Построение треугольников. Задачи на построение

Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам

Построение треугольников. Задачи на построение

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №68 г. Челябинска

имени Родионова Е.Н.

Адрес: 454078, г.Челябинск, ул. Вагнера, 70а

E-mail: mou68imrodionovaen@mail.ru

Задачи на построение.

Построение треугольника по трем элементам.

Ф.И.О.: Юмина Кристина Юрьевна

Должность: учитель математики

Квалификационная категория: вторая категория

Предмет: геометрия

Челябинск, 2015

Предмет: Геометрия

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам.

Учитель: Юмина Кристина Юрьевна

Класс: 7

Технология: Компьютерная (новая информационная) технология обучения

Конспект учебного занятия:

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам. Класс: 7

Дата:

Оборудование: циркуль, транспортир, линейка, компьютер, проектор, презентация, рабочая карточка для каждого ученика (Приложение 1), карточка с домашним заданием для каждого ученика (Приложение 2).

Учебник: Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2010 – 384с.

Форма урока: Изучение нового материала. Практическая работа

Цели урока:

  1. Обобщить знания по теме: «Задачи на построение с помощью циркуля и линейки»;

  2. Отработать навыки построения треугольника по трем его элементам.

  1. Способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

  2. Способствовать развитию памяти учащихся.

  1. Способствовать воспитанию интереса к предмету;

  2. Способствовать воспитанию личностных качеств: активности, самостоятельности, аккуратности в работе.

План урока (45 мин):

  1. Организационный момент (3 мин)

  2. Повторение (8 мин)

  3. Изучение нового материала (20 мин)

  4. Физкультминутка (2 мин)

  5. Первичное закрепление (5 мин)

  6. Итог урока (3 мин)

  7. Ответы на вопросы учащихся (2 мин)

  8. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока:

Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие учащихся.

На дом учащимся было задано задание повторить задачи на построение с помощью циркуля и линейки: построить отрезок, равный данному; построить угол, равный данному.

  1. Сегодняшний урок мы начнем с проверки домашнего задания, а поможет нам в этом компьютер. Итак, все внимание на экран.

(проверка домашнего задания, презентация)

  1. Какие теоремы мы использовали при доказательстве в этих задачах на построение? (первый, второй и третий признак равенства треугольников)

Учащиеся формулируют эти признаки:

  1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

  2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  1. Таким образом, для успешного изучения задач на построение нам необходимо знать:

  1. Во-первых, как строить отрезок равный данному и угол равный данному.

  2. Во-вторых, признаки равенства треугольников.

  3. Изучение нового материала

Тема сегодняшнего урока: «Построение треугольника по трем его элементам».

Давайте с вами подумаем и ответим на такой вопрос: «Какие элементы есть в треугольнике?» (3 угла и 3 стороны). Таким образом, получается всего 6 элементов. А нам для построения треугольника необходимо всего 3.

Давайте с вами подумаем над таким вопросом: «Какие 3 элемента необходимы для построения треугольника?» (2 стороны и 1 угол, 2 угла и 1 сторона, 3 стороны, а 3 угла – не подходят, т.к. треугольники мы получим не равные, а подобные.

Что это означает, мы с вами будем изучать в 8 классе).

Цель нашего урока: рассмотреть и доказать алгоритмы задач на построение треугольника по трем его элементам с помощью циркуля и линейки. А именно:

  1. Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними;

  2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к нему углам;

  3. Построить треугольник по трем сторонам.

Таким образом, чтобы построить треугольник по трем элементам, нужно сначала уметь строить отрезок, равный данному и угол равный данному. Конечно, это можно сделать с помощью линейки с делениями и транспортиром, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без деления.

Любая задача на построение состоит из 4 основных этапов:

  1. Анализ

  2. Построение

  3. Доказательство

  4. Исследование

Анализ. На этом этапе происходит отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.

Построение – происходит построение по намеченному плану.

Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи.

Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько именно.

Обращаю ваше внимание на то, что в 7 классе этап анализа решения задачи не проводится, т.е. мы ограничиваемся только тремя этапами: построение, доказательство, исследование.

Итак, приступим к построению треугольника по 3 его элементам.

