Операторы физических величин

Операторы физических величин

Операторы физических величин

Каждой физической величине соответствует линейный эрмитовый оператор . Этот оператор принимает собственные значения на базисе собственных функций .

Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям физической величины.

Собственные функции оператора соответствуют собственным состояниям, отвечающим выбранному собственному значению.

Оператор энергии (гамильтониан) — энергия

Векторный оператор импульса — импульс

Квадрат оператора момента импульса -квадрат момента импульса

Оператор -компоненты момента импульса

— -компонента момента импульса

Оператор вектора спина

Оператор -компоненты вектора спина

Состояние электрона в атоме полностью определяется четыремя квантовыми числами

Пример Электрон в кулоновском поле ядра (атом водорода)

Определить энергию электрона и волновые функции стационарных состояний.

Решение:

Пишем стационарное уравнение Шредингера . Задача обладает сферической симметрией. Поэтому используем сферические координаты , Потенциальная энергия электростатического поля . Оператор Лапласа разделяем на радиальную и угловую части . Заменяем и получаем для радиальной части волновой функции .

Уравнение

имеет решение

Вероятность нахождения электрона в основном состоянии в интервале :

.

В ядре электрона нет, наибольшая вероятность нахождения электрона на расстоянии первого боровского радиуса, далее она падает по экспоненте. См рис 5

Рис.5

В общем случае уровни энергии соответствуют формуле Бора:

Волновая функция зависит от трех квантовых чисел

где -сферические гармоники.

Принцип Паули: В каждом квантовом состоянии может находится только один электрон.

Пример. . На уровне энергии могут находится электрон в состоянии , и электрон в состоянии .Это атом гелия с двумя электронами. Атом лития имеет три электрона, поэтому два электрона находятся в состояниях : , один электрон находится в одном из двух состояний : , остальные шесть состояний : , пустые.

Заполнение квантовых состояний электронами происходит в соответствие с принципом минимума энергии и принципом Паули. При этом электроны заполняют низшие энергетические состояния группируясь в электронные оболочки( ) от ядра наружу. Число электронов в оболочках

равно . Оболочки состоят из подоболочек:

; …

Так объясняется периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева.

Молекулы

Молекула –наименьшая частица вещества обладающая его свойствами и состоящая из атомов соединенных химическими связями.

Образование молекулы водорода. В первом приближении можно считать ядра атомов неподвижными и рассматривать только движение двух электронов. Если спины электронов антипараллельны то спин молекулы если параллельны то Энергия взаимодействия двух электронов

-электростатическая энергия взаимодействия

-обменная энергия (обмен электронами между состояниями)

Два атома водорода с антипараллельными спинами притягиваются образуют гомополярную молекулу водорода.

Два атома водорода с параллельными спинами отталкиваются. График потенциальной энергии взаимодействия атомов водорода в зависимости от расстояния между электронами приведен на рис .6

Рис6 Энергия взаимодействия двух атомов водорода для триплетного и синглетного состояний. В синглетном состоянии образуется устойчивая молекула водорода (нижняя кривая)

Молекулярные спектры

Полная энергия молекулы может быть представлена в виде суммы квантованных значений энергии соответствующим трем видам её внутренних движений: электронов, колебаний атомов в молекуле. Вращению молекулы как целого.

Молекулярные спектры возникают при квантовых переходах между уровнями энергии молекулы где -квант испускаемого фотона частоты .

Колебательные уровни энергии

где колебательное квантовое число

Вращательные уровни энергии

где вращательное квантовое число, -вращательная постоянная, -момент инерции молекулы.

Схема уровней энергии двухатомной молекулы показана на рис.7



Источник: https://infopedia.su/10x16ce.html

Операторы важнейших физических величин

Операторы физических величин

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________

Постулат, устанавливающий связь между изображением физических величин

операторами и опытом____________________________________________________________

Совокупность собственных значений оператора (L1, L2, … , Ln, …) тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерений механической величины L, изображаемой оператором .

Иными словами, на опыте наблюдаются только те значения величин: которые совпадают с одним из собственных значений оператора соответствующего рассматриваемой величине.

