Постоянная Больцмана

Содержание
  1. Постоянная Больцмана — формула, значение и измерение коэффициента
  2. Молекулы и тепловые вещества
  3. Особенности энергии
  4. Статистическое рассредотачивание
  5. Безграничная материя
  6. Изменения в фиксации постоянной
  7. Людвиг Больцман: �менные достижения
  8. Постоянная Стефана-Больцмана
  9. Постоянная Больцмана
  10. Статистика Больцмана
  11. Газ Больцмана
  12. H-функция Больцмана
  13. Принцип Больцмана
  14. Кинетическое уравнение Больцмана
  15. Р р°сѓрїсђрµрґрµр»рµрѕрёрµ рњр°рєсѓрірµр»р»р°-р‘рѕр»сњс†рјр°рѕр°
  16. Формула Больцмана барометрическая
  17. Постоянная Больцмана
  18. Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа
  19. Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения
  20. Значение постоянной Больцмана
  21. Физический смысл и формула постоянной Больцмана
  22. Краткое описание
  23. Основное соотношение температуры и энергии
  24. Распределение молекул статистическим образом
  25. Ключевые нюансы
  26. Способы нахождения постоянной Больцмана
  27. Физическая константа
  28. Физический смысл постоянной Больцмана
  29. Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры
  30. § 4.6. Распределение максвелла
  31. Вероятность случайного события

Постоянная Больцмана — формула, значение и измерение коэффициента

Постоянная Больцмана

Как точная наука, физика не считается абсолютной без набора довольно весомых констант, которые интегрируются как универсальные коэффициенты в уравнения, устанавливающие связь между какими-либо величинами. Это фундаментальные элементы, благодаря которым многие вещи приобретают неизменность.

Между этими характеристиками, присущими материи Вселенной, существует постоянная Больцмана, значение которой входит в ряд весомых уравнений. Стоить сказать об определённом количестве решений с помощью неизменной.

Законы Ньютона управляют силами, массами и движениями объектов или систем и считаются детерминированными: то есть тот, кто полностью знает начальные условия в системе, может точно предсказать будущее. Именно так космические миссии размещают посадочные модули роботов в определённых желаемых местах в сотнях миллионов километров от Земли.

Для огромного комплекса объектов, таких как миллиарды триллионов горячих молекул, движущихся в паровом двигателе, доминирующей единицей расчёта является постоянная Больцмана, но невозможно определить состояние каждой независимой частицы: они движутся с разными скоростями и энергетическими диапазонами.

Например, молекулы воздуха при комнатной температуре 25 градусов по Цельсию (300 Кельвинов, или 77 гр. по Фаренгейту) движутся со средней скоростью около 500 метров в секунду (1100 миль в час). Но некоторые движутся 223 м/с и 717 м/с и так далее, и все они идут в разных направлениях. Каждое их свойство не может быть известно.

Однако понимание физики тепловых явлений требует некоторого способа сделать математически полезные утверждения о коллекциях огромного числа объектов. Больцман и другие учёные показали, что это можно вычислить с точки зрения статистики и вероятностей механики.

Коллективные термодинамические свойства комбинаций вытекают из суммы энергий каждого отдельного объекта. Интересно, что разные значения энергии имеют иные вероятности возникновения. Для вычислений нужно знать, чему равно значение постоянной Больцмана.

Вот уравнение: E=32kT

Молекулы и тепловые вещества

Физический смысл постоянной Больцмана и температуры применяется к свойству степени нагрева тела. В физике используется безусловная шкала, основанная на выводе молекулярно-кинетической доктрины в качестве меры, показывающей количество энергии теплового движения частиц.

Данные для вычислений, используемые в системе СГС, считаются очень большими единицами, чтобы выразить энергию молекул, и, таким образом, довольно сложно измерить температуру этим способом. Удобной единицей снятия данных считается градус, и данные фиксируются косвенно, путём регистрации изменяющихся макроскопических показаний вещества.

В однородном безупречном газе при определённой температуре энергия на любом поступательном уровне свободы равна, как следует из определения Максвелла. При комнатной температуре эта энергия равна j или 0,013 эВ.

В одноатомном безупречном газе любой атом содержит 3 степени свободы, это соответствует 3 пространственным осям, что фактически означает, что любой атом содержит энергию B.

С учётом тепловой энергии можно определить среднее значение квадрата скорости атомов, которое обратно пропорционально корню массы.

