Переходные процессы в RC и LC цепях

4.3. Переходные процессы в RC-цепях

Переходные процессы в RC и LC цепях

Переходные процессы в цепи рис. 4.2 будут возникать при установке ключа К в положение 1 (нулевые начальные условия) или 2 (ненулевые начальные условия).

Рис. 4.2. RC-цепь а) и переходные процессы в ней б) и в).

Переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях. Рассмотрим случай, когда на входе цепи действует постоянное напряжение, т.е. u(t) = U.

В момент t = 0 замкнем ключ К в положение 1 и подключим постоянное напряжение к цепи.

Под действием напряжения U в цепи будет протекать ток i, который создает на резисторе R падение напряжения и заряжает емкость C. На основании второго закона Кирхгофа можно записать

.                                  (4.16)

Решение этого уравнения будем искать в форме суммы общего и частного решений, которые определяют свободную и принужденную составляющие:

.                                                  (4.17)

Для определения свободной составляющей необходимо найти решение однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.16) приU = 0 и имеет вид:

.                                                  (4.18)

Общее решение уравнения (4.18) определяется выражением

,                                                          (4.19)

где А – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения, полученного из (4.18) RCp + 1 = 0, откуда p = -1/RC = -1/τ, тогда (4.19) примет вид

,                                                  (4.20)

где τ = RC – постоянная времени цепи.

В установившемся режиме (после заряда конденсатора) напряжение на конденсаторе будет равно приложенному ко входу цепи напряжению, т.е. принужденная составляющая определяется уравнением:

.                                                          (4.21)

Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.17)будем иметь

.                                                  (4.22)

Учитывая, что в момент коммутации t = 0 и uC = 0 из (4.22) находим постоянную интегрирования А = -U, тогда (4.20)примет вид:

.                                                  (4.23)

Подставляя (4.21) и (4.23) в (4.17) получаем выражение, которое определяет как изменяется напряжение на выходе RC-цепи при подключении к ее входу источника постоянного напряжения

.                                                  (4.24)

Учитывая (4.24)находим выражение, определяющее изменение тока в цепи

.                                          (4.25)

Графики изменения напряжения (4.24) и тока (4.25), поясняющие переходной процесс в RC-цепи при заряде емкости изображены на рис. 4.2,б.

Из графиков видно, что в момент подключения к RC-цепи источника постоянного напряжения ток в цепи достигает максимального значения, а напряжение на конденсаторе равно нулю , т.е. емкость ведет себя как короткозамкнутый участок цепи.

С увеличением времени ток уменьшается а напряжение на емкости увеличивается по экспоненциальному закону. Приt = 0 ток становится равным нулю, а uC = U, т.е. емкость эквивалентна разрыву цепи для постоянного тока.

Рассмотрим переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях, когда к входу цепи подключается гармоническое воздействие. В этом случае принужденная составляющая будет иметь вид:

,                          (4.26)

где

                         (4.27)

Учитывая (4.20) и (4.26) находим

.          (4.28)

Постоянную интегрирования А определим исходя из начальных условий, что при t = 0 uC = 0, тогда

.

Подставляя А в (4.28) находим выражение, определяющее изменение UC при подключении к RC-цепи гармонического воздействия

.          (4.29)

Ток в цепи определяется выражением

Из выражения (4.29) видно, что при подключении к RC-цепи с большой постоянной времени τ гармонического воздействия в момент, когда φu = π – φ в цепи могут возникнуть перенапряжения достигающие величины            UCmax ≈ 2UmC. Если к цепи подключается гармоническое воздействие, когда   φu = π/2 – φ, то в цепи нет переходного процесса и сразу наступает установившийся режим.

Переходной процесс в RC-цепи при ненулевых начальных условиях. Переведем ключ К в цепи рис. 4.2 в положение 2. При этом произойдет отключение цепи от источника входного воздействия и емкость будет подключена к резисторуR.

К моменту коммутации емкость была заряжена до напряжения U и в ней была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации емкость начинает разряжаться и энергия расходуется на резисторе R. Переходной процесс, т.е. процесс разряда емкости, определяется уравнением

.                                                  (4.30)

Решением уравнения (4.30) является выражение (4.20)

.                                  (4.31)

Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, т.е. при     t = 0 uC = U, тогда из (4.31) определяем А = U. Подставляя значение А = U в (4.31) находим выражение, определяющее изменение напряжения в RC-цепи при разряде емкости через резистор

.                                                          (4.32)

Ток в цепи изменяется в соответствии с выражением

.                                          (4.33)

Знак (-) в уравнении (4.33) означает, что ток разряда имеет обратное направление току заряда емкости.

