Построение треугольника по трем элементам

§ 4. Построение треугольника по трём элементам

Построение треугольника по трем элементам

Расстоянием между двумя точками мы назвали длину отрезка, соединяющего эти точки. Введём теперь понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М — любая точка прямой а, отличная от Н (рис. 136). Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM.

Рис. 136

Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке 137 расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Рис. 137

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Теорема

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство

Рассмотрим параллельные прямые а и B. Отметим на прямой а точку А и проведём из этой точки перпендикуляр АВ к прямой B (рис. 138). Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Рис. 138

Проведём из точки X перпендикуляр ХУ к прямой B. Так как ХY ⊥ b, то ХY ⊥ a. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и B секущей AY). Следовательно, ХY = АВ.

Итак, любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой B. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми (окончание)

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание 1

Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. (Докажите это самостоятельно.)

Замечание 2

Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, народящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

В самом деле, пусть а — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на прямой а произвольную точку А и проведём отрезок АВ длины d, перпендикулярный к прямой а; через точку В проведём прямую B, параллельную прямой а (сделайте соответствующий рисунок).

По доказанной теореме все точки прямой B находятся на расстоянии d от прямой а, т. е. все они принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой B. Таким образом, искомым множеством является прямая B.

Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, иногда называют геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать тем самым, что геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

На этом факте основано устройство инструмента, называемого рейсмусом (рис. 139, а). Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска (рис. 139, б).

Рис. 139

Построение треугольника по трём элементам

Задача 1

Построить треугольник по двум сторонам и Углу между ними.

Решение

Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.

Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и угол hk (рис. 140, а). Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам P1Q1 и P2Q2, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.

Проведём прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1 (рис. 140, б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем). На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку P2Q2, и проведём отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый.

Рис. 140

В самом деле, по построению АВ = P1Q1, АС = P2Q2, A = hk.

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках P1Q1, P2Q2 и данном неразвёрнутом угле hk искомый треугольник построить можно.

Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.

Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 2

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решите эту задачу самостоятельно.

Задача 3

Построить треугольник по трём его сторонам.

Решение

Пусть даны отрезки P1Q1, P2Q2 и P3Q3 (рис. 141, а). Требуется построить треугольник АВС, в котором AB = P1Q1, BC = P2Q2, СА = P3Q3.

Проведём прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1 (рис. 141,6). Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом P3Q3, а другую — с центром В и радиусом P2Q2. Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.

Рис. 141

В самом деле, по построению AB = P1Q1, BC = P2Q2, CA = P3Q3, т. е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.

Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Задачи

271. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

272. В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

273. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

274. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

275. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

277. Расстояние между параллельными прямыми а и б равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

278. Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC = 30°, AD = 6 см.

279.* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

280. Даны неразвёрнутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

281. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

282. Прямые а и б параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХY, где X ∈ a, Y ∈ б, лежат на прямой, параллельной прямым а и б и равноудалённой от этих прямых.

283. Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Задачи на построение

284. Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми аир было равно АВ.

Решение

Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую б, перпендикулярную к прямой а (рис. 142).

Рис. 142

Затем на одном из лучей прямой б, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой б. Прямая р — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р, на рисунке 143).

Рис. 143

285. Даны пересекающиеся прямые а и б и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой б на расстояние PQ.

286. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

287. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

288. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

289. Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠BAC = ½∠hk.

290. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

291. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

292. Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и Р3Q3. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

Всегда ли задача имеет решение?

293. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Решение

Даны отрезки P1Q1 и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, скажем АВ, равна отрезку P1Q1, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2.

Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку P1Q1 (рис. 144, б).

Рис. 144

Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться P2Q2.

Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой АВ и находящаяся на расстоянии Р2Q2 от прямой АВ.

Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: AB = P1Q1, СН = P2Q2, ∠A = ∠hk.

294. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.

295. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.

Ответы к задачам

271. 8см.

272. 12см.

273. 14см.

275. Указание. Сначала доказать, что СМ — медиана треугольника АВС.

277. 2 см или 8 см.

278. 3 см.

279. Указание. Через одну из точек, удовлетворяющих условию задачи, провести прямую, параллельную данной, и доказать, что любая другая точка, удовлетворяющая условию задачи, лежит на этой прямой.

280. Луч с началом на стороне ВА, параллельный стороне ВС. Указание. Воспользоваться задачей. 279.

281. Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

282. Указание. Воспользоваться задачей 281.

283. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.

285. Указание. Воспользоваться задачей 284.