6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________

Оператор координаты Оператор координаты частицы есть само число
Операторы проекции импульса соответственно на оси х, у, z Операторы координаты проекции импульса являются основными в квантовой теории
Оператор вектора импульса [ — единичные векторы координатных осей; набла — оператор   ла-оператор]

6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________

Оператор момента импульса
Операторы проекций момента импульса на оси координат Расписаны согласно век­торному произведению (см. оператор момента импульса)
Оператор проекции момента импульса на полярную ось г (от нее отсчитывается полярный угол ) Вид этого оператора похож на вид операторов проекции импульса 6.34

6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________

УравнениеСобственные значения Пояснения
Лишь при данных собственных значе­ниях квадрата момента импульса реше­ния уравнения удовлетворяют услови­ям непрерывности, конечности и одно­значности (/ — целое положительное число)
или   Решение уравнения имеет вид . Чтобы функция была одно­значной, надо, чтобы или . Это же воз­можно только тогда, когда Ьг/п = т, где т — нуль или целое (положитель­ное или отрицательное) число

Вывод. Собственные значения операторов и образуют дискретный ряд значений, т. е. момент импульса и проекция момента импульса на произвольную ось г квантуются.

6.37 Операторы энергии____________________________________________________________

Оператор кинетической энергии____________________________________________________

Аналогично, найдя и , получим опера­тор кинетической энергии (Δ — оператор Лап­ласа).

Оператор потенциальной энергии___________________________________________________

Потенциальная энергия U = U(x,y,z) — функ­ция только координат, поэтому оператор потен­циальной энергии есть сама потенциальная энергия.

Оператор полной энергии (гамильтониан)__________________________________________

Кинетическая энергия — функция импульсов, а потенциальная — функция координат. По соотношению неопределенностей не существует таких состояний, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты.

Поэтому полная энергия микрочастицы измеряется как единое целое. В классической механике полную энергию, выраженную через импульсы и координаты, называют функцией Гамильтона Н.

Если силы не зависят от времени, то функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы: Н = Е.

6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________

УравнениеОбычная запись уравненияГамильтониан, операторполной энергииОператорная форма
Временное уравнение Шредингера
Ψ = Ψ(х, у, z, t).Уравнение Шредингера в операторной форме имеет более общий характер и пригодно для описания движения частицы в произвольных стационарных и нестационарных полях, в частности в случае движения частицы в электромагнитном поле
Стационарное уравнение Шредингера

— полная энергия частицы; Ψ = Ψ(х, у, z)— координатная часть волновой функции Ψ(x, y, z, t); стационарное уравнение Шредингера в операторной форме имеет регулярные решения лишь при определенных значениях Е, образующих спектр оператора полной энергии]

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 1036 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Источник: https://lektsii.org/3-93023.html

Оператор координаты

Операторы, которые представляют динамические переменные, должны быть самосопряженными эрмитовыми операторами.

Выбор их конкретного вида оператора, определен согласием результатов опытов, которые получают с его помощью.

Известно, что среднее значение динамической переменной, которая представлена оператором $\hat{A}$ в состоянии, которое характеризуют волновой функцией $\Psi$, задают при помощи выражения:

Среднее значение координаты (одномерный случай) можно найти как:

Сравним выражения (1) и (2), можно сделать вывод о том, что оператором координаты $x$ надо выбрать оператор, умноженный на эту координату, что означает, что приложение оператора координаты ($\hat{x}$) к какой — либо функции $f(x)$ — это умножение данной функции на

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$x:$

Что означает: $\hat{x}=x.$

Оператор импульса

В соответствии с гипотезой де Бройля свободная частица, обладающая импульсом $p_x$ — плоская волна, имеющая волновое число $k_x=\frac{p_x}{\hbar }$ и частоту $\omega =\frac{E}{\hbar }$. Следовательно, должно выполняться соотношение:

и оно должно иметь решение в виде плоских волн:

где $A$ — незначимая в данном случае постоянная. Сравнивая выражения (4) и (5), получаем, что оператор импульса имеет вид:

Аналогично выразятся остальные компоненты оператора импульса:

В векторном виде оператор импульса представляется как:

${\overrightarrow{i}}_x,{\overrightarrow{i}}_y,{\overrightarrow{i}}_z$ — единичные орты.

Гамильтониан

В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:

В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (9) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$.То есть имеем:

Оператор полной энергии и момента импульса

Оператор полной энергии ($\hat{E}$) выбирается так, что его собственные значения были равны энергии частицы $(\hat{E})$:

В квантовой механике проекции момента импульса имеют в соответствии операторы:

Зная выражения для операторов можно найти среднее значение $\left\langle p2\right\rangle $, $\left\langle E\right\rangle $, $\left\langle E_k\right\rangle $, если известна волновая функция частицы.