Графики изменения uC и i приведены на рис. 4.2,в.

Из графиков рис. 4.2,в и выражений (4.32) и (4.33) видно, что в начале разряда емкости (t = 0) ток в цепи и напряжение на емкости имеют максимальные значения uC = U, i = -U/R.

С увеличением времени разряда напряжение на емкости и ток в цепи стремятся к нулю по экспоненциальному закону, т.е. в цепи имеет место переходной процесс. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепиτ, который заканчивается через время t ≈ 3τ.

Вся энергия, запасенная в конденсаторе, за время разряда преобразуется в резисторе R в тепло.

Источник: https://support17.com/rtcs-lecture-26/

2.2 Переходные процессы в rc-цепях

Переходные процессы в RC и LC цепях

Какуже указывалось выше (см. рис. 1.1), э.д.с.может периодически изменяться вовремени, что приводит к возникновениюв электрических цепях переменного тока.В цепях переменного тока наряду спроводами и резисторами используютконденсаторы и катушки индуктивности.

Конденсатор– компонент электрической цепи, способныйнакапливать электрический заряди электрическую энергию.Основной параметр, характеризующийсвойства конденсатора накапливатьэлектрический заряд и энергию – ёмкость.В электрических схемах конденсатор изображается

условнои обозначается буквой .

Приведённоеизображение конденсатора отражает егопростейшую конструкцию: две близкорасположенные друг к другу одинаковые металлические пластины, между которымирасполагается диэлектрик. В воздушномконденсаторе диэлектриком являетсявоздух.

При подключенииконденсатора к источнику постояннойэ.д.с. он заряжается до напряжения,равного э.д.с. источника:.При этом в конденсаторе накапливаетсязаряд,определяемый по формуле:.

Если к конденсаторуприложить слишком большое напряжение,то он пробивается, т.е. через диэлектрикмежду пластинами пойдёт электрическийток. Это означает, что конденсатор теряетсвоё основное свойство накапливатьэлектрический заряд. Чтобы не допускатьпробоя конденсатора, на его корпусекроме ёмкости указывается максимальнодопустимое напряжение.

Катушкаиндуктивности – компонент электрическойцепи, способный преобразовыватьэлектрическую энергию в магнитную исохранять её при протекании черезкатушку электрического тока.

Вэлектрических схемах катушка индуктивностиизображается так: обозначается буквой.

В современных электронных устройствахпо многим причинам стараются неиспользовать катушки индуктивностиили, по крайней мере, свести их количествок минимуму.

Рассмотрим болееподробно свойства цепей, содержащихрезисторы и конденсаторы, так называемые–цепи. Прежде всего заметим, что конденсаторможет заряжаться или разряжаться, ночерез него не может проходить постоянныйэлектрический ток (между пластинамиконденсатора – диэлектрик!). В зависимостиот места включения конденсатора в цепьс постоянной э.д.с.

, он может либо полностьюисключить прохождение электрическоготока, либо наоборот совсем не оказыватьвлияния на его величину. Например, вцепи, приведённой на рис.1.13, постоянноготока не будет, т.к. конденсатор зарядитсядо напряжения.Поскольку э.д.с. источника и напряжениена конденсаторе компенсируют другдруга, ток через резистор отсутствует.

Рис.1.13 Схема цепи постоянного тока, в которойконденсатор препятствует прохождениюэлектрического токов в резистор

Всхеме, приведённой на рис. 1.14, ток будетпротекать, причём конденсатор не будетоказывать какое-либо влияние на еговеличину.

Рис.1.14.Схема цепи постоянного тока, в которойконденсатор

невлияет на электрический ток

Действительно .Напряжение на конденсаторе равнонапряжению на резистореи, следовательно,.Конденсатор будет заряжен до напряжения,но оказывать влияние на ток в цепи онне будет.

В рассмотренныхнами примерах полагалось, что электрическиецепи работают в установившемсястационарном режиме. Теперь положим,что электрическая цепь собрана сэлектрическим ключом (рис. 1.15). Примертакого ключа – телеграфный ключ. Вмомент замыкания ключа в схеме возникнетпереходной процесс.