Источник: http://tepka.ru/geometriya_7-9/20.html

Урок

Построение треугольника по трем элементам
Бесплатно

урок «Построение треугольника по трем элементам» содержит примеры решения трех задач  на построение треугольника по трем заданным его элементам. Данная тема имеет важное практическое значение.

Сформированное умение производить корректные построения треугольников является важной основой для дальнейшего освоения умений и навыков геометрических построений, решения задач.

Поэтому задача данного видеоурока – сформировать представление о корректном решении практических задач на построение треугольника по трем элементам.

материал может сопровождать объяснение учителя по теме, служа для подачи примеров, которые параллельно закрепляются соответствующими аналогичными построениями в тетради. Также материал может быть использован вместо объяснения учителя в качестве самостоятельной части урока.

Решить задачи урока учителю помогают инструменты видеоматериала, облегчающие понимание и запоминание его. Высокая наглядность объяснения достигается при помощи анимационных эффектов, возможности выделения цветом понятий и деталей построения. «Живая» подача материала позволяет удержать внимание учеников на изучаемом предмете, углубляет понимание процессов при решении геометрических задач.

После представления темы видеоурока, демонстрация начинается с формулировки условия первой задачи. Предлагается построить треугольник по заданным двум сторонам его и углу, образованным ними. Формируя навыки решения геометрических задач, напоминается необходимость разбора задачи на условие и вопрос.

Уточняется, то в данной задаче заданы величины некоторых двух сторон треугольника и величина угла, которые они образуют. На экране изображены отрезки, которые составят стороны треугольника – для первой стороны P1 Q1 и отрезок для построения второй стороны P2 Q2, а также угол ∠hk. Предлагается решить данную задачу на построение при помощи циркуля и обычной линейки без делений.

В результате построения должен получиться треугольник ΔABC, в котором AB=P1 Q1, AC=P2 Q2, а величина угла ∠A между ними равна заданному углу ∠hk. Построение начинается с откладывания на прямой a отрезка AB=P1 Q1, при помощи циркуля. Затем из точки A строится луч AM, который образует с прямой a угол, равный ∠hk. Далее на данном луче откладывается отрезок AC=P2 Q2.

Концы полученных отрезков AB и AC соединяем отрезком BC. Таким образом, искомый треугольник с заданными сторонами и углом, построен. Отмечается, что всех заданные условия выполнены по построению. Такая задача выполнима. Так как при построении имеется возможность выбирать произвольно прямую и точку для начала построения, то таких треугольников будет бесконечно много.

Все такие треугольники будут равными между собой по первому признаку равенства. Сообщается, что в связи с этим считается, что данная задача имеет единственное решение.

Далее в ходе видеоурока предлагается решить вторую задачу на построение. Необходимо построить треугольник с заданными стороной и двумя прилежащими к ней углами. На экране продемонстрированы условия данного задания – имеющиеся отрезок MN, углы ∠α и ∠β.

Необходимо построить треугольник ΔABC, сторона которого AB равна имеющемуся отрезку, а величина прилежащих углов ∠A и ∠B равна величинам имеющихся углов ∠α и ∠β. Построение начинается с откладывания циркулем на прямой a стороны AB, равной отрезку MN.

Из точки A откладывается угол, который равен имеющемуся углу ∠α. Из точки B откладывается угол, равный ∠β. Построенная таким образом точка пересечения построенных лучей, которые являются частью отмеренных углов, есть третья вершина ΔABC.

Построенный треугольник является искомой геометрической фигурой. На рисунке демонстрируется соответствие условий задачи сделанному построению.

В последней части видеоурока предлагается построить треугольник по заданным трем сторонам. Для построения треугольника задаются три отрезка, отображающиеся на экране – первый P1 Q1, второй P2 Q2 и третий P3 Q3.

Необходимо построить треугольник ΔABC, в котором стороны будут равны длинам заданных отрезков: AB=P1 Q1, CA=P2 Q2, сторона BC=P3 Q3. Построение начинается с откладывания отрезка AB на некоторой прямой a. Его длина откладывается равной длине P1 Q1. Для построения следующих сторон проводятся окружности в точках A и B.

Радиус первой окружности равен длине P2 Q2, длина P3 Q3 определяет радиус второй окружности. После построения окружностей получается две точки их пересечения. Отмечаем одну из точек как C – последнюю оставшуюся недостроенной вершину треугольника ΔABC. Соединив построенную вершину C сточками A и B, получили решение задачи.

Отмечается, что все стороны треугольника соответствуют условию задачи и равны соответственно заданным вначале отрезкам. При этом отмечается особенность данной задачи – она не всегда может иметь решение. Ученикам напоминается, что из изученной ранее теоремы известно, что любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух его других сторон.

