Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

33)Понятие о диэлектрической проницаемости

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Диэлектри́ческаяпроница́емость средыабсолютная — коэффициент, входящий вматематическую запись законаКулона иуравнение связи векторовэлектрическойиндукции и напряженностиэлектрического поля [1].Абсолютную диэлектрическую проницаемостьεa (отангл.

 absolute —абсолютный) представляют[2] ввиде произведения εa =εr ε0 относительнойдиэлектрической проницаемости средыεr (отангл.

 relative —относительный; εr длякраткости часто называют просто диэлектрическойпроницаемостью иобозначают ε) и электрическойпостоянной ε0.

Диэлектри́ческаяпроница́емость среды относительная— физическаявеличина,характеризующая свойства изолирующей (диэлектрической)среды и показывающая, во сколько разсила взаимодействия двух электрическихзарядов в этой среде меньше, чем в вакууме.

Относительная диэлектрическаяпроницаемость εr является безразмерной величиной,обусловлена эффектом поляризациидиэлектриков под действием электрическогополя и определяется характеризующейэтот эффект величиной диэлектрическойвосприимчивости среды.Значение εr вакуумаравно единице, для реальных сред εr >1.

Для воздуха ибольшинства других газов в нормальныхусловиях значение εr близкок единице в силу их низкой плотности.В статическом электрическом поле длябольшинства твёрдых или жидкихдиэлектриков значение εr лежитв интервале от 2 до 8, для воды значениеεr достаточновысокое, около 80.

Значение εr великодля веществ с молекулами, обладающимибольшим электрическимдипольным моментом.Значение εr сегнетоэлектриковсоставляетдесятки и сотни тысяч.

34)Условия на границе раздела диэлектриков

Наповерхности раздела двух диэлектриковс различными абсолютными диэлектрическимипроницаемостями e1 иe2 (рис.1.3) равнымежду собой касательные составляющиенапряженности поля

(1.13)

и нормальныесоставляющие вектора электрическогосмещения

 (1.14)

Здесьиндекс 1 относится к первому диэлектрику,а индекс 2 – ко второму.

Условия(1.13) и (1.14) можно представить и в такомвиде

  и

Изданных граничных условий можно получитьеще одно условие – условие преломлениялиний поля при переходе их из одногодиэлектрика в другой:

,

где

q1 иq2 –углы между вектором напряженности (илисмещения) и нормалями к границе разделасред.

Приэтом, если вектор напряженностиперпендикулярен к границе раздела, тоэлектрическое смещение не меняется припереходе из одной среды в другую, анапряженность поля меняется скачком.

Припереходе через границу раздела двухдиэлектриков электрический потенциалне претерпевает скачков.

35)Равновесие зарядов на проводниках. Поле вблизи поверхности заряженного проводника

Носителизаряда в проводнике способны перемещатьсяпод действием сколь угодно малой силы.Поэтому для равновесия зарядов напроводнике необходимо выполнениеследующих условий:

Напряженностьполя всюду внутри проводника должнабыть равна нулю,

Всоответствии с (8.2) это означает, чтопотенциал внутри проводника долженбыть постоянным ).

2.Напряженность поля на поверхностипроводника должна быть в каждой точкенаправлена по нормали к поверхности:

Следовательно,в случае равновесия зарядов поверхностьпроводника будет эквипотенциальной.

Еслипроводящему телу сообщить некоторыйзаряд q, то он распределится так, чтобысоблюдались условия равновесия.Представим себе произвольную замкнутуюповерхность, полностью заключенную впределах тела. При равновесии зарядовполе в каждой точке внутри проводникаотсутствует; поэтому потоквектораэлектрического смещения черезповерхность равен нулю.

Согласно теоремеГаусса сумма зарядов внутри поверхноститакже будет равна нулю. Это справедливодля поверхности любых размеров,проведенной внутри проводника произвольнымобразом. Следовательно, при равновесиини в каком месте внутри проводника неможет быть избыточных зарядов — всеони распределятся по поверхностипроводника с некоторой плотностью о.

Посколькув состоянии равновесия внутри проводникаизбыточных зарядов нет, удаление веществаиз некоторого объема, взятого внутрипроводника, никак не отразится наравновесном расположении зарядов. Такимобразом, избыточный заряд распределяетсяна полом проводнике так же, как и насплошном, т. е. по его наружной поверхности.

Наповерхности полости в состоянииравновесия избыточные заряды располагатьсяне могут. Этот вывод вытекает также изтого, что одноименные элементарныезаряды, образующие данный заряд q, взаимноотталкиваются и, следовательно, стремятсярасположиться на наибольшем расстояниидруг от друга.

Представимсебе небольшую цилиндрическую поверхность,образованную нормалями к поверхностипроводника и основаниями величины dS,одно из которых расположено внутри, адругое вне проводника (рис. 24.1).

Потоквектора электрического смещения черезвнутреннюю часть поверхности равеннулю, так как внутри проводника Е, азначит и D, равно нулю. Вне проводника внепосредственной близости кнемунапряженность поля Е направленапо нормали к поверхности.

