Плотность энергии и импульса электромагнитных волн

Энергия и импульс электромагнитного поля

Плотность энергии и импульса электромагнитных волн

      Мы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией. Значит, распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии). Сама возможность обнаружения ЭМВ указывает на то, что они переносят энергию.

      Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым были введены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии. Спустя десять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии.

      Введем вектор  — приращение плотности электромагнитной энергии, где сама величина w определяется интегралом:

.

      Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей  и  электрического и магнитного полей:

.

      Учитывая, что , получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е. . Поэтому

.

      Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени:

. (6.4.1)

      Так как векторы  и  взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ ] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис. 6.8).

Рис. 6.8

      Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова–Пойнтинга:

. (6.4.2)

      Векторнаправлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

      В сферической электромагнитной волне, излучаемой ускоренно двигающимися зарядами, векторы  направлены по параллелям, векторы  — по меридианам, а поток энергии  — по нормали  (рис. 6.9).

Рис. 6.9

      Векторы Умова–Пойнтинга зависят от пространства и времени, так как от них зависят модули векторов напряженности электрического и магнитного полей. Поэтому часто пользуются параметром, называемым интенсивностью – модуль среднего значения вектора Умова–Пойнтинга:

. (6.4.3)

      Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

. (6.4.4)

      Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммой направленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис. 6.10.

Рис. 6.10

      Как доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном по отношению к собственному направлению.

      Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энергию в окружающее пространство. Вектор  направлен вдоль радиуса  и убывает обратно пропорционально r2. Излучение максимально в направлении, перпендикулярном вектору , и отсутствует вдоль этого вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет вид двух симметричных лепестков, как показано на рис. 6.10.

Давление света

      Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление.

Давление ЭМВ объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля действию силы.

Однако, значение этого давления ничтожно мало.

      Давление света и электромагнитный импульс настолько малы, что непосредственное их измерение затруднительно.

Так, зеркало, расположенное на расстоянии 1 м от источника света в миллион свечей (кандел), испытывает давление 10-7 Н/м2.

Давление излучения Солнца на поверхность Земли равно 4,3×10-6 Н/м2, а общее давление излучения Солнца на Землю равно 6×108 Н, что в 1013 раз меньше силы притяжения Солнца.

      Световое давление было впервые обнаружено и измерено в 1899 г. в Москве русским ученым П.Н. Лебедевым (1866-1912). Его результаты, как и более точные измерения последующих исследователей, согласуются с теорией в пределах ошибок опыта — до 2 %.

Рис. 6.11

      На рис. 6.11 изображен прибор, с помощью которого было измерено давление света, – радиометр. Свет, отраженный посеребренной поверхностью каждой лопасти 2, 3, передает вдвое больший импульс по сравнению со светом, поглощенным зачерненной поверхностью 1, 4. Вследствие этого лопасти начинают вращаться по часовой стрелке.

      Давление света можно рассчитать по формуле:

,

      где J– интенсивность света, K – коэффициент отражения.

      Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой ЭМВ.

      Давление света играет существенную роль в двух противоположных по масштабу областях явлений.

      Так, например, гравитационное притяжение верхних слоев звезд к центру в значительной мере уравновешивается силой давления светового потока, идущего от центра звезды наружу.

В атомных процессах существенной является отдача, испытываемая возбужденным атомом при излучении им света в силу малости массы атома.

Световое давление может создавать ускорение атомов до , где g – ускорение свободного падения.

      Впервые гипотеза о световом давлении была высказана в 1619 г. немецким ученым И. Кеплером (1571-1630) для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца (рис. 6.12).

Рис. 6.12

      Возможными областями физического применения светового давления могут служить процессы разделения смеси изотопов газов, ускорение микрочастиц и создание условий для протекания управляемой термоядерной реакции.

Электромагнитная масса и импульс

      Существование давления ЭМВ приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс.

