Основные формулы физики твердого тела

Основные формулы физики твердого тела

Основные формулы физики твердого тела

Многие характеристики твердых тел в основном объясняются тем, что большинство из них обладает кристаллической структурой, то есть определяются закономерной систематичностью распределения материальных элементов из одного или группы атомов в среде на микроскопическом уровне. Поэтому в науке было введено такое понятие как кристаллическая решетка.

Повторяющиеся с определенной периодичностью в пространстве узлы решетки формируют базис.

Кристаллическая решетка – это универсальная совокупность геометрических линий и точек, которые представляют собой центры данных базисов.

Стабильность во взаимном движении молекул в твёрдых телах можно охарактеризовать наличием ближнего и дальнего порядка, обусловленного взаимосвязью между элементарными частицами. Упорядоченность на небольших расстояниях называется ближним порядком, а повторяющаяся на неограниченно больших расстояниях — дальним порядком.

Центром масс (инерции) называют материальную точку, масса которой приравнивается массе всего тела, а положение определяется начальным радиусом-вектором $R_C$:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$R_c = \frac{m_1 r_1+m_2 r_2}{m_1+m_2}=\frac{\sum m_1 r_1}{m}$

Тепловые колебания твердых тел

Рисунок 1. Теплоемкость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Тепловые особенности твердых тел объясняются регулярными колебаниями кристаллической решетки. При определенной температуре, согласно классической гипотезе, атомы можно считать неподвижно “закрепленными” в точках решетки.

При повышенной температуре все взаимодействующие частицы начинают совершать колебания относительно основных положений равновесия системы. В идеальном одноатомном веществе абсолютно каждый атом оснащен тремя уровнями свободы и постоянной кинетической энергией.

Если эту теорию использовать при изучении твердых тел, тогда внутренний энергетический потенциал одного моля твердого тела составляет: $C〗_v= \frac{db}{dT}=3R.$

Этому соотношению, которое определяется законом Дюлонга, удовлетворяет огромное количество твердых тел при обычной, комнатной температуре. Однако при понижении градуса температуры теплоемкость мгновенно уменьшается и автоматически приближается к нулю.

Причина этого непосредственно связана с квантовыми процессами и эффектами. Согласно теории квантов, колебания кристаллической решетки могут легко возбуждаться и поглощаться исключительно малыми порциями. По аналогии с фотонами квантовые элементы колебательной энергии называются фононами.

Внутренний потенциал твердых тел квантуется аналогично энергии электронов.

Поток тепловой и внутренней энергии $Q$, проходящей через определенное поперечное сечение твердого тела в единицу времени в направлении оси x равен: $Q= γ \frac{dt}{dx},$ где $γ$ представляет собой параметр теплопроводности, при расчете которого нужно в обязательном порядке учитывать фононное рассеяние, взаимодействие между фононами, обусловленное колебаниями решетки. То есть в физическом веществе все частицы должны колебаться строго периодически, излучая при этом упругие волны, переносящие необходимое тепло.

Динамика твердого тела

Рисунок 2. Движение твердых тел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произвольное движение материального тела можно представить, как общность только поступательного движения центра внутренней инерции и вращательного движения относительно всех элементов.

Поступательным называется такое движение, при котором абсолютно любая прямая, которая проведена в теле, остаётся всегда параллельной самой себе.

При указанном процессе все точки исследуемого объекта получают за один и тот же временной промежуток равные по направлению и величине перемещения, в результате чего скорости и ускорения всех задействованных точек в конкретный период оказываются одинаковыми.

Поэтому достаточно изначально установить правильный показатель в одной из линий тела для того, чтобы в дальнейшем охарактеризовать движение всего вещества.

Второй закон Ньютона для хаотичного движения центра масс твёрдого тела записывается в следующием виде: $ \frac{d(mVc)}{dt} = \overrightarrow{F}$

При вращательном движении все материальные точки предмета описывают окружности, центры которых расположены на одной прямой, называемой вектором вращения. Окружности, описываемые этими точками, движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, которая в свою очередь может находиться как внутри тела, так и вне его.

Рисунок 3. Инерция твердых тел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы твёрдое, рабочее тело с закреплённым вектором привести во вращательное движение, нужно хотя бы в одной из его линий приложить внешнюю силу, не способную пройти через ось вращения и непараллельную ей. Иными словами, чтобы эта сила формировала момент силы.

Моментом силы относительно произвольной точки в физике твердого тела считается векторное произведение основного радиуса-вектора, проведенного из определенной точки к точке приложения внутренней силы, на силу:

Момент инерции любого твёрдого тела относительно той же оси записывается так: $I=\sum m_1 r_12$

Данное явление непосредственно зависит от массы всего вещества и его распределения в системе, а также от его ориентации относительно вектора вращения, следовательно, считается величиной аддитивной.

