Параллельность 3 прямых в пространстве

Введение в стереометрию. Параллельность

Параллельность 3 прямых в пространстве

Важные аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: \(\pi=(ABC)\)(рис. 1).

2. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости: \(a\in \pi\).
Говорят также, что плоскость содержит прямую: \(\pi\subset a\) (рис. 2).

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой: \(\pi\cap \mu=p\).
Данная прямая \(p\) называется линией пересечения плоскостей (рис. 3).

Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

Доказательство

1. Действительно, отметим на прямой \(a\) некоторые две точки \(A\) и \(B\). Тогда мы получим три точки \(A, B, C\), не лежащие на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость \(\pi\). А т.к. две выбранные точки \(A\) и \(B\) прямой лежат в этой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

2. Действительно, пусть \(O\) – точка пересечения данных прямых \(p\) и \(q\). Отметим еще по одной точке \(P\) и \(Q\) на каждой прямой (отличающиеся от точки \(O\)).

Получили три точки \(P, Q, O\), не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость \(\pi\). А т.к.

две точки каждой прямой лежат в этой плоскости, то и все точки каждой прямой будут лежать в этой плоскости. 

\[{\Large{\text{Параллельность в пространстве}}}\]

Определения

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Следствие 1

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 1

Через любую точку \(A\) в пространстве, не лежащую на данной прямой \(b\), проходит прямая \(a\), параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство

Через точку \(A\) и прямую \(b\) можно провести единственную плоскость (по аксиоме); пусть эта плоскость называется \(\pi\).

Прямая \(a\), параллельная прямой \(b\), должна лежать с ней в одной плоскости, а также должна проходить через точку \(A\), следовательно, должна лежать в плоскости \(\pi\).

Но в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (теорема планиметрии), чтд.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Пусть \(a\parallel b\) и \(a\cap \pi=A\). Докажем, что и \(b\) пересечет плоскость \(\pi\) (назовем их точку пересечения \(B\)).

Проведем через прямые \(a\) и \(b\) плоскость \(\mu\) (это возможно в силу определения параллельных прямых).

Тогда плоскости \(\pi\) и \(\mu\) имеют общую точку \(A\), следовательно, имеют и общую прямую \(p\), на которой лежат все их общие точки. Но т.к.

\(b\parallel a\) и \(a\capp=A\), то прямая \(b\) тоже пересекает прямую \(p\). Значит, прямая \(b\) пересекает и плоскость \(\mu\) (это и есть точка \(B\)).

Теорема 3: о параллельности трех прямых

Если прямая \(a\) параллельна прямой \(b\), а та в свою очередь параллельна прямой \(c\), то \(a\parallel c\).

Доказательство

1) Отметим некоторую точку \(C\) на прямой \(c\) и проведем плоскость \(\pi\) через прямую \(a\) и точку \(C\). Прямая \(c\) будет лежать в этой плоскости. Действительно, т.к.

прямая \(c\) и плоскость \(\pi\) имеют общую точку \(C\), то в противном случае прямая \(c\) будет пересекать эту плоскость. Но т.к. \(b\parallel c\), то и прямая \(b\) будет пересекать \(\pi\); а т.к.

\(a\parallel b\), то и прямая \(a\) будет пересекать эту плоскость. А это противоречит нашему построению.

2) Теперь прямые \(a\) и \(c\) лежат в одной плоскости, значит, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны. Предположим, что \(c\) пересекает \(a\) в точке \(A\). Тогда получается, что через точку \(A\) проведены две прямые, параллельные прямой \(b\), что противоречит теореме 1. 

Определение

Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;

2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;

3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости (рис. 7).

Доказательство

Докажем, что прямая \(a\) не может пересекать плоскость \(\pi\) (случай, что прямая лежит в плоскости, невозможен по условию). Предположим, что это не так.

Во-первых, проведем плоскость \(\mu\) через прямые \(a\) и \(p\) (значит, плоскости \(\pi\) и \(\mu\) пересекаются по прямой \(p\)). Во-вторых, пусть \(a\cap\pi=A\). Т.к. \(a\parallel p\), то точка \(A\) не может лежать на прямой \(p\).

