Основное уравнение кинетической теории газов

Основное уравнение кинетической теории

Основное уравнение кинетической теории газов

Кинетическая теория идеального газа

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

идеального газа.

С точки зрения молекулярно-кинетической теории, газ считается идеальным, если можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия его молекул (по сравнению с кинетической энергией) и размерами молекул (по сравнению со средним расстоянием между ними).

Давление газа на стенку возникает в результате многочисленных упругих соударений молекул между собой и со стенками сосуда. (Удары можно считать в среднем упругими, так как газ находится со стенкой в тепловом равновесии.

) Основное уравнение кинетической теории идеального газа выражает давление через средний квадрат скорости молекул:

(40)

где n = N/V — концентрация молекул, mO— масса одной молекулы,

р = m0 v— ее импульс, =— средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Если связь энергии и импульса отличается от классической, то последнее равенство в (40) приобретает иной вид. Для газа фотонов имеем р = e/с. В результате получим

(41)

Число ударов о стенку.Число молекул DN, попадающих за время Dt на плоский участок поверхности площадью DS, равно

(42)

Формулы для вычислений.Формулы для переноса через площадку числа частиц, импульса, энергии и т. д. получают разбиением молекул на удобные группы и расчетом их вклада в вычисляемую величину. Наиболее общий подход — разбиение на группы, имеющие почти одинаковую скорость v.

Выделим группу молекул, имеющих величину скорости от v до v + dv и направление в телесном угле dW . Число молекул данной группы в единице объема равно dn(v, v+ +dv; dfi) = dn(v, v + dv)df2/4n.

Чтобы найти, сколько молекул данной группы попадает на плоский участок площадью DS за время Dt, надо построить на этом участке косой цилиндр (рис.2 ), направляющая которого имеет длину vDt и составляет угол q с осью х.

Все молекулы выделенной группы, находящиеся в этом цилиндре (и только они!), попадут на площадку DS за время Dt. Производя последовательные интегрирования, можно вывести (42) и многие другие формулы, например, для энергии, проносимой через площадку:

Определение температуры в кинетической теории газов.

В кинетической теории газов доказывается, что если две подсистемы (из одинаковых или разных молекул) могут обмениваться энергией, то в состоянии равновесия оказываются равными средние кинетические энергии поступательного движения их молекул. Исходя из этого, кинетическая теория газов определяет температуру как величину, пропорциональную средней кинетической энергии поступательного движения молекулы:

(43)

где k — постоянная Больцмана, которая выражается через универсальную газовую постоянную и число Авогадро (см. разд. 2.1): k = R/Na ~1,38•10 -23 Дж/К. Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы уравнение состояния идеального газа

р = nkT = kT (44)

(оно получается из основного уравнения (33) и определения температуры (37)) совпадало с уравнением (2), в котором используется газовая шкала температур.

Средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул с учетом (40) и (43) вычисляется по формулам

Vкв. = (45)

где r = т0 п — плотность газа.

Внутренняя энергия идеального газа.Важной характеристикой идеального газа является число степеней свободы его молекулы. У одноатомной молекулы есть только три степени свободы, соответствующие поступательному движению: i=iп = 3.

У жесткой двухатомной молекулы, кроме поступательных, есть еще две вращательные степени свободы (полярные углы, задающие ее направление в пространстве): : i=iп +iвр =3+2=5. У жесткой многоатомной (нелинейной) молекулы — три вращательные степени свободы, поэтому i = 6.

В классической статистической физике доказывается теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы: на любую степень свободы, которой в выражении для энергии молекулы соответствует член ах2 или bх2, приходится средняя энергия – 1/2kT в расчете на одну молекулу.

Формула (43) находится в полном соответствии с утверждением этой теоремы. Средняя энергия одной молекулы и внутренняя энергия всего газа принимают вид:

, (46)

Физическое число степеней свободы в случае жестких молекул совпадает с математическим.

Однако, когда оказываются возбужденными колебательные степени свободы (при Т ~ 103 К), то на каждую колебательную степень свободы будет приходиться (с учетом потенциальной энергии колебаний) средняя энергия kT.

