Политропический процесс

5. Газовые процессы

Политропический процесс

В переводе на русский язык слово политропа означает многообразие, применительно к процессам это многообразие закономерностей. Закономерность энергетических взаимодействий приведет к закономерному изменению членов первого закона термодинамики для данного тела.

В случае обратимого (без трения) процесса соблюдается первый закон термодинамики δq=du+δl. Для закономерного процесса имеется определенное соотношение между членами уравнения первого закона термодинамики.

Обычно за величину, определяющую закономерность энергетического взаимодействия, принимают отношение изменения внутренней энергии к количеству подведенной теплоты

Действительно, в случае постоянства α=const получается, что все члены первого закона термодинамики будут находиться в строгом соотношении друг к другу, определяемом величиной α

(5.2)

Процессы, подчиняющиеся закономерному энергетическому взаимодействию, при котором α=du/δq=const, называются политропными.

Рассмотрим обратимый (без трения) закономерный — политропный процесс применительно к идеальному газу.

Для идеальных газов с постоянными изобарными и изохорными теплоемкостями политропный процесс будет характеризоваться следующими соотношениями.

Поскольку α=const, то и теплоемкость политропного процесса для идеального газа будет величиной постоянно

(5.3)

Постоянство теплоемкости определяет закономерность изменения параметров в политропном процессе. Для определения этой закономерности воспользуемся двумя уравнениями первого закона термодинамики:

Преобразуем эти уравнения, переместив члены с теплоемкостями в левую часть

После деления правых и левых частей равенств друг на друга получим постоянную величину

(5.4)

Обозначим левую часть равенства буквой n;

(5.5)

Эта постоянная величина n получила название показателя политропы.

Подставив показатель политропы в выражение (5.4) и сделав элементарные преобразования, получим соотношение

Разделив последнее равенство на произведение pv, получим

После интегрирования последнего равенства получаем

или окончательно:

(5.6)

Уравнение (5.6) называется уравнением политропы. Оно описывает закономерность изменения параметров в политропном процессе. В выражении (5.6) дана взаимосвязь двух термических параметров P и v.

Поскольку состояние идеального газа подчиняется уравнению Pv=RT, то выразив Р и v через соответствующую пару термических параметров v, Т и Р, Т и подставив их поочередно в выражение (5.

6), получим уравнения политропы, описывающие взаимосвязь параметров v, Т и Р, Т

(5.7)
(5.8)

Политропа в системе координат P-v-T представляет собой кривую, проекции которой на оси P-v, T-v, T-P описываются уравнениями (5.6), (5.7), (5.8).

Константы этих уравнений определяются по любой паре термических параметров для одной из точек (любой), находящейся на этой политропе.

Таким образом политропа считается заданной, если известны ее параметры хотя бы в одной точке и задан показатель политропы n.

Рис. 5.1. Зависимость теплоемкости политропного процесса от показателя n……………………………………..

Константы в выражениях (5.6), (5.7), (5.8) при одинаковых показателях политропы n будут иметь различные значения. Такие политропы имеют одинаковую закономерность изменения параметров и в системе координат термических параметров состояния не пересекаются.

Расчетное выражение для теплоемкости политропного процесса получается из уравнения (5.5)

(5.9)

Показатель политропы может иметь численные значения от — ∞ до + ∞. В соответствии с уравнением (5.9) теплоемкость политропных процессов в зависимости от n также может принимать значения от — ∞ до + ∞. Функциональная зависимость теплоемкости политропного процесса от n приведена на рис.5.1.

Используя уравнение (5.9), получим расчетное выражение для константы α в политропном процессе

(5.10)

В политропном процессе при изменении параметров идеального газа от точки 1 до точки 2 изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии определяется по уравнениям:

(5.11)
(5.12)
(5.13)

Изменение энтропии можно расчитать по изменению любого термического параметра, а не только по изменению температуры. Для этого достоточно воспользоваться уравнениями (5.7) и (5.8)

(5.14)

Расчет теплоты в политропном процессе целесообразно вести по следующим зависимостям:

(5.15)

Работа в политропном процессе может быть определена интегрированием или из первого закона термодинамики:

(5.16)

Используя выражение (5.16), можно определить работу, зная изменеие любого параметра. Для этого отношение температур необходимо выразить через отношение объемов или давлений в соответствии с выражениями (5.14).