Особенности энергии

Для расчёта веществ при температурах и давлениях, ближайших к обычным, применяется совершенная газовая модель, то есть та, величина молекулы которой гораздо меньше занята конкретной численностью веществ, а расстояние между частичками гораздо больше радиуса их взаимодействия. Основываясь на уравнениях кинетической доктрины, средняя энергия этих частиц нацелена как ECP = 3/2 ∙ kT, где E-кинетическая энергия, T-температура, а 3/2 — коэффициент пропорциональности K, введённый Больцманом.

Численность здесь характеризует:

  • количество степеней свободы поступательного движения молекулы;
  • пространственные измерения.

Смысл k, который позднее был назван в честь Больцмана, демонстрирует, сколько Джоулей на уровне 1. В иных доктринах его смысл определяет, как статистически, в среднем, энергия термического неселективного перемещения 1-го моноатомного безупречного газа возрастает с температурой на 1 градус.

Статистическое рассредотачивание

Так как макроскопические состояния материи считаются итогом поведения большого числа частиц, они описываются статистическими способами. Последнее подразумевает выяснение того, как распределяются энергосвойства молекул газа.

Рассредотачивание кинетических скоростей по Максвеллу происходит по-разному. Практически он показывает, что в равновесном газе главное множество молекул содержит части, более близкие к вероятным v = √ (2kT / m0), где m0-масса молекулы.

Определение Больцманом возможных энергий для газов будет пребывать на фоне всякой силы, к примеру, гравитации. Это зависит от пропорции 2-х вещей:

  • притяжения к Земле;
  • хаотического термического перемещения частиц газа.

В итоге чем меньше возможность энергии молекул (ближе к плоскости планеты), тем выше их сосредоточение.

Оба статистических способа связаны с рассредотачиванием Максвелла-Больцмана, содержащим экспоненциальный коэффициент eE / kT, где E — сумма кинетической и возможной энергий, а kT — средняя сила термического смещения, обусловленная ПБ. Формула постоянной Больцмана — коэффициент, равный k=1,38·10−23 ДжК.

Константа пропорциональности неизменна по Больцману. Это выражение, которое определяет связь между микроскопическим и макроскопическим состояниями, выражает центральную идею статистической механики. Планковское число измерений температуры составляет 1 416 785 (71) • 1032 К, что фактически соответствует энергии массового спокойствия.

Безграничная материя

С точки зрения теории неограниченного погружения материи, ПБ является величиной только 1-го атомного смысла.

Как показывает идеальный тест физических единиц измерения значений, при использовании шкалы температуры и тепловой энергии, содержащиеся в единице количества вещества, они считаются неизменными.

Отсюда выделяют данные, практически используя температуру как физическое определение на одном уровне. Вещества могут быть пересчитаны по значению неизменной со вступлением надлежащих коэффициентов схожести. Теоретическим критерием этой процедуры считается SPF-симметрия.

Можно получить определение звёздного неба и по теории Планка оно будет простым минусом импульса объектов. Его данные также равны понятию Kps = K ∙ f = 9,187 ∙ 1032 Дж / К, где f — коэффициент однородности массы.

ПБ определяет ассоциация между действенной температурой большого количества обычных звёздных объектов как меру термической энергии и средней кинетической при смещении. Не считая того, что она связывает внутреннюю температуру объектов с имеющейся энергией. Такие константы могут быть рассчитанными для любого значения материи.

В результате ПБ:

  • позволяет оценивать кинетическую температуру частиц;
  • подчёркивает вероятность нахождения и распределения температуры изнутри самих частиц.

Измерение постоянной Больцмана является одной из ведущих констант. Это не только разрешает установить ассоциацию между линиями микроскопичных явлений молекулярного значения с параметрами процессов, наблюдаемых в макромире. И дело не только в том, что эта величина включена в ряд значимых уравнений.

В настоящем времени непонятно, есть ли какой-нибудь вещественный принцип произведения, на базе которого он имел бы возможность получить вывод на теоретическом уровне. В иных доктринах ничего не рассказывается об этом. На самом деле смысл этой константы может быть практически схожим с другими величинами.

Изменения в фиксации постоянной

В 2017 году мировое сообщество измерений выполнило требования, чтобы дать точное толкование ПБ и переопределить Кельвин.

Акустическая термометрия измерялась различными исследовательскими группами, и она использовалась в окончательном определении ПБ для системы СИ, которая была утверждена в ноябре 2018 года.