Поэтому длявыступающей наружу боковой поверхностицилиндра а для внешнего основания (внешнее основание предполагаетсярасположенным очень близко к поверхностипроводника). Следовательно, потоксмещения через рассматриваемуюповерхность равен , где D — величинасмещения в непосредственной близостик поверхности проводника.

Внутри цилиндрасодержится сторонний заряд ( — плотностьзаряда в данном месте поверхностипроводника). Применив теорему Гаусса,получим: Отсюда следует, что напряженностьполя вблизи поверхности проводникаравна

36)УравненияЛапласа и Пуассона. Общая задачаэлектростатики

УравненияПуассона и Лапласа являются основнымидифференциальными уравнениямиэлектростатики. Они вытекают из теоремыГаусса в дифференциальной форме.Действительно, подставляя в уравнение

вместовеличин Ех;Еу;Еz ихвыражения через потенциал:

получаемуравнение

Этодифференциальное уравнение носитназвание уравненияПуассона.

Интеграл

являетсярешением уравнения Пуассона для случая,когда заряды распределены в конечнойобласти пространства.

Еслив рассматриваемой области пространстваотсутствуют объемные электрическиезаряды, то уравнение Пуассона получаетвид

иназывается в этом частном случае уравнениемЛапласа.

Отметим,что в цилиндрической и сферическойсистемах координат уравнение Пуассонаи Лапласа имеют другую форму записи.Поэтому данные уравнения часто записываютв виде, не зависящем от системы координат:

;(1.11)

(1.12)

Векторнапряженности

потеореме Гаусса   =>

  -уравнение Пуассона.

Вслучае  -нет зарядов между проводниками, получаем

 — уравнениеЛапласа.

Источник: https://studfile.net/preview/3993194/page:9/

ПОИСК

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости
    В работах [58, 59] были предприняты попытки учесть влияние анизотропной среды на ван-дер-ваальсовское взаимодействие однородных тел.

Для получения зависимости молекулярной составляющей расклинивающего давления в случае анизотропной черной углеводородной пленки с использованием выражений, полученных в работах [58, 59], необходимо знать конкретный вид тензора диэлектрической проницаемости черной нленки. [c.59]
    Тензор диэлектрической проницаемости [c.

108]

    Входящие в формулу (6.14) величины ai и й2 связаны с тензором диэлектрической проницаемости eik деформированного твердого тела, который в линейном по деформации приближении имеет следующий вид  [c.182]

    Диэлектрические свойства выражаются тензором диэлектрической проницаемости е, , связывающим между собой компоненты векторов индукции и напряженности электрического поля в пьезоэлектрике  [c.91]

    Д.ТЯ изотропного распределения частиц по скоростям плазмы, когда тензор диэлектрической проницаемости имеет пид [c.311]

    Эта формула определяет тензор диэлектрической проницаемости суспензии 8 ., описывающий оптическую анизотропию суспензии, которая может быть вызвана или течением (эффект Максвелла), или приложенным полем (эффект Керра), или тем и другим вместе. Все эти эффекты для суспензии связаны с ориентирующим воздействием [c.108]

    Определим далее, следуя [22], выражение для тензора диэлектрической проницаемости суспензии через характеристики частицы. [c.109]

    Выражение (1.5) является универсальной формулой, определяющей тензор диэлектрической проницаемости через моменты функции распределения, и не зависит от того, какая причина вызывает изменения момента. Приведем теперь некоторые частные выражения для тензора диэлектрической проницаемости. [c.110]

    Суспензия, помещенная в поле, также становится анизотропной. Из выражений (1.5) и (4.3.2) находим тензор диэлектрической проницаемости [c.110]

    При совместном действии потока и поля комбинация выражений (1.5) и (4.2.17) при слабых полях или (1.5) и (4.3.19) при сильных полях приводит к формулам, определяющим тензор диэлектрической проницаемости суспензии в потоке с точностью до членов первого порядка по градиентам скорости и в поле, соответственно слабом и сильном. [c.110]

    Отметим, что в движущейся суспензии симметрия тензора диэлектрической проницаемости связана с симметрией тензора напряжений, однако сравнение выражений (3.2.7) и (1.5) показывает, что закон Брюстера, т. е.

пропорциональность компонент тензора диэлектрической проницаемости компонентам тензора напряжений во всем интервале градиентов скоростей не выполняется. Однако при сравнении выражений (3.4.4) и (1.

6), определенных с точностью до членов первого порядка по градиентам скорости, находим, что закон Брюстера справедлив в следующей форме (здесь I Ф к)  [c.111]

    Для суспензии эллипсоидов вращения тензора диэлектрической проницаемости имеет вид (1.5) и потому выражения (2.2) и (2.3) записываются в виде [c.113]

    Тензор диэлектрической проницаемости суспензии неполярных частиц определяется выражением (1.5), в силу которого для описания кинетики оптической анизотропии в полях, зависящих от времени, необходимо знать изменение моментов второго порядка во времени, что определяет уравнение (46.15). [c.115]

    Другая возможность состоит в том, чтобы выразить параметр порядка через динамический тензор диэлектрической проницаемости е р К) на некоторой стандартной частоте со, например такой, которая соответствует желтой линии натрия.

