Ограниченность классической теории излучения, формула Планка

Гипотеза Планка. Формула Планка

Ограниченность классической теории излучения, формула Планка

Часть 4

ОПТИКА. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Раздел 13 КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

13.4. Гипотеза Планка. Формула Планка

Все попытки вывести правильную формулу для распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, исходя из представлений об атомах как классические осцилляторы, оказались напрасными. Невозможность объяснить излучения абсолютно черного тела, пользуясь арсеналом классической физики, было «катастрофой» для нее.

В конце XIX в. среди многих физиков царило ощущение совершенства и завершенности физической теории. Правда, выдающийся английский физик В. Томсон указывал на отрицательный результат опыта А.

Майкельсона и на невозможность объяснить излучения абсолютно черного тела законами классической физики.

Как известно, опыт Майкельсона стал позже экспериментальной основой специальной теории относительности Эйнштейна, а невозможность объяснить распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела законам классической физики привела к возникновению квантовой механики.

Первым отказался от классических представлений при решении проблемы излучения абсолютно черного тела М. Планк (1858 — 1947). В 1900 г.

он предложил принципиально новый метод расчета функции rλ,T, который основывается на квантовых представлениях.

В основу метода был положен гипотезу о том, что тела излучают энергию не непрерывно, а отдельными порциями, которые получили название квантов. Энергия в кванта пропорциональна частоте излучения (обратно пропорциональна длине волны):

где h = 6,626 ∙ 10-34 Дж ∙с — постоянная Планка. В механике величина, имеющая размерность произведения энергии на время, называют действием. В связи с этим постоянную Планка иногда называют квантом действия.

Новые представления Планка о кванты энергии коренным образом изменили взгляды физиков на элементарные процессы излучения света, а также на все другие процессы в микромире.

Так возникла новая эпоха в учении о строении материи и ее движении.

Руководствуясь представлениями о квантовой характер теплового излучения, М. Планк получил выражение для излучательной способности абсолютно черного тела:

где с — скорость света в вакууме; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; е — основание натуральных логарифмов.

Согласно формуле Планка (13.11) для каждой длины волны λ с повышением температуры уменьшается величина еhс/kλТ, что стоит в знаменателе, rλ,T растет. Следовательно, с повышением температуры увеличивается излучательная способность на всех участках спектра, причем этот рост разное для различных интервалов длин волн. Именно такая зависимость rλ,T от температуры наблюдается на опыте.

Рассмотрим предельные случаи формулы Планка. В интервале очень длинных волн (λ ->∞) энергия отдельного кванта мала по сравнению с энергией теплового движения kT.

В этом случае и величину еhс/kλТ можно разложить в ряд Если учесть только два первых члена разложения, пренебрегая последними, то формула Планка (13.11) превратится в формулу Рэлея — Джинса (13.8). Во втором предельном случае очень коротких волн и в знаменателе (13.

11) можно пренебречь единицей по сравнению с первым членом. Тогда формула Планка будет сводиться к формуле Вина (13.7), которая хорошо опишет участок спектра в интервале малых длин волн.

В отличие от формулы Вина и Рэлея — Джинса формула Планка хорошо согласуется с экспериментом во всем интервале длин волн и всех температур. При интегрировании по всем длинам волн из формулы Планка можно получить закон Стефана — Больцмана, а не бесконечность, как это было в случае формулы Рэлея — Джинса.

Наконец, по правилам отыскания максимума функции из формулы Планка обычными методами дифференциального счисления можно вывести закон смещения Вина. Благодаря формуле Планка можно определить также все другие закономерности излучения абсолютно черного тела.

Следует отметить, что, исходя из формулы Планка для лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, можно достать не только внешнюю форму соответствующего закона, но и определить постоянную Стефана — Больцмана σ и постоянная закона смещения Вина b через универсальные стали h, k, с т.д. Исчисленные таким образом стали σ и b совпадают с их эмпирическим значением. Все это приводит к выводу, что формула Планка наиболее полно характеризует тепловое излучения.

Формула Планка имеет большое значение не только в теории теплового излучения, но и в установлении современных взглядов на строение материи и ее движении.