В результате получим iФ = iп + iвр + 2 iкол, где iкол обозначает математическое число колебательных степеней свободы. Для N-атомной молекулы iкол = 3N — (in + iвр) (например, для мягкой двухатомной молекулы = 3 + 2 + 2(6 — 5) = 7).

Из (46) получим выражения для теплоемкостей идеального газа и его показателя адиабаты:

, , (47)

При комнатных температурах измеряемая теплоемкость соответствует модели жестких молекул — колебательные степени свободы оказываются невозбужденными или, как говорят, «замороженными». Однако при повышении температуры до ~ 103 К теплоемкость начинает возрастать, т. е. колебательные степени свободы «размораживаются».

Наоборот, при понижении температуры до нескольких десятков кельвинов происходит «вымораживание» вращательных степеней свободы, сопровождающееся соответствующим уменьшением теплоемкостей.

Объяснение явлению вымораживания степеней свободы, дает квантовая механика: если средняя энергия теплового движения kT мала по сравнению с расстоянием до ближайшего дискретного уровня, то данный вид движения не возбуждается.

Смесь идеальных газов.Закон Дальтона: давление смеси (двух) идеальных газов равно сумме их парциальных давлений:

p = p1 + p2 = (n1 + n2)kT = (n 1+ v 2)RT.

Внутренняя энергиясмеси равна сумме внутренних энергий U =i1v1RT +i2n 2RT • Эта формула позволяет ввести:

эффективное число степеней свободы: i (v1 + v2) = i 1 v1 + i 2 v2

эффективные молярные теплоемкости: (v1 + v2)Cm= v1Cm1 + v2 C m2

эффективную молярную массу: (v1 + v2)m= v1m1 + v2 m2

Распределение Максвелла.Распределение молекул по скоростям описывается следующими функциями:

)d= )d=

(42)

Ф(v)dux duy duz =

Определение любой функции распределения основано на утверждении, что доля молекул, попадающих (в среднем) в очень маленький интервал данной переменной (скорости, проекции скорости, энергии), пропорциональна ширине этого интервала (du обозначает физически, а не математически, бесконечно малый интервал — он должен содержать большое число молекул.) Среднюю долю молекул, обладающих некоторым признаком (например, попадающих в заданный интервал скоростей), можно трактовать как вероятность того, что произвольная молекула обладает данным признаком. Поэтому функцию распределения иногда называют плотностью вероятности.

Перечислим свойства функции распределения (на примере f(u)).

1) Доля частиц (вероятность) в конечном интервале(u1,u2):

2)Нормированность:

3) Вычисление среднего от любой функции скорости x(v):

Между тремя функциями распределения, определенными в (42), существуют следующие связи:

f (u)=Ф(u)4pu2 Ф(ux,uy,uz)=j(ux)j(uy)j(uz)

Функция j является четной функцией, т. е. можно написать: j=j(ux2). Функция Ф(v) зависит только от u2=ux2+u y2+uz2 .Связь между Ф и j удовлетворяется только функцией ) j(ux)=Аexp(-xux2 )Коэффициенты А и x определяются из двух условий: а)нормировки функции j,

б)требования, чтобы Ответ выглядит так:

j(ux)=exp

f(u)=exp4pu2

Обычно именно последнюю формулу называют распределением Максвелла (рис. 20). Функция f (u) достигает максимума при cкорости uв =(2кТ/m0 )1/2 которую называют наиболее вероятной скоростью.

Значение функции f(u) в этой точке равно f(uВ) = 4е-1(2pкТ/m0)-1/2.

Например, при увеличении Т в 4 раза максимальная скорость станет в 2 раза больше, а соответствующее значение функции f(uВ) — в 2 раза меньше; напомним, что площадь

под кривой f(v) равна единице.

Средняя (или среднеарифметическая) скорость молекул вычисляется в соответствии с правилом (44):

оо

(V) = J Vf(v)dv = О

Приведем также распределение молекул по энергиям поступательного движения:

. , . , dn(e, E + de) 2
w(£) de = ——————— = —=n -у/я-

Интегралы для вычислений.Для вычисления средних величин с распределением Максвелла нужно уметь вычислять интегралы типа /„ = J° exp(—jSx2) dx. Приведем два первых результата:

/о = -/тг/?»1'2, /1 = -/?-1. Дальнейшие интегралы получим дифференцированием по /8. Например, /2 = ——— = -\/тг в~ .