Оператор произвольной функции динамических переменных

Во всех приведенных выше примерах операторов, из функции $F(x,p)$ динамических переменных $(x,p)$ соответствующий оператор ($\hat{F}$) получался заменой импульса не его операторное выражение (6). В общем случае так делать нельзя.

Так как получающийся при этом оператор ($\hat{F}(x,\frac{\hbar }{i}\frac{\partial}{\partial x})$) не является самосопряженным, и может применяться в квантовой физике. Такая операция возможна только, если получающийся оператор самосопряжен.

Например, его можно записать как:

Условие одновременной измеримости динамических переменных

При измерении динамической переменной получают определенное ее значение только в том случае, если волновая функция, которая описывает систему — собственная функция исследуемой динамической переменной.

Однако, собственные функции операторов разных динамических переменных, в общем случае разные. Значит, разные динамические переменные не могут в измерении дать одновременно определенные числовые значения.

Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости разных динамических переменных является коммутативность операторов данных динамических переменных, то есть:

Пример 1

Задание: Вычислите, чему равна производная по времени от среднего значения ($\left\langle A\right\rangle $)динамической переменной, которая представлена соответствующим оператором ($\hat{A}$)? Запишите правило дифференцирования операторов.

Решение:

Продифференцирует по времени выражение:

\[\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi *}\hat{A}\Psi dV\left(1.1\right).\]

Получаем:

\[\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi *}\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\int\limits_V{{\frac{\partial \Psi}{\partial t}}*\hat{A}}\Psi dV+\int\limits_V{\Psi *\hat{A}}\frac{\partial \Psi}{\partial t}dV\left(1.2\right).\]

Применим выражения:

\[\frac{\partial \Psi*}{\partial t}=\frac{i}{\hbar }{\hat{H}}*\Psi*=\frac{i}{\hbar }\hat{H}\Psi*,\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar }\hat{H}\Psi\left(1.3\right).\ \] \[\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi*}\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\Psi dV+\frac{i}{\hbar }\int\limits_V{(\hat{H}\Psi*)\hat{A}}\Psi dV-\frac{i}{\hbar }\int\limits_V{\Psi*\hat{A}}\hat{H}\Psi dV\left(1.4\right).\]

Так как оператор $\hat{H}$ является эрмитовым, можно записать:

\[\int\limits_V{(\hat{H}\Psi*)\hat{A}}\Psi dV=\int\limits_V{(\hat{A}\Psi)\hat{H}\Psi*}dV=\int\limits_V{\Psi*\hat{H}\hat{A}\Psi}dV\left(1.5\right).\]

Используя равенство (1.5) перепишем выражение (1.4) как:

\[\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle =\int\limits_V{\Psi*}\left[\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\right)\right]\Psi dV\left(1.6\right).\]

Обозначим производную от оператора $\hat{A}$ символом $\frac{d\hat{A}}{dt}$ на основании (1.6) запишем:

\[\frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\right).\]

Ответ: $\frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\right)-\ правило\ дифференцирования\ операторов.$

Пример 2

Задание: Выполняется ли операторное равенство вида:

\[{\left(1+\frac{\partial }{\partial x}\right)}2=1+2\frac{\partial }{\partial x}+\frac{{\partial }2}{{\partial x}2}?\]

Решение:

В условии мы имеем:

\[\hat{A}=\left(1+\frac{\partial }{\partial x}\right),\ то\ есть\ {\hat{A}}2={\left(1+\frac{\partial }{\partial x}\right)}2\left(2.1\right).\]

Оператор действует на какую—то функцию $f$, то есть запишем:

\[{\hat{A}}2f=\hat{A}\left(\hat{A}f\right)\left(2.2\right).\]

Выражение (2.2), учитывая (2.1), запишем:

\[{\hat{A}}2f=\left(1+\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(f+\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f2}{\partial x2}=\left(1+2\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial 2}{{\partial x}2}\right)f.\]

Ответ: Равенство выполняется.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/operatory_fizicheskih_velichin/

6. Операторы физических частиц

Операторы физических величин

собственныезначения операторов

Операторесть символ для обозначения действияили программы действий, которые нужносовершить над некоторой функцией, чтобыполучить другую функцию.

