Пондеромоторные силы в электрическом поле

Силы в электрических полях

Пондеромоторные силы в электрическом поле

2.7.1. Пондеромоторные силы.

В электрических полях на диэлектрики и проводники действуют силы, которые называют пондеромоторными, т.е. (в переводе) силами, действующими на весомые тела.

Термин пондеромоторные силы безусловно устарел, поскольку был введен в то время, когда в физике признавалось существование невесомых субстанций (например, теплород, эфир, электрические и магнитные жидкости).

Теперь известно, что невесомых субстанций не существует, но этот термин по-прежнему используется.

Механические явления, такие как растягивание заряженной поверхности, механические напряжения в диэлектрических слоях, втягивание диэлектрика в конденсатор, взаимодействие проводников с током, механическое действие оптического излучения на тела, объясняются пондеромоторными силами. Природа этих сил вполне определена – они возникают при воздействии электромагнитного поля на электрические заряды.

Рассмотрим возникновение и действие пондеромоторных сил применительно к электростатике.

Поскольку электростатическое поле потенциально, то для любой системы электрических зарядов можно записать

. (7.1)

Сила, действующая на какой-либо заряд, определяется, очевидно, напряженностью того поля, в которое помещен этот заряд (но не того поля, которое возбуждается им самим):

, (7.2)

т.к.

.

Если заряд непрерывно распределен по объему с плотностью , то сила, действующая на элемент заряда , равна

.

Можно также ввести объемную плотность сил, которая равна

. (7.3)

Силы, действующие в поляризованном диэлектрике.

Силы, действующие на электрические диполи в веществе, деформирующие и ориентирующие их в пространстве, относятся к пондеромоторным силам.

Ранее в §1.7 мы получили выражение (7.13) для силы, действующей на одиночный диполь в электрическом поле. Причем, как мы выяснили, сила, действующая в однородном поле на отдельный диполь, равна нулю.

Рассмотрим теперь силы, действующие в объеме диэлектрика, помещенного в электрическое поле. Сила, приложенная к элементу объема диэлектрика, равна сумме сил, действующих на элементарные диполи внутри рассматриваемого объема :

, (7.4)

причем суммирование ведется по всем элементарным диполям, находящимся в объеме . Так как элемент объема мал, то вектор напряженности электрического поля — медленно меняющаяся в пределах этого объема величина. Поэтому, вводя вектор поляризации , можем записать

. (7.5)

Отсюда объемная плотность сил в диэлектрике:

. (7.6)

Для однородного диэлектрика справедливо соотношение

,

тогда получаем выражение для объемной плотности сил в виде:

. (7.7)

Воспользуемся тождеством из векторной алгебры {см. (7.12), §1.7},

записанным для :

. (7.8)

Поскольку для электростатического поля , получаем теперь для объемной плотности пондеромоторных сил:

. (7.9)

Если рассматриваемый диэлектрик однородный ( , ), то

. (7.10)

Формулы (7.9) и (7.10), выражающие объемную плотность сил справедливы как для абсолютно жестких, так и для упруго деформируемых диэлектриков. Последнее утверждение справедливо лишь при условии, что поляризованность диэлектрика (вектор поляризации ) линейно зависит от его массы, т.е. дипольные моменты молекул и атомов при сжатии и растяжении элемента объема не изменяются.

Если диэлектрическая проницаемость не постоянна , и мы имеем дело с сжимаемыми диэлектриками, то определение пондеромоторных сил довольно сложно.

Общий метод вычисления пондеромоторных сил дает термодинамика — термодинамика диэлектриков.

Определяются термодинамические функции диэлектриков — свободная энергия, термодинамический потенциал, энтальпия. В данном курсе мы не будем этим заниматься.

2.7.2. Силы, действующие на поверхностные заряды.

Ранее мы уже затрагивали этот вопрос. Если имеется замкнутая проводящая поверхность, заряженная с поверхностной плотностью , то электрическое поле известно по обе стороны, причем , а на самой поверхности электрическое поле не определено. В результате взаимодействия поверхностных зарядов поверхность проводника растягивается. Как найти силу, действующую на единицу поверхности?

Рассмотрим уединенный проводник. Выделим элемент поверхности :

1) поле с внешней стороны выделенного элемента поверхности равно ;

2) поле внутри .

Поле внутри и снаружи проводника можно рассматривать как суперпозицию полей, создаваемых самим элементом поверхности , т.е. , и всеми остальными зарядами, находящимися на поверхности : . Поле одинаково по величине по обе стороны от площадки , но имеет противоположные направления. Поле одинаково по модулю и направлению над и под площадкой .

Тогда с внешней стороны имеем

.

С внутренней стороны

.

Из этих соотношений находим поле, в месте расположения элемента .

. (7.11)

Сила, действующая на заряд , находящийся на поверхности , определяется величиной поля и равна

. (7.12)

Пондеромоторная сила, действующая на единицу поверхности (поверхностная плотность пондеромоторных сил):

. (7.13)

. (7.14)

2.7.3. Определение пондеромоторных сил через энергию электрического поля.