Это имеет определенное преимущество такая величина непосредственно связана с показателем преломления, который легко измерить.

Особенно точное определение параметра порядка в зависимости от температуры при использовании показателя преломления, измеренного [c.46]

    Амплитуда рассеяния света в некоторой точке пропорциональна флуктуациям тензора диэлектрической проницаемости, т. е. (мы намеренно опускаем все индексы). [c.69]

    Распространение света чувствительно к флуктуациям тензора диэлектрической проницаемости  [c.125]

    Отправным является предположение о форме локального тензора диэлектрической проницаемости е (г) в любой точке г жид- [c.266]

    Аналогичное уравнение имеет место для тензора диэлектрической проницаемости. [c.302]

    Но это не вся электрическая сила. Имеется еще вклад обусловленный следующими фактором искажение структуры холестерика, описываемое величиной и, приводит к некоторому изменению тензора диэлектрической проницаемости и, таким образом, электростатической энергии. Мы можем найти фа из диэлектрического момента Г , направленного по оси г/ и действующего па молекулы  [c.303]

    Обсудим теперь, каким образом можно детектировать эти флуктуации с помощью рассеяния света [22]. В неискаженном состоянии тензор диэлектрической проницаемости г на световых частотах, представляющих для нас интерес, имеет три компоненты, отличные от нуля  [c.351]

    Наконец, наиболее интересный вклад связан с возможным вращением системы слоев, причем локально молекулы остаются перпендикулярными слоям. Флуктуации 6е тензора диэлектрической проницаемости, связанные с такими вращениями, можно получить, записав, как было сделано в гл. 3 для нематиков, [c.351]

    Показатели преломления и скорости волн и лучей в кристалле — величины не тензорные, но соотношения между ними зависят в конечном счете от симметрии тензора диэлектрической проницаемости в или диэлектрической непроницаемости т). Соответственно от симметрии тензоров е или т] зависит и форма волновых поверхностей в кристаллах.  [c.225]

    Поскольку тензор диэлектрической непроницаемости г] является обратным тензору диэлектрической проницаемости е, а показатель преломления и диэлектрическая проницаемость (в области оптических частот) связаны соотно-ш ением п = то, очевидно, уравнение (4.48) в главных осях можно записать в виде [c.226]

    Как ВИДНО из этих выражений, интенсивность сигнала будет равна нулю при 6 = 0, я/2, 2л и т. д. и максимальной при 9 = я/4, Дя и т. д. Таким образом, изменяя угол 0, т. е.

одновременно вращая приемную и излучающую антенны, можно легко определить направление главных осей тензора диэлектрической проницаемости, а следовательно, и направление осей тензора деформаций, так как по теории Неймана направления тензоров деформации и диэлектрической проницаемости совпадают. [c.188]

    Светорассеяние в плотной среде обусловлено флуктуациями локального тензора диэлектрической проницаемости s [1]. В 1922 г.

Бриллюэн показал [2], что такие флуктуации могут вызываться термическими акустическими фононами, которые таким образом приводят к рассеянию света.

При этом частота колебаний рассеянного света смещается из-за движения фононов. Частотный сдвиг выражается формулой [c.148]

    Заключение о наличии дефекта в объекте конфоля выносится по пороговой величине изменения интенсивности принимаемого результир)тощего сигнала.

При ди-элекфической или иной анизофопии величина сигнала в приемной антенне зависит от угла между плоскостью поляризации излученной электромагнитной волны и направления главных осей тензора диэлектрической проницаемости в данной точке образца.

После прохождения волной анизофопного слоя получаем в общем случае волну, поляризованную по эллипсу, которую представляем в виде суммы двух волн, поляризованных по кругу вправо и влево с разными амплитудами  [c.439]

    Интегрирование no т со стороны больших значений ограничо-но. минимальной из дпух величин т, ах (к) и 1/со. Отметим еще одну из воз.можных причин обрезания интегрирования по т со стороны больших значений. Именно, из области пзаи.модействпя сталкивающиеся частицы могут выходить под действием электрического поля.

Возникающее благодаря дрейфу частиц в электрическом поле ограничение сверху на время взаимодействия сталкивающихся частиц является нелинейным эффектом, обсуждение которого выходит ва рамки настоящего рассмотрения, поскольку использовать понятие тензора диэлектрической проницаемости, строго говоря, можно лишь п таких условиях, когда нелинейный эффект электрического дрейфа несуществен ). [c.294]

    Выше мы ограничились рассмотрением монодисперс-ной суспензии. При этом (см. формулу (1.5)) тензор диэлектрической проницаемости пропорционален тензору средней ориентации частиц, так что главные оси тензоров всегда совпадают. Ситуация изменится, если суспензия не монодисперсна по форме частиц. [c.111]

    Одноосный смектик должен обладать оптической осью, перпендикулярной слоям. Он называется смектиком А. Двуосные смек-тики могут быть разных типов. Мы будем классифицировать их, предполагая, что тензора диэлектрической проницаемости (или другого подобного тензора) достаточно для полной характеристики локальной симметрии ). [c.328]

    Существование смектических фаз с наклонными молекулами в слоях допускалось уже давно [11, но показано это было только недавно [8] с помощью оптических измерений на монодоменном образце. Симметрия здесь моноклинного типа (фиг. 7.3).