Значит, плоскости \(\pi\) и \(\mu\) имеют еще одну общую точку \(A\), не лежащую на их линии пересечения, что противоречит аксиоме 3. Чтд.

Следствие 2

Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\) (рис. 8).

Доказательство

Т.к. прямые \(m\) и \(p\) лежат в одной плоскости \(\pi\), то они могут быть либо параллельны, либо пересекаться, либо совпадать. Совпадать они не могут, потому что тогда \(p\in \mu\), а это противоречит условию. Если \(m\cap p=O\), то \(p\) пересекает плоскость \(\mu\) в точке \(O\), что опять же противоречит условию. Значит, \(m\parallel p\).

Следствие 3

Если прямые \(a\) и \(b\) параллельны и прямая \(a\) также параллельна плоскости \(\alpha\), то и прямая \(b\) либо параллельна, либо лежит в плоскости \(\alpha\).

Определение

Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.

Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.

Теорема 5: признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Доказательство

Рассмотрим две плоскости \(\pi\) и \(\mu\) и в них пересекающиеся прямые \(a, b\) и \(a_1, b_1\) соответственно, такие что \(a\parallel a_1, \b\parallel b_1\). Докажем, что плоскости не имеют общих точек.

Предположим, что это не так. Пусть плоскости имеют общую точку, значит они имеют и общую прямую \(y\): \(\pi\cap \mu=y\). Данная прямая не может быть параллельна обеим прямым \(a\) и \(b\) (т.к. они все лежат в одной плоскости \(\pi\)), значит, хотя бы одну из этих прямых она пересекает.

Пусть это будет прямая \(a\), то есть \(a\cap y=Y\). Т.к. прямая \(y\) лежит и в плоскости \(\mu\), то \(Y\in \mu\), то есть прямая \(a\) имеет с плоскостью \(\mu\) общую точку \(Y\). Но это невозможно, т.к. по признаку параллельности прямой и плоскости прямая \(a\) параллельна плоскости \(\mu\).

Чтд.

Следствие 4

Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

Следствие 5

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны:

\[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \LongrightarrowA_1B_1=A_2B_2\]

Источник: https://shkolkovo.net/theory/107

Конспект

Параллельность 3 прямых в пространстве

Урок 7: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Дата:25.09

Цель урока: ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве.

Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых; доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых;закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды; развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления, внимания; развитие умения четко выполнять чертежи

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать его цели.

II. Повторение пройденного материала

  1.  Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?

  2. Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?

  3. Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.

  4. Даны точки А, В, С и D. Плоскость α проходит через прямую АВ, но не проходит через точку С. Прямые AD и ВС пересекаются в точке В. Сколько данных точек лежит в плоскости α?

  5. В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?

  6. Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?

  7. Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?

  8. Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых. Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.

Самопроверка:

12345678
ДаНетАМтриОдну или бесконечно многоНетДаТри или не одной

III. Изучение нового материала

1. Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? ( совпадают, пересекаются, параллельны).

2. Дайте определение параллельных прямых на плоскости. ( Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающие друг друга.)

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве.

Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек).

Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

Доказательство:

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма: Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

а || b; α; а ∩ α = А (рис. 3).

Доказать, что b ∩ α.

 Доказательство:

1. а || b определяют плоскость β.

2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3  поэтому поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b, b ∈ α.

Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α.

Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m, но это невозможно, так как по условию а || b, и а ⊂ m. Значит,b ⊂ α = B. Лемма доказана.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема: Дано: а || с; b || с (рис. 4). Доказать, что а || b, то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.

 Доказательство: 1) Возьмем на прямой b точку М и через а и М проведем плоскость α. Докажем, что b ⊂ α.

Если допустить, что b ∩ α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с ∩ α, но а || с, значит, а ∩ α, что невозможно, так как а ⊂ α.

2) Прямая a ∩ b, так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.