Один из общих способов определения сил через производную от энергии системы:

. (7.15)

Пример: силы, действующие на пластины плоского конденсатора. Энергия его электрического поля:

. (7.16)

Здесь градиент энергии следует понимать как её изменение на длине расстоянии между обкладками конденсатора.

. (7.17)

Знак “минус” в последнем выражении показывает, что между обкладками действует сила притяжения.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/17_100645_energiya-elektricheskogo-polya.html

Пондеромоторные силы

Пондеромоторные силы в электрическом поле

(дополнительныйматериал)

Напряженностьполя — сила, действующая на единичныйположительный пробный заряд.

Значит — это поле, создаваемое всеми зарядами,кроме пробного.

Механическая сила,действующая на точечный заряд :.

Сила, действующаяна поверхностные заряды

Заряженный мыльныйпузырь-пример уединенной напряженнойповерхности. Между элементами зарядадействуют силы отталкивания. Толькосилы, растягивающие поверхность. Мыльныйпузырь растягивается, до тех пор, покасилы отталкивания не уравновесятсясилами поверхностного натяжения иразностью давлений воздуха внутри ивне пузыря.

Итак, в случаеуединенного проводника все электрическиесилы сводятся лишь к взаимному отталкиваниюэлементов заряда этого проводника.

Какие силы будутприложены к поверхности неуединенногопроводника в произвольном электростатическомполе?

Представимзаряженную сферу с поверхностьюS.Напряженность поля свнешней стороны элементаdS:

— поле с внешнейстороны элемента .

Поле складывается из поля самого элемента,равного,и из поля всех остальных зарядов.

В двух смежныхточках, лежащих по обе стороны поверхности,полебудет, очевидно, одинаковым. Полебудет в этих же точках одинаковым повеличине, но противоположным понаправлению.

Значит, с внешнейстороны поверхности :

.

С внутреннейстороны поверхности:

.

Отсюда: .

Сила, испытываемаязарядом элемента,определяется полемвсех прочих зарядов:.

Сила, действующаяна единицу площади заряженного проводника:

— поверхностнаяплотность пондеромоторных сил.

, — направление внешней нормали.

Сила, действующая на диполь

.

Если электрическоеполе однородно, и равнодействующая.

Однако на дипольдействует момент сил .

Отсюда вывод:диполь стремится повернуться вэлектрическом поле так, чтобы его моментбыл параллелен (антипараллелен, но этоположение не устойчиво) полю E.

Если электрическоеполе неоднородно, то .

Для точечногодиполя (приращение поля на отрезке,равном плечу диполя):

.

Сила: .

Скалярноепроизведение: .

В этих обозначениях .

Эта сила направленав сторону возрастания электрическогополя: диполь втягивается в областьсильного поля.

Другая формулировкадля пондеромоторных сил, из выражениядля энергии

,

.

.

Сила, действующаяна пластины плоского конденсатора.

,

.

Или: ,

.

Сила, создаваемаяповерхностным зарядом: — в полном согласии с полученным ранеерезультатом:

Вопрос обустойчивости электрических систем.Теорема Ирншоу

(дополнительныйматериал)

Для электрическойтеории строения материи весьма важенвопрос о возможности существованияустойчивых конфигураций электрическихзарядов (электронов и протонов). Можетли эта система находиться в статическомравновесии или же в атомах и молекулахэти частицы должны находиться внепрерывном движении?

Как это выяснить?

Электрическаяэнергия играет роль потенциальнойэнергии – в этом мы уже убедились.Условие устойчивости любой системы –нахождение ее в состоянии минимумапотенциальной энергии — ищем .

, .

Условия min:

1) ; {- координата любого заряда}

2) , или,так какminне достигается,если хотя бы одна из вторых производных.

.

=0,если .

Если или,то=0 в силу того, что вообще=0 в любой точкеP.

Это можно показать:=0 (если).

Принимаем точкуPза начало координат.

Тогда ,

.

;

.

Отсюда:

— что и требовалосьдоказать.

Из изложенногоследует, что — потенциальная энергия не имеет минимума,следовательно (теорема Ирншоу):

статическая системаэлектрических зарядов не являетсяустойчивой.

Физический смысл:разноименные заряды притягиваютсявплоть до взаимного уничтожения, аодноименные отталкиваются вплоть доудаления в бесконечность.

Общая мораль:

1) атом долженпредставлять собой динамическую систему;

2) поскольку теоремаИрншоу исходит только из одногообстоятельства – сила взаимодействия,значит, устойчивость нашей планетнойсистемы обусловливается лишь движениемпланет.

Статическаясистема, которую мы здесь рассматривали,может быть устойчивой лишь при наличиидополнительных сил неэлектрическогопроисхождения.

16Основные итоги, касающиеся электростатикив вакууме

Интегральная формаДифференциальная форма
(1)
(2)
(3)

Из (1) и (3) мы легкополучили уравнение Пуассона:

,где ,которое в отсутствие объемных зарядовпереходит в уравнение Лапласа.Уравнение Пуассона было решено длянекоторых частных случаев.