Если С-директор направлен вдоль оси ж, то плоскость (хг) является плоскостью спшлстрии ). Имеется также центр симметрии в любой точке в середине слоя ). Как обсуждалось в разд. 7.1.1.

2, любой тензор, например тензор диэлектрической проницаемости, имеет три неэквивалентные оси первая приблизительно параллельна направлению упорядочения (в плоскости симметрии), вторая перпендикулярна первой в той же плоскости, а третья направлена вдоль у ).

Оказывается, что для многих тензорных свойств значения, измеренные вдоль второй и третьей осей, примерно равны. Среда почти одноосная, но с осью, нак.лоненной на угол со относительно нормали к слоям. Значения со (Г) для ТББА показаны на фиг. 7.12. [c.367]

    Если Ац — тензор, описывающий физическое свойство кристалла, то длины полуосей характеристического эллипсоида численно равны значениям величины этого свойства вдоль главных осей, т. е.

Al, А , Ag, а длина г любого радиуса-вектора характеристической поверхности равна IIУа , где а, — значение величины этого свойства в направлении г.

Применяя это представление к тензору диэлектрической проницаемости Bij, находим, что его характеристическая поверхность — эллипсоид, длины главных полуосей которого равны соответственно 1/ksi, [c.212]

    Свойства, описываемые тензором второго ранга, могут связывать между собой согласно условию (4.1) векторное воздействие и векторное явление.

Таковы, например, диэлектрическая непроницаемость т] (тензор, обратный тензору диэлектрической проницаемостие), магнитная проницаемость и магнитная непроницаемость, электропроводность и обратный ей тензор электрического сопротивления, теплопроводность и обратный ей тензор теплового сопротивления. [c.215]

    При нагружении изделия диэлектрическая проницаемость также становится величиной тензорной. При соблюдении закона Гука, согласно теории Неймана, главные значения тензора диэлектрической проницаемости линейно связаны с главными деформациями  [c.185]

Источник: https://www.chem21.info/info/1596919/

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Мы помним, что материальное уравнение для изотропной среды, можно записать как:

где $\varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды, которая характеризует свойства диэлектрика, зависит от температуры и плотности.

Рассмотрим однородную, непроводящую и магнитоизотропную среду, что означает, вектор электрического смещения не будет параллелен вектору напряженности. В этом случае, связь (1) запишем в виде:

или тоже самое, но более компактно:

где индексы i,j — нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат ($i=x,\ y,z;;j=x,\ y,z.\ )$), ${\varepsilon }_{ij}$ — тензор диэлектрической проницаемости вещества.

Девять величин ${\varepsilon }_{xx},\ {\varepsilon }_{xy},{\varepsilon }_{xz},\dots ,$ — являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости.

Соответственно, вектор смещения ($\overrightarrow{D}$) равен произведению тензора диэлектрической проницаемости на вектор напряженности электрического поля ($\overrightarrow{E}$). При формальной тензорной записи знак суммы опускают, суммирование обозначают двукратным повторением индекса (в нашем случае индекс j), то есть:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Тензор диэлектрической проницаемости симметричен при любом значении поля, то есть можно записать следующее:

Симметрия тензора ${\varepsilon }_{ij}$- необходимое и достаточное условие для выполнения закона сохранения энергии. Из девяти компонент тензора диэлектрической проницаемости только шесть независимы.

Симметричность рассматриваемого нами тензора позволяет привести выражение для плотности энергии электрического поля к такой форме, при которой сохраняются только квадраты компонент поля и отсутствуют их произведения.

В такой системе (а она называется системой главных диэлектрических осей) материальные уравнения электрического поля имеют вид:

\[D_x={\varepsilon }_0{\varepsilon }_xE_x,\ \ D_y={\varepsilon }_0{\varepsilon }_yE_y,\ \ D_z={\varepsilon }_0{\varepsilon }_zE_z\ (4).\]

Выражение для плотности электрической энергии для рассматриваемого нами случая будет иметь вид:

\[w=\frac{{\varepsilon }_0}{2}\left({\varepsilon }_x{E_x}2+{\varepsilon }_y{E_y}2+{\varepsilon }_z{E_z}2\right)=\frac{1}{2{\varepsilon }_0}\left(\frac{{D_x}2}{{\varepsilon }_x}+\frac{{D_y}2}{{\varepsilon }_y}+\frac{{D_z}2}{{\varepsilon }_z}\right)\ \left(5\right),\]

где величины ${\varepsilon }_x,{\varepsilon }_y,{\varepsilon }_z$ — называются главными диэлектрическими проницаемостями.