предыдущий параграф содержание следующий параграф

Источник: http://ispu.ru/files/u2/book2/TD1_19-06/ttd5-1.htm

11. Политропический процесс

Политропический процесс

Политропическиминазываютсяпроцессы, при которых теплоёмкость телаостается постоянной(C = const).

Изохорный,изобарный, адиабатический и изотермическийпроцессы являются частными случаямиполитропического.

Всамом деле:

при V= const ;

при p= const ;

при Q= const, dQ= 0 ;

при T= const, dT= 0

(приизотермическом процессе сообщение телулюбого количества теплоты не приводитк изменению температуры тела).

Найдемуравнение политропы. Для простотыпроведем расчёт для 1 моля газа (еслипроводить расчет для произвольногочисла молей, то число молей при этом сокращается). Воспользуемсяопределением теплоёмкости: C= dQ/dTdQ= CdT.

Изпервого начала термодинамики следует:

dQ= dU + dA,

CdT = CVdT + p dV,

(CCV)dTpdV= 0. (61)

Аналогичнотому, как это делалось при выводеуравнения адиабаты, исключим из уравнения(61) температуру:

pV= RTpdV + V dp = R dT

. (62)

Подставимформулу (62) в уравнение (61), приведёмвыражение к общему знаменателю и учтёмто, что дробь равна нулю, если её числительравен нулю:

Cp dV+ CVdpCVp dVCVV dpCPp dV+ CVp dV= 0,

(C– CP)p dV+ (C – CV)V dp= 0 [делим на (C– CV)pV],

(63)

Введёмпоказатель политропы как

. (64)

Продолжаемрешать уравнение (63):

nln V+ lnp= ln(const),

. (65)

Уравнение(65) является уравнением политропы вкоординатах (p,V).Уравнения политропы в других координатахполучаются аналогично тому, как этоделалось для уравнения адиабаты (а можноиндекс в уравнениях адиабаты заменить на n).

Врассмотренных уравнениях переменнаяС–это теплоёмкость газа в конкретномпроцессе. Поэтому получим из общегоуравнения (65) его частные случаи(процессы):

адиабатический С = СА= 0  (64) 

 (65)  pV= const;

изотермический С = СТ=   (64) 

 (65)  pV= const;

изобарический С = СР  (64) 

 (65)  pV0= p1= p= const;

изохорический С = СV (64)  .

Изуравнения (65) извлечем корень n-йстепени и получим:

Подставивв последнее уравнение величину n= ,получим:

p0V= 1V= V= const.

12. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики

Системанаходится в термодинамическом равновесии,если макроскопические величины,определяющие её состояние (pVT),остаются постоянными (нет процессовтеплопроводности, диффузии, химическихреакций, фазовых переходов и т.п.). Будучивыведенной из состояния равновесиявнешними воздействиями, системасамопроизвольно возвращается ктермодинамическому равновесию.

Приобратимыхпроцессахсистема возвращается в исходное состояниетак, что как в самой системе, так и вокружающей среде не остается никакихизменений. Обратимымявляется процесс,для которого возможен обратный переходиз конечного состояния в начальноечерез те же промежуточные состояния,что и в прямом процессе.

Обратимымиявляются все движения, рассматриваемыев механике, кроме тех, в которых участвуютдиссипативные силы. В молекулярнойфизике большинство процессов необратимои имеет односторонний характер (переходтепла от горячего тела к холодному,распространение газа на весь объём,смешивание двух различных газов придиффузии).

Возьмемуравнение первого начала термодинамики:

Q= dU+ A= CVdT+ pdV. (66)

Найдемиз уравнения Менделеева-Клапейронадавление p = RT/Vи подставим его в уравнение (66):

.

Разделимобе части этого уравнения на Т:

. (67)

Праваячасть равенства (67) представляет собойполный дифференциал, следовательно, илевая часть также является полнымдифференциалом.

Функциясостояния, полный дифференциал которойравенQ/T,называетсяэнтропи́ейи обозначается буквой S:

. (68)

Свойстваэнтропии:

Энтропиязамкнутой системы, совершающей обратимыйцикл, не изменяется dSОБР= 0, или S =const.

