Одноосные и двухосные кристаллы

Оптическая индикатриса одноосных кристаллов

Одноосные и двухосные кристаллы

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

В кристаллах средних сингоний при двойном лучепреломлении возникают две плоско поляризованные волны.

Одна волна – обыкновенная – распространяется во всех направлениях с одинаковой скоростью, и ей соответствует постоянный показатель преломления nо.

Вторая волна – необыкновенная – меняет свою скорость в зависимости от направления и ей соответствует показатель преломления nе, величина которого для разных направлений различна.

В зависимости от соотношений величин показателей преломления nе и nо различают одноосные кристаллы оптически положительные (nе > nо) и оптически отрицательные (nе < nо).

Оптическая индикатриса одноосного кристалла имеет вид двуосного эллипсоида вращения, осью вращения которого является оптическая ось.

Все сечения индикатрисы, проходящие через ее центр параллельно оптической оси, называются главными сечениями. Они обладают максимальной величиной двупреломления. Таких сечений, проходящих параллельно оптической оси, может быть бесчисленное множество.

Рис. 3. Оптическая индикатриса одноосного минерала: а – оптически положительного; б – оптически отрицательного

Все остальные сечения, проходящие через центр индикатрисы, но наклонно к оптической оси, называются промежуточными. Они представляют собой эллипсы, в которых показатель преломления nе меняет величину от своего максимума (nе) до своего минимума (nо) или наоборот (в зависимости от оптического знака кристалла). При этом второй показатель преломления nо остается постоянным.

В сечении индикатрисы, перпендикулярном к оптической оси, совершаются колебания обыкновенного луча. Его показатель преломления постоянный и определяется величиной полуоси этого сечения.

Сечение изотропно, так как луч, падающий нормально (перпендикулярно) к нему, идет по направлению оптической оси, где он не испытывает двупреломления, т.е. величина двупреломления здесь равна нулю.

По форме это сечение круговое.

Индикатриса оптически одноосных положительных кристаллов, условием которых является nе > nо, имеет форму эллипсоида вращения, вытянутого по оптической оси.

Принято обозначать наибольший показатель преломления через ng, а наименьший – через np. Следовательно, в данном случае nе= ng , nо = np.

Одноосная оптически положительная индикатриса имеет следующие элементы:

1) две оси индикатрисы Ne=Ng и No=Np, которым соответствуют два главных показателя преломления nе= ng , nо = np

2) одна оптическая ось, совпадающая с осью индикатрисы Ne=Ng

3) одно круговое сечение с радиусом No=Np, перпендикулярное оптической оси. Оно оптически изотропно, т.к. двупреломление здесь nо- nо, т.е. равно нулю

4) бесчисленное множество главных сечений NgNр, проходящих параллельно оптической оси через центр индикатрисы. Они имеют форму эллипса с полуосями Ne=Ng и No=Np и характеризуются максимальной величиной двупреломления ng-np (имеют максимальную интерференционную окраску)

5) бесчисленное множество промежуточных сечений Ng/Nр, проведенных через центр индикатрисы под наклоном к оптической оси. Они имеют форму эллипса с полуосями N/g=N/e и Np=No. Показатель преломления nе = ng имеет здесь переменную величину и обозначается как n/е = n/g , а показатель преломления nо= nр постоянный. Величина двупреломления в этом сечении ng/-np.

Рис. 4. Сечения индикатрисы одноосного кристалла: а – положительного; б – отрицательного; 1 – общий вид индикатрисы и ориентировка сечений; 2 – главное сечение; 3 — промежуточное сечение; 4 – изотропное круговое сечение

Рис. 5.Индикатриса кристаллов средних сингоний: а – положительного;

б – отрицательного

Индикатриса оптически одноосных отрицательных кристаллов, условием которых является nо> nе, имеет форму эллипсоида вращения, сплюснутого по оптической оси. Для данной индикатрисы nо= ng , nе = np.