Из приведенных выше формул следует, что векторы $\overrightarrow{D}$ и $\overrightarrow{E}$ всегда имеют разные направления, если направление вектора напряженности поля не совпадает с одной из главных осей или все главные диэлектрические проницаемости не равны друг другу.

В случае изотропной среды диэлектрическая проницаемость не является постоянной вещества, она зависит от частоты и точно так же как в анизотропной среде шесть компонент тензора диэлектрической проницаемости ${\varepsilon }_{ij}$ изменяются в зависимости от частоты.

Следовательно, меняются не только величины главных диэлектрических проницаемостей, ${\varepsilon }_x,{\varepsilon }_y,{\varepsilon }_z$, но и направления главных осей. Такое явление называется дисперсией осей.

Необходимо заметить, что оно может возникать только в тех кристаллических структурах, симметрия которых не позволяет выделить предпочтительную совокупность ортогональных осей направлений.

Дисперсию можно не учитывать, если рассматривать монохроматические волны, в таком случае ${\varepsilon }_{ij}$ являются постоянными, зависящими только от свойств вещества.

Связь тензоров диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости имеет вид:

\[{\varepsilon }_{ij}={\delta }_{ij}+{\varkappa }_{ij}\left(6\right),\]

где ${\delta }_{ij}-\ $единичный тензор, который равен:

\[\left\{ \begin{array}{c}{\delta }_{ij}=1\ при\ i=j, \\ {\delta }_{ij}=0\ при\ ie j. \end{array}\right.\]

Пример 1

Задание: Докажите, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен. Считать, что поглощение отсутствует, магнитное поле однородно и изотропно.

Решение:

В качестве основы для доказательства используем выражения для плотности энергии электрического ($w_e$) и магнитного полей ($w_m$):

\[w_e=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\varepsilon }_{ij}E_iE_j\left(1.1\right).\] \[w_m=\frac{{\mu }_0}{2}{\mu }_{ij}H_iH_j=\frac{{\mu }_0}{2}\mu H2\left(1.2\right).\]

где $H_iH_j$- компоненты вектора напряжённости магнитного поля.

Выражение для вектора Умова — Пойнтинга ($\overrightarrow{S}$):

\[\overrightarrow{S}=\left[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right]\left(1.3\right).\]

Первое и второе уравнения из системы уравнений Максвелла:

\[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\ \left(1.4\right),\] \[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\ \left(1.5\right),\]

Уравнение (1.5) системы умножим на вектор напряженности электрического поля ($\overrightarrow{E}$), уравнение (1.4) умножим на вектор напряженности магнитного поля ($\overrightarrow{H}$), сложим два полученных выражения при этом опустим ток проводимости, получим:

\[\overrightarrow{E}rot\overrightarrow{H}-\overrightarrow{H}rot\overrightarrow{E}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}+\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+\overrightarrow{H}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\ (1.6)\] \[-div\overrightarrow{S}=-div\left[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{E}\cdot \dot{\overrightarrow{D}}+\overrightarrow{B}\cdot \dot{\overrightarrow{H}}={\varepsilon }_0E_i{\varepsilon }_{ij}\dot{E_j}+\frac{1}{2}{\mu }_0\frac{d}{dt}\left(\mu H2\right)\left(1.7\right),\]

где $\overrightarrow{B}$ — вектор магнитной индукции. При преобразовании дивергенции векторного произведения мы использовали известное векторное равенство:

\[div\left[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{H}rot\overrightarrow{E}-\overrightarrow{E}rot\overrightarrow{H}\ \left(1.8\right).\]

Исходя из уравнения (1.2) мы получили, что в уравнении (1.7) вторым слагаемым является:

\[\frac{1}{2}{\mu }_0\frac{d}{dt}\left(\mu H2\right)=\frac{d}{dt}\left(w_m\right)\left(1.9\right).\]

Так как мы условились, что среда является однородной и изотропной для магнитного поля, то такая производная равна нулю. Изучим производную по времени от плотности энергии электрического поля:

\[\frac{d}{dt}w_e=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\frac{d}{dt}(\varepsilon }_{ij}E_iE_j)=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\varepsilon }_{ij}\left(\dot{E_i}E_j+E_i\dot{E_j}\right)\left(1.10\right).\]

Выражение ${\varepsilon }_0\sum\limits_{i,j}{E_i{\varepsilon }_{ij}\dot{E_j}}$ будет представлять собой скорость изменения плотности энергии электрического поля только если:

\[{\varepsilon }_0E_i{\varepsilon }_{ij}\dot{E_j}=\frac{d}{dt}w_e=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\varepsilon }_{ij}\left(\dot{E_i}E_j+E_i\dot{E_j}\right)\ \left(1.11\right),\]

то есть при:

\[{\varepsilon }_{ij}\left(\dot{E_i}E_j-E_i\dot{E_j}\right)=0\ \left(1.12\right).\]

Мы понимаем, что изменение индексов в выражении (1.12) фиктивно, так как они принимают одни и те же значения (x,y,z). Из уравнения (1.12) следует, что:

\[{\varepsilon }_{ij}={\varepsilon }_{ji}.\]

Что требовалось доказать.