ар 4

Распределение Больцмана.Если газ находится во внешнем силовом поле, то концентрация молекул зависит от координат. Из условия механического равновесия газа можно получить:

п(г)=я(го)ехр -'•»»•»'•'. (46)
L K1 J

где еп(г) — потенциальная энергия молекулы во внешнем поле (распределение Больцмана). Частным случаем распределения Больцмана является барометрическая формула:

Поясним на примере барометрической формулы, как выводится распределение Больцмана. Условие равновесия в поле тяжести вертикального цилиндра с площадью основания s и высотой dh имеет вид: s dp = —p(s dh)g.

Отсюда с учетом уравнений р = nkT и р = топ получим — = — п.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_34683_osnovnoe-uravnenie-kineticheskoy-teorii.html

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Основное уравнение кинетической теории газов

Основное уравнениемолекулярно-кинетической теорииидеального газаустанавливаетсвязь между макроскопической величиной- давлением, которое может быть измерено,например манометром, и микроскопическимивеличинами, характеризующими молекулу:

гдер — давление, m0-масса молекулы, п — концентрация (числомолекул в единице объема), v2-средний квадрат скорости молекул.

Если через Еобозначить среднюю кинетическую энергиюпоступательного движения молекулы

можно записать:

Давление идеальногогаза пропорционально концентрациимолекул и средней кинетической энергииих поступательного движения.

уравнение состоянияидеального газа (еготакже называют уравнениемКлапейрона-Менделеева):

PV = nRT

где n –число молей газа;

P – давление газа(например, в атм;

V – объем газа (влитрах);

T – температурагаза (в кельвинах);

R – газовая постоянная(0,0821 л·атм/моль·K).

ИЗОПРОЦЕССЫ

Изопроцессы —равновесные процессы, в которых одиниз основных параметров сохраняется.

ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС-термодинамическийпроцесс,происходящий в системе при постоянномдавлениии постоянной массе идеального газа.

()Дляизобарного процесса в идеальном газесправедлив закон Гей-Люссака:припостоянном давлении объем данной массыгаза прямо пропорционален еготермодинамической температуре:или . Работагаза при изобарном расширении:.

Изменениевнутренней энергии:Количествополученного тепла в соответствии спервым началом термодинамики:.Молярнаятеплоемкость при изобарном процессе:.

ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС()-термодинамическийпроцесс,который происходит при постоянномобъёме.Для осуществления изохорного процессав газе или жидкости достаточно нагревать(охлаждать) вещество в сосуде, которыйне изменяет своего объёма.

Изохорныйпроцесс в идеальном газе описываетсязаконом Шарля:при постоянном объемедавление данной массы газа прямопропорционально его термодинамическойтемпературе:или . Работагаза при изохорном процессе равнанулю: .

Всеполученное тепло идет на изменениевнутренней энергии в соответствии спервым началом термодинамики:.Молярнаятеплоемкость при изохорном процессе:.

ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙПРОЦЕСС ()-термодинамическийпроцесс,происходящий в физической системе припостоянной температуре.Изотермическийпроцесс в идеальном газе подчиняетсязакону Бойля — Мариотта:для данноймассы газа при неизменной температурепроизведение значений давления и объемаесть величина постоянная:или .

Работа газа приизотермическом расширении:.Изменениевнутренней энергии при изотермическомпроцессе равно нулю:.Всеполученное тепло идет на совершениеработы в соответствии с первым началомтермодинамики:.

  1. Основное уравнение МКТ. Статистическое толкование температуры. Барометрическая формула. Распределения Максвелла и Больцмана.

Основное уравнениемкт имеет вид

Определение температуры в статистической физике в статистической физике температура определяется как производная от энергии системы по её энтропии:

,

где S — энтропия,E — энергия термодинамическойсистемы. Введённая таким образом величинаT является одинаковой для различных телпри термодинамическом равновесии. Приконтакте двух тел тело с большим значениемT будет отдавать энергию другому.