      Выражая импульс как  (поле в вакууме распространяется со скоростью света с), получим

,

      отсюда

. (6.4.5)

      Это соотношение между массой и энергией ЭМП является универсальным законом природы, справедливым для любых тел независимо от их внутреннего строения.

      Импульс электромагнитного поля, связанного с движущейся частицей, – электромагнитный импульс – оказался пропорциональным скорости частицы υ, что имеет место и в выражении для обычного импульса mυ, где m – инертная масса заряженной частицы. Поэтому коэффициент пропорциональности в полученном выражении для импульса  называют электромагнитной массой:

, (6.4.6)

      где е – заряд движущейся частицы, а – ее радиус.

      И даже если тело не обладает никакой иной массой, оказывается, что между импульсом и скоростью заряженной частицы существует соотношение:

. (6.4.6)

      Это соотношение как бы раскрывает происхождение массы – это электродинамический эффект. Движение заряженной частицы сопровождается возникновением магнитного поля.

Магнитное поле сообщает телу дополнительную инертность – при ускорении затрачивается работа на создание магнитного поля, при торможении –работа против затормаживающих сил индукционного происхождения.

По отношению к движущемуся заряду электромагнитное поле является средой, неотделимой от заряда.

      В общем случае можно записать, что полный импульс равен сумме механического и электромагнитного импульсов; возможно, что другие поля вносят и иные вклады в полную массу частицы, но, определенно, в полной массе есть электромагнитная часть:

, .

      Если учесть релятивистские эффекты сокращения длины и преобразования электрических и магнитных полей, то для электромагнитного импульса получается также релятивистски  инвариантная формула:

. (6.4.7)

      Таким же образом изменяется релятивистский механический импульс.

Источник: http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/06-4.htm

Импульс электромагнитной волны

Плотность энергии и импульса электромагнитных волн

Попадая на поверхность тела, электромагнитная волна производит давление. Объясним механизм этого явления.

Для простоты рассмотрим нормальное падение волна на поверхность тела. Под действием электрической составляющей волны свободные заряды в проводнике придут в движение, возникнут токи.

В диэлектрике будут смещаться заряды, входящие в состав молекул. На движущиеся заряды со стороны магнитной составляющей волны будет действовать сила Лоренца. Из рисунка нетрудно видеть, что эта сила Лоренца направлена вглубь тела.

Результирующая сил Лоренца создает давление на поверхность тела.

Согласно второму закону Ньютона сила, в нашем случае сила давления, равна изменению импульса тела в единицу времени . Под действием электромагнитной волны тело приобретает импульс! Откуда у тела появляется импульс? Объяснение может быть одно – электромагнитная волна переносит не только энергию, но и импульс. При взаимодействии с поверхностью тела ЭМВ передает ему свой импульс.

Плотность импульса электромагнитной волны – это импульс единицы объема:

Рассчитать плотность импульса несложно, используя эйнштейновскую формулу связи массы и энергии . Численно значение плотности импульса равно

Это выражение можно трактовать следующим образом – «масса единицы объема» умножается на скорость ее «перемещения» с.

Рассчитаем давление ЭМВ на абсолютно черную поверхность – такая поверхность поглощает волну, отраженной волны нет. За время dt волна передает поверхности импульс

,

Где — средняя плотность импульса в объеме , из которого волна дойдет до поверхности; S – площадь поверхности; — расстояние, пройденное волной за время dt.

Силу давления находим по второму закону Ньютона

Давление электромагнитной волна на абсолютно черную поверхность равно средней плотности энергии:

Очевидно, давление электромагнитной волны на идеальную зеркальную поверхность будет вдвое больше, чем на черную.

Давление ЭМВ было теоретически предсказано Максвеллом. Световое давление было экспериментально обнаружено и измерено П.Н. Лебедевым только в 1900 году, почти через 50 лет после предсказания Максвелла.

Опыты Герца

В 1888 году Герц экспериментально обнаружил электромагнитные волны и исследовал их свойства.

По существу Герцу необходимо было решить две экспериментальные проблемы.

1. Как получить электромагнитную волну?

2. Как обнаружить электромагнитную волну?