Операторыобозначаются большими латинскимибуквами со «шляпкой» наверху: Â, .Если оператор стоит рядом с функцией ислева от нее, то это означает, что ондействует на функцию. В результатеполучается новая функция тех жепеременных:

ÂΨ= ψ.

ФункцииΨ и ψ должны относиться к одномуклассу функций. Невозможен, например,переход от функции действительногопеременного к функции комплексного.

Примерыоператоров:

1)Â = х– оператор умножения напеременную х;

2)=∂/∂х — оператор дифференцированияпо х;

3)= перейти к комплексно-сопряженномувыражению.

Результатыдействий этих операторов:

1)Â ψ = хψ; 2) ψ= ∂ψ/∂х; 3) Ĉψ= ψ*.

Операторназывается линейным, если для неговыполняется условие:

(c1ψ1+ c2ψ2)= c1ψ1+ c2ψ2,

гдеψ1 и ψ2 –функции, с1, с2– постоянные (комплексные числа).

Например,операторы дифференцирования и умноженияна переменную величину линейны, авозведения в степень – нет.

Символыоператоров рассматриваются каксамостоятельные математические объекты,над которыми можно производить рядматематическими действий: сложения,умножения, возведения в степень,разложение в степенной ряд:

если

Сложениеассоциативно и коммутативно:

ОператорĈ называется произведением операторов:

Операторы,для которых ,называется коммутирующими. Оператор называется коммутатором операторов Âи ,и обозначается .

Длякоммутирующих операторов []= 0.

Равенствоназывается уравнением для собственныхзначений и собственных функций оператораÂ, здесь ψ – функция, а –число.

Еслифункция удовлетворяет стандартнымтребованиям для ψ – функции, то онаназывается собственной функциейоператора Â, принадлежащей егособственному значению а. Совокупностьвсех собственных значений называетсяспектром оператора. Спектр бываетдискретным, непрерывным или смешанным.

Собственноезначение называется вырожденным, еслиему соответствует несколько линейнонезависимых собственных функций. Числотаких функций называется кратностьювырождения.

Оператор называется самосопряженным илиэрмитовым, если выполняется равенство:

.

Например, = х; — самосопряженные операторы.

Суммасамосопряженных операторов естьсамосопряженный оператор. Применениесамосопряженных операторов в квантовоймеханике обуславливается тем, что ихсобственные значения всегда вещественны.Собственные функции эрмитовых операторовпопарно ортогональны.

Дляэрмитовых операторов характерна полнотасистемы собственных функций. Это значит,что в случае дискретного спектра пособственным функциям эрмитовогооператора может быть разложена любаяфункция состояния в обобщенный рядФурье. В случае непрерывного спектраразложение производится в интегралФурье.

6.2 Операторы и допустимые значения физических величин. Оператор Гамильтона. Вычисление средних значений физических величин

Итак,энергия микросистем, как мы видели напримере частицы в потенциальной яме игармоническом осцилляторе, принимаетдискретные значения, квантуется.

Этозначит, что использовать для энергии идругих величин просто вещественныечисла или векторы, как это делалось вклассических электродинамике и механике,нельзя: не все точки числовой оси дляэнергии допустимы.

Связь между физическойвеличиной и ее математической модельюустанавливается постулатом: в квантовоймеханике основным физическим величинамсопоставляются линейные самосопряженныеоператоры. Обычно, оператор обозначаетсятой же буквой, что и величина в классическойфизике.

Исходнымиявляются операторы координат и импульса.Оператор координаты х есть действиеумножения на эту переменную:

Операторпроекции импульса:

Операторыдругих величин можно найти, учитывая,что соотношения между операторамифизических величин такие же, как и междуэтими величинами в классической физике:

операторрадиус – вектора

импульса

моментаимпульса

,

кинетическойэнергии

,

потенциальнойэнергии

,

полноймеханической энергии

Операторполной энергии называетсяоператором Гамильтона или гамильтонианом.Он играет особую роль, ибо его собственныефункции оказывается волновыми функциямистационарных состояний. Кроме того, онвходит в уравнение Шредингера.

Связьмежду оператором и наблюдаемыми приизмерениях значениями физическойвеличины дается постулатом: физическаявеличина может приниматься те и толькоте значения, которые совпадают ссобственными значениями ее оператора.