Начнем с задачи №1: Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними.

Дано:

Построение:

1. Построить угол М, равный заданному углу А.

2. На одной стороне угла отметить точку К так, чтобы отрезок МК был равен заданному отрезку АВ.

3. На другой стороне угла отметить точку N так, чтобы отрезок MN был равен заданному отрезку АС.

4. Соединить с помощью линейки точки K и N.

5. Построен треугольник MKN по двум сторонам и углу между ними.

Запись на доске:

  1. M = A

  2. MK=AB

  3. MN=AC

  4. KN

  5. ∆MKN- искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по первому признаку

Исследование: задача всегда имеет 4 решения.

Давайте с вами подумаем и ответим на вопрос: Чему равна сумма всех углов треугольника? (1800) А может она быть больше 1800? (Нет) А может она быть меньше 1800? (Нет)

Задача №2: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дано:

Построение:

1. Построить отрезок MN, равный заданному отрезку AB.

2. Построить угол M, равный заданному углу А.

3. Построить угол N, равный заданному углу B.

4. Точка пересечения двух сторон углов M и N – вершина треугольника K.

5. Построен треугольник MKN по стороне и двум заданным углам.

Запись на доске:

  1. MN=AB

  2. M = A

  3. N = B

  4. M ∩ N =K

  5. ∆MKN- искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по второму признаку

Исследование: задача всегда имеет 2 решения, если сумма двух углов треугольника меньше 1800.

Прежде, чем приступить к решению третей задачи, давайте с вами вспомним, а какое условие должно выполняться, чтобы треугольник существовал?

(Должны выполняться неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.)

Задача №3: Построить треугольник по трем сторонам.

Дано:

Построение:

1. Построить отрезок MN, равный заданному отрезку AB.

2. Из точки M провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку АС.

3. Из точки N провести часть окружности, радиус которой равен заданному отрезку CB.

4. Эти окружности пересекаются в точке К.

5. Соединяем точку М с точкой К и точку N с точкой К.

6. Построен треугольник MKN по трем сторонам.

Запись на доске:

  1. MN=AB

  2. Окр1 (M, AC)

  3. Окр2 (N, CB)

  4. Окр1∩Окр2=К

  5. MK, NK

  6. ∆MKN- искомый треугольник

Доказательство: треугольники равны по третьему признаку

Исследование: задача имеет 2 решения, если выполняются неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Иначе, решений нет.

(Проводит один из учеников, по желанию)

Одолела вас дремота, (Зеваем)

Шевельнуться неохота?

Ну-ка, делайте со мною

Упражнение такое:

Вверх, вниз потянись, (Руки вверх, потянулись)

Окончательно проснись.

Руки вытянуть пошире. (Руки в стороны)

Раз, два, три, четыре.

Наклониться — пять, шесть (Наклоны туловища)

И на месте поскакать. (Прыжки на месте)

На носок, потом на пятку.

Все мы делаем зарядку.

После отдыха учащиеся самостоятельно решают задачи, а учитель ходит и контролирует правильность выполнения заданий. Если кто-то не справляется, учитель объясняет план решения задачи. Те учащиеся, которые самостоятельно справились с решением задач, получают оценки. (Приложение 1)

  1. Что нового узнали на уроке? (С помощью циркуля и линейки можно строить не только отрезок равный данному и угол равный данному, а еще и треугольники по трем его элементам)

  2. Всегда ли можно построить треугольник по трем его сторонам? (Нет, это возможно, только если выполняются неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон)

  3. Выставление оценок за урок.

  1. Ответы на вопросы учащихся

  1. Домашнее задание (Приложение 2)

  1. Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 1100.

  2. Построить треугольник ВСР, если С = 150, Д = 500, СД = 3 см.

  3. Построить треугольник МНО, если МН = 1 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо построить все заданные элементы в натуральную величину.

Приложение 1

Вариант 1.

Построить треугольник ВСН, если ВС = 3 см, СН = 4 см, С = 350.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Вариант 2

Построить треугольник КМО, если КО = 6 см, К = 1300, О = 200.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Вариант 3

Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2 см, ЕО = 3 см.