IV. Закрепление изученного материала

 

Задача.Дано: М — середина BD; N — середина CD; Q — середина АС; Р — середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

Найти: PMNQP — ?

Решение:

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ; PQ || BC.

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN; NQ || DA.

3. По определению MNQP — параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ РMNQP = 2(7 + 6) = 26.

(Ответ: 26 см.)

 V. Подведение итогов

Домашнее задание

п. 4, 5, теоремы. Задача № 16

Источник: https://infourok.ru/konspekt-parallelnie-pryamie-v-prostranstve-parallelnost-treh-pryamih-3249940.html

Параллельность прямых, прямой и плоскости — урок. Геометрия, 10 класс

Параллельность 3 прямых в пространстве

Параллельность прямых \(a\) и \(b\) обозначается так: a∥b илиb∥a.

Teорема 1.  Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

1. так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой \(a\) обозначаем точки \(B\) и \(C\), а на прямой \(b\) — точку \(A\).

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (\(2\) аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые \(a\) и \(b\).

Теорема 2.  Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

Доказательство:

1. через данную прямую \(a\) и точку \(M\), которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку \(M\) можно провести только одну прямую \(b\), которая параллельна прямой \(a\).

Теорема 3.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(1 рис.)

(2 рис.)

Доказательство:

рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\) и допустим, что прямая \(b\) пересекает плоскость α в точке \(M\) (1 рис.).

Из \(1\)-й теоремы известно, что через параллельные прямые \(a\) и \(b\) можно провести только одну плоскость β.

Так как точка \(M\) находится на прямой \(b\), то \(M\) также принадлежит плоскости β (2 рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка \(M\), то у этих плоскостей есть общая прямая \(c\), которая является прямой пересечения этих плоскостей (\(4\) аксиома).

Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых \(b\) пересекает прямую \(c\), то вторая прямая \(a\) тоже пересекает \(c\).

Точку пересечения прямых \(a\) и \(c\) обозначим за \(K\).

Так как точка \(K\) находится на прямой \(c\), то \(K\) находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой \(a\) и плоскости α.

Значит, прямая \(a\) пересекает плоскость α в точке \(K\).

Теорема 4.  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Дано: a∥cиb∥c.

Доказать: a∥b.

Доказательство:

выберем точку \(M\) на прямой \(b\).

Через точку \(M\) и прямую \(a\), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая \(b\) пересекает плоскость α; или 2) прямая \(b\) находится в плоскости α.

Пусть прямая \(b\) пересекает плоскость α.

Значит, прямая \(c\), которая параллельна прямой \(b\), тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что \(a\) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая \(a\) не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно,  предположение, что прямая \(b\) пересекает плоскость α, является неверным.

Значит, прямая \(b\) находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Пусть у прямых \(a\) и \(b\) есть общая точка \(L\).

Это означает, что через точку \(L\) проведены две прямые \(a\) и \(b\), которые параллельны прямой \(c\). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые \(a\) и \(b\) не имеют общих точек.

Так как прямые \(a\) и \(b\) находятся в одной плоскости α, и у них нет общих точек, то они параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.

1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: еслиa∥bиb∥c,тоa∥c.

Пример:

одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма \(ABCD\) сторона \(AD\) пересекает плоскость α в точке \(K\).

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону \(CD\), тоже пересекает плоскость α.

2. Параллельность прямой и плоскости

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит (находится) в плоскости;

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);

3) прямая и плоскость не имеют общих точек.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

  

Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая \(a\) должна быть параллельна плоскости α.

Обрати внимание!

Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема 6.
Если плоскость
β проходит через данную прямую \(a\), параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой \(b\), то b∥a.

Обрати внимание!

Прямую \(b\) иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

  

Теорема 7.
Если одна из двух параллельных прямых
a∥b параллельна данной плоскости α, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-priamykh-i-ploskostei-10435/parallelnost-priamykh-priamoi-i-ploskosti-9253/re-15895537-90b0-4f1f-b6bd-4ed1e3c5b600

§ 3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Параллельность 3 прямых в пространстве

3.1 Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются — третьей возможности для них нет. В пространстве же к этим двум случаям добавляется ещё один — когда две прямые не лежат в одной плоскости.