Наиболееполное описание квантовой системыдостигается заданием соответствующейэтому состоянию волновой функции. В нейзаключена вся информация о системе.Функция состояния позволяет определитьплотность вероятности для положениячастицы в пространстве и ее измененияво времени.

С помощью волновой функцииосуществляется расчет возможныхрезультатов физических экспериментови измерений физических величин,определяются средние значения физическихвеличин в заданном состоянии.

Изменениеволновой функции во времени отражаетизменение состояния квантовой системыпод действием внешних сил.

Дляопределения функции состояния в каждомконкретном случае микросистемызаписывается уравнением Шредингера:

.

Втакой записи уравнение Шредингерапригодно для любых квантовых объектов.В зависимости от вида микрочастицы(отдельная частица, атом, кристалл)изменяется вид оператора Гамильтона,структура же уравнения остаетсянеизменной.

ОператорГамильтона характеризует микросистемус динамической стороны, его вид зависитот масс частиц, их электрических зарядов,взаимодействия между ними. В принципегамильтониан должен быть задан вконкретных задачах квантовой механикиподобно тому, как задаются силы вклассической механике при использованиивторого закона Ньютона.

Волновыефункции – решения уравнения Шредингера– являются комплексными функциямивещественных переменных. Аргументыволновой функции – координаты и время.

Состояниеквантовой системы описывается волновойфункцией, которая ничего не говорит означениях физических величин, которымихарактеризуются система. Такую информациюдает только измерение, результат которогоне всегда однозначен. Получение тогоили иного значения на опыте в рядеслучаев является случайным событием.Тогда говорят, что величина не имеетопределенного значения.

Однако можнорассчитать вероятность данного значенияпри многократных измерениях, располагаяфункцией состояния: вероятность того,что при измерении получится значениеаi физическойвеличины А, равна квадрату модулясоответствующего коэффициента Фурьев разложении волновой функции в ряд илиинтеграл Фурье по собственным функциямоператора этой физической величины.

ПустьΨ – волновая функция частицы, чтобырассчитать искомые вероятности,представим ее в виде ряда:

,

гдеψi –собственные функции оператора Â,имеющего дискретный спектр, тогдавероятность получения аiесть:

.

Вслучае непрерывного спектра волноваяфункция разлагается в интеграл Фурье.Если ψ(а,х) – собственная функция,то:

.

Посколькутеперь мы имеем непрерывное множествозначений величины А, то в строгомсмысле слова нельзя говорить о вероятностяхотдельных значений. Вероятность попадания значений величины в интервалот а до (а + da)равна:

(a)= ω(a)da,

гдеω(а) – плотность вероятности (функцияраспределения вероятностей) равнаквадрату модуля коэффициента с(а):

.

Ясно,что определенного значения у величинынет, если функция состояния не являетсясобственной для оператора этой величины.В этом случае определяют среднее значениедостаточно большого числа измерений:

.

Длятеоретической оценки среднего значенияфизической величины достаточно знатьфункцию состояния частицы (предполагается,что вид оператора этой величины известен).Если аi –собственные значения оператора Âи Ωi –вероятности их обнаружения, то среднеезначение:

.

ПодставивΩi, имеем:

,

гдеΨ – волновая функция, ψi– собственные функции оператора Â(Âψi= аiψi),тогда:

.

Вычислениесредних имеет большое значение длямикромира. Когда в рассматриваемомсостоянии физическая величина не имеетопределенного значения, среднее значениехарактеризует состояние.

Понятно,что если Ψ= ψi,то:

,

гдеψ* = 1.

Встационарном состоянии: .

Еслиоператор физической величины не содержитвремени, то его собственные функции исобственные значения также не зависятот времени. Поэтому в стационарныхсостояниях распределение вероятностейдля значений рассматриваемой величинытакже оказывается стационарным,независящим от времени. Постоянно исреднее значение.

Условиемсуществования определенных значенийдвух физических величин в одном и томже состоянии системы является коммутацияих операторов.

Например,операторы импульса и кинетическойэнергии коммутируют:

,

поэтомукинетическая энергия и импульсмикрочастицы имеют определенныезначения.

Длякоординаты и импульса коммутатор равен

,

и ,тогда — коммутатор отличен от нуля, операторыи не коммутируют. Значит, не существуетсостояний, в которых были бы вместеточно заданы координата х и проекцияимпульса рх.

Источник: https://studfile.net/preview/1967447/

Booksm
Добавить комментарий