Источник: http://na-uroke.in.ua/117-47.html

Формула Планка. Гипотеза о квантах

Ограниченность классической теории излучения, формула Планка

Планк Макс (1858–1947) – немецкий физик-теоретик, основоположник квантовой теории. Работы относятся к термодинамике, теории теплового излучения, теории относительности, квантовой теории, истории и методологии физики, философии науки. Вывел закон распределения энергии в спектре абсолютно черного тела. Ввел фундаментальную постоянную с размерностью действия. Формула Планка для теплового излучения сразу же получила экспериментальное подтверждение.

      В своих расчетах Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами.

Здесь Планк следовал Рэлею. Но Планку пришла мысль связать с энергией осциллятора не его температуру, а его энтропию. Оказалось, что полученное выражение хорошо описывает экспериментальные данные (октябрь 1900 г.).

Однако обосновать свою формулу Планк смог только в декабре 1900 года, после того, как более глубоко понял вероятностный смысл энтропии, на которую указал Больцман ( ).

Термодинамическая вероятность – число возможных микроскопических комбинаций, совместимое с данным состоянием в целом.

      В данном случае это число возможных способов распределения энергии между осцилляторами. Однако, такой процесс подсчета возможен, если энергия будет принимать не любые непрерывные значения, а лишь дискретные значения, кратные некоторой единичной энергии. Эта энергия колебательного движения должна быть пропорциональна частоте.

      Итак, энергия осциллятора должна быть целым кратным некоторой единицы энергии, пропорциональной его частоте.

       где n = 1, 2, 3…

      Минимальная порция энергии

,

       где– постоянная Планка; и .

       То, что – это гениальная догадка Макса Планка.

      Принципиальное отличие вывода Планка от выводов Рэлея и других в том, что «не может быть и речи о равномерном распределении энергии между осцилляторами».

      Окончательный вид формулы Планка:

(1.6.1)
или(1.6.2)

      Из формулы Планка можно получить и формулу Рэлея–Джинса, и формулу Вина, и закон Стефана–Больцмана.

·     В области малых частот, т.е. при ,

, поэтому ,

отсюда получается формула Рэлея–Джинса:

·     В области больших частот, при ,единицей в знаменателе можно пренебречь, и получается формула Вина:

.

·     Из (1.6.1) можно получить закон Стефана–Больцмана:

.(1.6.3)

      Введем безразмерную переменную , тогда

.

      Подставив в (1.6.3) эти величины и проинтегрировав, получим:

.

      То есть получили закон Стефана–Больцмана: .

      Таким образом, формула Планка полностью объясняла законы излучения абсолютно черного тела. Следовательно, гипотеза о квантах энергии была подтверждена экспериментально, хотя сам Планк не слишком благосклонно относился к гипотезе о квантовании энергии. Тогда было совершенно не ясно, почему волны должны излучаться порциями.

      Для универсальной функции Кирхгофа Планк вывел формулу:

.(1.6.4)

       где с – скорость света.

      излучения черного тела во всем интервале частот и температур (рис. 1.3). Теоретически вывод этой формулы М. Планк представил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

      Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и c, можно вычислить постоянную Стефана–Больцмана σ и Вина b. С другой стороны, зная экспериментальные значения σиb, можно вычислить h и k (именно так было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

      Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Источник: http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D1%8F%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86/01-6.htm

Ограниченность классической теории излучения, формула Планка

Ограниченность классической теории излучения, формула Планка

Все попытки описать весь спектр излучения черного тела основываясь на теории классической физики, потерпели неудачу. Так, формула Рэлея — Джинса:

определяет распределение теплового излучения по спектру и хорошо согласуется с эмпирическими данными при малых частотах.

Если формулу Рэлея — Джинса в виде (1) проинтегрировать по частоте для $0\le \omega \le \infty $, то равновесное значение плотности энергии получится бесконечно большим:

Значит, что теория Рэлея — Джинса говорит о невозможности теплового равновесия между веществом и излучением. Что вступает в противоречие с опытными данными. Такой результат был назван ультрафиолетовой катастрофой (П.С. Эренфест). Равновесие между излучающим телом и излучением устанавливается при конечных значениях $w\left(T\right).