Такие прямые существуют. Возьмём, например, четыре точки А, B, С, D, не лежащие в одной плоскости (задача 1.1). Тогда прямые АВ и CD (рис.

35) не лежат в одной плоскости (так как иначе точки А, B, С, D лежали бы в одной плоскости).

Рис. 35

Итак, для взаимного расположения двух прямых в пространстве возможны такие случаи:

  1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые (рис. 36, а).
  2. Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку — пересекающиеся прямые (рис. 36, б).
  3. Прямые не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (рис. 36, в).

Рис. 36

Эти же три случая можно получить иначе.

  1. Прямые имеют общую точку. Тогда они лежат в одной плоскости. Это пересекающиеся прямые.
  2. Две прямые не имеют общих точек. Тогда они либо параллельны (если лежат в одной плоскости), либо скрещиваются (если не лежат в одной плоскости).

Все три случая можно видеть на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок комнаты (рис. 37): например, а скрещивается с b и параллельна с, а b и с — пересекаются.

Рис. 37

Отметим, что параллельные прямые задают плоскость, в которой они лежат.

3.2. Признаки скрещивающихся прямых

Указав в п. 3.

1 пример двух скрещивающихся прямых АВ и CD, мы фактически воспользовались следующим признаком скрещивающихся прямых:

  1. Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются. Отсюда легко выводится второй признак скрещивающихся прямых:
  2. Прямая, лежащая в плоскости, скрещивается с каждой прямой, пересекающей эту плоскость, но не данную прямую.

Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А, но не пересекает прямую b, лежащую в плоскости а (рис. 38). Возьмём на прямой а ещё точку В, а на прямой b две точки С и D. Четыре точки А, B, С и D не лежат в одной плоскости, а потому прямые а и b скрещиваются.

Рис. 38

3.3. Параллельные прямые

Для параллельных прямых в пространстве выполняется, как и на плоскости, следующее утверждение:

Теорема 5. Через каждую точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По теореме 3 через них проходит плоскость; обозначим её а. В плоскости а выполняются все положения планиметрии, а потому в ней через точку А проходит прямая b, параллельная а (рис. 39). Докажем, что другой прямой, параллельной а и проходящей через ту же точку А, нет.

Рис. 39

Действительно, такая прямая по определению параллельных прямых должна лежать с прямой а в одной плоскости. Кроме того, она должна проходить через точку А. Значит, она должна лежать в плоскости, проходящей через прямую а и точку А.

Такая плоскость по теореме 3 только одна — это плоскость а.

Но в плоскости, как известно, через данную точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а, — это и есть прямая Ъ. Следовательно, в пространстве через точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а.

Как и на плоскости, в пространстве две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Чтобы доказать этот признак параллельности прямых, докажем сначала такую лемму:

Лемма. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую из них.

Пусть прямые а и Ь параллельны и плоскость а пересекает прямую а в точке А (рис. 40). Проведём плоскость β через параллельные прямые а и Ь.

Плоскости а и β имеют общую точку A, a потому пересекаются по прямой с, проходящей через точку А. Прямая а пересекает прямую с в точке А.

Поэтому в плоскости β и параллельная ей прямая b пересекает прямую с в некоторой точке В. В точке В прямая b пересекает и плоскость а.

Рис. 40

Докажем признак параллельности прямых.

Пусть две прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что а||Ь. Возьмём на прямой b некоторую точку В и проведём плоскость а через точку В и прямую а. Тогда прямая b также лежит в плоскости а. Если бы прямая b пересекала плоскость а (в точке В), то по лемме эту плоскость пересекала бы и параллельная ей прямая с.

Если же снова применить лемму к параллельным прямым а и с, то получим, что прямая а пересекает плоскость а, что противоречит построению плоскости а (она содержит прямую а). Значит, прямая b лежит в одной плоскости а с прямой а. Пересекаться прямые а и b не могут (по теореме 5). Поэтому прямые а и b параллельны.