Дано:

Построение:

Доказательство:

Исследование:

Приложение 2

Домашнее задание по геометрии

  1. Построить треугольник СДЕ, у которого ДС = 4 см, ДЕ = 5 см, Д = 1100.

  2. Построить треугольник ВСР, если С = 150, Д = 500, СД = 3 см.

  3. Построить треугольник МНО, если МН = 5 см, НО = 4 см, ОМ = 3 см.

Подсказка. Перед построением треугольника необходимо построить все заданные элементы в натуральную величину.

11

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/zadachi-na-postroieniie-postroieniie-trieughol-nika-po-triem-eliemientam

Конспект по теме

Построение треугольников. Задачи на построение

Цели урока:

Образовательная: знакомство учащихся с задачами на построение треугольников по трем элементам; максимально донести до учащихся изучаемый материал;

Развивающая: развивать мышление, память, умение свободно пользоваться циркулем;

Воспитательная: попытаться повысить активность и самостоятельность учащихся при выполнении практических заданий.

Оборудование: школьный циркуль, линейка, интерактивная доска, проектор, ноутбук.

ХОД УРОКА

1. Мотивация к учебной деятельности.

Вспомнить : к какому виду можно отнести задачи, показанные на слайдах?

( Задачи на построение угла равного данному и задача на построение биссектрисы угла.)

2. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

Учитель: Вспомним, как построить угол равный данному, и как построить биссектрису данного угла. (слайдах №1 -3) Фронтальная беседа.

3. Выявление места и причин затруднения.

Учитель: Как вы думаете, о чем же мы сегодня будем говорить на уроке? (о задачах на построение)

А подумайте, что же мы будем строить в соответствии с той темой, что мы проходим. Слайд №4. (Ответ учеников: треугольники)

Учитель: Итак, сегодня мы будем учиться строить треугольники.

А сколько достаточно знать элементов, чтобы треугольники были равными? (три) Вспомним, какие признаки равенства треугольников вы знаете? (ответы учащихся)

Поэтому и треугольник равный данному, тоже можно построить по трем элементам.

В задачах на построение будем использовать только циркуль и линейку.

4. Формулирование темы и цели урока. (слайд 6)

Учитель: Попробуйте сформулировать тему и цель сегодняшнего урока.

Тема урока: «Построение треугольника по трем элементам» (записываем в тетрадь)

5. Построение проекта выхода из затруднения.

Учитель: Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа:

анализ; построение; доказательство; исследование.

Анализ и исследование задачи необходимы так же, как и само построение. Необходимо посмотреть, в каких случаях задача имеет решение, а в каких – решения нет.

Устно проводитьсяанализ построения задач (разбираем вместе учащимися). Выстраивается проект который необходимо будет реализовать в действии.

6.Реализация построенного проекта. («Открытие» нового знания»)

Работа в группах. (слайд 7)

Задание: Построить треугольник по трем элементам. Вывести алгоритм построения треугольников.

1 группа — построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

2 группа — построение треугольника по стороне и двум, прилежащим к ней углам .

3 группа — построение треугольника по трем сторонам.

7. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Отчет по группам. Один из учащихся группы выступает у доски, все другие учащиеся делают соответствующие записи в тетрадях. (слайды № 9- 16)

1 группа.Ответ ученика.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. (слайды №10-12)

Дано: отрезки Р1Q1 и P2Q2угол hk;

Рассказывает о том, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Выводиться алгоритм построения треугольника по двум сторонам и углу между ними, записывается в тетради.

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а.

2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку P1Q1.

3. Построим угол ВАМ, равный данному углу hk.

4. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку P2Q2.

5. Проведём отрезок BC.

6. Построенный треугольник АВС – искомый.

Физкультминутка. (слайды №19-22)

II группа.

Ответ ученика.

2 . Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.(Слайды № 13-15)

Дано: отрезок; 2 угла;

Ученик объясняет, как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выводиться алгоритм построения треугольника.

Алгоритм построения

1. Проведем луч АК с началом в точке А.

2. Отложим от начала луча с помощью циркуля угол С1АВ, равный углу hk.

3. От начала луча отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1.

