии тока не может быть равна нулю, ибо суммирова­ние проекций скорости идет по всему контуру с одним и тем же знаком. С другой стороны, в нашем случае Г = 0.

Полученное про­тиворечие и доказывает высказанное выше утверждение.

Укажем важнейшие свойства φ.

1. Эквипотенциальные поверхности и линии тока взаимно ортогональны, так как в каждой точке поверхности φ= const вектор grad нормален к поверхности и в то же время совпадает по направлению с касательной к линии тока. (Очевидно, что в на­правлении движения φ растет). Это же означает, что изолинии φ и Ψ взаимно ортогональны.

2. В случае несжимаемой жидкости потенциал скорости являет­ся гармонической функцией. В самом деле, условие несжимае­мости означает, что проекции скорости удовлетворяют равенству

.

Вводя в него выражения vx, vy, vz из равенства (1.2.24), получаем

.

т. е. потенциал скорости представляет собой решение уравнения Лапласа (является функцией гармонической).

Поэтому задачи отыскания поля скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости сводятся к отысканию решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям, которыми одна задача собственно и отличается от другой.

Примеры определения потенциала скорости. Задача об опре­делении потенциала скорости по заданному полю скорости сво­дится к отысканию функции по ее частным производным. В слу­чае плоско-параллельного движения задача решается подобно тому, как находится функция тока. Приведем примеры определе­ния φ.

Плоский источник. В этом случае движение является безвихревым, т. е. потенциал скорости существует и для его определения служат уравнения:

, ,

откуда получаем

φ =Qln(x2+y2)+const.

Эквипотенциальные поверхности φ = const определяются уравнением x2+y2 = const, т .е. представляют собой семейство соосных круговых цилиндров, ось которых совпадает с осью Oz.

В случае плоского стока

φ = — Qln(x2+y2)+const.

Безвихревое вращение жидкости. Если жидкость вращается против часовой стрелки, то для определения φ имеем уравнения:

,

из которых находим

Следует указать, что, используя свойство ортогональности линий тока и эквипотенциальных поверхностей, можно в ряде про­стых случаев определить форму и положение последних непосред­ственно, исходя из рассмотрения линий тока и не прибегая к опре­делению φ.

Предыдущая16171819202122232425262728293031Следующая .

Источник: https://mylektsii.ru/5-131780.html

Потенциальная функция и потенциал — Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Потенциальная функция тока

В статьях Гамильтоново начало (см.), Механика (см.) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию.

Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координит x, у, z точки) по соответственным координатам, т. е.

X = dU/(dx), Y = (dU)/(dy), Z = (dU)/(dz).

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас («Mécanique célesie»), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.

): «An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism», напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название.

Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы.

То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы (см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал.

Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнению dT живой силы Т системы, то dT = dU и отсюда Т — U = h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию — потенцильной энергией. Равенство Т — U = h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят: полная энергия системы остается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функции f (r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть , где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) — в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс т и М равна отношению εтМ к r2, поэтому потенциал этих двух сил будет ε[(mM)/r], здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс («Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte»; «C. F. Gauss Werke», т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, b) производные ее (dV)/(dx), (dV)/(dy), (dV)/(dz) тоже сплошны и конечны, с) Сумма трех производных второго порядка:

Δ2V = (d2V)/(dx2) + (d2V)/(dy2) + (d2V)/(dz2) = 0

при положении точки вне тела и d) эта сумма Δ 2V равна — 4πεσm при положении точки внутри тела; здесь σ означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, т — массу ее. Свойство с доказано Лапласом, свойство d — Пуассоном. П. функция однородного шара плотности σ, радиуса R и массы

М = 4/3πσR2

на точку массы равной единице выражается отношением εM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2πεσ(R2 — [1/3]r2) и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину (4/3)πεσr, или ε(4/3)πσ(r3/r2) т. е. равна отношению εМ1 к r2, где

М1 = (4/3)πσr3 есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса r. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку.

Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П.

функцию V1, то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину.

Такие поверхности называются поверхностями уровня, каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину, которую имеет V в точках этой поверхности.

Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных от V по х, у, z; эта величина:

называется дифференциальным параметром поверхности уровня в рассматриваемой точке. В гидростатике (см.) доказывается, что жидкость, капельная или упругая, может быть в равновсии только под влиянием сил, имеющих П.

, и что при таком состоянии поверхности уровня, где потенциал имеет одну и ту же величину, суть вместе с тем и поверхности одинакового гидростатического давления (см.