Входе необратимого процесса энтропиязамкнутой системы возрастает dSНЕОБР> 0 и достигает максимального значенияв равновесном состоянии (т.е. S2>S1).

Второеначало термодинамики:энтропиязамкнутой системы при любых происходящихв ней процессах не убываетdS  0.Знак (>) соответствует необратимомупроцессу, а знак (=) обратимому.

Еслиже система не замкнута, т.е. можетобмениваться теплотой с окружающейсредой, то энтропия может вести себялюбым образом (увеличиваться, уменьшаться,не изменяться).

Энтропиюможно также определить статистическис помощью формулыБольцмана: S= kln, где k– постоянная Больцмана; – статистический вес или термодинамическаявероятность состояний. Для величины в разных учебниках приводятся разныеопределения, например:

 – числоразличных равновероятных микросостояний(всевозможных распределений частиц покоординатам и скоростям), которыереализуют данное макросостояние (p,V,T);

 – числоспособов, реализуя которые системаможет прийти к данному равновесномусостоянию.

Вравновесном состоянии макропараметры(p,V,T)постоянны, однако микропараметры(скорости, координаты, импульсы частиц)постоянно меняются. Поэтому число очень огромно.

Состояние,которое осуществляется многими способами,называется беспорядочным, или случайным.Следовательно, энтропияявляется мерой беспорядка в системе.Сообщение системе количества теплотыприводит к усилению хаотическогодвижения молекул, увеличивает (энтропию)степень беспорядка в системе.

Приабсолютном нуле Т= 0 движения нет, и все атомы тела закрепленыв определенных местах. Существует толькоодно микросостояние = 1.

Следовательно, энтропия равна нулю:S = kln1 = 0.

Отсюда следует третьеначало термодинамики (теорема Нернста):энтропиялюбого тела стремится к нулю пристремлении температуры к нулю, или приТ = 0 в любом процессе S= 0.

Всякийестественный процесс всегда протекаеттак, что система переходит в состояниес более высокой степенью беспорядка,так как такое состояние характеризуетсябольшей термодинамической вероятностью.

С этим связана и необратимость тепловыхпроцессов: беспорядок в системеувеличивается.

Любой вид энергии(механической, электрической…) в конечномитоге переходит в тепловые (хаотические)колебания атомов и молекул.

Второеначало термодинамики, установленноедля замкнутых систем на Земле, не можетбыть распространено на всю бесконечнуюВселенную. Иначе можно прийти к выводу,что температуры всех тел во Вселеннойстанут одинаковыми.

Энтропия достигнетсвоего предельного – максимального –значения, и наступит абсолютно равновесноесостояние, в котором никакие процессыуже невозможны.

Все виды энергии перейдутв тепловой вид, при этом все формыдвижения, кроме хаотического теплового,должны прекратиться. Наступит «тепловаясмерть Вселенной».

Изопределения энтропии следует, чтоплощадь под кривой на диаграмме (T,S)численно равна количеству теплоты Q12,полученному телом в ходе процесса 1 2 (рис. 29):

Q= TdS, . (69)

При T = const Q12= T(S2– S1).

Каквидно из рис. 29, количество теплоты(площадь под кривой) зависит от видаперехода 1 2. Следовательно, количествотеплоты Q не является функцией состояния,а её элементарное изменение Qне является полным дифференциалом.

ТРИЗ-задание21.ДемонМаксвелла и маленькие человечки

«ДемонМаксвелла»– это связанный со вторым началомтермодинамики мысленный эксперимент,в котором разумно действует фантастическоемаленькое существо. В чём суть этогоэксперимента? Какие ещё мысленныеэксперименты в физике Вы знаете? В ТРИЗсуществует аналогичный метод –моделированиемаленькими человечками(ММЧ). Как работает этот творческийинструмент ТРИЗ?

Источник: https://studfile.net/preview/1546622/page:15/

Политропический процесс

Политропический процесс

До сих пор рассматривались процессы, у которых имелись вполне определенные признаки: изохорный – постоянный объем; изобарный – постоянное давление; изотермический – постоянная температура; адиабатный – при отсутствии теплообмена между рабочим телом и внешней средой. Наряду с этими процессами можно представить еще бесконечное множество процессов, у которых имеются другие постоянные признаки.