Затем было введенопредставление о потенциальной энергиивзаимодействия точечных зарядов, которуюмы представляем в симметричной форме:

, — потенциал всех зарядов в точке нахождения-гозаряда.

Полученныерезультаты можно обобщить на случайобъемных и поверхностных зарядов.

Если разбить этизаряды на элементарные и,то

,где — значение потенциала всех объемных ивсех поверхностных зарядов в элементеобъемаили на элементе поверхности.

Воспользовавшисьтеоремой Грина

или

(где — любые непрерывные конечные скалярныефункции координат, обладающие в областиинтегрирования производными первогои второго порядков), мы нашли

и ввели представлениеоб объемной плотности энергии .

Поиски минимумапотенциальной энергии взаимодействияточечных зарядов привели нас к заключению,что электростатическое взаимодействиене обеспечивает устойчивого состояниястатической системы электрическихзарядов (теорема Ирншоу).

Физический смысл: разноименные заряды притягиваютсявплоть до взаимного уничтожения, аодноименные отталкиваются вплоть доудаления в бесконечность.

Следовательно:

  1. атом должен представлять собой динамическую систему, в которой действуют силы неэлектрического происхождения;

  2. любая система, где действуют только силы , не будет статически устойчивой; устойчивость нашей планетной системы обусловливается лишь движением планет.

Источник: https://studfile.net/preview/4139160/page:7/

Пондеромоторные силы в электрическом поле

Пондеромоторные силы в электрическом поле
Определение 1

Напряженность E→ − это основная величина, которая характеризует электрическое поле и вычисляется по формуле:

где F→ − это механическая или пондеромоторная сила, действующая в этой точке поля на пробный заряд q. Причем поле образуется всеми зарядами системы, за исключением самого заряда q.

Большее внимание необходимо уделить вопросу о механических силах, действующих на поверхностные заряды, так как несущая напряженность поля имеет по обе стороны несущей заряд поверхности различные направления и потому на самой поверхности не определена.

Допустим, у нас есть уединенный заряженный проводник, тогда взаимно отталкивающиеся элементы заряда проводника не могут уйти с его поверхности, в результате чего на поверхность проводника действуют пондеромоторные силы, стремящиеся его растянуть.

Данные силы оказывают влияние также и на неодиночные проводники в электрическом поле.

На элементарный заряд dq, находящийся на элементе поверхности dS, действует 12 напряженности поля, которое имеет проводник, поскольку
2-я половина создается этим зарядом элемента поверхности. Так, поверхностная плотность такой силы равняется:

где σ − это поверхностная плотность силы проводника, n→ − это единичный вектор внешней нормали к поверхности проводника, ε − это диэлектрическая проницаемость среды, с которой соприкасается проводник.

Итак, на поверхности заряженного проводника сила действует в направлении внешней нормали, стремясь увеличить объем тела. Следовательно, результирующую силу можно найти таким образом:

где S − это поверхность проводника.

Объемные силы

В диэлектрике объемные электростатические силы, находящиеся в состоянии равновесия, не вызывают движения элементов объема, однако пытаются изменить среду. В итоге появляются объемные силы упругости, уравновешивающие электростатические силы.

Только лишь при быстром изменении полей объемные электрические силы вызывают движение элементарных объемов.

Применительно к изотропным сжимаемым диэлектрикам с любой зависимостью ε от плотности массы ρm объемная плотность пондеромоторной силы f→, которая действует в диэлектрике, помещенном в электрическое поле, равняется:

Если поляризованность линейна к ρm, тогда:

Поверхностные пондеромоторные силы

Кроме объемных сил, в диэлектриках действуют еще и поверхностные пондеромоторные силы.

Допустим, есть плоская граница диэлектриков, параллельная обкладкам конденсатора. Причем напряженность однородного поля перпендикулярна границе диэлектриков. Положительной нормалью будет нормаль, направленная из 1-й среды во 2-ю. Тогда поверхностная плотность силы имеет вид:

где En, Dn=D2n=D1n − это нормальные составляющие векторов напряженности и электрической индукции. ε1, ε2 − это диэлектрические проницаемости диэлектриков. Из уравнения (4) понятно, что при ε1>ε2→f>0 На границу раздела диэлектриков сила оказывает в сторону диэлектрика меньшую диэлектрическую проницаемость.

Поверхностная плотность силы

Поверхностная плотность силы состоит из 2-х частей, а именно:

  1. Поверхностная плотность силы f2, действующая на границу раздела диэлектриков и направленная в 1-ю среду со стороны электрического поля 2-й среды, которая вычисляется как:

f2=12E2nD2n,

где сила направлена по положительной нормали, условно направленной из 1-ой среды во 2-ю;

  1. Плотность силы, действующая на границу против направления положительной нормали со стороны электрического поля 1-ой среды f1:

f1=-12E1nD1n.

В данном случае электрические поля, находящиеся по разным сторонам границы диэлектриков, «притягивают» поверхность раздела с поверхностной плотностью силы, которая равняется объемной плотности электрической энергии, приходящейся на нормальные составляющие векторов поля.