На основании этих данных значение концентрации зависимости KB составляет 1,380649 x 10 -23 Дж к-1.

Хотя Кельвин не был основан на физическом артефакте, его изменение также важно. Более раннее определение размерности было основано на специфических свойствах универсальной постоянной природы. Основываясь на постоянной Стефана Больцмана, Кельвин также используют учёные, применя букву K в вычислениях. Это позволяет измерениям температуры быть действительно универсальными.

Источник: https://nauka.club/fizika/postoyann%D0%B0y%D0%B0-boltsmana.html

Людвиг Больцман: �менные достижения

Постоянная Больцмана

Согласнозакону Стефана – Больцмана плотность интегрального полусферического излучения E0зависит только от температуры и изменяется пропорционально четвертой степениабсолютной температуры T:

(1)

Постоянная Стефана-Больцмана

Стефана – Больцмана постоянная σ0 –физическая постоянная, входящая РІ закон, определяющий объемную плотностьравновесного теплового излучения абсолютно черного тела:

(2)

�сторически закон Стефана-Больцмана был сформулирован раньше закона излучения Планка, изкоторого он вытекает как следствие.

Закон Планка устанавливает зависимостьспектральной плотности потока излучения E0РѕС‚ длины волны λ Рё температуры T:

(3)

РіРґРµ λ – длина волны, Рј; СЃ=2,998 108 Рј/СЃ – скоростьсвета РІ вакууме; Рў – температура тела, Рљ;
h= 6,625 ×10-34 Р”Р¶×с– постоянная Планка.

Постоянная Больцмана

Физическаяпостоянная k, равная отношению универсальной газовой постоянной R=8314Дж/(РєРі×K) Рє числу Авогадро NA=6,022×10261/(РєРі×моль):

(4)

Статистика Больцмана

Числоразличных конфигураций системы из N частиц дляданного набора чисел ni (числочастиц, находящихся в i-том состоянии, которомусоответствует энергия ei) пропорционально величине:

(5)

Величина W есть число способов распределения Nчастиц по энергетическим уровням.

Если справедливо соотношение (6) тосчитается, что исходная система подчиняется статистике Больцмана.

Набор чисел ni, при котором число Wмаксимально, встречается наиболее часто и соответствует наиболее вероятномураспределению.

Физическаякинетика – микроскопическая теория процессов в статистически неравновесныхсистемах.

Описаниебольшого числа частиц может успешно осуществляться вероятностными методами.

Дляодноатомного газа состояние совокупности молекул определяется их координатами изначениями проекций скоростей на соответствующие координатные оси.

Математически это описывается функцией распределения, характеризующейвероятность пребывания частицы в данном состоянии:

(6)

есть ожидаемое число молекул вобъеме dd,координаты которых находятся в интервале от до +d, а скорости в интервале от  до +d.

Газ Больцмана

Если осредненной по времени потенциальной энергией взаимодействия молекул можнопренебречь по сравнению с их кинетической энергией, то газ называетсяидеальным. �деальный газ называется газом Больцмана, если отношение длиныпробега молекул в этом газе к характерному размеру течения Lконечно, т.е.

(7)

т.к. длина пробега обратнопропорциональна nd2(n –числовая плотность 1/м3, d – диаметрмолекулы, м).

H-функция Больцмана

Величину

(8)

В 

называют H-функциейБольцмана для единицы объема, которая связана с вероятностью обнаружениясистемы из молекул газа в данном состоянии.

Каждому состоянию соответствуютопределенные числа заполнения шестимерных пространственно-скоростных ячеек, накоторые может быть разбито фазовое пространство рассматриваемых молекул.Обозначим W вероятность того, что в первой ячейке рассматриваемогопространства окажется N1 молекул, во второй N2 и т.д.

С точностьюдо постоянной, определяющей начало отсчета вероятности, правомерно соотношение:

(9)

,

где  – H-функция областипространства А, занятой газом. �з (9) видно, что W и Hвзаимосвязаны, т.е. изменение вероятности состояния приводит к соответствующейэволюции H функции.

Принцип Больцмана

Больцмана принцип устанавливает связь междуэнтропией S физической системы и термодинамической вероятностью Wеё состояния:

(11)

В 

Кинетическое уравнение Больцмана

(печатается по изданию: КоганМ.Н. Динамика разреженного газа. – М.: Наука, 1967.)