Чтобы получить ЭМВ, необходимо в какой-либо области пространства создать изменяющееся электрическое или магнитное поле. Меняющиеся поля существуют в колебательном контуре. Проблема заключается в том, что эти поля локализованы в очень малой, ограниченной области пространства: электрическое поле между обкладками конденсатора, магнитное – внутри катушки.

Можно увеличить область, занимаемую полями, раздвигая обкладки конденсатора и уменьшая число витков катушки.

В пределе контур, состоящий из конденсатора и катушки, преобразуется в отрезок провода, который называется открытым колебательным контуром или вибратором Герца. Магнитные линии охватывают вибратор, силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на самом вибраторе.

При увеличении расстояния между обкладками конденсатора его электроемкость C уменьшается. Уменьшение числа витков катушки приводит к уменьшению ее индуктивности L. Изменение параметров контура в соответствии с формулой Томсона приводит к уменьшению периода и увеличению частоты колебаний в контуре.

Период колебаний в контуре уменьшается настолько, что становится сопоставимым со временем распространения электромагнитного поля вдоль провода.

Это означает, что процесс протекания тока в открытом колебательном контуре перестает быть квазистационарным: сила тока в разных участках вибратора уже не будет одинаковой.

Процессы, происходящие в открытом колебательном контуре эквивалентны колебаниям закрепленной струны, в которой, как известно, устанавливается стоячая волна. Аналогичные стоячие волны устанавливаются для заряда и тока в открытом колебательном контуре.

Понятно, что на торцах вибратора ток всегда равен нулю. Вдоль контура ток изменяется, его амплитуда максимальна посередине (там, где раньше была катушка).

Когда ток в контуре максимален, плотность заряда вдоль вибратора равна нулю. На рисунке показано распределение тока и заряда вдоль вибратора. Электрическое поле вокруг вибратора в этот момент отсутствует, магнитное поле максимально.

Через четверть периода ток становится равным нулю, магнитное поле вокруг вибратора тоже «исчезает». Максимальная плотность заряда наблюдается вблизи концов вибратора, распределение заряда показано на рисунке. Электрическое поле вблизи вибратора в этот момент максимально.

Изменяющееся магнитное поле вокруг вибратора порождает вихревое электрическое поле, а изменяющееся магнитное поле порождает магнитное поле. Вибратор становится источником электромагнитной волны.

Волна бежит в направлении, перпендикулярном вибратору, колебания вектора напряженности электрического поля в волне происходят параллельно вибратору.

Вектор индукции магнитного поля колеблется в плоскости, перпендикулярной вибратору.

Вибратор, который Герц использовал в опытах, представлял собой прямой проводник, разрезанный пополам. Половинки вибратора разделял небольшой воздушный зазор. Через дроссельные катушки половинки вибратора подключались к источнику высокого напряжения.

Дроссельные катушки обеспечивали медленный процесс зарядки половинок вибратора. По мере накопления заряда росло электрическое поле в зазоре. Как только величина этого поля достигала пробойного значения, между половинками вибратора проскакивала искра.

Пока искра замыкала воздушный зазор, в вибраторе происходили высокочастотные колебания, он излучал электромагнитную волну.

Длина волны, излучаемая вибратором, зависит от его размеров. Воспользуемся тем фактом, что в вибраторе устанавливается стоячая волна тока. Узлы этой стоячей волны располагаются на концах вибратора (здесь ток отсутствует), пучность стоячей волны посередине – здесь ток максимален. Расстояние между узлами стоячей волны равно половине длины волны, следовательно,

где L – длина вибратора.

Для обнаружения электромагнитной волны можно воспользоваться тем фактом, что электрическое поле действует на заряды. Под действием электрической составляющей ЭМВ свободные заряды в проводнике должны прийти в направленное движение, т.е. должен появиться ток.

В своих опытах Герц использовал приемный вибратор такого же размера, как и передающий. Тем самым обеспечивалось равенство собственных частот колебаний вибраторов, необходимое для получения резонанса в приемном вибраторе.