Пример 1

Рассмотрим пример с диэлектриками, плоская граница между которыми находится перпендикулярно обкладкам плоского конденсатора.

Данная поверхностная плотность силы состоит из 2-х частей, а именно:

  1. Поверхностная плотность силы f2, действующая на границу раздела диэлектриков, направленную в 1-ю среду со стороны электрического поля 2-й среды, которая вычисляется как:

f2=-12E2τD2τ,

в данном уравнении знак “−” показывает, что сила направлена против положительной нормали, условно направленной из 1-й среды во 2-ю;

  1. Плотность силы, действующая на границу в направлении положительной нормали со стороны электрического поля 1-й среды f1

f1=12E1τD1τ.

Выходит, что электрическое поле «сдавливает» границу раздела благодаря тангенциальной составляющей поля. Поскольку E1τ=E2τ=Eτ, тогда равнодействующая сил давления равняется:

f=-12Eτ2ε1-ε2.

Пондеромоторные силы зачастую находят по связи между энергией электрического поля и силами, действующими на тела в данном поле.

Пример 2

Необходимо получить зависимость пондеромоторной силы, которая действует на диполь в каком-нибудь электрическом поле. При этом напряженность определяется вектором E→, который может меняться в пространстве. Заряды диполя по модулю равны q,l − это плечо диполя.

Решение

Рисунок 1

Пускай, E→ и E'→ − это напряженности поля в точках A и A', в котором находится диполь
(рисунок 1). Вычислим равнодействующую силу F→, влияющую на диполь:

F→=qE'→-qE→=qE'→-E→,

где E'→-E→ − это приращение вектора напряженности на отрезке AA', который равняется длине диполя(l). Поскольку l мало, тогда запишем:

E'→-E→=l∂E→∂l=l→∇E→.

Подставив E'→-E→=l∂E→∂l=l→∇E→ в F→=qE'→-qE→=qE'→-E→, получаем:

F→=ql→∇E→.

Ответ: Пондеромоторная сила, оказывающая влияние на диполь в электрическом поле, зависит от скорости изменения данного поля в направлении оси диполя: F→=ql→∇E→.

Пример 3

Две проводящие плоские пластины составляют угол α. Длина пластин, которые расположены перпендикулярно плоскости (рисунок 2), бесконечна. Между пластинами постоянная разность потенциалов равняется U. Ширина пластины b-a.

Пластины не касаются в точке O. Краевые эффекты можно опустить. Также можно применить то, что поверхностная плотность заряда пластин заданного конденсатора равняется: σ=εUrα, где r − это расстояние от оси.

Необходимо найти момент силы (M), который притягивает пластины конденсатора.

Рисунок 2

Решение

Поверхностная плотность силы, действующая на проводник, равняется:

f=σ22ε.

Получается, что на слой длиной l между r и r+dr действует сила, которая равна:

dF=-fldr=-εU22a2r2ldr,

где σ=εUrα. Знак “−” показывает, что сила стремится уменьшить угол между пластинами. Вычислим результирующую силу F:

F=∫abdF=-εU2l2a2∫abdrr2=εU2l2a21b-1a=εU2l2a2·a-bab.

Линия приложения сил находится на расстоянии r0 от оси вращения. Данное расстояние найдем из условия:

r0F=∫abrfF=-εU2l2a2lnba→r0=aba-blnba.

Тогда момент силы относительно оси вращения равняется:

M=r0F=-εU2l2a2ba.

Ответ: M=-εU2l2a2ba.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektricheskoe-pole/ponderomotornye-sily-v-elektricheskom-pole/

Результирующая сила

Более сложным является вопрос о механических силах, которые действуют на поверхностные заряды, поскольку напряженность поля имеет по обе стороны поверхности, которая несет заряд, разные направления и поэтому на самой поверхности является неопределённой.

Если мы имеем уединенный заряженный проводник, то взаимно отталкивающиеся элементы заряда проводника покинуть его поверхность не могут и в результате к поверхности проводника приложены пондемоторные силы, которые стремятся его растянуть.

Подобные силы будут действовать и на неодиночные проводники в электрическом поле.

На элементарный заряд $dq$, который находится на элементе поверхности $dS$, действует половина напряженности поля, которое имеет проводник, так как вторая половина создается самим рассматриваемым зарядом элемента поверхности. Таким образом, поверхностная плотность такой силы равна:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $\sigma $ — поверхностная плотность заряда проводника, $\overrightarrow{n\ }$ — единичный вектор внешней нормали к поверхности проводника, $\varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды с которой граничит проводник. И так, на поверхности заряженного проводника сила действует в направлении внешней нормали, стремясь увеличить объем тела. Соответственно, результирующая сила может быть найдена как:

где $S$ — поверхность проводника.

Объёмные силы

В диэлектрике объёмные электростатические силы в состоянии равновесия не вызывают движения элементов объема, но пытаются деформировать среду. В результате возникают объемные силы упругости, которые уравновешивают электростатические силы.

Объемные электрические силы вызывают движения элементарных объемов только при быстром изменении полей.