Пример 2

Задание: Покажите, используя тензор диэлектрической проницаемости, что векторы $\overrightarrow{D}\ $и $\overrightarrow{E}$ не коллинеарны в неизотопном кристалле.

Решение:

Анизотропная среда характеризуется тензором диэлектрической проницаемости второго ранга:

\[{\varepsilon }_{ij}=\left| \begin{array}{ccc}{\varepsilon }_{xx} & {\varepsilon }_{xy} & {\varepsilon }_{xz} \\ {\varepsilon }_{yx} & {\varepsilon }_{yy} & {\varepsilon }_{yz} \\ {\varepsilon }_{zx} & {\varepsilon }_{zy} & {\varepsilon }_{zz} \end{array}\right|\left(2.1\right).\]

Это означает, что каждая составляющая вектора $\overrightarrow{D}$ выражается через все три составляющие вектора напряженности электрического поля:

\[\left\{ \begin{array}{c}D_x={\varepsilon }_0\left({\varepsilon }_{xx}E_x+{\varepsilon }_{xy}E_y+{\varepsilon }_{xz}E_z\right), \\ D_y={\varepsilon }_0\left({\varepsilon }_{yx}E_x+{\varepsilon }_{yy}E_y+{\varepsilon }_{yz}E_z\right) \\ D_z={\varepsilon }_0\left({\varepsilon }_{zx}E_x+{\varepsilon }_{zy}E_y+{\varepsilon }_{zz}E_z\right). \end{array}\right.,\left(2.2\right).\]

Выберем главные оси X,Y,Z и зафиксируем их по отношению к кристаллу. В таком случаем можно записать:

\[\left\{ \begin{array}{c}D_x={{\varepsilon }_0\varepsilon }_xE_x, \\ D_y={{\varepsilon }_0\varepsilon }_yE_y \\ D_z={\varepsilon }_0{\varepsilon }_zE_z. \end{array},\right.\ \left(2.3\right).\]

Система (2.3) означает, что тензор диэлектрической проницаемости приведен к виду:

\[{\varepsilon }_{ij}=\left| \begin{array}{ccc}{\varepsilon }_x & 0 & 0 \\ 0 & {\varepsilon }_y & 0 \\ 0 & 0 & {\varepsilon }_z \end{array}\right|(2.2)\]

С точки зрения математики — это диагонализация матрицы (2.1). Если ${\varepsilon }_xe {\varepsilon }_ye {\varepsilon }_z$, то при умножении составляющих вектора $\overrightarrow{E}$ на соответствующие компоненты тензора диэлектрической проницаемости, то компоненты вектора электрического смещения (2.3) не совпадут по направлению с вектором $\overrightarrow{E}$. (рис.1).

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/ponyatie_o_tenzore_dielektricheskoy_pronicaemosti/

Тензор проницаемости

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Для изучения особенностей распространения электромагнитных волн в анизотропных средах необходима аналитическая форма записи ее параметров.

Рассмотрим случай продольно намагниченного ионизированного газа, когда постоянная распространения и поле подмагничивания совпадают с осью 0z. Движение ионов учитывать не будем т.к.

они практически не влияют на происходящие процессы в диапазоне радиочастот из-за большой массы частиц.

Используя закон Ньютона можно записать уравнение движения электрона под действием поля распространяющейся электромагнитной волны в виде

Подстановка (204) в выражение для плотности полного электрического тока в плазме

– плотность тока проводимости,

позволяет представить параметры среды в виде тензора диэлектрической проницаемости

– компоненты тензора;

– плазменная частота, соответствующая частоте колебаний электронов с концентрацией Ne около положения равновесия после прекращения действия возмущающих сил.

При взаимодействии электромагнитной волны с поперечно намагниченной плазмой, когда подмагничивающее поле ориентировано вдоль 0у, а постоянная распространения совпадает с осью 0z yz векторное произведение в уравнении движения электрона (1.38) преобразуется к виду

и после совместного решения с уравнением полного тока (1.40) тензор диэлектрической проницаемости принимает вид

с компонентами εi , определенными в выражении (207).

Используя уравнение движения магнитного момента некомпенсированного электрона феррита в суммарном поле подмагничивания и внешней электромагнитной волны с вектором , при условии слабых гармонических воздействий несложно получить по аналогии с параметрами намагниченного ионизированного газа два тензора магнитной проницаемости

где компоненты тензора

При учете потерь в ферритах и столкновении частиц в ионизированном газе компоненты тензоров проницаемости (207) будут комплексными величинами с конечными значениями на резонансной частоте.