Индикатриса одноосных оптически отрицательных кристаллов имеет следующие элементы:

1) две оси индикатрисы Ne=Np и No=Ng, которым соответствуют два главных показателя преломления nе= np , nо = ng

2) одну оптическую ось, совпадающую с осью индикатрисы Ne=Nр

3) одно круговое сечение с радиусом No=Ng , перпендикулярное оптической оси. Это сечение оптически изотропно (под микроскопом в скрещенных николях черное)

4) бесчисленное множество главных сечений NgNр, проходящих параллельно оптической оси через центр индикатрисы. Эти сечения имеют форму эллипса с полуосями Ng и Nр и максимальную величину двупреломления, равную ng — np/

5) бесчисленное множество промежуточных сечений NgNр/, проходящих через центр индикатрисы и отклоняющихся от оптической оси. Форма промежуточных сечений – эллипс с полуосями No=Ng и Ne/=Np/, т.е. показатель преломления ng — np будет иметь переменную величину, которая обозначается как n/p. Величина двупреломления в этих сечения равна ng — n/p.

Таким образом, в одноосных кристаллах показатель преломления обыкновенного луча остается постоянным независимо от положения (сечения) индикатрисы, а показатель преломления необыкновенного луча изменяется от предельного значения (nе) до величины, равной nо.

Величина двупреломления (ng-nр) изменяется от максимального значения на разрезах, параллельных оптической оси, до нуля на разрезах, перпендикулярных оптической оси. На промежуточных разрезах, т.е. отклоненных от оптической оси, величина двупреломления всегда меньше, чем на разрезах, параллельных оптической оси.

Для кристаллов, оптически положительных, величина двупреломления на промежуточном разрезе равна n/g — np, а для оптически отрицательных — ng — n/p.

Эти значения сведены в таблице 1.

Таблица 1

Величина двойного лучепреломления на разрезах одноосных минералов

Оптический знак индии- катрисы Разрез, перпен- дикулярный опти- ческой оси (круго- вое сечение) Промежуточный разрез Разрез, параллельный оптической оси (главное сечение)
+< n´g-np=n´е-nо < ng-np=nе-nо
< ng-n´p= nо-n´е < ng-np=nо-nе

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Дата добавления: 2016-11-12; просмотров: 1723 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Источник: https://lektsii.org/9-43182.html

Двойное лучепреломление в двуосных кристаллах

Одноосные и двухосные кристаллы

Как известно, кристаллы обладают целым рядом оптических свойств, которые не могут быть корректно визуализированы с помощью существующих алгоритмов и программных продуктов, предназначенных для визуализации трехмерных сцен.

Примерами таких свойств являются двойное лучепреломление, оптическая дисперсия, дихроизм, а также свойства кристаллов, связанные с поляризацией света [1].

Корректная визуализация таких эффектов очень важна для фотореалистичности синтезированных изображений сцен, содержащих кристаллы.

Задача визуализации эффекта двойного лучепреломления является частью проблемы фотореалистической визуализации трехмерных сцен, содержащих кристаллы. В частном случае одноосных кристаллов данная задача была решена в работах [2, 3].

Данный доклад посвящен общему случаю двулучепреломляющих кристаллов – широкому классу двуосных кристаллов. В докладе рассмотрен алгоритм построения двойной поверхности волны в произвольном двуосном кристалле, а также некоторые свойства этой поверхности, важные для задачи фотореалистической визуализации кристаллов.

Предложен алгоритм определения направлений преломленных лучей, основанный на использовании принципа Гюйгенса.

Введение

Двойное лучепреломление – это явление, при котором луч света, входящий в кристалл, разделяется на два луча с различными направлениями. На рис 1. приведено изображение классического примера двойного лучепреломления в кристалле исландского шпата (кальцита).

Рис. 1: Двойное лучепреломление в кристалле исландского шпата (кальцита). Изображение цифры “1” снято сквозь кристалл в Минералогическом музее ОИГГиМ СО РАН

Двойное лучепреломление в кристаллах обусловлено анизотропией их оптических свойств. Скорости света в кристаллах различны в разных направлениях, и, кроме того, двулучепреломляющие кристаллы являются прозрачными лишь для волн с определенной поляризации.