Барометрическаяформула —зависимость давления или плотностигаза от высоты в поле тяжести.

Для идеальногогаза,имеющего постоянную температуру инаходящегося в однородном поле тяжести(во всех точках его объёмаускорениесвободного паденияодинаково),барометрическая формула имеет следующийвид:

где —давление газа в слое, расположенном навысоте,—давление на нулевом уровне (),—молярнаямассагаза, —газоваяпостоянная,—абсолютнаятемпература.Из барометрической формулы следует,что концентрация молекул (илиплотность газа) убывает с высотой потому же закону:

где —масса молекулы газа,—постояннаяБольцмана.

Данное выражениеназывается барометрической формулой.Она позволяет найти атмосферное давлениев зависимости от высоты, или высоту,если известно давление.

Закон Больцманао распределении частиц во внешнемпотенциальном поле.

Есливоспользоваться выражением р = nkT,то можно привести барометрическуюформулу к виду:

здесь n– концентрация молекул на высоте h,n0– то же у поверхности Земли. Так как М= m0NA, где m0– массаодной молекулы, а R= kNA,то мы получим П = m0gh– это потенциальная энергия одноймолекулы в поле тяготения. ПосколькуkT~‹εпост›,то концентрация молекул на определеннойвысоте зависит от соотношения П и ‹εпост›

Полученное выражениеназывается распределением Больцманадля внешнего потенциального поля. Изнего следует, что при постояннойтемпературе плотность газа (с которойсвязана концентрация) больше там, гдеменьше потенциальная энергия егомолекул.

Источник: https://studfile.net/preview/2030992/page:3/

Основное уравнение кинетической теории газов

Основное уравнение кинетической теории газов

1. Кинетическая модель идеального газа.С точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютно идеальным является газ, представляющий собой систему из огромного числа материальных точек, то есть бесконечно малых частиц, не взаимодействующих между собой и не сталкивающихся друг с другом.

При таких допущениях частицы идеального газа должны считаться совершенно свободными. Это значит, что движутся они прямолинейно и равномерно от одного соударения со стенкой сосуда до другого. Каждая частица идеального газа ведет себя так, как будто других частиц вокруг нее нет.

Физические законы и следствия, которым идеальные газы подчиняются точно, справедливы с определенной погрешностью и для реальных газов.

2. Основное уравнение кинетической теории газов.Поскольку газ есть система из хаотически движущихся с разными скоростями молекул, то можно предположить, что давление газа на стенки сосуда есть результат множества соударений молекулы со стенками. Поэтому должна быть определенная количественная связь между средними параметрами движения молекул и величиной давления.

Впервые эту связь теоретически установил Рудольф Клаузиус в 1857 году. Рассмотрим два подхода к этой задаче.

а.Скорости молекул газа одинаковы по величине.Предположим сначала, что все молекулы газа одинаковы, каждая имеет массу m, двигаются они хаотично с одинаковыми по величине скоростями u. Направления скоростей равновероятны (гипотеза элементарного беспорядка). Газ находится в замкнутом сосуде.

Выделим часть стенки площадью S, нормальную оси x. Полагаем, что молекулы газа соударяются со стенкой абсолютно упруго.

Изменение импульса каждой молекулы при ударе  в проекции на ось OX составляет -2mu cosq = -2mux (рис.19). Здесь ux= u cosq  — проекция на ось OX скорости молекулы до соударения,  q — угол между вектором скорости  и осью OX. Импульс силы со стороны молекулы на стенку ,  (7.1)

где Δt – продолжительность соударения молекулы со стенкой.

За время dt>>Dt о стенку ударится половина молекул слоя толщиной uxdt, то есть .           (7.2)

Здесь n – концентрация молекул газа.

Импульс силы со стороны всех z молекул на стенку есть . Отсюда давление идеального газа, молекулы которого двигаются с одинаковыми по величине скоростями, есть .                                        (7.3)

Давление газа пропорционально массе молекул m, их концентрации n и среднему квадрату проекции скорости движения молекул на нормаль к стенке .

б. Скорости молекул газа различны по величине.В действительности скорости молекул газов разные не только по направлению, но и по величине.