Для изотропных сжимаемых диэлектриков с любой зависимостью $\varepsilon \ $от плотности массы (${\rho }_m$) объемна плотность пондемоторной силы ($\overrightarrow{f}$) действующей в диэлектрике, который помещен в электрическое поле равна:

Если поляризованность линейна по отношению к ${\rho }_m$, то:

Поверхностные пондемоторные силы

Помимо объёмных сил в диэлектриках действуют и поверхностные пондемоторные силы.

Рассмотрим плоскую границу диэлектриков, параллельную обкладкам конденсатора. При этом напряженность поля, которое можно считать однородным, перпендикулярна границе диэлектриков. Положительной нормалью выберем нормаль, которая направлена из первой среды во вторую. При этом поверхностная плотность силы имеет вид:

где $E_{n,\ }D_n=D_{2n}$=$D_{1n}$ — нормальные составляющие векторов напряженности и электрической индукции.$\ {\varepsilon }_1$, ${\varepsilon }_2$ — диэлектрические проницаемости диэлектриков. Из уравнения (4) очевидно, что при ${\varepsilon }_1>{\varepsilon }_2\to f>0.$ На границу раздела диэлектриков сила действует в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.

Поверхностная плотность силы

Поверхностная плотность силы складывается из двух частей:

  • поверхностной плотности силы ($f_2$), действующей на границу раздела диэлектриков, направленную в первую среду со стороны электрического поля второй среды, которая определяется как:
  • \[f_2=\frac{1}{2}E_{2n}D_{2n}\left(7\right),\] где сила направлена по положительной нормали, которая условно направлена из первой среды во вторую;

  • плотности силы, действующей на границу против направления положительной нормали со стороны электрического поля первой среды ($f_1$):
  • \[f_1=-\frac{1}{2}E_{1n}D_{1n}\left(8\right).\]

В таком случае, электрические поля, которые находятся по разные стороны границы диэлектриков, «притягивают» поверхность раздела с поверхностной плотностью силы, равной объемной плотности электрической энергии, которая приходится на нормальные составляющие векторов поля.

Рассмотрим диэлектрики, плоская граница между которыми перпендикулярна обкладкам плоского конденсатора.

Эта поверхностная плотность силы складывается из двух частей:

  • поверхностной плотности силы ($f_2$), действующей на границу раздела диэлектриков, направленную в первую среду со стороны электрического поля второй среды, которая определяется как:
  • \[f_2=-\frac{1}{2}E_{2\tau }D_{2\tau }\left(9\right),\] где знак минус указывает, что сила направлена против положительной нормали, которая условно направлена из первой среды во вторую;

  • плотности силы, действующей на границу в направлении положительной нормали со стороны электрического поля первой среды ($f_1$):
  • \[f_1=\frac{1}{2}E_{1\tau }D_{1\tau }\left(10\right).\]

Получается, что электрическое поле «давит» на границу раздела за счет тангенциальной составляющей поля. Так как $E_{1\tau }$=$E_{2\tau }=E_\tau$, то равнодействующая сил давления равна:

\[f=\frac{1}{2}E2_{\tau }\left({\varepsilon }_1-{\varepsilon }_2\right)\left(11\right).\]

Пондемоторные силы часто вычисляют, используя связь между энергией электрического поля и силами, которые действуют на тела, находящиеся в этом поле. О таком методе расчета рассказано в статье: «Связь пондеромоторных сил с энергией электрических зарядов».

Пример 1

Задание: Получите зависимость пондемоторной силы, действующей на диполь в произвольном электрическом поле, напряженность которого определяется вектором $\overrightarrow{E\ },\ $может изменяться в пространстве. Заряды диполя по модулю равны $q, l$ — плечо диполя.

Решение:

Рис. 1

Пусть $\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{E}'$ — напряженности поля в точках $A\ и\ A'$в которое помещен диполь (рис.1). Найдем равнодействующую силу ($\overrightarrow{F}$), действующую на диполь:

\[\overrightarrow{F}=q{\overrightarrow{E}}'-q\overrightarrow{E}=q\left({\overrightarrow{E}}'-\overrightarrow{E}\right)\left(1.1\right),\]

где ${(\overrightarrow{E}}'-\overrightarrow{E})$ — приращение вектора напряженности на отрезке $A\ \ A'$, который равен длине диполя (l). Так как l мало, то можно записать, что:

\[{\overrightarrow{E}}'-\overrightarrow{E}=l\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial l}=\overrightarrow{l}abla \overrightarrow{E\ }\left(1.2\right).\]

Подставим (1.2) в (1.1), получим:

\[\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{l}abla \overrightarrow{E\ }.\]

Ответ: Пондемоторная сила, действующая на диполь в электрическом поле, зависит от скорости изменения этого поля в направлении оси диполя: $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{l}abla \overrightarrow{E\ }$.

Пример 2

Задание: Две проводящие плоские пластины образуют угол $\alpha $. Длина пластин, перпендикулярных плоскости рис.2 бесконечна. Между пластинами постоянная разность потенциалов равна U. Ширина пластины b-a. Пластины не соприкасаются в точке O.