), а при равновесии газообразных масс или упругих жидкостей поверхности уровня суть поверхности равной плотности и равного давления.

Д. Б.

Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния.

Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами.

Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные.

Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы. С. G. S. — единица количества электричества — получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.109 C. G. S. единиц электричества.

Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке M пространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества из M по произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространства V — различное. Если количество η электричества переходит из точки M в другую точку N, то работа ρ электрических сил равна

ρ = η(V1 —V2)

где v1 и V2 потенциалы в точках M и N. Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V1 > V2). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп.

к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты.

Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств).

Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N, тоже нуль (М и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V1 = V2; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V.

Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П.

тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале.

Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V1—V2 потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V1—V2=1, когда при переносе η=1 С. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S.

находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется «вольт»; вольт = 1/300 С.G.S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.1011 C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул

E = 1/2ηV = η2/2q = 1/2qV2

Если η, V и q выражены в С.G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (107 эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д.

, не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V1—V2, не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ А и В и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V1—V2 потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.

) силой е; она измеряется разностью V1—V2, т. е. принимает e=V1—V2. Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = А|В, то закон Вольта говорит, что А|В + В|С = А|С, где С третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем А|В + B|C + C|D +…N|M + M|A = 0, т. е.

сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A|S + S|B ≠ А|В; для комбинации A, S, В, А (например, медь — кислота — цинк — медь) имеет A|S + S|B + В|А ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв.

сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой Е элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если Е не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частяхт» цепи.

Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна Е.

Если J — сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V1 — V2 падение потенциала в этом отрезке, то J=(V1-V2)/r. Так как J везде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. Если V1 — V2 выражено в вольтах, J в амперах (кулон электричества протекает в сек.

), то r выражено в омах. Если написать подобные же выражения J для всех частей цепи, то J должно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивление R всей цепи). Но сумма падений есть Е, следовательно, J=E/R; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв.

сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ=η(V1—V2); но η=Jt, где t время, ибо J измряется количеством электричества, протекающим во время t=1; далее V1—V2=rJ. Отсюда работа ρ=J2rt; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля.

Если J, r и t выражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ=J2rt=Jet. Из формулы J=(V1—V2)r легко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от «свободной энергии» Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).

О. X.

Источник: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона на Gufo.me

Источник: https://gufo.me/dict/brockhaus/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB

Характеристическая функция, потенциал и функция тока

Потенциальная функция тока

Представим себе, что имеем плоский фильтрационный поток любой жидкости или газа, подчиняющийся закону Дарси.

При рассмотрении одномерных течений было показано, что если фильтрация протекает по закону Дарси, существует потенциальная функция j, удовлетворяющая уравнению Лапласа.

Но если существует потенциальная функция j, то наряду с ней существует функция y, также удовлетворяющая уравнению Лапласа. Зная функцию j, всегда можно определить функцию y путем интегрирования уравнения (7.37).

Потенциальная функция течения определяется зависимостью основных параметров жидкости (или газа) и пористой среды от давления. Допустим, что эта зависимость однозначная; тогда можно заключить, что в основной плоскости течения линии равного давления (изобары) совпадают с эквипотенциальными линиями j(х, у) = С.

Но кривые y(х, у)=С* взаимно ортогональны с эквипотенциальными линиями. Следовательно, направление векторов скорости фильтрации будет совпадать в любой данной точке М с направлением касательной к кривой семейства y(х, у)=С*, то есть кривые этого семейства можно считать линиями тока.

(При установившемся движении линии тока и траектории частиц жидкости совпадают). Функция y(х, у) называется функцией тока.

Потенциальную функцию течения jи функцию тока y всегда можно принять за действительную и мнимую части некоторой функции F(z) комплексного переменного z (7.34).

Функция F (z) называется характеристической функцией течения (комплексным потенциалом).

Исследование любого плоского течения жидкости или газа в пористой среде должно начинаться с определения характеристической функции, соответствующей данной задаче. Найдя ее, мы можем считать задачу решенной.

В самом деле, отделив в характеристической функции действительную часть от мнимой, т. е. представив ее в виде, показанном формулой (7.34), можно определить потенциальную функцию j(х, у)и функцию тока y(х, у).

В результате можно представить полную картину потока: принимая различные значения функции j, получим уравнения семейства эквипотенциальных линий j(х, у) = С, а придавая различные значения y, найдем уравнения семейства линий тока y(х, у) = С*.