Для успешного приема волны приемный вибратор следовало расположить параллельно вектору напряженности электрического поля , чтобы под действием электрической силы электроны в проводнике могли прийти в направленное движение.

Высокочастотный ток в принимающем проводнике обнаруживался по свечению маленькой газоразрядной трубки, включенной между половинками приемного вибратора.

Можно «поймать» волну приемным контуром, располагая его в одной плоскости в излучающим вибратором. При таком расположении контура вектор магнитной индукции будет перпендикулярен контуру, а пронизывающий контур магнитный поток максимален. При изменении магнитного потока в контуре возникнет индукционный ток, индикатором которого опять-таки служит маленькая газоразрядная трубка.

Герц не только обнаружил электромагнитную волну, но и пронаблюдал ее свойства: отражение, преломление, интерференцию, дифракцию.

Дата добавления: 2018-09-25; просмотров: 1636; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-52172.html

Плотность электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга. Энергия и импульс электромагнитной волны

Плотность энергии и импульса электромагнитных волн

Плотностью потока электромагнитного излучения / называют отношение электромагнитной энергии W, проходящей за время t через перпендикулярную лучам поверхность площадью S, к произведению площади S на время t:

Фактически это мощность электромагнитного излучения (энергия в единицу времени), проходящего через единицу площади поверхности. Плотность потока излучения в СИ выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м2). Иногда эту величину называют интенсивностью волны.

Выразим I через плотность электромагнитной энергии и скорость ее распространения с. Выберем поверхность площадью S, перпендикулярную лучам, и построим на ней как на основании цилиндр с образующей c t (рис. 7.6). Объем цилиндра V=Sc t.

Энергия электромагнитного поля внутри цилиндра равна произведению плотности энергии на объем: W = c tS. Вся эта энергия за время t пройдет через правое основание цилиндра. Поэтому из формулы (7.1) получаем

т. е.

плотность потока излучения равна произведению плотности электромагнитной энергии на скорость ее распространения.

Найдем зависимость плотности потока излучения от расстояния до источника. Для этого надо ввести еще одно новое понятие.

Зависимость плотности потока излучения от расстояния до точечного источника.Энергия, которую переносят электромагнитные волны, с течением времени распределяется по все большей и большей поверхности. Поэтому энергия, передаваемая через поверхность единичной площадки за единицу времени, т. е. плотность потока излучения, уменьшается по мере удаления от источника.

Поместим точечный источник в центр сферы радиусом R. Площадь поверхности сферы S = 4 R2. Если считать, что источник по всем направлениям за время t излучает суммарную энергию W, то

Плотность потока излучения от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника.

Зависимость плотности потока излучения от частоты. Излучение электромагнитных волн происходит при ускоренном движении заряженных частиц (см. § 48).

Напряженность электрического поля и магнитная индукция электромагнитной волны пропорциональны ускорению излучающих частиц. Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально квадрату частоты.

Поэтому напряженность электрического поля и магнитная индукция также пропорциональны квадрату частоты:

Плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности поля.

Энергия магнитного поля, как это можно показать, пропорциональна квадрату магнитной индукции. Полная плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей. С учетом формулы (7.2) плотность потока излучения

Плотность потока излучения пропорциональна четвертой степени частоты.

ПОЙНТИНГА ВЕКТОР — вектор плотности потока энергии эл—магн. поля (в системе СГС), где Е и Н — напряжённости электрич. и магн. полей. П. в. по модулю равен кол-ву энергии, переносимой через единичную площадь, перпендикулярную к S, в единицу времени.

Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты Еи Н непрерывны, вектор S непрерывен на границе двух сред. Плотность кол-ва движения эл—магн. поля определяется вектором S/c2. В этом соотношении проявляется материальность эл—магн. поля. П. в.

входит в состав тензора плотности энергии-импульса электромагнитного поля. Понятие П. в. было введено в теореме Пой-нтинга через 10 лет после общей формулировки Н. А. Умовым (1874) понятия потока энергии в среде, поэтому П. в. в литературе часто называют вектором Умова — Пойнтинга.