Условились всякий процесс идеального газа, в котором теплоемкость является постоянной величиной, называть политропным процессом.

Из определения политропного процесса следует, что основные термодинамические процессы – изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный, если они протекают при постоянной теплоемкости, являются частными случаями политропного процесса.

Теплоемкость политропного процесса может принимать самые разнообразные положительные и отрицательные значения от до . Количество теплоты, участвующее в политропном процессе, может быть выражено произведением теплоемкости процесса на разность температур.

,

или

1. Уравнение политропического процесса выводится на основании первого закона термодинамики:

=

= .

Преобразуем эти выражения

.

Разделим первое на второе

(1)

Введем обозначение

(2)

Тогда уравнение (1) примет вид

или (3)

Выражение (3) является дифференциалом выражения . Тогда

. (4)

После потенцирования выражения (4) получим

. (5)

Уравнение (5) является уравнением политропического процесса, — показатель политропы.

Теплоемкость политропного процесса определяется из формулы (2)

, так как . Теперь

(6)

Из уравнений (6) и (2) можно получить значения теплоемкостей термодинамических процессов и показатели политропы. Все они занесены в таблицу.

ПроцессУравнение состояния.
1.2.3.4. ИзохорическийИзобарическийИзотермическийАдиабатический01

2. Поскольку уравнение политропы отличается от уравнения адиабаты только величиной показателя , то все соотношения между основными параметрами могут быть представлены формулами, аналогичными адиабатному процессу.

, , .

3. Изменение внутренней энергии газа и теплота в политропном процессе определяется по формулам

,

.

Уравнение работы изменения объема, совершаемой телом при политропном процессе имеет аналогичный вид с уравнением работы в адиабатном процессе

,

.

Значение в любом политропном процессе может быть определено по параметрам двух состояний процесса.

или .
Рис.2.

Изображая политропный процесс в логарифмических координатах можно очень просто определить (рис.2).

,

— это уравнение прямой в координатах и , а показатель политропы — тангенс угла наклона к оси абсцисс.

Все реальные процессы, протекающие в тепловых машинах, можно аппроксимировать политропными процессами с соответствующими показателями политропы , которые могут быть найдены по экспериментальным данным ( по замерам давлений и удельных объемов в начальном и конечном состояниях газа).

4. Особенности распределения энергии в различных политропных процессах.

Рассмотрим расположение политропных процессов на — диаграмме.(см. рис. 3),

выходящие из одной и той же точки, в зависимости от величины показателя.
Рис.3.
. В процессах расположенных справа от изохоры газ совершает работу (+А), а расположенных слева – внешние силы совершают работу над газом (-А) (см. рис. 4)    
Рис. 4.
Процессы, расположенные выше изотермы, протекают с увеличением внутренней энергии, а процессы расположенные ниже изотермы – с уменьшением внутренней энергии (см. рис. 5.)
Рис. 5.
Процессы, расположенные выше адиабаты, протекают с подводом тепла, а расположенные ниже – с отводом тепла. (см. рис. 6).
Рис. 6.

Лекция 15 Второе начало термодинамики.

Сущность второго начала термодинамики.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_1792_politropicheskiy-protsess.html

Уравнение политропы для идеального газа

Получим уравнение политропы для идеального газа, следуя тому, что теплоемкость должна быть постоянна.

Запишем первое начало термодинамики в виде:

\[СdT=C_VdT+pdV\ (3)\]

Из уравнения Менделеева — Клайперона для идеального газа:

\[pV=u RT\to T=\frac{pV}{u R}\left(4\right).\]

Из соотношения Майера:

\[C_p-C_V=u R\ \left(5\right).\]

Подставим (5) в (4), получим:

\[T=\frac{pV}{C_p-C_V}\to p=\frac{T(C_p-C_V)}{V}\ \left(6\right).\]

Разделим уравнение (3) $T\ $, получим:

\[\frac{С-C_V}{T}dT=\frac{(C_p-C_V)}{V}dV\to \frac{dT}{T}=\frac{(C_p-C_V)}{(С-C_V)}\frac{dV}{V}\ (7)\]

Очевидно, что если теплоемкость процесса постоянная, то

\[\frac{(C_p-C_V)}{(С-C_V)}-постоянная\ величина.\]

Уравнение интегрируем, потенцируем, получаем:

\[TV{n-1}=const (8),\]

где $\frac{\left(C_p-C_V\right)}{\left(C_V-С\right)}=n-1$.