Единицы давления в твердых телах

Согласно стандартам Международной концепции СИ, любое состояния физического тела возможно определить благодаря формуле давления. Получается, что один Па всегда равен одному Н (ньютон – величина измерения силы) разделенному на один квадратный метр. Однако на практике использовать паскали достаточно сложно, так как эта единица очень мала.

В связи с этим, помимо указанных стандартов, данная параметр может измеряться совершенно иначе. Большинство величин широко применяется на просторах бывших стран СССР.

Среди самых известных можно выделить:

  1. Бары, которые равны 105 Па.
  2. Торры, или миллиметры обычного ртутного столба, соответствующие 133, 3223684 Па. Миллиметры и метры водяного столба.
  3. Технические и физические атмосферы, где один атом равен 101 325 Па и 1,033233 ат.
  4. Килограмм-силы на квадратный сантиметр.
  5. Тонна-сила и грамм-сила.

Различные агрегатные состояния материальных веществ, предусматривают обязательное наличие у них отличных друг от друга характеристик. Исходя из этого, методы определения Р (давления) в них тоже будут другими.

К примеру, формула давления воды выглядит следующим образом: $Р = pgh$ Также она применима и к идеальным газам.

При этом ее нежелательно использовать для определения атмосферного давления, из-за разности плотностей и высот воздуха. В данном уравнении $р$ – плотность, $g$ – ускорение внезапного падения, а $h$ – высота.

Исходя из этого, чем глубже погружается объект, тем выше будет в итоге оказываемое на него давление внутри самой жидкости.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/fizika_tverdogo_tela/osnovnye_formuly_fiziki_tverdogo_tela/

3. Механика твердого тела Основные формулы

Основные формулы физики твердого тела

Мерой инертноститвердого тела при вращательном движенииявляется момент инерции:

I= Σmiri2,

гдеmi–элементарная масса i– гокусочка тела, ri– расстояние этого кусочка от осивращения.

Моменты инерциинекоторых твердых тел относительнооси, проходящей через их центры масс:

Полыйцилиндр I= m(R12+ R22).

Тонкийобруч I= mR2.

Сплошнойцилиндр I= mR2.

Шар I= mR2.

Тонкийстержень I= ml2.

Если ось вращения не проходит черезцентр масс, для расчета момента инерциииспользуют теорему Штейнера:

I= I0 +ma2,

гдеI– момент инерции тела относительноданной оси, I0– момент инерции этого тела относительнооси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, m– масса тела, а– расстояние между осями.

Основноеуравнение динамики вращательногодвижения твердого тела: I= M,

гдеI– момент инерции твердого тела,относительно оси вращения, – его угловое ускорение, М– суммарный момент сил, действующий натело относительно данной оси.

Моментсилы Fравен: M= Fl,

гдеl– расстояние от линии, вдоль которойдействует сила, до оси вращения.

Моментимпульса твердого тела относительнонеподвижной оси: L= Iω,

гдеI– момент инерции твердого телаотносительно данной оси, ω– угловая скорость его вращения.

Моментимпульса материальной точки относительнонеподвижной оси: L= mυr,

гдеm– масса частицы, υ– ее скорость, r– расстояние от линии, вдоль которойдвижется частица, до данной оси.

Взамкнутой системе частиц полный моментимпульса не меняется: ΣLi= const.

Кинетическая энергия вращающегосятела:

Ek = ,

гдеI– момент инерции тела, ω – его угловаяскорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

Ek = +,

где m– масса тела, υ0– скорость поступательного движенияцентра масс, I0– момент инерции тела относительнооси, проходящей через центр масс, ω– угловая скорость вращения тела.

Примеры решения задач

Задача13

Прямойкруглый однородный конус имеет массуmи радиус основания R.Найти момент инерции конуса относительноего оси.

Решение

Разобьёмконус на цилиндрические слоиось толщиной dr.Масса такого слоя

dm= r2dr,

гдеρ – плотность материала, из которогоизготовлен конус. Момент инерции этогослоя

dI= dm.r2.

Моментинерции всего конуса складываетсяиз моментов инерции всех слоёв:

I= =ρπr4dr= ρR5.

Остаётсявыразить его через массу всего цилиндра:

m= ==R3,

отсюда ρ = ,

I= = mR2.

Задача14

Маховоеколесо, имеющее момент инерции 245 кг∙м2,вращается с частотой 20 об/с. Через минутупосле того, как на колесо пересталдействовать вращающий момент, оноостановилось. Найти: 1) момент сил трения;2) число оборотов, которое сделало колесодо полной остановки после прекращениядействия сил.

Решение

Приторможении угловое ускорение отрицательно.Найдём его модуль из кинематическогосоотношения для угловой скорости.