Поэтому для случаев, когда длина одного заданного отрезка равна сумме двух оставшихся или больше ее, то задача не имеет решения — условие неравенства треугольника не выполняется.

урок «Построение треугольника по трем элементам» может быть использован учителем на уроке геометрии в школе. Также материал поможет сформировать навыки решения рассматриваемых задач на построение при самостоятельном изучении материала, может быть рекомендован для дистанционного обучения.

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-postroenie-treugolnika-po-tryom-elementam-523.html

урок «Построение треугольника по трем элементам»

Построение треугольника по трем элементам
§ 1  Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение геометрической фигуры — одна из интересных задач в геометрии. Получить необходимую фигуру только при помощи циркуля и линейки без делений не просто.

Фигура треугольник часто используется в решении задач, но как его правильно построить?

Пусть необходимо построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Во-первых, что такое две стороны – это два произвольных отрезка, например, P1Q1 и P2Q2, а также произвольный угол альфа. Все эти элементы уже построены, другими словами, эти элементы – дано задачи.

Во-вторых, необходимо определить последовательность построения: сначала необходимо построить одну сторону треугольника, затем угол и потом вторую сторону треугольника.

Итак, перед нами белый лист, проведем прямую а и отметим на ней точку А, затем возьмем циркуль и отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Далее выберем произвольный раствор циркуля и проведем одну окружность с центром в вершине угла альфа и другую с центром в точке А.

Первая окружность пересечет лучи угла альфа в точках Р и К, а вторая окружность пересечет прямую а в точке М. Проведем отрезок РК. Затем возьмем раствор циркуля, равный отрезку РК, и построим окружность с центром в точке М. Окружность с центром в точке М пересечет окружность с центром в точке А, пусть эта точка будет М1. Проведем луч АМ1.

Затем на луче АМ1 отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2. Соединим точки В и С отрезком. Полученный треугольник АВС – искомый.

Теперь докажем, что полученный треугольник АВС искомый. На самом деле отрезок АВ равен отрезку P1Q1 и отрезок АС равен отрезку P2Q2 по построению. Угол альфа также по построению равен углу САВ.

При данном ходе построения для любых данных отрезков P1Q1 и P2Q2 и неразвернутом угле альфа искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.

Все эти треугольники равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

§ 2  Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Теперь рассмотрим задачу построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, нам дан отрезок PQ и два угла альфа и бета. Проведем прямую а и отметим на ней произвольную точку А. Отложим от точки А отрезок АВ, равный отрезку PQ. Затем построим угол М1АВ с вершиной в точке А, равный углу альфа, и угол М2ВА с вершиной в точке В, равный углу бета. Точка пересечения лучей АМ1 и ВМ2 будет точка С. Треугольник АВС искомый.

Докажем это: отрезок АВ равен отрезку PQ по построению, также по построению угол САВ равен углу альфа, а угол СВА равен углу бета.

Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому при данном ходе построения искомый треугольник АВС возможно построить только, если сумма углов альфа и бета будет меньше 180 градусов. Если же сумма данных углов будет больше или равна 180 градусом, треугольник построить невозможно.

В этой задаче, как и в предыдущей, прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, а значит, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по второму признаку равенства треугольников, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

§ 3  Построение треугольника по трем сторонам

Построить треугольник по трем сторонам является третьей задачей построения треугольника.

Пусть нам даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3. необходимо построить треугольник АВС, в котором АВ равно P1Q1, ВС равно P2Q2 и СА равно P3Q3.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Затем построим две окружности: одну – с центром в точке А и радиусом P3Q3, а другую – с центром в точке В и радиусом P2Q2.

Пусть точка С – одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.

В самом деле, по построению АВ равно P1Q1, BC равно P2Q2 и СА равно P3Q3, то есть стороны треугольника равны данным отрезкам.

Рассмотренная задача не всегда имеет решение в силу действия неравенства треугольника, то есть в любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Список использованной литературы:

  1. Атанасян Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. –383 с.
  2. Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие/ И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/Postroenie-treugolnika-po-trem-elementam

Построение треугольника по трем элементам. урок. Геометрия 7 Класс

Построение треугольника по трем элементам

Данная тема имеет широкое практическое применение, поэтому рассмотрим некоторые типы решения задач. Напомним, что любые построения выполняются исключительно с помощью циркуля и линейки.