Общий вид КУБ:

(12)

В В 

где – массовая сила, обусловленная наличием различных полей (гравитационного,электрического, магнитного), действующая на молекулу; J– интеграл столкновений.

�менно этот член уравнения Больцмана учитываетстолкновения молекул друг с другом и соответствующие изменения скоростейвзаимодействующих частиц.

�нтеграл столкновений представляет собой пятимерныйинтеграл и имеет следующую структуру:

(13)

В 

Уравнение (12)с интегралом (13) получено для столкновения молекул, при которых не возникаеттангенциальных сил, т.е. сталкивающиеся частицы считаются идеально гладкими.

В процессевзаимодействия внутренняя энергия молекул не меняется, т.е. предполагается, чтоэти молекулы являются идеально упругими.

Рассматриваются две группы молекул,имеющих до соударения друг с другом (столкновения) скорости  и  (рис. 1), а послестолкновения соответственно скорости  и .

Разность скоростей  и  называетсяотносительной скоростью, т.е. . Ясно, что для гладкого упругогостолкновения .

Функции распределения f1', f', f1 ,f описываютмолекулы соответствующих групп после и до столкновений, т.е. ; ; ; .

Рис. 1. Столкновение двух молекул.

Р’ (13) РІС…РѕРґСЏС‚ РґРІР° параметра,характеризующие расположение сталкивающихся молекул РґСЂСѓРі относительно РґСЂСѓРіР°: bРё ε; b – прицельное расстояние,С‚.

Рµ. наименьшее расстояние, РЅР° которое сблизились Р±С‹ молекулы РїСЂРё отсутствиивзаимодействия (СЂРёСЃ. 2); ε называютугловым параметром столкновений (СЂРёСЃ. 3).

Р�нтегрирование РїРѕ b РѕС‚ 0 РґРѕ ¥ РёРїРѕ РѕС‚ 0 РґРѕ 2p (РґРІР° внешних интеграла РІ(12)) охватывает РІСЃСЋ плоскость силового взаимодействия перпендикулярно вектору

Рис. 2. Траектория движения молекул.

Р РёСЃ. 3. Рассмотрение взаимодействия молекул вцилиндрической системе координат: z, b, ε

Кинетическоеуравнение Больцмана выведено при следующих допущениях и предположениях.

1. Считается,что происходит в основном столкновения двух молекул, т.е. роль столкновенийодновременно трех и большего числа молекул незначительна.

Это допущениепозволяет использовать для анализа одночастичную функцию распределения, котораявыше названа просто функцией распределения.

Учет столкновения трех молекулприводит к необходимости использования в исследовании двухчастичной функциираспределения.

Соответственно анализ существенно усложняется.

2.Предположение о молекулярном хаосе. Оно выражается в том, что вероятностиобнаружения частицы 1 в фазовой точке  и частицы 2 в фазовой точке  независимыдруг от друга.

3.Равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием, т.е. функцияраспределения не меняется на диаметре взаимодействия.

Необходимо отметить, чтоанализируемый элемент  должен быть малым, чтобы f в пределах этого элемента не менялась, но в то же времячтобыне была велика относительная флуктуация ~. Потенциалывзаимодействия, используемые при вычислении интеграла столкновений, являютсясферически симметричными, т.е. .

Р р°сѓрїсђрµрґрµр»рµрѕрёрµ рњр°рєсѓрірµр»р»р°-р‘рѕр»сњс†рјр°рѕр°

Равновесноесостояние газа описывается абсолютным Максвелловским распределением, котороеявляется точным решением кинетического уравнения Больцмана:

(14)

где m –масса молекулы, кг.

Общее локально-максвелловское распределение иначе называемое распределениеМаксвелла-Больцмана:

(15)

в том случае, когда газ движетсякак целое со скоростью  и переменные n,T зависят от координаты  
и времени t.

Формула Больцмана барометрическая

В поле тяготения Земли точное решение уравнения Больцмана показывает:

(16)

где n0=плотность у поверхности Земли, 1/м3; g– ускорение силы тяжести, м/с2; h –высота, м.

Формула (16) является точным решением кинетического уравненияБольцман либо в безграничном пространстве, либо при наличии границ, ненарушающих этого распределения, при этом температура также должна оставатьсяпостоянной.

Эта страница оформлена Пузиной Ю.Ю. при поддержке Российского Фонда Фундаментальных�сследований – проект №08-08-00638.