$ Причина ультрафиолетовой катастрофы заключена в том, что у излучения в полости имеется бесконечное количество степеней свободы, а вещество обладает конечным числом степеней свободы. Значит, если равномерное распределение энергии по степеням свободы выполняется, то вся энергия сосредотачивается в излучении, при тепловом равновесии.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

С классических позиций вывод формулы Рэлеем и Джинсом является безупречным. Значит, расхождение данной формулы с опытом указывает на существование закономерностей, несовместимых с классической физикой.

При $\hbar \omega \gg kT$ хорошо работает формула Вина:

Выражение (2) подтверждают эксперименты, которые проводят в области больших частот.

Теория излучения для абсолютно черного тела имела большое значение в физике, так как она привела к введению понятия кванта энергии.

Формула Планка

Формула, которую получил Планк полуэмпирическим путем, стала началом квантовой физики. Новизна идеи Планка заключалась в том, что излучение и поглощение света идет квантами энергии (порциями).

Планк использовал понятие гармонического осциллятора, когда выводил свою формулу. При этом под данным понятием он понимал не только частицу, совершающую гармонические колебания, но и стоячую волну в полости модели абсолютно черного тела.

Планка положил, что энергия кванта равна:

где $h=6,625\cdot {10}{-34}Дж\cdot с$, $\hbar =1,05 \cdot {10}{-34}Дж \cdot с$— постоянная Планка (квант действия).

В $1900$ г. М. Планк создал интерполяционную формулу, которая согласуется с экспериментом и полностью описывает особенности излучения абсолютно черного тела:

где $\hbar =1,05\cdot {10}{-34}Дж\cdot c$, $w_{\omega }$ —плотность энергии излучения.

Сделав переход к длине волны, можно получить для спектральной мощности:

Формула Планка точно выполняется во всем интервале частот (длин волн). Она удовлетворяет критерию Вина. В области малых частот (больших длин волн) из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса. Используя ее можно получить все законы излучения абсолютно черного тела.

Пример 1

Взяв за основу формулу Планка, получите закон Стефана — Больцмана абсолютно черного тела.

Решение:

Энергетическую светимость абсолютно черного тела определим, как:

\[R_e=\int\limits{\infty }_0{f\left(\omega ,T\right)d\omega \left(1.1\right),}\]

где $f\left(\omega ,T\right)=\frac{c}{4}w_{\omega }\left(\omega ,T\right).$

Используем формулу Планка для плотности энергии излучения:

\[w_{\omega }\left(T\right)=\frac{\hbar {\omega }3}{{\pi }2c3}{\left({exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1\right)}{-1}\ \left(1.2\right).\]

Подставим (1.2) в (1.1), получим интеграл:

\[R_e=\frac{c}{4}\int\limits{\infty }_0{\frac{\hbar {\omega }3}{{\pi }2c3}{\left({exp \left(\frac{\hbar \omega }{kT}\right)\ }-1\right)}{-1}d\omega \left(1.3\right),}\]

Проведем замену переменных, подставим $x=\frac{\hbar \omega }{kT}\to \omega =\frac{xkT}{\hbar },\ \to d\omega =\frac{kTdx}{\hbar }$, тогда интеграл в (1.3) преобразуется к виду:

\[R_e=\frac{c}{4}\int\limits{\infty }_0{\frac{\hbar {(\frac{xkT}{\hbar })}3}{{\pi }2c3}{\left({exp \left(x\right)\ }-1\right)}{-1}\frac{kTdx}{\hbar }=\frac{c}{4}\int\limits{\infty }_0{\frac{{(x)}3}{{{\hbar }3\pi }2c3}{\left({exp \left(x\right)\ }-1\right)}{-1}{\left(kT\right)}4dx=}}=\frac{2\pi {\left(kT\right)}4}{c2h3}\int\limits{\infty }_0{\frac{x3exp(-x)dx}{1-{exp \left(-x\right)\ }}}\left(1.4\right).\]

Проведем разложение знаменателя дроби (1.4) в ряд:

\[1-e{-x}=1+e{-x}+e{-2x}+\dots .\]