Уравнение (8) — уравнение политропы в переменных T, V. Используя уравнение Менделеева — Клайперона легко получить политропу в параметрах $p,V$ или $p,T$.

При $С=0$, $n=

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/termodinamika/politropicheskiy_process/

Уравнение политропного процесса

Политропический процесс

Продифференцируем уравнение состояния для 1 кг идеального газа:

Принимая теплоемкость не зависящей от температуры, получим уравнение первого закона термодинамики в дифференциальной форме:

Подставляя в это уравнение выражение для , получаем

или

Разделяя переменные и произведя интегрирование, получаем

,

где — показатель политропы, может принимать значения от нуля до бесконечности.

Зависимость между температурой и удельным объёмом определяется путём замены давления в уравнении политропного процесса его значением из уравнения состояния идеального газа:

отсюда

или

Исключая подобным же образом удельный объём, находим зависимость между давлением и температурой:

отсюда или

Деформационная работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, определяется по формуле:

Техническая работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, находится по формуле:

То есть отношение технической и деформационной работ равно показателю политропы:

Изменение внутренней энергии в политропном процессе находится общей формулой:

Теплоёмкость процесса определяется из выражения для показателя политропы:

Количество теплоты в политропном процессе находится по формуле:

1.12. Энтальпия рабочего тела.

В термодинамике важную роль играет сумма внутренней энергии системы и произведения давления системы на её объём , называемая энтальпией или теплосодержанием и обозначаемая I или Н:

Так как входящие в нее величины являются функциями состояния, то и сама энтальпия является функцией состояния.

Так же как внутренняя энергия, работа и теплота, она измеряется в джоулях (Дж).

Энтальпия обладает свойством аддитивности . Величина

i = u + pv, (1.17)

называемая удельной энтальпией ( ), представляет собой энтальпию системы, содержащей 1 кг ве­щества, и измеряется в Дж/кг.

Поскольку энтальпия есть функция состояния, то она может быть представ­лена в виде функции двух любых пара­метров состояния:

, а величина di является полным

диффе­ренциалом.

Изменение энтальпии в любом про­цессе определяется только начальным и конечным состояниями тела и не за­висит от характера процесса.

Физический смысл энтальпии выяс­ним на следующем примере. Рассмотрим расширенную систему, включающую газ в цилиндре и поршень с грузом общим весом G (рис.1.7).

Энергия этой системы складывается из внутренней энергии га­за и потенциальной энергии поршня с грузом в поле внешних сил: . В условиях равновесия (G = pF) эту функцию можно выразить через па­раметры газа: .

Получаем, что , т.е. энтальпию можно трактовать как энергию расширенной системы.

Уравнение в случае, когда единственным видом работы является работа расширения, с уче­том очевидного соотношения может быть записано в виде .

Рис.1.10. К определению физического смысла энтальпии

Из этого соотношения следует, что если давление термодинамической системы сохраняется неизменным, то есть осуществляется изобарный процесс (dp = 0), то и , то теплота, подведенная к системе при постоянном давлении, идет только на изменение энтальпии данной системы.

Это выражение очень часто используется в расчетах, так как огромное

количество процессов подвода теплоты в теплоэнергетике (в паровых котлах, камерах сгорания газовых турбореактивных двигателей, теплообменных аппаратах), а также целый ряд процессов химической технологии и многих других производствах осуществляется при постоянном давлении. Кстати, по этой причине в таблицах термодинамических свойств обычно приводятся значения энтальпии, a не внутренней энергии.

Для идеального газа для вычисления энтальпии используется формула

Так как между энтальпией и внутренней энергией существует связь, выбор начала отсчета одной из них произволен: в точке, принятой за начало отсчета внутренней энергии, Например, для воды при = 0,01 °С ,

р = 610,8 Па, , a .