Следующая страница: Философия молекулярно-кинетического подхода

Источник: http://cryophysics.ru/boltzmann/imennye-dostigeniya

Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный k=1,38·10-23 ДжК, является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

Определение 1

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от T0=273 К до T1=373 К приводит к изменению его давления от p0=1,013·105 Па до p0=1,38·105 Па.

Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно 6·1023, а объем при давлении в 1 атм равен V=22,4 л.

С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана k:

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра k:

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица.

Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться.

Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

Обозначив модуль кручения как L, момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как J, а угол поворота зеркала как φ, можем записать уравнение колебаний следующего вида:

Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на φ, проинтегрируем результат и получим:

Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно 290К, а модуль кручения L≈10-15 Н·м; φ≈4·10-6, то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:

Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

E=32kT.

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Пример 1

Условие: вычислите среднюю энергию молекулы газа, состоящего из N-атомных молекул при температуре T, зная, что у молекул возбуждены все степени свободы – вращательные, поступательные, колебательные. Все молекулы считать объемными.

Решение

Энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую ее степень, значит, на эти степени будет приходиться одинаковая кинетическая энергия. Она будет равна εi=12kT. Тогда для вычисления средней энергии мы можем использовать формулу:

ε=i2kT, где i=mpost+mυr+2mkol представляет собой сумму поступательных вращательных степеней свободы. Буквой k обозначена постоянная Больцмана.

Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:

mpost=3, mυr=3, значит, mkol=3N-6.

i=6+6N-12=6N-6;ε=6N-62kT=3N-3kT.

Ответ: при данных условиях средняя энергия молекулы будет равна ε=3N-3kT.

Пример 2

Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов μ1, μ2.

Решение

Сначала вычислим общую массу смеси.

m=ρV=N1m01+N2m02=n1Vm01+n2Vm02→ρ=n1m01+n2m02.

Параметр m01 обозначает массу молекулы одного газа, m02 – массу молекулы другого, n2 – концентрацию молекул одного газа, n2 – концентрацию второго. Плотность смеси равна ρ.

Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

n1=ρ-n2m02m01;n2=n-n1→n1=ρ-(n-n1)m02m01→n1=ρ-nm02+n1m02m01→n1m01-n1m02=ρ-nm02→n1(m01-m02)=ρ-nm02.

Далее нам потребуется уравнение, описывающее состояние идеального газа:

p=nkT→n=pkT.

Подставим полученное равнее значение:

n1(m01-m02)=ρ-pkTm02→n1=ρ-pkTm02(m01-m02).

Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

m01=μ1NA, m02=μ2NA.

Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно 1 атм, а температура 290К. Значит, мы можем считать задачу решенной.

Ответ: в данных условиях рассчитать концентрацию одного из газов можно как n1=ρ-pkTm02(m01-m02), где m01=μ1NA, m02=μ2NA.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/molekuljarno-kineticheskaja-teorija/postojannaja-boltsmana/

Физический смысл и формула постоянной Больцмана

Постоянная Больцмана

Талантливый Людвиг Больцман — один из крупнейших учёных XIX века. Именно этот человек в своё время внёс колоссальный вклад в развитие молекулярно-кинетической теории.

Целеустремлённость Больцмана повлекла за собой то, что он стал одним из главных основателей статической механики.

Краткое описание

Людвиг был автором многогранной эргодической гипотезы, статистического метода в подробном толковании идеального газа, который был основан на уравнении физической кинетики. Больцман все свои силы вложил в то, чтобы общественность могла больше узнать о термодинамике.

В итоге он смог вывести теорему, где подробно описал статистический принцип для второго начала термодинамики.

Физики высоко ценят точку зрения Больцмана, так как в результате многочисленных попыток он смог описать теорию излучения. В своих работах он неоднократно затрагивал вопросы электродинамики, оптики. Имя этого талантливого учёного было увековечено сразу в двух физических константах.

В своё время Больцман был убеждённым и последовательным сторонником теории многогранного атомно-молекулярного строения вещества. В течение многих лет он был вынужден бороться с непониманием и отрицательными отзывами по отношению к его работам в научном сообществе того времени. Многие физики полагали, что молекулы и атомы представляют собой излишнюю абстракцию.

Коллеги Больцмана были настроены весьма консервативно, из-за чего у талантливого физика возникла депрессия, с которой он так и не смог справиться. Учёный покончил с собой.