Рис.1.15 Схема RC-цепис ключом и источником э.д.с.

Рассмотрим этотпереходный процесс. Замыкание ключааналогично подаче на схему сигнала,имеющего форму скачка напряжения (рис.1.16).

Рис.1.16. Скачок напряжения

Сущность происходящегов цепи после замыкания ключа отражаетодин из законов коммутации, которыйгласит: напряжение на конденсаторе неможет измениться скачком, т.е. мгновенно.Понять этот закон нетрудно, вспомнив,что электрическая энергия, запасённаяв конденсаторе ,равняется:

,

где – ёмкость конденсатора;

–напряжение наего выводах.

Если бы напряжениена конденсаторе могло бы изменитьсямгновенно, то, как следует из приведённойформулы, скачком бы изменилась иэлектрическая энергия, т.е. источникэнергии, от которого конденсатор бызаряжался мгновенно, должен был бы иметьбесконечно большую мощность:

при .

Поскольку подобныхисточников электрической энергии вприроде не существует, напряжение наконденсаторе будет изменяться постепенно.

Приведённыесоображения позволяют понять, какиепроцессы будут протекать в -цепи,приведённой на рис. 1.15. В первый моментпосле замыкания ключа напряжение наконденсаторе останется равным нулю.

При этом по закону Ома ток в цепи вначальный момент временибудет равен:.Этим током конденсатор в первый моменти будет заряжаться.

Но по мере зарядкиконденсатора на нём будет создаватьсяпадение напряжения, противодействующеенапряжению источника э.д.с.

Для того чтобынайти закон изменения напряжения в цепии закон изменения напряжения наконденсаторе нужно вспомнить, что силатока определяется как количество заряда,проходящего через сечение проводникав единицу времени: .

Отсюда заряд вконденсаторе можно определить поформуле:,где– ток зарядки конденсатора,– момент измерения.

Поскольку ,получаем.

Второй законКирхгофа в рассматриваемой -цепи для любого момента временибудет иметь следующий вид:.Решение этого уравнения даёт следующийрезультат:,где– постоянная времени заряда конденсатора.График изменения тока от времени приведённа рис. 1.17,а.

Изменения напряженияна конденсаторе будет происходить по закону:.График изменения напряжения наконденсаторе приведён на рис. 1.17,б.Эта зависимость называется переходнойхарактеристикой цепи.

Рис. 1.17 Зависимостьтока в RC-цепии напряжения

на конденсатореот времени

Предположим, чтов схеме на рис. 1.15 после достаточнодолгого времени нахождение ключа взамкнутом состоянии, он размыкается. Вэтом случае, если считать конденсаторидеальным элементом напряжение наконденсаторе, равное ,должно сохраняться бесконечно долго,т.к.

цепь разряда конденсатора разомкнута.Однако конденсатор имеет хотя и большое,но конечное значение сопротивленияутечки, шунтирующее, т.е. последовательносоединённое с ёмкостью конденсатора.

Именно через это сопротивление напряжениена конденсаторе будет очень медленноразряжаться по экспоненциальномузакону.

Анализ -цепей,содержащих один конденсатор, показывает,что всем им присущ экспоненциальныйзакон изменения токов и напряжений.

Рассмотрим наиболеетипичные -цепипри воздействии на них импульсныхсигналов.

Источник: https://studfile.net/preview/2220342/page:3/

6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка. 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа. Теория электрических цепей. Курс лекций

Переходные процессы в RC и LC цепях

Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы (емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.10)

Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.

Переходные процессы в RL-цепях

Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1).

Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL(0–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях.

В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс.

Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК: (6.11)

Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме (6.

12) где iсв — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); inp — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).

Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального уравнения (6.13) и согласно (6.7) (6.14) где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6); (6.15)

Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи = L/R.

Принужденная составляющая iпp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, iпp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:

В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: iпp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / + U/R и учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1):

Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением (6.16)

Напряжение на индуктивности согласно (1.9) (6.17)

На рис. 6.2 изображены графики зависимости i(t) и uL(t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3…

5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к uL (рис. 6.

2), в указанный момент напряжение на uL уменьшается в е раз по сравнению с начальным.

https://www.youtube.com/watch?v=fiOVrDkUWBI

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Для второго случая принужденная составляющая тока где , = arctg(L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения

Откуда . Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет (6.18)

На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности (6.19) где UmL = LIm.

Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда u = ± /2 в последней могут возникать сверхтоки.

Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать imax 2Im. Напротив, при включении цепи в момент, когда u = , в ней сразу наступает установившийся режим.

Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).

В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4).

К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная WL = Li2(0– )/2, где i(0– ) = U/(R0 + R).

После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением: (6.20) т. е. iпp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15):

Постоянную А находим из начального условия i(0– ) и закона коммутации (6.1):

Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описывается уравнением (6.21)

Напряжение uL определяется как (6.22)

На рис. 6.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени, расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных условиях L ведет себя как источник тока.

Переходные процессы в -цепях

При расчете переходных процессов в -цепях в качестве независимой переменной выбирают uC. Затем также составляют дифференциальное уравнение для заданной -цепи, решение которого с учетом начальных условий для uC(0) и определяет закон изменения напряжения на емкости.

Рассмотрим вначале RC-цепь при нулевых начальных условиях (рис. 6.

6), которая подключается в момент t = 0 к источнику постоянного и(t) = U или синусоидального и(t) = Umsin(t + u ) напряжения.

Переходный процесс в данной цепи описывается дифференциальным уравнением (6.23) решение которого ищем также в форме суммы общего и частного решений, определяющих свободную и принужденную составляющие: (6.24)

Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения (6.25) (6.26) где р определяется из характеристического уравнения

Величина RC носит название постоянной времени RC-цепи и обозначается через .

Определим принужденную составляющую uC пp для случая, когда u(t) = U = const. Из рис. 6.6 следует, что в установившемся режиме uC пp = U. Следовательно, с учетом (6.24) и (6.

26) уравнение для иC примет вид иC = Aet / + U. Для нахождения постоянной интегрирования А учтем нулевые начальные условия для uC(0–) и второй закон коммутации (6.

2): uC(0–) = uC(0+) = 0 = A + U, откуда А = —U. Таким образом, получаем окончательно: (6.27)

Ток в цепи определяется согласно (1.12): (6.28)

На рис. 6.7 изображены графические зависимости (t) и i(t).

Анализ полученных результатов показывает, что в момент t = 0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя как короткозамкнутый участок. Напротив, при t = емкость представляет собой бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи для постоянного тока).

Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно видеть что при этом (6.29) где (6.30) а напряжение

Постоянная А находится из начальных условий для uC(0+) при t = 0+:

Окончательно закон изменения напряжения (6.31)

На рис. 6.8 изображен график зависимости uC(t). Анализ уравнения (6.31) показывает, что в случае неудачного включения при u = – и большой в цепи могут возникать перенапряжения, достигающие на емкости величины uCmax 2UmC. В случае удачного включения, когда u = /2 – , в цепи сразу наступает установившийся режим.

Ток в цепи (6.32)

Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий, когда емкость С, заряженная до напряжения U, разряжается на сопротивление R (рис. 6.9). К моменту коммутации в емкости была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации возникает переходный процесс, определяемый уравнением (6.33) т. е. имеет место свободный режим разряда (емкости): (6.34)

Постоянную интегрирования А находим из начального условия для uC(0+) = U и закона коммутации (6.2):

Таким образом, получаем закон изменения напряжения на емкости (6.35) и тока в цепи (6.36)

Знак «–» в уравнении (6.36) для тока свидетельствует о том, что ток разряда направлен противоположно опорному направлению напряжения иС в емкости. На рис. 6.

10 приведены графики изменения напряжения иС(t) и тока i(t) данной -цепи. Следует подчеркнуть, что вся запасенная энергия WC емкости с течением времени преобразуется в элементе R в тепло.

При ненулевых начальных условиях С ведет себя как источник напряжения.

Источник: https://siblec.ru/radiotekhnika-i-elektronika/teoriya-elektricheskikh-tsepej/6-perekhodnye-protsessy-v-linejnykh-elektricheskikh-tsepyakh-klassicheskij-metod-analiza/6-3-perekhodnye-protsessy-v-tsepyakh-pervogo-poryadka

Переходные процессы в RC и LC цепях

Переходные процессы в RC и LC цепях

Переходными процессами, возникающими в электрических цепях, называют явления (процессы), которые происходят в них после того как один из параметров испытал быстрое изменение. Например, включение и выключение ЭДС в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

RC цепь

RC цепью называется электрическая цепь, которая состоит из конденсатора (конденсаторов) (емкость C), сопротивления (сопротивлений) (R) и источника ЭДС (рис.1). В такой цепи могут происходить только релаксационные непериодические процессы.