Пример 1:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Дано: Предположим, анализируемый треугольник выглядит так

Рис. 1.1. Анализируемый треугольник к примеру 1

Пусть заданные отрезки будут с и а, а заданный угол будет

Рис. 1.2. Заданные элементы к примеру 1

Построение:

Сначала следует отложить угол 1

Рис. 1.3. Отложенный угол 1 к примеру 1

Затем на сторонах данного угла откладываем циркулем две данные стороны: замеряем циркулем длину стороны а и помещаем остриё циркуля в вершину угла 1, а другой частью делаем насечку на стороне угла 1. Аналогичную процедуру проделываем со стороной с

Рис. 1.4. Отложенные стороны а и с к примеру 1

Затем соединяем полученные насечки, и мы получим искомый треугольник АВС

Рис. 1.5. Построенный треугольник АВС к примеру 1

Будет ли данный треугольник равный предполагаемому? Будет, ведь элементы полученного треугольника (две стороны и угол между ними) соответственно равны двум сторонам и углу между ними, данным в условии. Поэтому по первому свойству равенства треугольников —  – искомый.

Построение выполнено.

Примечание:

Напомним, как отложить угол, равный данному.

Пример 2

Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить .

Построение:

Рис. 2.1. Условие к примеру 2

1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С – являются точками пересечения со сторонами угла А

Рис. 2.2. Решение к примеру 2

1. Построить окружность Окр(D, r = CB). Точки E и M – являются точками пересечения со сторонами угла А

Рис. 2.3. Решение к примеру 2

1. Угол МОЕ – искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3

Построить треугольник АВС по известной стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть анализируемый треугольник выглядит так:

Рис. 3.1. Условие к примеру 3

Тогда заданные отрезки выглядят таким образом

Рис. 3.2. Условие к примеру 3

Построение:

Отложим угол  на плоскости

Рис. 3.3. Решение к примеру 3

Отложим на стороне данного угла длину стороны а

Рис. 3.4. Решение к примеру 3

Затем отложим от вершины С угол . Необщие стороны углов γ и α пересекаются в точке А

Рис. 3.5. Решение к примеру 3

Является построенный треугольник искомым? Является, так как сторона и два прилежащих к ней угла построенного треугольника соответственно равны стороне и углу между ними, данных в условии

 — искомый по второму признаку равенства треугольников

Построение выполнено

Пример 4

Построить треугольник по 2 катетам

Дано

Пусть анализируемый треугольник выглядит так

Рис. 4.1. Условие к примеру 4

Известные элементы – катеты

Рис. 4.2. Условие к примеру 4

Данная задача отличается от предыдущих тем, что угол между сторонами можно определить по умолчанию – 900

Построение:

Отложим угол, равный 900. Делать это будем точно так же, как показано в примере 2

Рис. 4.3. Решение к примеру 4

Затем на сторонах данного угла откладываем длины сторон а и b, данных в условии

Рис. 4.4. Решение к примеру 4

В результате полученный треугольник – искомый, ведь его две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними, данными в условии

Заметим, что отложить угол 900 можно, построив две перпендикулярные прямые. Как выполнить эту задачу, рассмотрим в дополнительном примере

Дополнительный пример

Восстановить перпендикуляр к прямой р, проходящий через точку А,

Дано:

Прямая р, и точка А, лежащая на данной прямой

Рис. 5.1. Условие к дополнительному примеру

Построение:

Сначала выполним построение окружности произвольного радиуса с центром в точке А

Рис. 5.2. Решение к дополнительному примеру

Данная окружность пересекает прямую р в точках К и Е. Затем построим две окружности Окр(К, R = КЕ), Окр(E, R = КЕ). Данные окружности пересекаются в точках С и В. Отрезок СВ – искомый,

Рис. 5.3. Ответ к дополнительному примеру

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
  2. Репетитор по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

  1. № 285, 288. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г.,       Юдина  И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противолежащему основанию.
  3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу
  4. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины данного угла.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/postroenie-treugolnika-po-trem-elementam?konspekt

Построение треугольника по трем элементам

Построение треугольника по трем элементам

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам.

Класс: 7

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам. Класс: 7

Дата:

Оборудование: циркуль, транспортир, линейка, компьютер, проектор, презентация, рабочая карточка для каждого ученика (Приложение 1), карточка с домашним заданием для каждого ученика (Приложение 2).

Учебник: Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2012 – 384с.

Форма урока: Изучение нового материала. Практическая работа

Цели урока:

  1. Обобщить знания по теме: «Задачи на построение с помощью циркуля и линейки»;

  2. Отработать навыки построения треугольника по трем его элементам.

  1. Способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

  2. Способствовать развитию памяти учащихся.

  1. Способствовать воспитанию интереса к предмету;

  2. Способствовать воспитанию личностных качеств: активности, самостоятельности, аккуратности в работе.