На надгробном памятнике в знак огромной признательности к его заслугам было выбито уравнение S = k * logW. В этом уравнении константа k является произведением постоянной Больцмана. Для решения задач нужно соблюдать размерность физической величины.

Основное соотношение температуры и энергии

Традиционная модель идеального газа активно используется для правильного расчёта состояний реального вещества при давлениях и температурах, которые близки к нормальным показателям.

В этом случае размер молекулы существенно меньше объёма, который занят определённым количеством газа. А вот расстояние между частицами существенно превышает итоговый радиус их тесного взаимодействия. В кинетической теории чётко описаны все необходимые понятия уравнения.

Для поиска средней энергии таких частиц принято использовать следующую формулу: E cp = 3/2 * kT. Расшифровка выглядит следующим образом:

  • Т — температура.
  • Е — кинетическая энергия.
  • 3,2* k — используемый коэффициент пропорциональности.

В этом случае используется число 3, которое характеризует количество степеней свободы поступательного движения молекул в трёх пространственных измерениях.

А вот величину k через некоторое время назвали постоянной Больцмана в честь австрийского физика. Этот термин призван показывать то, какую часть энергии или джоуля содержит в себе один градус.

Значение константы определяет, насколько именно может статистически увеличиваться энергия хаотического движения одного фрагмента идеального газа при повышении температуры на 1°. Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана — Больцмана.

Установить зависимость между константой и другими фундаментальными постоянными можно, приравняв величину средней энергии молекул, найденную разными способами.

Распределение молекул статистическим образом

Учащихся часто интересует вопрос, чему равно значение постоянной Больцмана, так как это направление имеет огромную ценность в физике. Учёными было доказано, что состояние вещества макроскопического порядка представляет собой конкретный результат поведения огромной совокупности определённых частиц, так как именно с их помощью можно описать все существующие сегодня статистические методы.

Для решения элементарных задач обязательно нужно разобраться в том, каким именно образом происходит распределение энергетических параметров молекул газа.

В этом случае следует учесть несколько важных нюансов:

  1. На практике было доказано, что физический смысл постоянной Больцмана обязательно включает в себя своеобразное максвелловское распределение кинетических скоростей и энергий. Результат в полном объёме отображает то, что когда газ пребывает в состоянии равновесия, большинство молекул обладает определёнными скоростями, близкими к некоторой наиболее вероятной скорости. Для отображения массы молекулы предназначена определённая формула: v = √(2kT/m0).
  2. Практикуется применение статистики Больцмановского распределения потенциальных энергий для газов, пребывающих в поле каких-либо сил. К примеру, гравитация на нашей планете. Итоговый показатель во многом зависит от соотношения сразу двух факторов: притяжения к поверхности Земли, а также хаотического теплового движения частиц газа. Это значит, что чем ниже будет потенциальная энергия молекул, тем выше будет их итоговая концентрация.

Стоит учесть, что оба этих метода успешно объединяются в многофункциональное распределение Максвелла-Больцмана.

В этом случае учёные предусмотрели наличие экспоненциального множителя — е-Е/ kT. Большой буквой Е обозначают сумму кинетической и потенциальной энергии.

А вот kT обозначают среднюю энергию теплового движения, которая отлично управляется постоянной талантливого физика Больцмана.

Ключевые нюансы

Если при абсолютной температуре (Т) хранится однородный идеальный газ, то та энергия, что приходится на каждую поступательную степень свободы, обязательно будет равна формуле kT /2 (это утверждение подробно описано в распределении Максвелла).

Если рассматривать конкретную ситуацию на примере комнатной температуры, то итоговый показатель энергии будет находиться в пределах 2.07 * 10-21 Дж (0.013 эВ).

В результате проведённых исследований удалось доказать, что в одноатомном идеальном газе каждый отдельный атом обладает сразу тремя степенями свободы. Данные соответствуют трем пространственным осям, благодаря чему на каждый атом приходится энергия, которая равна формуле 3/2 kT.

Правильно вычислить среднеквадратичную скорость атомов можно только в том случае, если изначально знать реальную тепловую энергию. Используемые данные должны быть обратно пропорциональны квадратичному корню атомной массы.

В учебниках по физике содержится информация о том, что стандартная среднеквадратичная скорость при комнатной температуре может варьироваться от 1379 м/с (утверждение уместно по отношению к гелию) до 240 м/с (ксенон). Ситуация немного усложняется в том случае, если речь касается молекулярного газа.