Рисунок 1.

Присутствие в цепи конденсатора исключает возможность существования в ней постоянного тока. Разность потенциалов между обкладками конденсатора полностью компенсирует действие сторонней ЭДС (источника).

Переменный же ток в такой сети возможен благодаря переменному заряду на конденсаторе.

Разность потенциалов на обкладках не компенсирует действия сторонней ЭДС, в результате чего поддерживается некоторая сила тока.

Закон Ома для RC цепи имеет вид:

где $q$ — заряд на обкладке конденсатора, $\frac{q}{C}$ — разность потенциалов между обкладками конденсатора, $U_0$- постоянное напряжение. Иногда уравнение (1) используют в виде:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Включение (выключение) постоянной ЭДС в RC цепи

Допустим, что постоянное напряжение ($U_0$) включают в момент времени, который мы принимаем за начальный ($t=0$). Из уравнения (1) следует, что:

Уравнение (2) при $t>0\ $запишем как:

Решением уравнения (4) при заданном начальном условии (3) является функция:

Из формулы (5) следует, что при $t\to \infty ,\ I\to 0.\ $ $I_{max}=\frac{U_0}{R}$. Время убывания силы тока ($\tau $) равно:

График функции $I\left(t\right)$ представлен на рис.2.

Рисунок 2.

Если в RC цепи емкость конденсатора велика, то ток после того как выключили источник постоянного напряжения может течь в цепи продолжительное время. Если в цепь включить лампу, то она сначала вспыхнет, за тем постепенно погаснет.

В момент времени, когда в RC цепи ток упал до нулевого значения, конденсатор зарядился максимально, разность потенциалов его обкладок равна величине сторонней ЭДС с противоположным знаком. Эти две величины компенсируют друг друга.

Если каким-либо образом в этот момент выключить стороннюю ЭДС, то в цепи начнет течь ток, который возникает за счет некомпенсированной разности потенциалов на обкладках конденсатора. Начальная сила такого тока будет равна $\frac{U_0}{R}$, закон изменения тока.

При этом закон изменения тока совпадет с функцией (5).

LC цепь

$LC$ цепью называют цепь, которая состоит из катушки индуктивности и емкости (рис.3).

Рисунок 3.

В подобной цепи, не имеющей активного сопротивления, можно создать электрические колебания.

Для этого сообщают обкладкам конденсатора начальный заряд или возбуждают ток в индуктивности (например, включая внешнее магнитное поле, которое пронизывает витки катушки). Допустим, что мы зарядили конденсатор.

На обкладках конденсатора имеются заряды $q$ и $-q$. Между обкладками конденсатора появляется электрическое поле, энергия ($W_q$) которого равна:

Составили цепь из катушки и заряженного конденсатора. Конденсатор начнет разряжаться, в контуре возникнет ток. При этом энергия электрического поля уменьшается, энергия магнитного поля, которое порождается током, который течет через индуктивность, растет. Энергия магнитного поля ($W_m$) равна:

Так как активное сопротивление контура считается равным нулю, потерь энергии нет, то электрическая энергия постепенно переходит в магнитную, за тем магнитная переходит в электрическую.

В момент, когда напряжение на конденсаторе равно нулю (следовательно, $W_q=0$), магнитная энергия максимальна, следовательно, ток в цепи максимален. Ток уменьшается, заряд растет.

Весь цикл повторяется бесконечно.

Уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления

Уравнение, которое описывает процесс изменения заряда в $LC$ контуре, имеет вид:

где $\frac{1}{LC}={\omega }_0$ — собственная частота $LC$ — контура. Решением уравнения (9) служит функция:

Из (10) видно, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ${\omega }_0$.

Пример 1

Задание: Запишите функцию зависимости напряжения на конденсаторе от времени ($U(t)$) после замыкания ключа на рис. 4. Считать, что конденсатор был заряжен до напряжения $U_0$.

Рисунок 4.