По эквипотенциальным линиям определяется распределение давлений в пласте, по линиям тока – направление движения и характер поля скоростей фильтрации.

Проекции вектора массовой скорости фильтрации на оси координат можно записать в виде:

(7.38)

Примечание. Функции тока может быть дан следующий смысл.

Фиксируем некоторую линию тока y(х, у) = 0 и вообразим канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями с образующими, перпендикулярными плоскости течения, проведенными через линию тока y = 0 и другую линию тока y(х, у) = С* и двумя плоскостями – плоскостью движения и ей параллельной, отстоящей от первой плоскости на расстояние, равное единице (рис. 7.20).

  Рис. 7.20. Распределение потока между двумя параллельными плоскостями 1 и 2

При рассмотрении двух произвольных поперечных сечения канала ω1 и ω2 видно, что количество массы жидкости, протекающей через эти сечения в единицу времени (расход) будет одно и то же; внутри такого канала количество массы жидкости при установившемся движении измениться не может; через боковые стенки канала, образованные линиями тока y = 0 и y(х, у) = С*1, и через плоскости движения жидкость не протекает, следовательно, втекает жидкости в единицу времени через ω1 столько, сколько вытекает через ω2.

Функцией тока можно назвать функцию, принимающую на линии тока y(х, у) = С*значение, равное массе жидкости (газа), протекающей в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях y = 0 и y(х, у) = С*1 . Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока y= 0.

Массовую скорость фильтрации можно очень просто определить в любой точке пласта, найдя производную от характеристической функции по комплексному аргументу z. Чтобы это показать, составим полный дифференциал от характеристической функции F (z):

(7.39)

Вынося во второй скобке множитель i за знак скобки и воспользовавшись затем уравнениями Коши – Римана (7.37) получим:

т.е. .(7.40)

Учитывая (7.38), перепишем (7.40) в виде

.(7.41)

Из (7.40) и (7.41) следует, что производная dF/dz есть комплексное число, модуль которого равен модулю массовой скорости фильтрации:

.(7.42)

Таким образом, модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации.

Для однородной несжимаемой жидкости функция тока будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока y=0 и y*.Модуль же производной от характеристической функции течения будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u.



Источник: https://infopedia.su/15x4854.html

Потенциальная функция тока

Потенциальная функция тока

Обозначим через Ф поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через произвольную поверхность S, которая опирается на контур L:

$\overrightarrow{n\ }$ — положительная нормаль к S, которая образует с направлением тока правовинтовую систему. Этот поток зависит только от расположения контура L, но не зависит от формы поверхности S. Используя определение векторного потенциала:

поток можно записать как:

Так мы получили, что магнитный поток Ф через контур L равен циркуляции векторного потенциала по заданному контуру. Если перемещать контур элементарная механическая работа $\delta А\ \ $сил $магнитного$ поля может быть представлена как:

где $\delta Ф$ — увеличение магнитного потока через поверхность, связанную с контуром с током.

Формула (4) показывает, что работа пондемоторных сил магнитного поля при любом перемещении тока равна произведению изменения магнитного потока на силу тока. Следовательно, перемещения, при которых магнитный поток через контур не изменяется, не связаны с работой магнитного поля.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Введем обозначение:

В таком случае уравнение (4) примет вид:

где индекс I обозначает, что при определении приращения функции U силу тока считаем постоянной. В данном случае функция U выступает в роли потенциальной или силовой функции тока в магнитном поле. Следовательно, формула (6) значит, что работа пондемоторных сил магнитного поля равна убыли потенциальной функции тока.

Если функция U выражена в зависимости от «обобщенных» координат $q_i$, которые характеризуют положение контура с током, «обобщенная» пондемоторная сила ${\theta }_i$, которая действует на контур с током в направлении любой из координат $q_i,$ может быть представлена как:

Свойство (7) силовой функции U однако, не дает права отождествлять ее с потенциальной энергией магнитного поля. Так как при перемещении проводника с током в магнитном поле не только пондемоторные силы совершают работу, также выполняют работу электродвижущие силы. Значит, изменение энергии магнитного поля при перемещении проводника нельзя приравнять к работе пондемоторных сил поля.

Введение потенциальной функции тока облегчает рассмотрение пондемоторных сил, которые действуют на токи в магнитном поле, так как это позволяет исключить сложное суммирование сил, которые действуют на отдельные элементы тока.

Так, например, из уравнения (6) и (7) следует, что устойчивое равновесие контура с постоянным током соответствует минимуму потенциальной функции U или по (5) максимуму магнитного потока Ф.