Эти причины обуславливают то, что поверхность световой волны в двулучепреломляющих кристаллах является двойной, то есть в каждом направлении распространяется два луча с разными скоростями.

Поверхностью световой волны в данной точке кристалла называется поверхность, образованная положениями фотонов, выпущенными из этой точке во всех возможных направлениях и со всеми возможными направлениями колебаний,  через определенное время.

Поверхность световой волны в кристалле может быть построена с использованием оптической индикатрисы [4].

Мы не будем вдаваться в физический смысл данного понятия, упомянув лишь, оптической индикатриса – это эллипсоид, длины и направления полуосей которого позволяют описать взаимодействие кристалла со светом, и, кроме того, параметры оптической индикатрисы являются справочными данными и для кристаллов многих минералов могут быть получены из минералогических справочников, см., например, [5].

Анализ параметров оптической индикатрисы позволяет построить следующую классификацию кристаллов:

  • Изотропные кристаллы. В этих кристаллах оптическая индикатриса является сферой. Такие кристаллы преломляют свет в соответствии с обычным законом Снеллиуса, точно так же, как и многие другие полупрозрачные среды, такие, как стекло.
  • Одноосные кристаллы. В таких кристаллах оптическая индикатриса является эллипсоидом вращения, а двойная поверхность волны состоит либо из сферы, вписанной в эллипсоид (оптически положительные кристаллы), либо из эллипсоида, вписанного в сферу (оптически отрицательные кристаллы). Алгоритм построения направлений преломленных лучей в таких кристаллах подробно рассмотрен в работе [2]. В случае одноосных кристаллов один из лучей, получающихся в результате двойного преломления, подчиняется закону Снеллиуса и называется обычным. Второй же луч, необычный, преломляется по специфическим для двулучепреломляющих кристаллов законам.
  • Двуосные кристаллы. В кристаллах этого класса все полуоси оптической индикатрисы различны. Построение алгоритма расчета направлений преломленных лучей в таких кристаллах является целью данной работы.

Построение двойной поверхности волны в двуосных кристаллах

Двуосные кристаллы характеризуются более сложной поверхностью волны, чем одноосные кристаллы.

В двуосных кристаллах оптическая индикатриса является эллипсоидом общего вида, то есть все три полуоси различны, и поверхность волны в нем не состоит из поверхностей второго порядка, как в случае одноосных кристаллов.

В данной работе мы сначала построим численный алгоритм, дающий нам параметрическое уравнение поверхности волны в произвольном двуосном кристалле, а затем получим алгоритм построения касательной плоскости к этой поверхности.

Пусть  — ортонормированная тройка векторов, задающая систему координат, в которой оптическая индикатриса имеет каноническое уравнение

                                                               ,

где ,  и  – длины полуосей эллипсоида.

В данном параграфе мы построим параметрическое уравнение поверхности волны в двуосном кристалле. Ясно, что поскольку поверхность волны двойная, то и уравнений у нас будет два:

Здесь  — сферические координаты направления, в котором мы будем откладывать точки волновой поверхности. Обозначим это направление через

Для того чтобы построить поверхность волны в данной точке , мы в каждом направлении  откладываем два отрезка.

Длины  и  этих отрезков равны полуосям эллипса, который находится в сечении оптической индикатрисы, центр которой помещен в точку , перпендикулярном .

Поверхность волны в точке  является геометрическим местом концов таких отрезков, отложенных во всех возможных направлениях . Далее без ограничения общности будем считать, что точка  совпадает с началом координат, а также, что .

Для того чтобы найти  и , нам понадобится построить ортонормированный базис в плоскости, перпендикулярной направлению . Для этого воспользуемся идеей процесса ортогонализации Грама-Шмидта [6]. Для упрощения обозначений переупорядочим тройку  так, чтобы  удовлетворял условию . Это всегда возможно, так как  составляют базис пространства, а . Пусть

                                                                     ,

где через  обозначено векторное произведение. Очевидно, что пара векторов  составляет базис плоскости, перпендикулярной вектору . Каждая точка  плоскости, перпендикулярной направлению  и проходящей через начало координат, представляется в виде их линейной комбинации:

Запишем уравнение эллипсоида оптической индикатрисы в матричном виде:

Обозначим матрицу коэффициентов через  и рассмотрим сужение уравнения эллипсоида на плоскость, перпендикулярную :

Приведем это выражение к следующему виду:

                                          ,

Или

Это и есть уравнение эллипса в плоскости, перпендикулярной направлению . Очевидно, что длины полуосей этого эллипса   и  связаны простыми соотношениями с собственными числами матрицы

                                                          .