Краевыми эффектами пренебречь. Можно использовать, то, что поверхностная плотность заряда пластин такого конденсатора равна:$\ \sigma =\frac{\varepsilon U}{r\alpha }$,где r — расстояние от оси.

Найдите момент силы ($M$), который сближает пластины конденсатора.

Рис. 2

Решение:

Поверхностная плотность силы, которая действует на проводник, равна:

\[f=\frac{{\sigma }2}{2\varepsilon }\ \left(2.1\right).\]

Следовательно, на слой длиной $l$ между $r$ и $r+dr$ действует сила равная:

\[dF=-fldr=-\frac{\varepsilon U2}{2{\alpha }2r2}l\ dr\left(2.2\right),\]

где $\sigma =\frac{\varepsilon U}{r\alpha }$. Знак минус учитывает, что сила стремится уменьшить угол между пластинами. Найдем результирующую силу $(F):$

\[F=\int\limitsb_a{dF}=-\frac{\varepsilon U2l}{2{\alpha }2}\int\limitsb_a{\frac{dr}{r2}}=\frac{\varepsilon U2l}{2{\alpha }2}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=\frac{\varepsilon U2l}{2{\alpha }2}\cdot \frac{a-b}{ab}\left(2.3\right).\]

Линия приложения сил находится на расстоянии $r_0\ от\ $оси вращения. Это расстояние найдем из условия:

\[r_0F=\int\limitsb_a{rdF=-}\frac{\varepsilon U2l}{2{\alpha }2}ln\left(\frac{b}{a}\right)\to r_0=\frac{ab}{a-b}ln\left(\frac{b}{a}\right)\ \left(2.4\right).\]

В таком случае, момент силы относительно оси вращения равен:

\[M=r_0F=-\frac{\varepsilon U2l}{2{\alpha }2}ln\left(\frac{b}{a}\right).\]

Ответ: $M=-\frac{\varepsilon U2l}{2{\alpha }2}ln\left(\frac{b}{a}\right).$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/ponderomotornye_sily_v_elektricheskom_pole/

ПОНДЕРОМОТО́РНЫЕ СИ́ЛЫ

Пондеромоторные силы в электрическом поле

Авторы: Ю. В. Юрьев (электродинамика), К. А. Наугольных (акустика)

ПОНДЕРОМОТО́РНЫЕ СИ́ЛЫ. 1) В элек­тро­ди­на­ми­ке – си­лы, дей­ст­вую­щие на те­ла в элек­трич. и маг­нит­ных по­лях. В элек­трич.

по­ле на еди­ни­цу объ­ё­ма изо­троп­но­го жид­ко­го или га­зо­об­раз­но­го ди­элек­три­ка дей­ст­ву­ет си­ла $$\boldsymbol f=\rho \boldsymbol E+\frac{ε_0}{2}abla\left[ E2 \rho_m\left( \frac{\partial ε}{\partial \rho_m}\right)\right]-\frac{ε_0 E2}{2}abla ε,$$ где $ρ$ – объ­ём­ная плот­ность сто­рон­них элек­трич. за­ря­дов, $\boldsymbol E$ – на­пря­жён­ность элек­трич.

по­ля, $ε_0$ – элек­трич. по­сто­ян­ная, $ε$  – ди­элек­трич. про­ни­цае­мость, $ρ_m$ – плот­ность сре­ды. Пер­вое сла­гае­мое оп­ре­де­ля­ет си­лу, дей­ст­вую­щую на сто­рон­ние элек­трич. за­ря­ды в сре­де со сто­ро­ны элек­трич. по­ля. Ес­ли в сре­де сто­рон­ние за­ря­ды от­сут­ст­ву­ют ($ρ=0$), а век­тор элек­трич.

по­ля­ри­за­ции $\boldsymbol P$ про­пор­цио­на­лен плот­но­сти сре­ды $ρ_m$, то объ­ём­ная плот­ность П. с. $$\boldsymbol f=\frac{ε_0(ε-1)}{2}abla (E2).$$Из это­го вы­ра­же­ния сле­ду­ет, что т. к. $ε\gt 1$, то П. с. стре­мят­ся пе­ре­мес­тить ди­элек­трик в об­ласть наи­боль­ше­го зна­че­ния на­пря­жён­но­сти элек­трич. по­ля.

На про­вод­ник, по­ме­щён­ный в элек­тро­ста­тич. по­ле, дей­ст­ву­ют П. с., при­ло­жен­ные к его по­верх­но­сти, при­чём си­ла, при­хо­дя­щая­ся на еди­ни­цу пло­ща­ди, рав­на $(ε_0E2/2)\boldsymbol n$, где $E$ – на­пря­жён­ность элек­трич. по­ля вбли­зи по­верх­но­сти, $\boldsymbol n$ – еди­нич­ный век­тор, на­прав­лен­ный вдоль внеш­ней нор­ма­ли к по­верх­но­сти про­вод­ни­ка.