Потенциальная функция тока для объемных токов

В том случае, когда нельзя не учитывать изменением магнитной индукции по сечению тока от линейных токов переходят к объемным токам. Для этого в уравнение (5) подставим вместо магнитного потока правую часть уравнения (3), получим:

Затем перейдем к объемным токам, тогда потенциальную функцию тока определяют как:

Пример 1

Задание: Рамка находится в однородном магнитном поле с индукцией B и закреплена так, что может вращаться вокруг своей оси (рис.1). Ее площадь равна S. По ней течет ток силы I. Угол $\alpha $ — между положительной нормалью к рамке и вектором $\overrightarrow{B}.$ В каком положении рамка находится в состоянии устойчивого равновесия?

Рис. 1

Решение:

Магнитный поток (Ф) через рамку равен:

\[Ф=BScos\alpha \ \left(1.1\right).\]

тогда потенциальная функция тока будет иметь вид:

\[U=-ISBcos\alpha \left(1.2\right).\]

Момент сил, приложенных к рамке сил, который стремится повернуть рамку, равен:

\[M=-\frac{\partial U}{\partial \alpha }=ISBsin\alpha \left(1.3\right).\]

Положения равновесия рамки соответствует M=0. То есть $\alpha =0,\ \alpha =\pi .$ Первый угол соответствует минимуму потенциальной функции, второй угол максимуму потенциальной функции. Следовательно, только первый угол соответствует устойчивому равновесию.

Ответ: Пондемоторные силы магнитного поля стремятся повернуть рамку с током так, чтобы положительная нормаль совпадала с линиями поля.

Пример 2

Задание: Рассмотрим взаимодействие двух замкнутых линейных токов $I_1\ и\ I_2$, которые обтекают контуры $L_1\ и\ L_2$ соответственно.

Магнитный поток, который второй ток образует через контур первого тока, равен $Ф_{21}=I_2L_{21}$, $Ф_{12}=I_1L_{12}$- магнитный поток, первого тока через контур второго тока, здесь $L_{21}=L_{12}$ — называют коэффициентами взаимной индукции контуров $L_1\ и\ L_2$.

Коэффициенты взаимной индукции зависят от конфигурации, взаимного расположения контуров и направления их обхода. Силы токов в контурах постоянны. Запишите выражения для пондемоторных сил, которые действуют на токи и выражение для соответствующей им работы.

Решение:

Запишем выражения для потенциальных функций токов. Для тока $I_1$ в поле тока $I_2\ $получим:

\[U_{21}=-I_2Ф_{21}=-L_{21}{I_2I}_1\ \left(2.1\right).\]

Для тока $I_2$ в поле тока $I_1\ $имеем:

\[U_{12}=-I_1Ф_{12}=-L_{12}{I_1I}_2\ \left(2.2\right).\]

Так как$\ L_{12}$=$L_{12}$, следовательно, $U_{21}=U_{12}$. Обобщенные пондемоторные силы ${\theta }_i$ равны:

\[{\theta }_i=-\frac{{\left(\partial U\right)}_I}{\partial q_i}={I_1I}_2\frac{\partial L_{12}}{\partial q_i}\left(2.3\right).\]

Так как токи постоянны, то получаем:

\[\theta ={I_1I}_2\frac{\partial L_{12}}{\partial q_i}\left(2.4\right).\]

Работа механических сил равна:

\[\delta A=-{\left(\delta U_{12}\right)}_I={I_1I}_2\delta L_{12}\left(2.5\right).\]

Механическое взаимодействие замкнутых токов удовлетворяет принципу «действие равно противодействию», так как силы, которые испытывают каждый ток, определены одинаковыми функциями $U_{12}=U_{21}$, которые зависят только от относительного расположения контуров.

Ответ: $\theta ={I_1I}_2\frac{\partial L_{12}}{\partial q_i}.\ \ \delta A={I_1I}_2\delta L_{12}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannoe_magnitnoe_pole/potencialnaya_funkciya_toka/

Функция тока плоского течения

Потенциальная функция тока

Впрактических задачах гидромеханикидвумерных потоков широчайшее применениенаходит понятие о функции тока. Рассмотримдвумерный поток и ограничимся несжимаемойжидкостью.