Общим для всех волн (независимо от их природы) является то, что при их распространении осуществляется перенос энергии без переноса вещества.

Энергия, переносимая э/м волной складывается из энергии электрических и магнитных полей.

Объемная плотность w энергии электромагнитной волны скла­дывается из объемных плотностей электриче­ского и магнитного полей: (4.1)

Учитывая выражение (3.5), получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент вре­мени одинакова, т.е. = . Поэтому (4.2)

Умножив плотность энергии w на скорость v распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии: (4.3)

Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора[ЕН]совпадает с направлением переноса энер­гии, а модуль этого вектора равен ЕН. Вектор плотности потока электромагнит­ной энергииназываетсявектором Умова— Пойнтинга:S=[EH]. (4.4)

Вектор S направлен в сторону рас­пространения э/м волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу вре­мени через единичную площадку, перпен­дикулярную направлению распростране­ния волны.

Интенсивность связана с вектором Пойнтинга соотношением:



Источник: https://infopedia.su/3x820e.html

Плотность энергии и импульса электромагнитных волн

Плотность энергии и импульса электромагнитных волн

Электромагнитные волны переносят энергию. Ее объемную плотность ($w$) составляют электрическое и магнитное поля, то есть:

где $w_E$ — плотность энергии электрического поля, $w_m$ — плотность энергии магнитного поля. При этом известно, что:

Для электромагнитной волны выполняется соотношение для мгновенных значений $E$ и $H$:

Из выражений (2) и (3), получается, что:

Иначе можно записать:

Из теории Максвелла следует вывод о том, что если тело полностью поглощает падающую на него перпендикулярно волну, то давление ($p$), которое она производит равно среднему значению объемной плотности энергии в данной волне:

Плотность импульса электромагнитной волны

При поглощении в веществе какого-нибудь тела электромагнитная волна оказывает на это тело давление, то есть сообщает ему импульс. Если обозначить плотность импульса как $\overrightarrow{G}$, то его можно определить, используя вектор Умова — Пойнтинга ($\overrightarrow{P}$):

Пусть плоская волна падает перпендикулярно на плоскую поверхность тела. Положим, что $\varepsilon =1,\ \mu =1$ плохо проводящего тела. Электрическое поле волны будет возбуждать в теле ток, плотность которого ($\overrightarrow{j}$):

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$\sigma $ — удельная проводимость вещества. Магнитное поле волны действует на данный ток с удельной силой (${\overrightarrow{F}}_u$) (силой на единицу объема):

Направление ${\overrightarrow{F}}_u$ совпадает с направлением распространения волны.

При этом поверхностному слою тела толщиной $\triangle l$, единичной площади волной сообщается импульс за $1 с$, ($\overrightarrow{j}\bot \overrightarrow{H}$) равный:

В том же слое за $1 с$ поглощается энергия:

которая выделяется потом, как тепло. Найдем отношение импульса (10) к энергии (11), имеем:

Воспользуемся выражением (3) при $\varepsilon =1,\ \mu =1,$ получим:

Подставим (13) в формулу (13):

Из выражения (14) следует, что электромагнитная волна, обладающая энергией $W$, имеет импульс ($G$):

Из формулы (15) получаем, что плотность импульса ($G_u$) — импульс единицы объема равен:

Воспользовавшись вектором Умова — Пойнтинга, можно выражение (16) представить как:

В формуле (17) учтено, что направление вектора импульса электромагнитной волны имеет такое же направление, что и вектор Умова — Пойнтинга.

Пример 1

Задание: Какое давление ($p$), производит плоская электромагнитная волна на тело? Она распространялась в вакууме, вдоль $оси X$, падает на тело перпендикулярно, поглощается полностью. Амплитуда напряженности магнитного поля равна $H_m$.

Решение:

В качестве основы для решения задачи примем вывод из теории Максвелла о том, что, если волна падает на тело перпендикулярно его поверхности и полностью поглощается, то:

\[p=\left\langle w\right\rangle \left(1.1\right),\]

где $\left\langle w\right\rangle $ — средняя объемная плотность энергии электромагнитной волны.