Вопросы для самоконтроля

  1. Как могут располагаться две прямые в пространстве?
  2. В чём сходство параллельных и скрещивающихся прямых? А в чём их различие? Какие вы знаете признаки скрещивающихся прямых?
  3. Две прямые пересекают третью. Как могут располагаться первые две прямые?
  4. Прямые а и b параллельны. Как располагаются прямые а и с, если:
    • а) с пересекает Ь;
    • б) с скрещивается с b?

Источник: http://tepka.ru/geometriya_10-11/5.html

Параллельность трех прямых

Параллельность 3 прямых в пространстве

Вопросы занятия:

·     докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость;

·     докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Материал урока.

Ранее мы с вами уже узнали, какие прямые называют параллельными в пространстве. Напомню, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Также мы с вами доказали теорему о том, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теперь докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство. Пусть прямые а и b – параллельные. И одна из них, например, прямая а – пересекает плоскость α в точке М. Докажем, что прямая b также пересекает плоскость α, т.е. имеет с ней только одну общую точку.

Рассмотрим плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b.

Так как две различные плоскости α и β имеют общую точку М, то по третьей аксиоме (если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей) они пересекаются по некоторой прямой p.

Эта прямая лежит в плоскости β и пересекает прямую а в точке М. Значит, она пересекает и прямую b, параллельную прямой а, в некоторой точке N. Прямая p лежит также в плоскости α, поэтому точка N – точка плоскости α. Следовательно, N – общая точка прямой b и плоскости α.

Докажем теперь, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки N. Это и будет означать, что прямая b пересекает плоскость α.

Действительно, если бы прямая b имела еще одну общую точку с плоскостью α, то она целиком лежала бы в плоскости α, а следовательно, была бы общей прямой плоскостей α и β, т.е. совпадала бы с прямой p.

Но это невозможно, так как по условию прямые а и b параллельны, а прямые а и p пересекаются. Таким образом, прямая b имеет с плоскостью α единственную общую точку N, т.е. пересекается с плоскостью альфа в точке N. Лемма доказана.

Из курса планиметрии вы помните, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение справедливо и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема (Признак параллельности прямых).

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть прямая а параллельна прямой c, прямая b параллельна прямой cэ. Докажем, что прямая а параллельна прямой b. Для этого нам нужно доказать, что прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Отметим некоторую точку N на прямой b. Мы знаем, что через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Значит, через прямую а и точку N, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость. Обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямую а и точку N.

Докажем, что прямая b лежит в плоскости α. Допустим, что прямая b пересекает плоскость α. Тогда по лемме о  пересечении плоскости параллельными прямыми прямая c также пересекает плоскость α.

Но так как прямые а и c параллельны по условию, то и прямая а должна пересекать плоскость α, что противоречит тому, что прямая а лежит в плоскости α.

Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые а и b, параллельные прямой c, что невозможно. Теорема доказана.  

Задание. Дан параллелепипед . Докажите, что прямые .

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник AA1D1D.

Он является параллелограммом по определению параллелепипеда. Значит, прямая AD параллельна прямой A1D1.

Рассмотрим четырехугольник A1B1C1D1. Он также является параллелограммом по определению параллелепипеда. Следовательно, прямая A1D1 параллельна прямой B1C1. Тогда по признаку параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны), имеем прямая AD параллельна прямой B1C1. Что и требовалось доказать.

Задание. В основании прямоугольного параллелепипеда  лежит квадрат со стороной  см, а длина бокового ребра параллелепипеда равна  см. Точки , ,  и  являются серединами отрезков , ,  и  соответственно. Вычислите периметр четырехугольника .

Решение.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы продолжили рассматривать параллельные прямые в пространстве. А именно, рассмотрели параллельность трех прямых. Доказали лемму о том, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. А затем с ее помощью доказали теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Источник: https://videouroki.net/video/5-paralliel-nost-triekh-priamykh.html

Booksm
Добавить комментарий