Какбыло показано, для плоского течениядифференциальное уравнение линии токаимеет вид

или

. (10.10)

Плоскоетечение или в общем случае двумерноетечение жидкости обладает той особенностью,что для него можно ввести функцию тока:

, (10.11)

. (10.12)

Подставляя(10.11) и (10.12) в (10.10), получим

. (10.13)

Таккак по условию (10.3) смешанные производныеравны

,

то(10.13) является полным дифференциалом идля линии тока можно записать

или

, (10.14)

гдеС– произвольная постоянная.

Уравнение(10.14) является семейством линий тока.Каждому конкретному значению Ссоответствует своя линия тока. Изменяязначение С,будем получать различные линии тока.

Дляплоского потенциального течения ,т.е.

,

откудаполучаем уравнение Лапласа

. (10.15)

Следуетотметить, что потенциал скоростисуществует только в потенциальномпотоке, т.е. в потоке без вихрей. Функциятока существует также и в вихревомпотоке, но определена только длядвумерного потока.

Еслипотенциалу скорости задать некотороефиксированное значение С,то получим семейство линий

, (10.16)

обладающихтем свойством, что вдоль каждой линиипотенциал скорости остается постоянным.Такие линии называются эквипотенциальными.В потенциальном потоке скорость жидкостинаправлена в сторону наибольшегоизменения потенциала и по этой причине скорость перпендикулярналиниям постоянного потенциала.

Линиипостоянного значения функции токасовпадают с линиями тока, вдоль которыхнаправлена скорость потока. По этойпричине в потенциальном плоскомустановившемся потоке семейство линийтока и семейство эквипотенциальныхлиний взаимно перпендикулярны илиортогональны. Сетка кривых и называется гидродинамической сеткой.Вид ее показан на рис. 10.1.

Таккак в потенциальном поле

,

то

. (10.17)

Выражения(10.17) называются соотношениями Коши-Римана.

Рассмотримгидромеханический смысл функции тока,для чего проведем две достаточно близкорасположенные линии тока, как показанона рис.6.2.

Возьмемна линиях тока точки Аи В.Разложим скорость потока по координатнымосям и вычислим расход жидкости междуточками в направлениях осей:

.

Общийрасход составит

. (10.18)

Отсюдаследует, что объемный расход между двумялиниями тока равен разности значенийфункций тока на этих линиях. Если контурзамкнут, т.е. точки Аи Всовпадают, и функция тока являетсяоднозначной, то расход жидкости черезтакой контур равен нулю. При неоднозначностифункции тока, когда в нутрии контураимеется источник жидкости или сток, .

Лекция 11. Методы расчета потенциальных потоков

Длянахождения потенциала скорости и функциитока необходимо проинтегрироватьуравнения Лапласа при заданных граничныхусловиях, что является достаточносложной задачей.

Существует метод,позволяющий определить значенияпотенциала и функции тока без интегрированияуравнений Лапласа.

Общая идея методасводится к следующему: сначала задаютсянекоторой функцией, которая удовлетворяетуравнению Лапласа, а затем выясняют,чему соответствует гидромеханическаясетка движения.

Пример1.Пусть выражение для потенциала скоростиимеет вид

,

гдеaиb– некоторые действительные числа.

Найдемпроекции скорости на координатные оси:

.

Проверим,удовлетворяет ли выражение для потенциалауравнению Лапласа.

.

Выражениедля потенциала скорости соответствуетуравнению Лапласа. Скорости потока внаправлении координатных осей и постоянны, поток двигается с постояннойскоростью. Полная скорость потока

.

Выясним,что представляют собой линии тока. Таккак

,

топосле интегрирования имеем

. (11.1)

Длялинии тока справедливо соотношение .Приравнивая (11.1) некоторой постоянной,получим

или .

Этоуравнение семейства параллельныхпрямых, наклоненных под углом к оси х.Вид гидродинамической сетки показанна рис. 11.1.

Пример2.Пусть потенциал скорости задан выражением

,

гдеа– некоторое действительное число, приэтом а>0.

Определяемпроекции скорости

.

Проверяем,удовлетворяет ли выражение для потенциалауравнению Лапласа

.

Выражениесоответствует уравнению Лапласа.

Определяемвид функций тока

.

Послеинтегрирования имеем

. (11.2)

Произвольнаяпостоянная в данном случае нас неинтересует. Приравнивая (11.2) некоторойпостоянной, получим

или .

Получилисемейство кривых, описываемых уравнением

.

Отсюдаследует, что линии тока представляютсобой семейство гипербол с асимптотами,являющимися осями координат. При С1>0или x>0,y>0,или x

Источник: https://studfile.net/preview/6812091/page:13/

Booksm
Добавить комментарий