ω0 = 2 π ν0, ω = 0,

0= 2 πν0 — ε t,

отсюда ε = .

Этоускорение обусловлено действием моментасил трения

Mтр= Iε= .

Полныйугол поворота при равнозамедленномдвижении находится из соотношения:

φ =ω0t-,

φ =2π N, ω0 = 2πν0, ε= .

Перепишемсоотношения для угла в виде:

N= 2πν0t-= 2πν0t-=.

Длянахождения числа оборотов получим:

N= .

Подставивчисловые значения, найдём:

Mтр= = 506 Нм,

N= = 600 об.

Задача15

Набарабан радиусом R=20 см, момент инерции которого равен I=0,1 кг∙м2,намотан шнур, к которому привязан грузмассой m=0,5 кг. До начала вращения высота грузанад полом равна h1=1 м. Найти: 1) через какое время грузопустился до пола; 2) кинетическую энергиюгруза в момент удара о пол; 3) натяжениенити. Трением пренебречь.

Решение

Н

R

T

T

m

h1

а груз действует сила тяжестиmgи сила натяжения шнура Т.Уравнение поступательного движениягруза ma= mgT.

Барабанвращается вокруг неподвижной оси. Егоуравнение движения M= Iε,

гдеМ– момент силы натяжения шнура, М= TR, I– момент инерции барабана,ε= – его угловое ускорение.

TR= I.

Выражаемотсюда силу натяжения шнура:

T= I (10)

иподставляем ее в уравнение движениягруза:

mg=a(m+ )= am(1+ ).

Получаемускорение груза:

a= . (11)

Времядвижения груза можно найти из уравнения:

h1= ,

t= = .

Вмомент удара о пол груз имел скорость:

υ= at= .

Следовательно,его кинетическая энергия:

Ek= =.

Подставиввыражение для ускорения (11) в формулу(10), получим: T==.

Подставивчисловые значения, определим искомыевеличины:

t= = 1,1 c,

Ek= = 0,82 Дж,

T= = 4,1 Н.

Задача16

Шармассой m= 1 кг, катящийся без скольжения, ударяетсяо стенку и откатывается от нее. Скоростьшара до удара о стенку υ= 10 см/с, после удара 8 см/с. Найти количествотепла Q,выделившееся при ударе.

Решение

Кинетическаяэнергия катящегося тела равна:

Ek= +. (12)

Моментинерции шара I= ,

угловаяскорость вращения = .

Подставляемэти величины в формулу (12):

Ek= += mυ2.

Количествотепла, выделившегося при ударе, равноразнице его кинетических энергий до ипосле удара:

Q= Ek1– Ek2= mυ12-mυ22= m(υ12-υ22).

Подставивчисловые значения, получим:

а= ∙1(100∙10-4–64.10-4)= 10-4= 2,25∙10-3Дж= 2,52 МДж.

Задача17

Найтикинетическую энергию велосипеда, едущегосо скоростью υ= 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе свелосипедом m= 78 кг, причем на колеса приходится массаm1= 3 кг. Колеса считать тонкими обручами.

Решение

Кинетическаяэнергия велосипеда складывается изкинетической энергии поступательногодвижения и кинетической энергиивращательного движения колес.

Ek=+ .

Момент инерции колес, представляющих собойтонкие обручи, равен I= ,аугловая скорость вращения = .

Подставляемэти значения в выражение для кинетическойэнергии: Ek= + = .

Скоростьнадо перевести в м/с: υ=2,5 м/с.

Подстановкачисловых значений дает:Ek=253 Дж.

Задача18

Однородныйстержень длиной 85см подвешен нагоризонтальной оси, проходящей черезверхний конец стержня. Какую наименьшуюскорость надо сообщить нижнему концустержня, чтобы он сделал полный оборотвокруг оси?

Решение

Чтобыстержень смог сделать полный оборотвокруг оси, он должен подняться довертикального положения В.

Еслиотсчитывать потенциальную энергиюстержня от начального положения А,то в положении Вцентр масс его поднят на

высотуС2-С1=l– длина стержня. Стержень приобретаетпотенциальную энергию Еn=mgℓ за счет кинетической энергии,

В которую ему сообщили в положении А. Если

υ– наименьшая скорость нижнего конца,при которой он сможет сделать полный оборот, то

угловаяскорость стержня = .

Моментинерции стержня относительно оси,проходящей через его конец, определятсяпо теореме Штейнера:

I= m l2=m=m l2,

гдеml2–моментинерции стержня относительноперпендикулярной к нему оси, проходящейчерез центр масс, – расстояние от центра масс до требуемойоси.

Кинетическаяэнергия вращательного движения:

Ek= =.= .

Позакону сохранения энергии, кинетическаяэнергия стержня в положении Аравна его потенциальной энергии вположении В:

=mgl,

отсюда υ= .