Предположим, что газ состоит из нескольких групп молекул. Массы всех молекул одинаковы и равны m, а скорости молекул одинаковы по величине лишь в пределах групп. Пусть в группе 1 – скорости молекул , в группе 2 – скорости молекул ,… в группе i скорости молекул .

Парциальное давление газа каждой группы определится также формулой (7.3): , где  — концентрация молекул газа в i-той группе.

По закону Дальтона для парциальных давлений суммарное давление газа в целом есть сумма парциальных давлений, .                                                    (7.4)

Сумму можно представить так: , где n – концентрация всех молекул газа, а  — средний квадрат проекции скорости всех молекул.

Заметим, что число групп молекул в единице объема может достигать . То есть каждая молекула может иметь отличную от других молекул скорость, так что число групп будет равно числу молекул. Итак, .                                                                (7.5)

По сравнению с формулой (7.3) здесь входит средний квадрат проекции скорости.

Перейдем от проекции скорости  к модулю скорости u. Вектор скорости любой молекулы можно представить как сумму составляющих по осям. ,      (7.6)

или .                                                                                        (7.7)

Направления скоростей равновероятны. Поэтому средние квадраты для системы с большим числом частиц одинаковы, . Тогда

, .                                                         (7.8)

Подставляем. .

. Основное уравнение кинетической теории газов                             (7.9)

Давление в газах пропорционально концентрации молекул n и их средней кинетической энергии  хаотического поступательного движения.

3. Уравнение Клаузиуса.Формула (7.9) определяет макропараметр давление p как функцию двух микропараметров – концентрации молекул n и их средней кинетической энергии поступательного движения . Чтобы вычислить какой либо микропараметр, нужно, чтобы в уравнении он был один, а все остальные были бы макропараметрами.

Умножим формулу (7.9) на объем V и сравним её с уравнением Клапейрона-Менделеева. .                                      (7.10)

Здесь  — число Авогадро. Разделив уравнение на ν, получаем . (7.11)

Отношение R/NA=k называют постоянной Больцмана. Ввел ее в практику Макс Планк в 1900 году. Это одна из важнейших констант в физике. Ее современное значение (1978 год) k = (1,380622 ± 0,000044)×10-23 Дж/К.

Формула (7.11) определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы идеального газа как функцию температуры газа T. Энергия пропорциональна абсолютной температуре газа.

Энергия молекулы, приходящаяся на 1 K, составляет =3/2×1,38×10-23 =2,07×10-23 Дж.

Если подставить =3/2kT в основное уравнение кинетической теории газов, то получаем формулу, из которой можно вычислить концентрацию молекул газа n.

. Уравнение Клаузиуса                                    (7.12)

Вычислим концентрацию молекул воздуха при нормальных условиях.

. (Иоганн Лошмидт, 1865)

4. Среднеквадратичная скорость молекул находится из условия:

. Отсюда .                                    (7.13)

Здесь M – молярная масса газа.

Среднеквадратичная скорость  — это скорость, средняя по кинетической энергии молекул. Например, для азота, М = 0,028 кг/моль, при T = 273 K

. Для кислорода при той же температуре , для водорода uкв = 1800 м/с, для углекислого газа uкв = 390 м/с. Чем больше молярная масса газа, тем меньше скорость движения его молекул. У хлора М = 0,071 кг/моль, uкв = 270 м/с, у ртути М = 0,200 кг/моль, скорость движения ее атомов в парах uкв = 180 м/с.

5. Температура T и давление pстатистические величины. Эти понятия применимы лишь к системам с огромным числом молекул, соизмеримым с числом Авогадро  NA = 6,022×1023 моль-1

Свойства газа как системы частиц не сводимы к свойствам отдельных молекул. Такая система проявляет новые качества и характеризуется новыми физическими величинами – давлением p и температурой T. Здесь проявляется диалектический закон перехода количества в качество.

Свойства газов определяются усредненными параметрами молекул – средней кинетической энергией , средней скоростью , средним импульсом . Средние величины находятся методами статистики. Раздел физики, методом исследования в котором является статистика, называется статистической физикой.

6. Изменение температуры газа в адиабатных процессах благодаря кинетической модели газа из эмпирического факта превращается в явление с наглядным механизмом.