В маг­нит­ном по­ле на еди­ни­цу объ­ё­ма изо­троп­но­го жид­ко­го или га­зо­об­раз­но­го диа- или па­ра­маг­не­ти­ка бу­дет дей­ст­во­вать си­ла$$\boldsymbol f=μμ_0\,\boldsymbol j×\boldsymbol H+\frac{μ_0}{2}abla \left[ H2\rho_m\left(\frac{\partial μ}{\partial\rho_m} \right)\right]-\frac{μ_0H2}{2}abla μ,$$или $$\boldsymbol f=μμ_0\,\boldsymbol j×\boldsymbol H+\frac{μ-1}{2μμ_0}abla(B2),$$где $μ$ – маг­нит­ная про­ни­цае­мость, $μ_0$ – маг­нит­ная по­сто­ян­ная, $\boldsymbol j$ – век­тор плот­но­сти элек­трич. то­ка, $\boldsymbol B$ – маг­нит­ная ин­дук­ция, $\boldsymbol H$ – на­пря­жён­ность маг­нит­но­го по­ля. В от­сут­ст­вие элек­трич. то­ков $(\boldsymbol j=0)$ объ­ём­ная плот­ность П. с. рав­на$$\boldsymbol f=\frac{μ-1}{2μμ_0}abla(B2).$$ Та­ким об­ра­зом, П. с. стре­мят­ся пе­ре­мес­тить па­ра­маг­не­тик $(μ\gt 1)$ в об­ласть наи­боль­ше­го зна­че­ния маг­нит­но­го по­ля, а диа­маг­не­тик $(μ\lt 1)$ – уда­лить из этой об­лас­ти. П. с. при­во­дят так­же к де­фор­ма­ции тел (элек­тро­стрик­ции и маг­ни­то­ст­рик­ции). Для твёр­дых изо­троп­ных и ани­зо­троп­ных тел вы­ра­же­ния для П. с. име­ют бо­лее слож­ный вид.

2) В аку­сти­ке – си­лы, дей­ст­вую­щие на ве­ще­ст­во или те­ло, по­ме­щён­ное в зву­ко­вое по­ле. П. с. про­яв­ля­ют­ся в дей­ст­вии зву­ко­вой вол­ны на чув­ст­вит.

эле­мен­ты при­ём­ни­ков зву­ка, в УЗ-коа­гу­ля­ции, дис­пер­ги­ро­ва­нии, ка­ви­та­ции, в воз­ник­но­ве­нии аку­сти­че­ских те­че­ний, ус­та­ло­сти ма­те­риа­лов, под­вер­гаю­щих­ся дли­тель­но­му воз­дей­ст­вию ин­тен­сив­но­го аку­стич. из­лу­че­ния, во вспу­чи­ва­нии гра­ниц раз­де­ла двух сред.

Осн. вклад в П. с. да­ёт зву­ко­вое дав­ле­ние, имен­но эта ве­ли­чи­на вос­при­ни­ма­ет­ся чув­ст­вит. эле­мен­та­ми при­ём­ни­ков зву­ка. В жид­ко­стях при ин­тен­сив­но­сти зву­ка по­ряд­ка 1 Вт/см2, ха­рак­тер­ной для ря­да прак­тич.

при­ме­не­ний в УЗ-тех­но­ло­гии, зву­ко­вое дав­ле­ние со­став­ля­ет по­ряд­ка 106 Па. В этом слу­чае П. с. мо­гут пре­вы­сить по­рог проч­но­сти жид­ко­сти и вы­звать ка­ви­та­цию. Сред­няя по вре­ме­ни П. с., обу­слов­лен­ная зву­ко­вым дав­ле­ни­ем в гар­мо­нич.

зву­ко­вых по­лях, рав­на ну­лю.

По­ми­мо это­го, в зву­ко­вых по­лях воз­ни­ка­ют по­сто­ян­ные во вре­ме­ни П. с., оп­ре­де­ляе­мые квад­ра­тич­ны­ми эф­фек­та­ми. Обыч­но эти си­лы мож­но рас­смат­ри­вать как ре­зуль­тат дав­ле­ния зву­ко­во­го из­лу­че­ния. Его ве­ли­чи­на ма­ла; напр.

, в воз­ду­хе по­ряд­ка 10–7 Па при ин­тен­сив­но­сти зву­ка 10–9 Вт/см2, в во­де по­ряд­ка 10 Па при ин­тен­сив­но­сти зву­ка 1 Вт/см2. Тем не ме­нее эти П. с. при­во­дят к за­метным эф­фек­там, про­яв­ляю­щим­ся в по­яв­ле­нии аку­стич.

те­че­ний, вспу­чи­ва­нии гра­ниц раз­де­ла двух сред и др.

Зна­чи­тель­ные по ве­ли­чи­не П. с. дей­ст­ву­ют не толь­ко на эле­мен­ты сре­ды, в ко­то­рой воз­бу­ж­де­но зву­ко­вое по­ле, но и на гра­ни­ча­щие с ней по­верх­но­сти, а так­же на те­ла, на­хо­дя­щие­ся в сре­де. Так, напр.