Подставляемчисловые значения: υ= 7м/с.

Задача19

Человекмассой m1=60 кг находится на неподвижной платформемассой m= 100 кг. Какое число оборотов в минутубудет делать платформа, если человекбудет двигаться по окружности радиуса5 м вокруг оси вращения? Скорость движениячеловека относительно платформы равна4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считатьплатформу однородным диском, а человека– точечной массой.

Решение

Первоначальноплатформа с человеком покоилась,

моментимпульса этой системы был равен нулю. Когда человек начнет двигаться поплатформе, платформа будет вращатьсяв противоположном направлении. Еслирасстояние от человека до оси вращенияплатформы r,в месте нахождения человека u= r. Таким образом, если человек движетсяотносительно платформы соскоростью

υ,то относительно земли он будет двигатьсясо скоростью υ– r,его момент импульса относительно осиплатформы L1=m1(υ– r)r.Момент импульса платформы относительноее оси:

L= – I,

гдеI–момент инерции платформы.

Посколькуплатформа представляет собой однородныйдиск, то ее момент инерции относительнооси, проходящей через центр:

I= mR2.

Запишемзакон сохранения момента импульса дляданной системы:

O= L1+L= m1(υ– r)rmR2,

отсюдаможно определить угловую скоростьвращения платформы:

 = .

Числооборотов платформы в минуту определитсяиз соотношения:

n= 60= .

Подстановкачислового значений дает:

n= = 0,49об/мин.

Источник: https://studfile.net/preview/1360337/page:4/

Основные формулы по физике — МЕХАНИКА

Основные формулы физики твердого тела

Формулы механики. Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. В разделе кинематика рассматриваются такие кинематические характеристики движения, как перемещение, скорость, ускорение. Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил, входящих в эти законы.

Динамика охватывает такие вопросы, как закон сохранения импульса, закон сохранения полной механической энергии, работа силы.

При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками. Здесь вводятся понятия момента силы, момента инерции, момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса.

Смотрите также основные формулы по термодинамике

Таблица основных формул по механике

Физические законы, формулы, переменные

Формулы механики

Скорость мгновенная:

где r — радиус-вектор материальной точки,

t — время;

— производная радиус-вектора материальной точки по времени.

Модуль вектора скорости:

где s — расстояние вдоль траектории движения (путь)

Скорость средняя (модуль):

Ускорение мгновенное:

Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении:

Ускорение при криволинейном движении:

1) нормальное

где R — радиус кривизны траектории,

2) тангенциальное

3) полное (вектор)

4) (модуль)

1)

2)

3)

4)

Скорость и путь при движении:

1) равномерном

2) равнопеременном 

V0- начальная скорость;

а > 0 при равноускоренном движении;

а < 0 при равнозамедленном движении.

1)

2)

Угловая скорость:

где φ — угловое перемещение.

Угловое ускорение:

Связь между линейными и угловыми величинами:

Импульс материальной точки:

где m — масса материальной точки.

Основное уравнение динамики поступательного движения (II закон Ньютона):

где F — результирующая сила,  

Формулы сил:

тяжестиP

где g — ускорение свободного падения

трения Fтр

где μ — коэффициент трения,

N — сила нормального давления,

упругости Fупр

где k — коэффициент упругости (жесткости),

Δх — деформация (изменение длины тела).

Закон сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из двух тел:

где — скорости тел до взаимодействия;

— скорости тел после взаимодействия.

Потенциальная энергия тела:

1) поднятого над Землей на высоту h

2) упругодеформированного

1)

2)

Кинетическая энергия поступательного движения:

Работа постоянной силы:

где α — угол между направлением силы и направлением перемещения.

Полная механическая энергия:

Закон сохранения энергии:

силы консервативны

силы неконсервативны

где W1 — энергия системы тел в начальном состоянии;

W2 — энергия системы тел в конечном состоянии.

Момент инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс):

1) тонкостенного цилиндра (обруча)

где R — радиус,

2) сплошного цилиндра (диска)

3) шара

4) стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину

1)

2)

3)

4)

Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера):

где — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, d — расстояние между осями.

Момент силы(модуль):

где l — плечо силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

где — угловое ускорение,

— результирующий момент сил.

Момент импульса:

1) материальной точки относительно неподвижной точки

где r — плечо импульса,

2) твердого тела относительно неподвижной оси вращения

1)

2)

Закон сохранения момента импульса:

где L1 — момент импульса системы в начальном состоянии,

L2 — момент импульса системы в конечном состоянии.

Кинетическая энергия вращательного движения:

Работа при вращательном движении

где Δφ — изменение угла поворота.

Источник: https://infotables.ru/fizika/96-osnovnye-formuly-po-fizike-mekhanika

Booksm
Добавить комментарий