Когда газ сжимается, его молекулы сталкиваются с приближающейся стенкой сосуда. Если скорость стенки u0, то каждая ударившаяся упруго с ней молекула, двигавшаяся до удара со скоростью u, отскакивает от стенки со скоростью u + 2u0 (См.: Механика, упругий удар шара со стенкой). Кинетическая энергия молекулы увеличивается с  до . Температура газа растет.

Когда газ расширяется, молекулы ударяются с убегающей стенкой. Скорость молекул уменьшается на величину 2u0, уменьшается соответственно их кинетическая энергия. Температура газа падает.

7. Броуновское движение.В 1827 г. английский ботаник Роберт Броун, наблюдая в усовершенствованный оптический микроскоп с большим увеличением микроорганизмы в воде, обнаружил, что невозможно получить резкое изображение этих микрообъектов.

Оказалось, что микрочастицы, взвешенные в жидкости, находятся в состоянии непрерывного дрожания. Факт их реального дрожания подтверждался тем, что царапины и частицы меньших размеров на твердой подложке наблюдались вполне отчетливо.

Позднее подобное дрожание, которое стали называть броуновским движением, обнаружили и в газах.

В этом явлении замечательно проявилась молекулярно-кинетическая структура вещества. Микрочастицы размером 0,1 ÷ 10 мкм находятся среди хаотично движущихся молекул жидкости или газа. Размер молекул примерно в 1000 раз меньше.

Благодаря случайному распределению ударяющихся о частицу молекул сообщаемый ими импульс с какой-либо стороны оказывается больше. В результате возникает некоторая отличная от нуля равнодействующая сила, перемещающая частицу.

Интенсивность броуновского движения не ослабевает со временем и не зависит от химических свойств среды. Было замечено, что она тем больше, чем выше температура среды и чем меньше ее вязкость.

Теорию броуновского движения в рамках МКТ независимо друг от друга построили Альберт Эйнштейн и Мариан Смолуховский в 1905-906 г.г.

Оказалось, что в результате случайных толчков со стороны молекул броуновская частица дрейфует, удаляясь от исходной точки по закону

. Формула Эйнштейна-Смолуховского                                      (7.14)

Здесь  — среднеквадратичное удаление частицы от исходного положения, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура среды, t – продолжительность времени наблюдения, B – подвижность.

У частиц сферической формы B = 1ç6pha,                                                         (7.15)

где h – вязкость среды, a – радиус броуновской частицы.

Экспериментально проверили и подтвердили формулу Эйнштейна-Смолуховского Жан Перрен и независимо от него Теодор Сведберг в 1906-908 г.г. Вычисленные по результатам их измерений число Авогадро NA и постоянная Больцмана k совпали со значениями, найденными другим путем.

Перрен работал с частицами эмульсии каучуковых смол в воде (гуммигут) размером около 1 мкм и увеличением микроскопа около 3000 крат. Интервалы времени составляли около 30 с.

Соединяя прямыми линиями последовательные положения частиц, он получил ломаную со случайными значениями длин отрезков и их направлений. Расчеты показывают, что в 1 с броуновская частица испытывает до 1014 молекулярных толчков.

Поэтому, уменьшение интервала времени вплоть до 10-14 с не превращает ломаную линию в гладкую кривую. Гладкими кривыми является лишь отрезки, на которых броуновская частица движется от одного толчка до другого.

Броуновское движение дает возможность установить тот минимальный объем, в котором вещество еще можно рассматривать как сплошную бесструктурную среду. Дрожание частиц становится заметным, начиная с радиуса частиц a » 10 мкм. Это свидетельствует о том, что начиная с объема a3 » 10-15 м3 вещество уже проявляет свою дискретную структуру.

Поскольку броуновская частица находится в тепловом равновесии с окружающей средой, то ее средняя кинетическая энергия такая же, как и у молекул среды. Поэтому среднеквадратичная скорость частицы (средняя по энергии), взвешенной в газе, находится по формуле ,                                                                                                (7.16)

где m – масса броуновской частицы.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 408;

Источник: https://studopedia.net/4_45087_osnovnoe-uravnenie-kineticheskoy-teorii-gazov.html

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (Колебошин С.В.). урок. Физика 10 Класс

Основное уравнение кинетической теории газов

На данном уроке мы будем выводить основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ), которое связывает макропараметры газа с микропараметрами отдельных молекул.