Решение:

Используем второе правило Кирхгофа, запишем, что после того как ключ в цепи замкнули, выполняется равенство:

\[U_R+U_C=0\ \left(1.1\right),\]

где $U_R$ — напряжение на сопротивлении, $U_C$ — напряжение на конденсаторе. При этом можно положить, что:

\[U_R=RI_R,\ I_C=C\frac{dU_C}{dt},\ I\left(t\right)=I_C=I_R\left(1.2\right),\]

где $I_C,I_R$ токи, текущие через конденсатор и сопротивление. Используем выражения (1.2) преобразуем уравнение (1.1), получим:

\[\frac{dU_C}{dt}+\frac{1}{RC}U_C=0\left(1.3\right).\]

Решение уравнения (1.3) запишем в виде:

\[U_C\left(t\right)=Aexp\left(-\frac{t}{RC}\right)\left(1.4\right).\]

Постоянную А найден их начального условия задачи ($U_C\left(0\right)=U_0$), следовательно А=$U_0$.

Ответ: $U_C\left(t\right)=U_0exp\left(-\frac{t}{RC}\right).$

Пример 2

Задание: Приведите пример, как получить в примере 1 режим зарядки и разрядки конденсатора?

Решение:

Заданный режим можно получить, если в качестве источника постоянного напряжения использовать генератор прямоугольных импульсов (поставить его на место ключа рис. 4). При этом ЭДС источника ($\varepsilon (t$)) должна выглядеть как:

Рисунок 5.

где $T_i$ — длительность импульса, причем это время должно быть существенно больше, чем время релаксации для того, чтобы напряжение на конденсаторе успело стать равным ${{\mathcal E}}_0$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnye_kolebaniya/perehodnye_processy_v_rc_i_lc_cepyah/

Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях

Переходные процессы в RC и LC цепях

2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи.

Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии.

Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство — это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения.

Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка:

,

где x(t) — напряжение или ток в схеме, y(t) — внешнее воздействие.

Решение этого уравнения для случая y(t) = const имеет вид:

,

где t — текущее время, x(t) — напряжение или ток в схеме, x(¥) — конечное значение x(t) при t®¥, x(0) — начальное значение x(t) при t = 0.

Характер изменения функции x(t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента).

Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции.

Выполним следующие преобразования:

,

.

Поскольку , то очевидно, что AB = t.

При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени , за который функция x(t) изменяется от значения x(t1) до значения x(t2). Запишем значение функции в точках t1 и t2:

,

.

Откуда

,

,

,

,

.

Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей:

1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком (0-) = (0+);

2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком IL(0-) = IL(0+).

Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи.

Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать:

при t = 0 (0) = 0, UR(0) = E;

при t = ¥ (¥) = E, UR(¥) = 0.

После подстановки получаем:

,

.

Считая, что конденсатор заряжен до значения = E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся:

при t = 0 (0) = E, UR(0) = -E;

при t = ¥ (¥) = 0, UR(¥) = 0.

После подстановки получаем:

,

.

Характер изменения функций UC(t) и UR(t) представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Характер изменения функций (t) и UR(t) простейшей RC-цепи.

Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3t конденсатор условно разряжается и заряжается.

2-2. Интегрирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции UC(t)=Uвых в общем случае выражается следующими зависимостями:

— нарастающая экспонента для 0 £ t £ ;

— убывающая экспонента для t >, где — значение напряжения, до которого успел зарядиться конденсатор в период действия импульса.

Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей.

Поскольку , а , то

.

Так как , то

.

Рассмотрим случай, когда . Поскольку , следовательно , и можно записать:

,

то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение . Тогда получаем

,

то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи.

В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи

.

Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения:

.

Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется:

.

При t=0 ,

т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем — расходятся. За меру расхождения на интервале [0, ] принимают коэффициент нелинейности — относительное изменение производной:

.

Для случая можно воспользоваться формулой разложения функции : при . Тогда

,

т.е. чем больше t при данном значении , тем меньше ß. Реальная функция Uвых.р в этом случае ближе к идеальной Uвых.ид.

2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь.

Электрическая принципиальная схема разделительной дифференцирующей RC-цепи и её временные диаграммы представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Разделительная дифференцирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений.

Как было показано ранее, меняется по закону:

для 0 £ t £,

для t >.

При рассматриваемая RC-цепь выполняет функции разделительной цепи, назначение которой передать входное напряжение с наименьшими искажениями и отделить при этом постоянную составляющую. Абсолютная величина завала вершины равна напряжению на конденсаторе в момент снятия входного импульса, т.е.

.

Для случая , с учетом рассмотренного ранее разложения функции при получаем:

.

Оценкой качества разделительной цепи является величина относительного завала вершины g, которая определяется как:

.