Пример: пять степеней свободы имеет двухатомный газ (колебания атомов в молекуле отсутствует только в том случае, если температура окружающей среды кардинально снижена).

Экспертами было доказано, что именно энтропия термодинамической системы может измеряться как натуральный логарифм от числа разных микросостояний (V), которые в точности соответствуют конкретному микроскопическому состоянию (чаще всего это утверждение касается состояния с заданной полной энергией).

Для решения задачи лучше воспользоваться этой формулой: S = k ln V. Постоянная Больцмана отображена коэффициентом пропорциональности (k). Определяющая связь между микроскопическими (V) и макроскопическими состояниями (S) отлично выражает главную идею многогранной статистической механики.

Способы нахождения постоянной Больцмана

Физика является интересной и многогранной наукой. Для решения поставленных задач часто используется постоянная Больцмана. Формула имеет свои особенности, но для изучения всех нюансов понадобится реальный эксперимент.

Для этого необходимо взять обычное зеркало и подвесить его в воздухе при помощи упругой нитки. Можно представить, что созданная система зеркало-воздух пребывает в стабильном состоянии, которое ещё называется статистическим равновесием.

Крошечные молекулы воздуха ударяют в поверхность зеркала, которое на практике ведёт себя как броуновская частица. С учётом подвешенного состояния во время эксперимента можно наблюдать вращательные колебания вокруг определённой оси, которая совпадает с вертикально направленной нитью.

После проделанных манипуляций нужно направить луч света на поверхность зеркала. Даже при минимальных поворотах и вращающихся движениях зеркала отражающийся луч будет существенно смещаться. Благодаря этому, есть возможность измерить вращательные колебания объекта.

Для обозначения модуля кручения нужно использовать большую букву Р. Момент инерции зеркала по отношению к основной оси вращения можно записать как В, а вот угол поворота зеркала — как Т. Недостатком этого примера можно считать то, что сила упругости стремится вернуть зеркало в равновесное положение.

Если умножить обе части на Т и проинтегрировать результат, то в итоге можно будет получить следующий результат: Р ≈ 10-15 Н * м; ≈ 4 ⋅ 10 −6. Если знать основы многогранного броуновского движения, то в итоге можно будет найти реальную постоянную при помощи измерения макропараметров.

Существующая энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую отдельную её степень. Это значит, что на каждую степень будет приходиться равная кинетическая энергия: =½kT.

Для правильного вычисления средней энергии принято использовать следующую элементарную формулу: =i/2kT, где i=m post +m υr +2m kol.

Решение этой задачи выглядит следующим образом:

  • m post = 3, m υr = 3, а это значит, что m kol = 3N − 6;
  • i = 6 + 6N — 12 = 6N − 6;
  • = 6N − 6/2kT = (3N − 3) kT.

Решение этой задачи является элементарным, но это утверждение актуально только в том случае, если учащийся заранее разобрался со всеми тонкостями. После проведённых манипуляций можно определить, что средняя энергия молекулы будет составлять = (3N − 3) kT.

Физическая константа

Этот раздел физики нельзя оставлять без внимания. Экспертами неоднократно было доказано, что формула Больцмана относится к категории фундаментальных констант.

Если учесть все нюансы, то в итоге можно определить характеристики микроскопических явлений молекулярного уровня с параметрами процессов, которые можно наблюдать в макромире.

Константа Больцмана входит в ряд важных уравнений в физике.

На сегодняшний день всё ещё неизвестно, существует ли в науке какой-либо физический принцип, на основании которого можно было бы вывести необходимую формулу исключительно теоретически.

А это значит, что в качестве меры соответствия кинетической энергии частиц можно было бы использовать другие величины и математические единицы вместо привычных градусов. Тогда численное значение константы имело бы совершенно другой показатель, но она по-прежнему оставалась бы постоянной величиной.

Если рассматривать примеры других фундаментальных величин аналогичного принципа со стандартным зарядом и постоянной гравитационной, то наука воспримет существующую константу Больцмана как данность и будет использовать её для теоретического описания протекающих на планете физических процессов.

В конце 2011 года состоялась Генеральная конференция по весам и мерам, которая приняла резолюцию. В документах было подробно описано то, что нужно выполнить полноценную ревизию Международной системы единиц, чтобы иметь возможность зафиксировать значение постоянной. Такая фиксация была напрямую связана со стремлением переопределить конкретную единицу термодинамической температуры кельвин.