Уравнения колебаний модулей векторов напряженностей электрического и магнитного полей запишем в соответствии с гармоническими законами:

\[E=E_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.2\right),\] \[H=H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.3\right).\]

Плотность энергии электромагнитного поля ($w$) является суммой плотности электрического поля ($w_E$) и плотности магнитного поля ($w_H$):

\[w=w_E+w_H\left(1.4\right),\]

где:

\[w_E=\frac{\varepsilon \varepsilon_0E2}{2},\ w_m=\frac{\mu \mu_0H2}{2}\left(1.5\right).\]

При этом для электромагнитной волны мы имеем соотношение между мгновенными значениями характеристик полей:

\[\sqrt{\varepsilon {\varepsilon }_0}E=\sqrt{\mu {\mu }_0}H\left(1.6\right).\]

Следовательно, можем записать следующее:

\[w=2w_m=2w_E=\mu \mu_0H2\left(1.7\right).\]

Используем выражение (1.3), подставив вместо H выражение, которое находится в правой части, получим:

\[w=\mu \mu_0{H_m}2{cos2 \left(\omega t-kx\right)\left(1.8\right).\ }\]

Найдем среднее от объемной плотности энергии электромагнитной волны, получим:

\[\left\langle w\right\rangle =\left\langle \mu {\mu }_0{H_m}2{cos2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle \left(1.9\right).\]

Примем во внимание, что:

\[\left\langle {cos2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle =\frac{1}{2}\left(1.10\right).\]

Тогда формула (1.9) будет переписана как:

\[\left\langle w\right\rangle =\frac{\mu {\mu }_0{H_m}2}{2}\to p=\frac{\mu {\mu }_0{H_m}2}{2}.\]

Ответ: $p=\frac{\mu {\mu }_0{H_m}2}{2},\ где\ \mu =1\ .$

Пример 2

Задание: Чему равна средняя (по времени) плотность импульса электромагнитной волны ($\left\langle G_u\right\rangle $)? Если электромагнитная волна плоская, распространяется в вакууме по оси X, амплитуда ее магнитного поля равна $H_m.$

Решение:

За основу решения задачи примем формулу:

\[\overrightarrow{G_u}=\frac{1}{c2}\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]\to G_u=\frac{1}{c2}EH\to \left\langle G_u\right\rangle =\frac{1}{c2}\left\langle EH\right\rangle \left(2.1\right).\]

Используя соотношение:

\[\sqrt{{\varepsilon }_0}E_m=\sqrt{{\mu }_0}H_m(2.2)\]

найдем амплитуду электрического поля:

\[E_m=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}H_m\left(2.3\right).\]

Уравнения колебаний модулей векторов напряженностей электрического и магнитного полей запишем в соответствии с гармоническими законами:

\[E=E_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.4\right),\] \[H=H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\left(2.5\right).\]

Подставим выражения (2.3), (2.4) и (2.5) в формулу (2.1), получим:

\[\left\langle G_u\right\rangle =\frac{1}{c2}\left\langle H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}H_m{cos \left(\omega t-kx\right)\ }\ }\right\rangle =\frac{1}{c2}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}{H_m}2\left\langle {cos2 \left(\omega t-kx\right)\ }\right\rangle =\frac{1}{{2c}2}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\varepsilon }_0}}{H_m}2=\frac{1}{{2c}2}\sqrt{\frac{4\pi \cdot {10}{-7}}{\frac{1}{4\pi \cdot 9\cdot {10}9}}}{H_m}2=\frac{4\pi \cdot 3\cdot 10}{{2c}2}{H_m}2=\frac{60\pi }{c2}{H_m}2.\]

Ответ: $\left\langle G_u\right\rangle =\frac{60 \pi}{c2}{H_m}2.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/plotnost_energii_i_impulsa_elektromagnitnyh_voln/

Booksm
Добавить комментарий