Пусть  и  — собственные числа матрицы . Тогда

Итак, параметрическое уравнение поверхности волны в двуосном кристалле выглядит следующим образом:

                                                                   ,

где  и  вычисляются с помощью процедуры, описанной выше.

На рис. 2 приведен пример двойной поверхности волны в двуосном кристалле. В частности, видны точки, соответствующие круговым сечениями оптической индикатрисы, в которых поверхности, составляющие поверхность волны, касаются.

Рис. 2: Пример двойной поверхности световой волны в двуосном кристалле.

Принцип Гюйгенса для двуосных кристаллов

В данной части работы мы применим классический принцип Гюйгенса для построения направлений преломленных лучей. Рассмотрим луч ненулевой ширины, падающий на поверхность кристалла (рис. 3). Пусть за время  луч попадет из точки  в точку .

Рис. 3: Принцип Гюйгенса для двуосных кристаллов

Пусть  — поверхность волны в точке , соответствующая времени . Проведем касательные из точки  к двойной поверхности волны. Обозначим точки касания через  и . Очевидно, что отрезки  и  будут фронтами волн в момент времени . А тогда направлениями преломленных лучей будут векторы  и .

Аналогичное построение может быть сделано и в трехмерном случае (рис. 4). В этом случае нам нужно будет найти касательную плоскость  к поверхности волны, проходящую через прямую . Для упрощения двойная поверхность волны здесь заменена эллипсоидом .

Рис. 4: Построение направления преломленного луча в трехмерном случае.

Построение касательной плоскости к поверхности световой волны двуосного кристалла

Для построения направлений преломленных лучей нам необходим алгоритм построения касательных плоскостей к двойной поверхности волны, проходящих через заданную прямую. Предлагаемый алгоритм будет использовать полигональное приближение двойной поверхности волны (рис. 5).

Рис. 5: Полигональное приближение поверхности световой волны

Рассмотрим сначала упрощенный двумерный случай. Пусть нам нужно найти касательные прямые, проходящие через заданную точку P, к гладкой кривой, которая задана лишь конечным количеством своих точек   (рис. 6).

 

 

Рис. 6: Построение касательных прямых к кривой, заданной конечным множеством точек.

Очевидно, что среди прямых, проходящих через точку  и одну из точек семейства  ближайшими к касательным будут те прямые  и , которые образуют максимальный и минимальный угол с некоторой заранее выбранной прямой . Нетрудно доказать, что если мы с помощью ломаной  можем приблизить нашу кривую  с любой наперед заданной точностью, то и прямые  и  будут приближать касательные к .

Аналогичный алгоритм можно построить и в трехмерном случае. Обозначим поверхность световой волны через . Рассмотрим конечное множество точек . Нам необходимо найти приближение касательных плоскостей  и , проходящих через заданную прямую .

Для этого мы среди конечного множества плоскостей, проходящих через прямую  и одну из точек  выберем те из них, которые имеют максимальный и минимальный угол отклонения от плоскости, проходящей через заданную точку  (центр поверхности волны) и прямую .

Вычислим этот угол для произвольной точки из семеяства . Пусть  и  — опорная точка и направляющий вектор прямой .

Рис. 7: Вычисление функции  в трехмерном случае

Найдем вектор , лежащий в одной плоскости с точкой :

Пусть . Тогда тройка векторов  составляет ортонормированный базис трехмерного пространства (рис. 7). Определим функцию  угла отклонения точки  от плоскости, проходящей через прямую  и точку , следующим образом:

Сформулируем алгоритм построения плоскостей, касательных к поверхности волны , проходящих через заданную прямую :

  • С помощью параметрического задания двойной поверхности волны строим набор точек . Например, для этого можно использовать равномерные сетки по параметрам  и . Этот набор точек не зависит от прямой, и потому может использоваться многократно.
  • По заданной прямой вычисляем значения , и находим среди них максимум  и минимум .
  • Плоскости, проходящие через прямую  и через точки  и и будут искомыми.