4. Построим угол АВС2, равный углу mn.

5. Точку пересечения лучей АС1 и ВС2обозначим точкой С.

6. Построенный треугольник АВС – искомый.

III группа.

Ответ ученика. Построение треугольника по трем сторонам. (слайды № 16-18)

Дано «P1Q1», «P2Q2», «P3Q3». Требуется построить ABC

Ученик рассказывает о том , как построить треугольник по трем сторонам. Выводиться алгоритм.

Алгоритм построения

1. Проведем прямую а.

2. Отложим на ней с помощью циркуля отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1.

3. Построим окружность с центром А и радиусом Р3Q3.

4. Построим окружность с центром В и радиусом Р2Q2.

5. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим точкой С.

6. Проведём отрезки АС и ВС.

7. Построенный треугольник АВС – искомый.

8. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. (слайды 23 -24)

Задача (самостоятельно, с последующей самопроверкой)

Построить треугольник ОДЕ, если ОД = 4 см, ДЕ = 2 см, ЕО = 3 см.

После построения любого треугольника, самостоятельно провести доказательство того, что получившийся треугольник – искомый, и по возможности провести исследование.

9. Домашнее задание: № 290 п.38. (слайд 25)

10. Подведение итогов урока. (слайд 26)

Какую цель мы поставили перед собой в начале урока?

Решили ли мы те задачи. которые перед собой поставили?

11. Рефлексия учебной деятельности на уроке. (слайд 27)

Источник: https://infourok.ru/konspekt-po-teme-zadachi-na-postroenie-treugolnikov-1065474.html

Урок 27. построение треугольника по трём элементам — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа

Построение треугольников. Задачи на построение

Геометрия

7 класс

Урок № 27

Построение треугольника по трём элементам

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Задачи на построение циркулем и линейкой.
  • Алгоритмы решения простейших задач на построение.
  • Способы решения задач на построение треугольника по трём заданным элементам.
  • Этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование.

Тезаурус:

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Построение треугольника по трём элементам:

  • по 2 сторонам и углу между ними;
  • по стороне и двум прилежащим к нему углам;
  • по трём сторонам.

Задачи на построение:

  • позволяют моделировать те или иные практические ситуации
  • устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Построение треугольника по трём элементам.

Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:

1. Отрезок, равный данному.

2. Угол, равный данному.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.

Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.

Построение: описать способ построения.

Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.

Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.

Задача 1.

Построить треугольник по трём заданным сторонам.

Условие:

Дано:

Построить: ∆A1B1C1 = ∆ABC

Схема построения:

Задача 2.

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Условие:

Дано:

Построить: ∆A1B1C1 такой, что A1B1 = AB, A1C1 = AC, ∠B1A1C1 = ∠BAC.

Схема построения:

Задача 3.

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Условие:

Дано:

Построить: ∆A1B1C1 такой, что A1B1 = AB, ∠A1 = ∠A, ∠B1 = ∠B.

Схема построения:

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.

Решение.

∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.

Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.

Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дано: отрезок р, угол α.

Решение.

  1. Построим ∠В = α.
  2. Проведем окружность с центром В и радиусом р.
  3. С – точка пересечения окружности и угла.
  4. Построим перпендикуляр к другой стороне угла.
  5. ∆АВС – искомый.

Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Дано: отрезки р и q, угол α.

Решение.

Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС = р, ∠А =α , а биссектриса АD = q.

Построение:

1) Построим ∠А = α.

2) Отложим отрезок АС = р.

3) Построим биссектрису АD угла А.

4) Отложим отрезок АD = q.

5) В – точка пересечения АВ и СD.

∆АВС – искомый.

Ответ: ∆АВС – искомый.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7305/conspect/

Построение треугольника по трём элементам. Задачи на построение. урок. Геометрия 7 Класс

Построение треугольников. Задачи на построение

На этом уроке мы вспомним основные методы и приемы, а также поговорим о четырех этапах решения задач на построение. Решим несколько задач и рассмотрим примеры для закрепления знаний и навыков.

Любое построение мы осуществляем с помощью двух чертежных инструментов – линейки и циркуля. Циркулем мы можем проводить любые окружности. С помощью линейки мы можем проводить прямые линии, соединять точки.