Источник: https://1001student.ru/fizika/postoyannaya-bolcmana.html

Физический смысл постоянной Больцмана

Историческитемпература была впервые введена кактермодинамическая величина, и для неебыла установлена единица измерения —градус (см. § 3.2).

После установлениясвязи температуры со средней кинетическойэнергией молекул стало очевидным, чтотемпературу можно определять как среднююкинетическую энергию молекул и выражатьее в джоулях или эргах, т. е.

вместовеличины Тввестивеличину Т*так,чтобы

Определенная такимобразом температура связана с температурой,выражаемой в градусах, следующим образом:

Поэтому постояннуюБольцмана можно рассматривать каквеличину, связывающую температуру,выражаемую в энергетических единицах,с температурой, выраженной в градусах.

Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры

ВыразивЕизсоотношения (4.5.5) и подставив в формулу(4.4.10), получим выражение, показывающеезависимость давления газа от концентрациимолекул и температуры:

(4.5.6)

Из формулы (4.5.6)вытекает, что при одинаковых давленияхи температурах концентрация молекул увсех газов одна и та же.

Отсюда следуетзакон Авогадро: в равных объемах газовпри одинаковых температурах и давленияхсодержится одинаковое число молекул.

Средняякинетическая энергия поступательногодвижения молекул прямо пропорциональнаабсолютной температуре. Коэффициентпропорциональности постояннуюБольцмана k=10-23Дж/К— надозапомнить.

§ 4.6. Распределение максвелла

В большом числеслучаев знание одних средних значенийфизических величин недостаточно.Например, знание среднего роста людейне позволяет планировать выпуск одеждыразличных размеров.

Надо знатьприблизительное число людей, росткоторых лежит в определенном интервале.Точно так же важно знать числа молекул,имеющих скорости, отличные от среднегозначения.

Максвелл первым нашел, какэти числа можно определять.

Вероятность случайного события

В §4.1 мы ужеупоминали, что для описания поведениябольшой совокупности молекул Дж. Максвеллввел понятие вероятности.

Какнеоднократно подчеркивалось, в принципеневозможно проследить за изменениемскорости (или импульса) одной молекулына протяжении большого интервалавремени. Нельзя также точно определитьскорости всех молекул газа в данныймомент времени. Из макроскопическихусловий, в которых находится газ(определенный объем и температура), невытекают с необходимостью определенныезначения скоростей молекул.

Скоростьмолекулы можно рассматривать какслучайнуювеличину, котораяв данных макроскопических условияхможет принимать различные значения,подобно тому как при бросании игральнойкости может выпасть любое число очковот 1 до 6 (число граней кости равно шести).Предсказать, какое число очков выпадетпри данном бросании кости, нельзя.

Новероятностьтого, что выпадет, скажем, пять очков,поддается определению.

Чтоже такое вероятность наступленияслучайного события? Пусть произведеноочень большое число Nиспытаний(N—число бросаний кости).

При этом в N'случаяхимел место благоприятный исход испытаний(т. е. выпадение пятерки).

Тогда вероятностьданного события равна отношению числаслучаев с благоприятным исходом кполному числу испытаний при условии,что это число сколько угодно велико:

(4.6.1)

Длясимметричной кости вероятность любоговыбранного числа очков от 1 до 6 равна.

Мывидим, что на фоне множества случайныхсобытий обнаруживается определеннаяколичественная закономерность, появляетсячисло. Это число — вероятность —позволяет вычислять средние значения.

Так, если произвести 300 бросаний кости,то среднее число выпаданий пятерки, какэто следует из формулы (4.6.

1), будет равно:300 ·= 50, причем совершенно безразлично,бросать 300 раз одну и ту же кость илиодновременно 300 одинаковых костей.

Несомненно, чтоповедение молекул газа в сосуде гораздосложнее движения брошенной игральнойкости.

Но и здесь можно надеятьсяобнаружить определенные количественныезакономерности, позволяющие вычислятьстатистические средние, если толькоставить задачу так же, как в теории игр,а не как в классической механике.

Нужноотказаться от неразрешимой задачиопределения точного значения скоростимолекулы в данный момент и попытатьсянайти вероятность того, что скоростьимеет определенное значение.

Источник: https://studfile.net/preview/2383541/page:42/

Booksm
Добавить комментарий