Особенности распространения плоской волны в анизотропных средах Тензорный характер параметров приводит к возникновению новых физических эффектов при распространении электромагнитных волн в анизотропных средах.

Рассмотрим наиболее простые идеализированные случаи распространения плоских волн в безграничных однородных анизотропных средах. Входящую в анизотропную среду линейно поляризованную электромагнитную волну представим суперпозицией волн правой и левой круговых поляризаций с векторами половинной амплитуды

Используя материальное уравнение и составляющие тензора (206), с учетом выражений (212), (213) можно записать для проекций векторов смещения электромагнитной волны в продольно намагниченной плазме следующие соотношения:

и представить поле распространяющихся волн с круговыми поляризациями в виде

При распространении циркулярно поляризованных волн в продольно намагниченном феррите аналогичным способом анализируется структура поля в анизотропной среде с помощью выражений (212), (213), составляющих тензора (210) и материального уравнения . В этом случае магнитная и электрическая индукции для право- и левополяризованных волн имеют вид:

Из полученных соотношений (216)-(222) видно, что плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией при распространении в анизотропной среде с продольным подмагничиванием распадается на две волны с круговой поляризацией, для которых намагниченные плазма и феррит представляют собой изотропную среду с эффективными скалярными параметрами:

–в случае правой круговой поляризации и

–в случае левого направления вращения вектора поляризации.

Обе волны имеют разные постоянные распространения (при конечных величинах подмагничивающего поля) и фазовые скорости

здесь V0 — фазовая скорость волны при отсутствии подмагничивающего поля.

Волновое сопротивление для каждой из этих волн также различно:

где Z C – характеристическое сопротивление исследуемой среды при отсутствии поля подмагничивания.

Изменение напряженности постоянного магнитного поля наиболее сильно сказывается на характеристиках волны с правой круговой поляризацией, так как частотные зависимости проницаемостей (207) имеют резонансный характер, а величины обращаются в бесконечность на гиромагнитной частоте. В реальных условиях распространения любая среда обладает потерями, поэтому проницаемости (223), (224) являются комплексными величинами и имеют конечные значения на резонансной частоте.

Учитывая (212-222) можно представить суммарное поле в виде

Анализ последнего выражения показывает, что по мере перемещения ЭМВ вдоль оси 0z в продольно намагниченной плазме суммарный вектор напряженности электрического поля будет смещаться в плоскости x0y по часовой стрелке на угол рис. 96, б), так как принятой величине подмагничивающего поля соответствует неравенство .

Поворот плоскости поляризации в процессе распространения плоской волны называется эффектом Фарадея, а среды, способствующие возникновению данного эффекта, – гиротропными.

При этом наблюдается невзаимный эффект – при изменении направления распространения (рис 96, в) вектор Е будет докручен на угол θ в сравнении с первоначальным распространении ЭМВ

Рис. 96. К пояснению эффекта Фарадея

Из-за отличия величин характеристических сопротивлений среды для волн круговой поляризации (226) амплитуды напряженностей электрических полей также не равны, поэтому электрическое поле суммарной волны будет эллиптически поляризованным.

Если однородная плоская волна распространяется в безграничной анизотропной среде перпендикулярно направлению подмагничивающего поля , то постоянная распространения, фазовая скорость и характеристическое сопротивление среды определяются выражениями

Как видно, параметры данной волны не зависят от величины поля подмагничивания и соответствуют характеристикам волны при распространении в изотропной среде (без постоянного магнитного поля). Поэтому эта волна называется обыкновенной.

Параметры необыкновенной волны, для среды, описываемой эквивалентной диэлектрической проницаемостью вида определяются

При распространении плоской, линейно поляризованной волны в поперечно наманиченном феррите наблюдаются те же закономерности: волна произвольной ориентации распадается на обыкновенную с постоянной распространения и необыкновенную:

распространяющиеся с разными фазовыми скоростями.

Вследствие отличия фазовых скоростей обыкновенной и необыкновенной волн в процессе распространения будут изменяться разность фаз между ними и соответственно поляризация суммарной волны (рис. 97). Преобразование линейной поляризации плоской волны в эллиптическую при распространении в анизотропной среде с поперечным намагничиванием называется эффектом Коттона-Мутона.

Рис. 97. Поперечное подмагничивание ферритов:

а – геометрия задачи; б – двойное лучепреломление

Рассмотренные эффекты наиболее четко проявляются в неограниченной среде. Наличие границ раздела с анизотропной средой и наклонное падение электромагнитных волн приводят к усложнению процесса взаимодействия и происходящих явлений:

–за счет многократных отражений от границы слоя продольно намагниченного ионизированного газа или феррита результирующая волна окажется эллиптически поляризованной даже в случае линейной поляризации падающей волны, а связь угла поворота оси эллипса поляризации с длиной анизотропного образца стает нелинейной;

–при наклонном падении на границу образца с поперечным подмагничиванием может произойти двойное лучепреломление (отражение) – расщепление преломленных (отраженных) лучей, один из которых соответствует обыкновенной волне, а другой – необыкновенной (рис. 97, б).