Экспериментальные результаты

В заключение рассмотрим серию изображений двуосных кристаллов, полученную с помощью алгоритмов, построенных в данной работе. На рис. 8 приводится изображение сцены, содержащей кубический кристалл, помещенный над плоскостью с текстурой.

Рис. 8: Кубический двуосный кристалл над текстурированной поверхностью

Данное изображение синтезировано с помощью модифицированного алгоритма лучевой трассировки [1].

Мы видим, во-первых, что изображение текстуры, наблюдаемое сквозь кристалл, раздвоено, а во-вторых, что оба изображение сдвинуты. Данные явления являются характерными именно для двуосных кристаллов, поскольку направление лучей света от текстуры к камере нормально к поверхности кристалла. Если бы кристалл был одноосным, то изображение, отвечающее обычному лучу не было бы сдвинуто.

Заключение

В данной работе получены следующие результаты:

  • Построено параметрическое представление двойной поверхности волны в двуосном кристалле на основе параметров оптической индикатрисы
  • Предложен алгоритм получения направлений преломленных лучей при двойном лучепреломлении в двуосных кристаллах
  • Алгоритм получения направлений преломленных лучей использован в методе лучевой трассировки для получения изображений двуосных кристаллов.

Список литературы

1. Дебелов В.А., Саттаров М.А. Проблемы реалистической визуализации кристаллов // Тр. 13-й международной конференции по компьютерной графике и зрению Графикон-2003, Москва, 5-10 сент. 2003. – М.: МГУ, 2003. – С. 221–227.

2. Саттаров М.А. Моделирование двойного лучепреломления в одноосных кристаллах // Тр. Конференции Молодых Ученых ИВМиМГ СО РАН. ­– Новосибирск. – 2004 (в печати)

3. Guy Stephane, Soler Cyril. Graphics Gems Revisited: Fast and Physically Based Rendering of Gemstones // ACM Transactions on Graphics (Proceedings of the SIGGRAPH conference). – 2004.

4. Шубников А.В. Оптическая кристаллография. Изд-во АН СССР, Москва 1950 Ленинград.

5. http://ggd.nsu.ru/Crystal – Интерактивная система обучения КРИСТАЛЛ.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.  М., 1975.

Источник: http://www.ict.nsc.ru/ws/YM2004/8596/Sattarov.htm

Одноосные и двухосные кристаллы

Одноосные и двухосные кристаллы

В кристалле имеются два направления, представляющие собой две оптические оси, ориентированные относительно электрических осей кристалла под определенным для данного вещества углом а (рис.9).

рис.9

Существуют, однако, такие кристаллы, у которых угол a = 0, т. е. обе оптические оси сливаются и при этом совпадают с одной из электрических осей. Кристаллы, обладающие одной оптической осью, называются одноосными.

В одноосном кристалле один из лучей испытывает такое же преломление, как и луч света на границе раздела двух изотропных сред. Для него показатель преломления не зависит от направления распространения света в кристалле.

Этот луч называется обыкновенным лучом (L0).

рис. 6.10

Ему соответствует поверхность нормалей в виде сферы. Для другого луча преломление происходит так, что его показатель преломления не зависит от направления распространения света в кристалле.

Он называется необыкновенным лучом (Le). Для поверхности лучей получается соответственно сфера и эллипсоид. В двухосных кристаллах оба луча необыкновенные.

Плоскость, проходящая через обе оптические оси двухосного кри­сталла, называют главным сечением кристалла.

Главным сечением одноосного кристалла называют плоскость, проходящую через направление луча и направление оптической оси кристалла. Таким образом, в двухосных кристаллах плоскости главного сечения имеют определенную ориентацию, задаваемую обеими оптическими осями.