Таким образом, завал вершины, а значит искажение входного импульса, тем меньше, чем больше постоянная времени цепи t при данном . Если величина завала вершины несравненно мала, то импульс передается без искажения.

Рис. 2.7. Диаграммы входного и выходного напряжений разделительной цепи.

Из временной диаграммы рис. 2.7 видно, что амплитуда последовательности импульсов выходного напряжения постоянна, но при этом импульсы смещаются относительно нулевого уровня. В установившемся режиме площади под графиком S+ положительной и S— отрицательной областей последовательности импульсов окажутся равными друг другу: S+ = S-.

Доказать этот факт можно, рассмотрев диаграмму тока, протекающего через резистор (рис.2.8).

Очевидно, что i1t1 — это заряд , переносимый через емкость за время действия импульса на входе, а i2(t2-t1) – заряд Qп, переносимый через емкость за время паузы между импульсами, т.е. в обратном направлении. Тогда общий заряд, переносимый через емкость за время, равное периоду импульса будет равен:

.

Поскольку постоянная составляющая через емкость не проходит , следовательно, или . Поскольку , а сопротивление – величина постоянная, то значит и равны S+ и S— на диаграмме Uвых. Таким образом, для разделительной цепи необходимо выполнение условия: .

Рис. 2.8. Диаграмма тока, протекающего через резистор разделительной RC-цепи.

Поскольку , а , то

Продифференцируем обе части полученного уравнения. Получим

Так как , то .

Рассмотрим случай . Поскольку , то можно записать . Тогда

.

Из полученной формулы следует название такой цепи – дифференцирующая. Для дифференцирующей цепи должно выполняться условие , т.е. конденсатор должен успевать быстро перезаряжаться при данном . Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей цепи для последовательности импульсов представлены на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей RC-цепи.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_46873_tema--perehodnie-protsessi-v-RC-tsepyah.html

Переходные процессы в R-L и R-C цепях

Переходные процессы в RC и LC цепях

к оглавлению

Рассмотрим переходные процессы в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор R и индуктивность L . Уравнение Кирхгофа для такой цепи

,

где u = u(t) — напряжение на входе цепи. Найдем решение этого уравнения для свободной составляющей тока, т.е. при u = 0, в виде iс = Iept . Для этого подставим выражение для тока в исходное уравнение и найдем значение p

.

Выражение Lp + R=0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных тока на pk, где k — порядок производной.

Таким образом, общее решение для тока при переходном процессе в R-L цепи можно представить в виде

(1)

где t = 1/|p| = L/R — постоянная времени переходного процесса; I — постоянная интегрирования, определяемая по начальным значениям; i — установившийся ток в цепи, определяемый по параметрам R и L и напряжению на входе u.

Длительность переходного процесса в цепи, определяемая значением t , возрастает с увеличением L и уменьшением R.

Рассмотрим подключение RL цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)).

Установившийся ток в этой цепи будет определяться только ЭДС E и резистивным сопротивлением R, т.к. после окончания переходного процесса i = const и uL = Ldi/dt = 0, т.е. iу = E/R .

Полный ток в переходном процессе из выражения (1)

.

Для определения постоянной I найдем начальное тока. До замыкания ключа ток очевидно был нулевым, а т.к. подключаемая цепь содержит индуктивность, ток в которой не может измениться скачкообразно, то в первый момент после коммутации ток останется нулевым. Отсюда

.

Подставляя найденное значение постоянной I в выражение для тока, получим

.

(2)

Из этого выражения можно определить падения напряжения на резисторе uR и индуктивности uL

(3)

Из выражений (1)-(3) следует, что ток в цепи нарастает по экспоненте с постоянной времени t = L/R от нулевого до значения E/R (рис. 1 б)).

Падение напряжения на сопротивлении uR повторяет кривую тока в измененном масштабе.

Напряжение на индуктивности uL в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до E , а затем снижается до нуля по экспоненте (рис. 1 б)).

Подставляя выражения (3) в уравнение Кирхгофа для цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени

.

Пусть рассмотренная выше RL цепь длительное время была подключена к источнику ЭДС E, а затем замкнута накоротко (рис. 2 а)).

В этом случае установившийся ток будет равен нулю и задача сводится к отысканию его свободной составляющей. Из выражения (1)

.