Любая задача на построение решается в четыре этапа, а именно:

  1. анализ исходных данных и составление плана решения;
  2. выполнение построения по намеченному плану;
  3. доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;
  4. исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение. А если имеет, то сколько решений.

Дано:

Рис. 1. Данные условия примера

Построить: треугольник по заданным элементам.

Решение

Предположим, что искомый треугольник построен (рис. 2).

Рис. 2. Анализ условия

Проанализировав полученный треугольник, мы можем заметить, что он состоит из двух прямоугольных треугольников, которые мы легко умеем строить по катету и гипотенузе, которые даны нам по условию.

Построение:

    Доказать, что построенный треугольник удовлетворяет условиям задачи, очень просто. Все заданные элементы присутствуют и их длины соответствуют заданным. Теперь самый сложный этап в этой задаче. При всех ли значениях  задача имеет решение? Конечно, нет. Одним из важных условий является то, что . То есть длина перпендикуляра должна быть меньше длины обеих наклонных.

    Осталось понять, сколько решений имеет задача.

    •  – решение одно (рис. 3).

    Рис. 3. Одно решение

    •  – два решения (рис. 4).

    Рис. 4. Два возможных решения

    Свойство серединного перпендикуляра к отрезку

    Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка (рис. 5). Если .

    Рис. 5. Свойство серединного перпендикуляра

    И наоборот: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку: .

    Доказать это утверждение несложно: достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники  и  и доказать их равенство.

    Как можно использовать этот факт? Из него следует, что центр любой окружности, проходящей через точки  и , будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку .

    Свойство биссектрисы угла

    Любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла (рис. 6).

    Рис. 6. Свойство биссектрисы угла

    И наоборот, точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

    Вспомним, что  (длина перпендикуляра), аналогично: .

    Доказать этот факт несложно: достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники  и , и доказать, что они равны.

    Как можно использовать этот факт? Из него следует, что центр любой окружности, вписанной в угол, будет лежать на биссектрисе этого угла (рис. 7).

    Рис. 7. Окружность, вписанная в угол

    Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

    Решение

    Предположим, что такая окружность построена, а значит, ее центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  (свойство серединного перпендикуляра). Но если такая окружность построена, то и перпендикуляр к отрезку  будет проходить через ее центр (рис. 8).

    Рис. 8. Анализ задачи

    Делаем вывод, что если такая окружность и существует, то ее центр лежит на пересечении двух серединных перпендикуляров.

    Переходим к построению.

    1. Проводим  – серединный перпендикуляр к .
    2. Проводим  – серединный перпендикуляр к .
    3. Находим точку .
    4. Проводим окружность, где .

    Построенная нами фигура удовлетворяет условиям задачи, так как она проходит через три заданные точки.

    Переходим к исследованию. Всегда ли задача будет иметь решение? Нет, так как серединные перпендикуляры к отрезкам будут пересекаться не во всех случаях. Например, если серединные перпендикуляры параллельны, это произойдет в том случае, если заданные точки лежат на одной прямой (рис. 9).

    Рис. 9. Исследование задачи

    По существу мы решили задачу, где три точки образовывают треугольник, а в этом случае существует всего одна окружность, которую можно вокруг него описать, и все вершины треугольника будут лежать на ней. В этом случае задача имеет одно решение. Если заданные точки лежат на одной прямой, то задача не имеет решений.

    Мы рассмотрели общий план решения задач на построение, вспомнили его основные этапы (анализ, построение, доказательство, исследование). Выяснили, что для решения подобных задач необходимо знать опорные факты (свойство серединного перпендикуляра, свойство биссектрисы угла).

    Список рекомендованной литературы

    1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
    2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
    3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. / Под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение.

    Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    1. Интернет портал «sc109.ru» (Источник)
    2. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
    3. Интернет портал «school-collection.edu.ru» (Источник)

    Домашнее задание

    Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

    Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.

    Из точки  к окружности с центром  и радиусом  проведена касательная. Докажите, что точка  касания лежит на основании равнобедренного треугольника , у которого , .

    Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/zadachi-na-postroenie

    Задачи на построение

    Построение треугольников. Задачи на построение

    При решении многих задач на построение треугольников применяют метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник.

    Задача

    Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

    Дано: 1, 2, отрезок ЕK.

    Построить:АВС такой, что А =1, В =2, СD — биссектриса, СD = ЕК.

    Решение:

    Имеем два угла и отрезок, строим их.

    Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок А1В1 и построим треугольник А1В1С, у которого А1 =1, В1 =2.

    Чтобы построить углы, равные данным, т.е.

    А1 =1 и В1 =2, сначала строим с помощью циркуля окружности произвольного радиуса с центрами в вершинах углов 1 и 2  (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом), точки пересечения данных окружностей со сторонами угла 1 обозначаем буквами М и N, со сторонами угла 2 — Р и Н.

    Теперь строим окружности с центрами в точках А1 иВ1 таких же радиусов как и окружности с центрами в вершинах углов 1 и 2 (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Точки пересечения данных окружностей с отрезком А1В1 обозначаем А2 и В2 соответственно.

    Затем с помощью циркуля измеряем расстояние между точками М и N, и строи окружность радиуса МN c центром в точке А2 (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом), точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке А1 обозначаем буквой А3. Аналогично измеряем расстояние между точками Р и Н, и строи окружность радиуса РН c центром в точке В2 (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке В1 обозначаем буквой В3.

    Проводим прямые через точки А1 и А3, В1 и В3. Точку пересечения прямых А1А3 и В1В3 обозначаем буквой С.

    Теперь строим биссектрису угла С. С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине С (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное синим). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла С обозначаем буквами F и S.

    Затем строим две окружности одинакового радиуса FS с центрами в точках F и S (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и зеленым цветом).

    Точку пересечения данных окружностей внутри угла С обозначаем буквой R, проводим прямую СR, которая и является биссектрисой угла С.

    Далее на луче СR откладываем отрезок, равный данному отрезку ЕК. Для этого с помощью циркуля измеряем отрезок ЕК и строим окружность с центом в точке С радиуса ЕК (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное желтым цветом).

    Точку пересечения данной окружности с лучом СRобозначаем буквой D. Теперь через точку D нужно провести прямую АВ, параллельную прямой А1В1.

    Для этого строим окружность произвольного радиуса (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное зеленым цветом) с центром в точке пересечения прямой А1В1 и биссектрисы СR (в данном случае эта точка совпала с точкой А2), точки пересечения данной окружности с прямой А1В1 и биссектрисы СR обозначаем Y и X соответственно. Теперь строим окружность с центром в точке D такого же радиуса, как и радиус окружности с центром в точке А2  (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Точку пересечения данной окружности с биссектрисой СR обозначаем буквой G. Затем с помощью циркуля измеряем расстояние между точками Y и X и чертим окружность с центром в точке G радиуса ХY (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом). Точку пересечения данной окружности и окружности с центром в точке D обозначаем буквой L. Далее проводим прямую через точки D и L, точки пересечения данной прямой с лучами СА1 и СВ1 обозначаем буквами А и В соответственно. Итак, мы построили  СDВ =СА2В1, причем эти углы соответственные при пересечении прямых А1В1 и АВ секущей СR, следовательно, А1В1АВ (по признаку параллельности двух прямых). АВСА1В1С (по двум углам).

    Докажем, что АВС — искомый.

    По построению АВА1В1, СА и СВ — секущие, углы А и А1, В и В1 — соответственные, значит, А =А1 и В =В1 (по теореме о соответственных углах), при этом по построению А1 =1 и В1 =2, поэтому А =1 и В =2 и также по построению биссектриса СD треугольника АВС равна данному отрезку ЕК. Следовательно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Что и требовалось доказать.

    Данная задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 1800, т.к. сумма углов треугольника равна 1800.

    Отрезок А1В1 можно выбрать произвольно, поэтому существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи.

    Все эти треугольники равны друг другу (по 2 признаку равенства треугольников), следовательно, задача имеет единственное решение.

    Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3502

    Booksm
    Добавить комментарий