В одноосном кристалле имеется бесчисленное множество ориентации главного сечения в зависимости от направления падающего на кристалл светового луча.

Если n0 < ne, n0 > ne, то кристалл называется положительным, и, наоборот, если n0 > ne, n0 < ne то кристалл называется отрицательным.

Явления в одноосных кристаллах позволяют наглядным образом уяснить вопрос с поляризацией в каждом из двух распространяющихся в них лучей.

В двухосных кристаллах оба луча света также поляризованы и колебания электрического вектора D в каждой из волн совершаются во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Вообще говоря, все поляризационные явления в двухосных кристаллах значительно сложнее, чем в одноосных. Рассмотрим теперь различные случаи преломления света в одноосных кристаллах.

Анализ будем проводить на основе принципа Гюйгенса об элементарных волнах.

Схема преломления световых лучей на границе воздух – кристалл, когда оптическая ось кристалла 00¢ лежит в плоскости падения, образуя угол с преломляющей поверхностью, приведена на

рисунке 11.

рис. 11

Параллельный пучок лучей L1, L2,L 3 (фронт волны DF) падает на поверхность раздела SS под углом i к нормали АN. Из всех точек поверхности кристалла SS распространяются элементарные гюйгенсовы волны (на рисунке показаны только две из них): S1 и S1¢ — сферы для обыкновенной волны, и S2 и S2¢ — эллипсоиды для необыкновенной волны.

Огибающие плоскости Е0 и Еe образуют соответственно обыкновенную и необыкновенную волны в кристалле. Линии, проведенные из центров элементарных волн в точки касания, дают обыкновенный a0 и необыкновенный ae лучи.

Обыкновенные лучи поляризованы так, что колебания совершаются перпендикулярно плоскости падения (что показано черными кружочками), у необыкновенных лучей колебания происходят в плоскости падения (отмечено стрелочками, перпенди­кулярными лучу).

На рисунке 6.12 изображен случай нормального падения параллельного пучка лучей на такую же поверхность кристалла, как и в случае рисунка 6.11. Но если здесь обыкновенные лучи не испытывают преломления, то необыкновенные лучи преломляются и при нормальном падении.

рис. 6.12

Схема нормального падения лучей на поверхность кристалла SS, когда оптическая ось параллельна этой поверхности, изображена на рисунке 6.13. Оба луча не испытывают здесь преломления, но идут с разной скоростью.

Скорость распространения обыкновенной волны больше скорости распространения необыкновенной волны. Косое падение на поверхность кристалла, когда оптическая ось параллельна этой поверхности, рассмотрено на рисунке 6.15. Наконец, рисунок 6.

12 относится к случаю косого падения света на кристалл с оптической осью, перпендикулярной плоскости падения (плоскости чертежа). Здесь колебания в необыкновенном луче совершаются перпендикулярно плоскости падения.

Следует отметить, что для этого частного случая закон преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей имеет обычный характер с тем лишь различием, что показатели преломления обоих лучей неодинаковы.

рис. 13

рис. 14

Разобранные выше случаи соответствуют преломлению света в положительном кристалле. В отрицательном кристалле преломление происходит аналогично с той лишь разницей, что там,

рис. 6.15

где у положительного кристалла сильнее преломлялся необыкновенный луч, у отрицательного будет сильнее преломляться обыкновенный луч, и наоборот.

Источник: https://studopedia.org/8-23889.html

Двойное лучепреломление. плоскость и главная оптическая ось при двойном лучепреломлении

Одноосные и двухосные кристаллы

При прохождении света через некоторые оптически прозрачные кристаллы происходит разделение светового луча.

это явление получило название двойного лучепреломления и было впервые обнаружено в 1670г. эразмом Бартолини для кристалла исландского шпата (одна из разновидностей СаСО3). Было установлено, что при любых углах падения вышедшие из кристалла два луча параллельны друг другу и обладают одинаковыми интенсивностями.

Один из них удовлетворяет закону преломления света, называется обыкновенным лучом и обозначается на чертежах буквой «о». Второй не подчиняется закону преломления света, называется необыкновенным, обозначается буквой «e«. Он не лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью в точке падения (рис. 5).