Получим интеграл:

\[\int\limits{\infty }_0{\frac{x3e{-x}dx}{1-e{-x}}}=\int\limits{\infty }_0{x3e{-x}(1+e{-x}+e{-2x}+\dots .)dx}=6\left(1+\frac{1}{24}+\frac{1}{34}+\dots \right)=\frac{{\pi }4}{15}\]

Следовательно:

\[\int\limits{\infty }_0{\frac{x3dx}{{exp \left(x\right)\ }-1}}=\frac{{\pi }4}{15}\approx 6,5\left(1.5\right).\]

Из (1.4) получаем:

\[R_e=\frac{2\pi {\left(kT\right)}4}{c2h3}\frac{{\pi }4}{15}=\sigma T4\ \left(1.6\right),\]

где $\sigma =\frac{2\pi k4}{c2h3}\frac{{\pi }4}{15}$

Вычислим величину $\sigma $, используя известные постоянные:

$\pi =3,14;$ $k={1,38 \cdot 10}{-23}\frac{Дж}{К}$;$c=3 \cdot {10}8\frac{м}{с};$ $h=6,67\cdot {10}{-34}Дж\cdot с$. Имеем:

\[\sigma =\frac{2\cdot {\left(3,14\right)}5\cdot {\left({1,38\cdot 10}{-23}\right)}4}{15\cdot {\left(3\cdot {10}8\right)}2\cdot {\left(6,67\cdot {10}{-34}\right)}3}=5,7\cdot {10}{-8}(\ \frac{Вт}{м2К4})\]

Мы получили закон Стефана Больцмана:

\[R_e=\sigma T4.\]

Пример 2

Взяв за основу формулу Планка, получите постоянную Вина в одноименном законе смещения.

Решение:

За основу решения задачи примем формулу Планка в виде:

\[w_{\lambda }\left(T\right)=\frac{16{\pi }2\hbar c}{{\lambda }5}{\left({exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-1\right)}{-1}\left(2.1\right)\]

от спектральной мощности ($w_{\lambda }\left(T\right)$) перейдем к $\varphi (\lambda ,T)$:

\[\varphi \left(\lambda ,T\right)=\frac{c}{4}w\left(\lambda ,T\right)\left(2.2\right).\] \[\varphi \left(\lambda ,T\right)=\frac{4{\pi}2\hbar c2}{\lambda 5}{\left({exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-1\right)}{-1}\left(2.3\right).\]

Для нахождения постоянной Вина найдем максимум функции $\varphi \left(\lambda ,T\right).\ $Возьмем производную $\frac{d\varphi }{d\lambda }$, получим:

\[\frac{d\varphi }{d\lambda }=\frac{4{\pi}2\hbar c2\left\{\frac{2\pi \hbar c}{kT\lambda }{exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-5({exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-1)\right\}}{\lambda 6{\left({exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-1\right)}2}=0\left(2.4\right).\]

Значения $\lambda $=0 и $\lambda =\infty $ соответствуют минимумам функции $\varphi \left(\lambda ,T\right).$ Приравняем к нулю выражение:

\[\frac{2\pi \hbar c}{kT\lambda }{exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-5\left({exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{\lambda kT}\right)\ }-1\right)=0\left(2.5\right).\]

Значение длины волны, при котором (2.5) выполняется и даст максимум функции $\varphi \left(\lambda ,T\right).$ Произведем замену переменных, положим в выражении (2.5):

\[x=\frac{2\pi с\hbar }{{\lambda }_{max}kT}\left(2.6\right).\]

В таком случае выражение (2.5) получит вид:

\[xex-5\left(ex-1\right)=0\left(2.7\right).\]

Решение данного трансцендентного уравнения дает $x=4,965$. Получаем:

\[T{\lambda }_{max}=\frac{2\pi c\hbar }{4,965k}=b.\]

Подставив известные постоянные, получим: $b=2,9\cdot {10}3мк\cdot град.$

Ответ: $b=2,9\cdot {10}3мк\cdot град.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/ogranichennost_klassicheskoy_teorii_izlucheniya_formula_planka/

Booksm
Добавить комментарий