Постоянную I можно определить из начальных условий. Установившийся ток в цепи до переключения ключа S был равен i(0- ) = E/R, а т.к. в первый момент после коммутации ток в индуктивности сохраняет свое значение, то i(0- ) =i(0+) = I = E/R . Отсюда ток и падения напряжения в цепи

(4)

Из выражений (4) следует, что при замыкании цепи накоротко ток уменьшается от E/R до нуля по экспоненте с постоянной времени t = L/R (рис. 2 б)). Падение напряжения на резисторе изменяется по такому же закону, а напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком изменяется от нуля до — E, а затем снижается до нуля ( рис. 2б)).

Общее падение напряжения на резисторе и индуктивности в любой момент времени

,

как и следовало ожидать, равно нулю и в переходном процессе происходит преобразование энергии магнитного поля в тепло.

При отключении цепи содержащей индуктивность в ней могут возникать падения напряжений опасные для ее элементов. Пусть RL цепь с подключенным к ней вольтметром отключается от источника постоянной ЭДС E (рис. 3).

Так как цепь содержит индуктивность, то после размыкания ключа S ток не сможет изменить своего значения и будет протекать в контуре RLV . Значение тока до коммутации i(0- ) = E/R = i(0+) = i(0) Уравнение Кирхгофа для этого контура

Ri

+ RVi + uL = 0,

где RV — сопротивление вольтметра.

Отсюда падение напряжения на вольтметре uV = RV i(0) = ERV/R и на индуктивности uV = (R+RV)i(0) = E(1+RV/R).

Обычно RV>>R , поэтому напряжение на вольтметре и на индуктивности в момент отключения превосходят ЭДС источника в RV/R раз. Это может быть опасным для вольтметра и изоляции катушки.

Если индуктивность цепи достаточно велика, то запасенной в ней энергии может оказаться достаточно для разрушения изоляции или входных цепей прибора.

Поэтому при отключении цепи постоянного тока с большой индуктивностью ее предварительно замыкают на малое сопротивление, а измерительные приборы отключают.

Рассмотрим теперь процесс подключения RL цепи к источнику переменной синусоидальной ЭДС (рис. 4 а)).

Ток после коммутации в соответствии с выражением (1)

.

(5)

Установившееся значение iу определяется по закону Ома как

,

(6)

где y — фаза напряжения на входе цепи в момент коммутации, а j = arctg(w L/R) .

До коммутации ток в цепи был равен нулю, поэтому из выражений (5) и (6) можно найти постоянную I

,

следовательно, полный ток в цепи после коммутации

.

(7)

Таким образом, ток в цепи состоит из двух составляющих — установившегося периодического синусоидального тока и свободного, уменьшающегося по экспоненте с постоянной времени t = L/R (рис. 4 б)). В результате, ток в некоторые моменты времени превышает амплитудное значение установившегося тока.

Начальное значение свободной составляющей тока Imsin(y — j ) зависит от момента включения y . При y = j +(k+1/2)p (k = 0, 1, 2ј ) ток через полпериода после коммутации (рис.

4 в)) достигает максимального значения, равного Imax=Im[1+e- p t/(w t )].

Значение e- p t/(w t ) U0 > 0 ; 2) E< U0 и U0 > 0; 3) U0 < 0 Во всех случаях напряжение на емкости монотонно по экспоненте изменяется отU0 до E.

В то время как ток и напряжение на резисторе в момент коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или сумме E и U0, а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом, если E< U0, то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е. происходит разряд емкости.

Полный разряд емкости происходит при отсутствии внешних источников энергии (рис. 1 а)). После переключения ключа S вся энергия накопленная в электрическом поле емкости C преобразуется в тепло в резисторе R.

Напряжение на емкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую

uC

= uс= Ue- t/t

и если цепь достаточно длительное время была подключена к источнику, то в момент переключения напряжение на емкости будет равно E. Поэтому постоянная U будет равна

uC

(0- ) = E = uC(0+) = U,

а напряжение на емкости в переходном процессе —

Отсюда ток в цепи и напряжение на резисторе

.

(13)

к оглавлению

Знаете ли Вы, что «гравитационное линзирование» якобы наблюдаемое вблизи далеких галактик (но не в масштабе звезд, где оно должно быть по формулам ОТО!), на самом деле является термическим линзированием, связанным с изменениями плотности эфира от нагрева мириадами звезд. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира

Источник: http://bourabai.ru/toe/tp_2.htm

Booksm
Добавить комментарий