При расчетах практический интерес представляет изменение энтальпии в конечном процессе:

1.13. Энтропия рабочего тела.

Как уже указывалось, величина не является полным дифференциалом, так как теплота и изменение внутренней энергии зависят от теплоемкости, которая, в свою очередь, является функцией температуры. Кроме того, чтобы проинтегрировать правую часть этого уравнения, нужно знать зависимость давления от удельного объёма, то есть нужно знать процесс, который совершается.

В математике доказывается, что дифференциальный двучлен всегда можно превратить в полный дифференциал путем умножения (или деления) на интегрирующий множитель (или делитель). Таким интегрирующим делителем для элементарного количества теплоты является абсолютная температура Т.

Покажем это на примере изменения состояния идеального газа в равновесных процессах:

Выражение при равновесном изменении состояния газа есть полный дифференциал некоторой функции состояния, которая называется энтропией, обозначается для 1 кг газа через и измеряется в . Термин «энтропия» был введен впервые Рудольфом Юлиусом Эммануэлем Клаузиусом (1822 – 1888), немецким физиком, в 1865 году.

Для произвольного количества газа энтропия, обозначаемая через ,

равна и измеряется в .

Таким образом, аналитически энтропия определяется следующим образом:

Эта формула справедлива как для идеальных, так и для реальных газов.

Подобно любой другой функции состояния энтропия может быть представлена в виде функции любых двух параметров состояния:

Понятием «энтропия» (от греч. Entropia – поворот, превращение) будем называть в термодинамике направление теплообмена между рабочим телом термодинамической системы и внешней средой.

Значение энтропии для заданного состояния газа определяется интегрированием уравнения для энтропии:

, где — константа интегрирования.

При температурах, близких к абсолютному нулю, все известные газы находятся в конденсированном состоянии. Вальтер Нернст (1864 – 1941), немецкий физик и химик, в 1906 году экспериментально установил, а Макс Планк (1858 – 1947), немецкий физик, в 1912 году окончательно сформулировал следующий принцип:

при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия газа, находящегося в конденсированном состоянии с упорядоченной кристаллической структурой, стремится к нулю,то есть при .

Этот закон называют третьим законом термодинамикиили тепловой теоремой В.Нернста. Он позволяет рассчитать абсолютное значение энтропии в отличие от внутренней энергии и энтальпии, которые всегда отсчитываются от произвольного уровня.

Однако в технической термодинамике обычно используется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение в каком-либо процессе:

(1.18)

поэтому энтропию тоже отсчитывают от произвольно выбранного уровня.

Получим формулы, позволяющие вычислить изменение энтропии идеального газа. Для этого проинтегрируем уравнение для энтропии, полагая :

Имея в виду уравнение состояния, записанное для состояний «1» и «2», получаем:

После подстановки отношений и получаем следующие формулы для изменения энтропии идеального газа:

;

Поскольку энтропия есть функция со­стояния рабочего тела, написанными уравнениями можно пользоваться вне зависимости от пути перехода рабочего тела между состояниями «1» и «2» и, в частности, от того, равновесный этот переход или нет.

Понятие энтропии позволяет ввести чрезвычайно удобную для термодинамических расчетов -диаграмму, на которой (как и

на -диаграмме) состояние термодинамической системы изображается точкой, а равновесный термодинамический процесс линией (рис.1.11).

Из уравнения для изменения энтропии следует, что в равновесном процессе: . Очевидно, что в — диаграмме элементарная теплота процесса изображается элементарной площадкой с высотой и основанием ds, а площадь, ограниченная

Рис.1.11. Графическое изображение теплоты в — координатах.

линией процесса, крайними ординатами и осью абсцисс, эквивалентна теплоте процесса.

Формула для элементарного изменения энтропии показывает, что и имеют одинаковые знаки, следовательно, по характеру изменения в равновесном процессе можно судить о том, в каком направлении происходит теплообмен. При подводе теплоты ( ) его энтропия возрастает ( ), а при отводе теплоты ( ) убывает (ds

Источник: https://helpiks.org/4-42155.html

Booksm
Добавить комментарий