План урока (45 мин):

  1. Организационный момент (3 мин)

  2. Повторение (8 мин)

  3. Изучение нового материала (20 мин)

  4. Физкультминутка (2 мин)

  5. Первичное закрепление (5 мин)

  6. Итог урока (3 мин)

  7. Ответы на вопросы учащихся (2 мин)

  8. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока:

  1. Организационный момент

  2. Здравствуйте, девочки! Здравствуйте, мальчики! Я вижу у вас хорошее настроение, давайте улыбнёмся друг другу. Пусть хорошее настроение сохранится у вас в течение всего урока. А сейчас займите свои рабочие места. 

Для разминки я предлагаю вам решить три ребуса которые которые помогут вам настроится на урока

На дом было задано задание повторить задачи на построение с помощью циркуля и линейки: построить отрезок, равный данному; построить угол, равный данному. А поможет нам в этом компьютер. Итак, все внимание на экран.

(проверка домашнего задания, презентация)

  • Сумма углов треугольника равна 180˚ значит угол А = 180 – (32+74)=74, т.к угол А=углу С треугольник АВС- равнобедренный

  • Треугольник АВС-равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны. Значит угол А= углу С=(180-40):2=70.

  • Угол ВСД-внешний треугольника АВС и равен сумме двух не смежных с ним углов (угол В+ угол А=64). Значит угол В=64-50=14. Угол 1 и угол ВСД –смежные их сумма =180, значит угол 1=116.

  1. Выбрать верные и неверные утверждения

  1. Какие теоремы мы использовали при доказательстве равенства треугольнико? (первый, второй и третий признак равенства треугольников)

Учащиеся формулируют эти признаки:

  1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

  2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  1. Таким образом, для успешного изучения задач на построение нам необходимо знать:

  1. Во-первых, как строить отрезок равный данному и угол равный данному.

  2. Во-вторых, признаки равенства треугольников.

  3. Изучение нового материала

Тема сегодняшнего урока: «Построение треугольника по трем его элементам».

Давайте с вами подумаем и ответим на такой вопрос: «Какие элементы есть в треугольнике?» (3 угла и 3 стороны). Таким образом, получается всего 6 элементов. А нам для построения треугольника необходимо всего 3.

Давайте с вами подумаем над таким вопросом: «Какие 3 элемента необходимы для построения треугольника?» (2 стороны и 1 угол, 2 угла и 1 сторона, 3 стороны, а 3 угла – не подходят, т.к. треугольники мы получим не равные, а подобные.

Что это означает, мы с вами будем изучать в 8 классе).

Цель нашего урока: рассмотреть и доказать алгоритмы задач на построение треугольника по трем его элементам с помощью циркуля и линейки. А именно:

  1. Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними;

  2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к нему углам;

  3. Построить треугольник по трем сторонам.

Таким образом, чтобы построить треугольник по трем элементам, нужно сначала уметь строить отрезок, равный данному и угол равный данному. Конечно, это можно сделать с помощью линейки с делениями и транспортиром, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без деления.

Любая задача на построение состоит из 4 основных этапов:

  1. Анализ

  2. Построение

  3. Доказательство

  4. Исследование

Анализ. На этом этапе происходит отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.

Построение – происходит построение по намеченному плану.

Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи.

Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько именно.

Обращаю ваше внимание на то, что в 7 классе этап анализа решения задачи не проводится, т.е. мы ограничиваемся только тремя этапами: построение, доказательство, исследование.

Итак, приступим к построению треугольника по 3 его элементам.

Начнем с задачи №1: Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними.

Задача №2: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Задача №3: Построить треугольник по трем сторонам.

После отдыха учащиеся самостоятельно решают задачи, а учитель ходит и контролирует правильность выполнения заданий. Если кто-то не справляется, учитель объясняет план решения задачи. Те учащиеся, которые самостоятельно справились с решением задач, получают оценки. (Приложение 1)

Построить треугольник ОДЕ, у которого ОД=4 см, ДЕ=2 см, ЕО=3см.

  1. Что нового узнали на уроке? (С помощью циркуля и линейки можно строить не только отрезок равный данному и угол равный данному, а еще и треугольники по трем его элементам)

  2. Всегда ли можно построить треугольник по трем его сторонам? (Нет, это возможно, только если выполняются неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон)

  3. Выставление оценок за урок.

Вопросы: 19,20 стр. 90. № 287, 289.

10

Источник: https://multiurok.ru/files/postroieniie-trieughol-nika-po-triem-eliemientam.html

Booksm
Добавить комментарий