, на по­ме­щён­ное в зву­ко­вое по­ле те­ло, раз­ме­ры ко­то­ро­го мно­го мень­ше дли­ны зву­ко­вой вол­ны, а плот­ность рав­на плот­но­сти ок­ру­жаю­щей сре­ды, в зву­ко­вом по­ле дей­ст­ву­ет си­ла, за­став­ляю­щая его ко­ле­бать­ся вме­сте с час­ти­ца­ми сре­ды.

Ес­ли плот­ность те­ла $ρ_1$ от­ли­ча­ет­ся от плот­но­сти ρ ок­ру­жаю­щей сре­ды, то воз­ни­ка­ет дви­же­ние те­ла от­но­си­тель­но сре­ды, при­чём ес­ли $ρ_1>ρ$, то те­ло от­ста­ёт от час­тиц сре­ды, а ес­ли $ρ_1

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/3157849

Пондеромоторные силы в электродинамике

Пондеромоторные силы в электрическом поле

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

А   Б   В   Г   Д   Е   Ж   З   И   К   Л   М   Н   О   П   Р   С   Т   У   Ф   Х   Ц   Ч   Ш   Э   Ю   Я  

Пондеромоторные силы в электродинамике — силы, действующие на тела в электрич. и магн. полях. Термин «П. с.» введён во времена, когда наряду с весомыми телами признавалось существование невесомых субстанций (эфир, электрич. жидкость и т. п.); в совр. лексиконе иногда говорят просто об эл—магн. силах.

Плотность П. с. связана с тензором напряжений (см. Напряжение механическое)соотношением

где- i-я компонента плотности П. с., = пространственные координаты (г, k — 1, 2, 3). В электрич. поле П. с. действуют как на проводящие, так и на ди-электрич. тела. Для изотропной жидкой диэлектрич. среды

где — диэлектрич. проницаемость, — плотность среды, — плотность сторонних зарядов (здесь и далее используется гауссова система единиц). Последний член описывает силы, действующие на сторонние заряды в диэлектрике. Наиб. простой вид плотность объёмных П. с. имеет в газе, где e пропорциональна

В случае металлов в электростатич. поле П. с. действуют только на их поверхность, создавая «отрицательное» давление, равное где — поле на поверхности проводника (ортогональное ей). В случае твёрдого диэлектрика ф-лы для П. с.

имеют более сложный вид, поскольку в (1) необходимо добавить члены, связанные с изменением тензора диэлектрич. проницаемости под действием деформаций сдвига, не изменяющих плотность тела. Кроме того, в кристаллах ряда низко-симметрич. кристаллич.

классов — пьезоэлектриках — возникают напряжения, пропорциональные не второй, а первой степени электрич. поля.

Объёмные интегралы, определяющие полную силу и момент силдействующие на тело в целом, можно свести к интегралам по поверхностиохватывающей это тело:

где — диэлектрич. проницаемость внеш. (однородной) среды, — радиус-вектор и внеш. нормаль к элементу поверхности. Эти силы, в частности, приводят к втягиванию диэлектрика в области с большими значениями Е.

Аналогично случаю электрич. поля на тело с магнитной проницаемостьюдействует сила со стороны магн. поля с объёмной плотностью

Первые два члена связаны с воздействием непосредственно на магнетик, последний член — с силами, действующими на токи проводимости и токи, связанные с перемещением сторонних зарядов. В случаеэтот член оказывается основным и сила, действующая на проводник с током, равна

Эта ф-ла применима как к жидким, так и к твёрдым проводникам. Если принять, что ток протекает по линейному (т. е. тонкому) проводнику, а магн. поле создаётся др. линейными проводниками с током, то из (4) следует Био — Савара закон.

В общем случае ф-ла (4) определяет также «внутренние» силы, с к-рыми разл. участки проводника воздействуют друг на друга. Так, на катушку с током действуют П. с., сжимающие её вдоль оси и растягивающие в радиальном направлении, что, в частности, затрудняет получение сильных магн.

полей из-за ограниченной механич. прочности катушки.

П. с. часто удобнее вычислять, используя закон сохранения энергии для системы тел с учётом нолей. Под действием П. с. происходит деформация тел — электро-стрикция и магнитострикция ,поэтому для вычисления равновесных состояний необходимо учитывать и силы упругости, возникающие при такой деформации.

В перем. эл—магн. поле объёмная плотность П. с. отличается от суммы выражений (1) и (2) дополнит. слагаемым называемым силой Абрагама. Одной из разновидностей П. с. являются силы давления эл—магн. волн (передача импульса и момента импульса телу при поглощении, отражении и преломлении эл—магн. волн), в частности давление света и Садовского эффект.

Литература по пондеромоторным силам в электродинамике

  1. Тамм И. Е., Основы теории электричества, 10 изд., М., 1989;

А. Н. Васильев

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса — это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.

Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд.

При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды.

Однако в дело вступает явление «усталости света», открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы «устают», отдают свою энергию межзвездной среде.

На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира

Источник: http://bourabai.ru/physics/3022.html

Booksm
Добавить комментарий