Источник: https://studopedia.su/8_32383_tenzor-pronitsaemosti.html

Тензор диэлектрической проницаемости анизотропной среды

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости

Распространение света в анизотропных средах

Тензор диэлектрической проницаемости анизотропной среды

Состояние поляризации световых колебаний является ключевым для описания оптики анизотропных сред, например, кристаллов.

В этом случае показатель преломления, а значит, и скорость световой волны зависят от выбранных в кристалле направлений.

В отличие от изотропных диэлектриков, характеризующихся одним значением e, в кристаллах диэлектрическая проницаемость становится тензором второго ранга:

,

компоненты которого определяют связь проекций векторов D и E:

. (6.1)

Причиной этого является несовпадение по направлению вектора поляризуемости средыР с вектором Е (см. раздел 2.2), и, как следствие, неколлинеарность векторов D и Е (рис. 6.1).

Кристалл, в силу своей пространственной упорядоченности (гексагональной, тригональной, ромбоэдрической и т. п.

симметрии) не может откликаться на внешнее воздействие так же, как изотропная среда: в одних направлениях диполи поляризуются легче, в других – труднее.

Значения компонент тензора зависят от выбора системы координат. Можно показать, что соответствующим поворотом осей тензор может быть приведен к диагональному виду:

.

Оси координат, в которых тензор диэлектрической проницаемости диагонален, называются главными осями кристалла. Диагональные значения ex, ey и ez в этом случае называют главными значениями диэлектрической проницаемости, величины , , – главными показателями преломления, а скорости и т. д.

главными скоростями. Подчеркнем, что Vx, Vy, Vz не являются проекциями какого-либо вектора, а характеризуют анизотропию оптических свойств кристалла. скорость – это скорость волны, поляризованной вдоль соответствующей главной оси. В дальнейшем будем всегда предполагать, что оси координат совпадают с главными осями, и соотношения (6.

1) принимают вид

(6.2)

Если все три главных значения одинаковы: ex = ey = ez, то кристалл с оптической точки зрения эквивалентен изотропному телу. Это свойственно кристаллам с кубической симметрией решетки, например NaCl, используемой в качестве оптических элементов ИК диапазона.

Если совпадают два главных значения: ex = ey ¹ ez, кристалл называется одноосным. К одноосным кристаллам относятся широко применяемые в оптике кварц и исландский шпат. Наконец, если все три главных значения различны: ex ¹ ey ¹ ez, кристалл называется двухосным.

К таким кристаллам относится, например, слюда.

Распространение света в анизотропных средах

Тензор диэлектрической проницаемости анизотропной среды

Состояние поляризации световых колебаний является ключевым для описания оптики анизотропных сред, например, кристаллов.

В этом случае показатель преломления, а значит, и скорость световой волны зависят от выбранных в кристалле направлений.

В отличие от изотропных диэлектриков, характеризующихся одним значением e, в кристаллах диэлектрическая проницаемость становится тензором второго ранга:

,

компоненты которого определяют связь проекций векторов D и E:

. (6.1)

Причиной этого является несовпадение по направлению вектора поляризуемости средыР с вектором Е (см. раздел 2.2), и, как следствие, неколлинеарность векторов D и Е (рис. 6.1).

Кристалл, в силу своей пространственной упорядоченности (гексагональной, тригональной, ромбоэдрической и т. п.

симметрии) не может откликаться на внешнее воздействие так же, как изотропная среда: в одних направлениях диполи поляризуются легче, в других – труднее.

Значения компонент тензора зависят от выбора системы координат. Можно показать, что соответствующим поворотом осей тензор может быть приведен к диагональному виду:

.

Оси координат, в которых тензор диэлектрической проницаемости диагонален, называются главными осями кристалла. Диагональные значения ex, ey и ez в этом случае называют главными значениями диэлектрической проницаемости, величины , , – главными показателями преломления, а скорости и т. д.

главными скоростями. Подчеркнем, что Vx, Vy, Vz не являются проекциями какого-либо вектора, а характеризуют анизотропию оптических свойств кристалла. скорость – это скорость волны, поляризованной вдоль соответствующей главной оси. В дальнейшем будем всегда предполагать, что оси координат совпадают с главными осями, и соотношения (6.

1) принимают вид

(6.2)

Если все три главных значения одинаковы: ex = ey = ez, то кристалл с оптической точки зрения эквивалентен изотропному телу. Это свойственно кристаллам с кубической симметрией решетки, например NaCl, используемой в качестве оптических элементов ИК диапазона.

Если совпадают два главных значения: ex = ey ¹ ez, кристалл называется одноосным. К одноосным кристаллам относятся широко применяемые в оптике кварц и исландский шпат. Наконец, если все три главных значения различны: ex ¹ ey ¹ ez, кристалл называется двухосным.

К таким кристаллам относится, например, слюда.



Источник: https://infopedia.su/13x9f85.html

Booksm
Добавить комментарий