Вспомним основные сведения про модель идеального газа:

— молекулы движутся хаотически;

— механизм давления идеального газа – это соударение отдельных молекул со стенками сосуда.

Пусть идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде (см. Рис. 1). Определим давление p этого газа на поршень.

Рис. 1. Идеальный газ (молекулы) в цилиндрическом сосуде

По определению давление – величина, равная отношению силы (F), действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности (S).

Вычислим силу (F), с которой молекулы действуют на поршень:

1. Определим силу удара одной молекулы о стенку сосуда.

Пусть молекула идеального газа массой  движется в плоскости XOYсо скоростью  и, ударившись о поршень, отскакивает от него со скоростью  (см. Рис. 2). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на молекулу со стороны поршня во время удара, равна:

,

где a – ускорение молекулы при ударе;   – изменение скорости движения молекулы при ударе;  – продолжительность удара.

Рис. 2. Столкновение молекулы с поршнем

Проекция скорости на ось OY не изменяется, поэтому всё изменение скорости  равно изменению скорости вдоль оси X:

Так как:

То:

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой молекула действует на поршень, равна по модулю силе , с которой поршень действует на молекулу. Следовательно:

2. Рассчитаем число молекул N, ударившихся о поршень за интервал .

За интервал времени  до поршня успеют долететь только те молекулы, которые движутся в направлении поршня и удалены от него на расстояние  (см. Рис. 3). То есть фактически половина числа молекул, заключённых в цилиндре объёмом . Следовательно, число молекул, ударившихся о поршень за интервал , равно:

 – общее число молекул, которое равно произведению концентрации на объём:

Рис. 3. Молекулы, ударившиеся о поршень за время

3. Определим общую силу ударов молекул о поршень.

Эта сила будет равна произведению силы удара одной молекулы на общее число ударов:

Мы живём в трёхмерном мире, то есть любая молекула имеет проекцию скорости . Так как все молекулы двигаются хаотично, то направления их движения равноправные, поэтому можно написать, что в среднем, для средней квадратичной скорости,  одинаковые (). Следовательно, заменяем квадрат проекции скорости на средний квадрат проекции скорости:

Подставляем это значение в формулу силы ударов молекул о поршень:

Значение данной силы подставим в формулу давления:

– основное уравнение МКТ идеального газа,

где макропараметры ;

микропараметры .

Основное уравнение МКТ можно записать в другом виде, в котором давление связывается не с массой и скоростью молекулы, а с их комбинацией, то есть со средней кинетической энергией одной молекулы.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа можно рассчитать по формуле:

Следовательно, основное уравнение МКТ будет выглядеть так:

 – давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема

На данном уроке мы вывели основное уравнение МКТ. Обращаться к данному уравнению мы будем нечасто, так как удобнее работать с отдельными макропараметрами (проще отдельно измерить давление, объём, температуру, чем замерять скорость и массу конкретной молекулы). Тем не менее, именно это уравнение назвали основным, потому что оно даёт связь между макромиром и микромиром.

Список литературы

Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.

Физика. Тесты. 10–11 классы: учебно-методическое пособие / Н.К. Гладышева, И.И. Нурминский, А.И. Нурминский и др. – М.: Дрофа, 2005

Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Илекса, 2005.

Касьянов В.А. Физика 10 класс. – М.: Дрофа, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Easy-physic.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Вопросы в конце параграфа 63 (стр. 165); упражнение 11 (8,9) стр. 167 – Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10 (см. список рекомендованной литературы) (Источник)
  2. В ампуле содержится водород. Определите давление газа, если его концентрация равна , а средняя квадратичная скорость движения молекул водорода 500 м/с.
  3. Чем обусловлено давление газа на стенку сосуда?
  4. Сформулируйте и запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/osnovy-molekulyarno-kineticheskoy-teorii/osnovnoe-uravnenie-molekulyarno-kineticheskoy-teorii

Booksm
Добавить комментарий