Исследования показывают, что вышедшие из кристалла обыкновенный и необыкновенный лучи полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Двойным лучепреломлением называется способность некоторых веществ расщеплять падающий световой луч на два луча – обыкновенный (о) и необыкновенный (e), которые распространяются с различными фазовыми скоростями и поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.

Двоякопреломляющими свойствами обладают:

а) многие кристаллы (исландский шпат, кварц, слюда, турмалин), за исключением принадлежащих к кубической системе;

б) многие прозрачные вещества (стекло, искусственные смолы), находящиеся под действием упругих деформаций (напряжений) — сжатия, растяжения, изгиба, кручения;

в) некоторые изотропные вещества под действием электрического поля. Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные.

У двуосных кристаллов (слюда, гипс) оба луча необыкновенные – показатели преломления для них зависят от направления в кристалле.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только одноосных кристаллов.

Ряд кристаллов (исландский шпат, кварц) имеют направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не раздваиваясь и с одинаковой скоростью.

Такие кристаллы получали название одноосных, а направление, вдоль которого не происходит двойного лучепреломления, называется оптической осью кристалла.

Плоскость, содержащая падающий луч и оптическую ось, называется главной плоскостью или главным сечением кристалла.

Исследования показали, что вектор в обыкновенном луче колеблется перпендикулярно главному сечению, а в необыкновенном – в плоскости главного сечения.

В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильней другого. это явление называется дихроизмом. Очень сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл турмалина. В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине 1 мм.

Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы диэлектрическая проницаемость оказывается зависящей от направления. В одноосных кристаллах в направлениях оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней, имеет различные значения и , .

В теории электромагнитного поля Максвелла показано, что , следовательно, электромагнитным волнам с разными направлениями колебаний будут соответствовать разные значения показателя преломления.

При прохождении света через все прозрачные кристаллы, за исключением принадлежащих к кубической системе, наблюдается явление, получившее название двойного лучепреламления.

Эта явление заключается в том, что упавший на кристалл луч разделяется внутри кристалла на два луча, распространяющиеся, вообще говоря, с разными скоростями и в различных направлениях.

Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных лучей подчиняется обычному закону преломления, в частности он лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой о.

Для другого луча, называемого необыкновенным (его обозначают буквой ), отношение синусов угла падения и угла преломления не остается постоянным при изменении угла падения. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч, вообще говоря, отклоняется отнормали (рис. 136.1).

Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. Примерами одноосных кристаллов могут служить исландский шпат, кварц и турмалин. У двуосных кристаллов (слюда, гипс) оба луча необыкновенные — показатели преломления для них зависят от направления в кристалле.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только одноосных кристаллов.

Рис. 136.1.

У одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой скоростью. Это направление называется оптической осью кристалла.

Следует иметь в виду, что оптическая ось — это не прямая линия, проходящая через какую-то точку кристалла, а определенное направление в кристалле.

Любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью кристалла.

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением, проходящим через световой луч.

Исследование обыкновенного и необыкновенного лучей показывает, что оба луча полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях (см. рис. 136.1).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/14_52189_dvoynoe-lucheprelomlenie-glavnaya-ploskost-i-glavnaya-opticheskaya-os-pri-dvoynom-lucheprelomlenii.html

32. Оптическая ось. Двуосные и одноосные кристаллы. Двойное лучепреломление. Обыкновенный и необыкновенный лучи. Поляризация при двойном лучепреломлении

Одноосные и двухосные кристаллы

Одноосныекристаллы— кристаллы, для которых характерно двойноелучепреломление привсех направлениях падающего на нихсвета, кроме одного (это направлениеназывается оптической осью кристалла).

ДвуосныеКристаллы — кристаллы,для которых характерно двойноелучепреломление при всех направленияхпадающих на них лучей света, кроме 2направлений, называемых оптическимиосями кристалла.

Припрохождении через некоторые кристаллысветовой луч разделяется на два луча,это явление называется двойнымлучепреломлением.

Один из преломленных лучей удовлетворяетобычным законам преломления, называетсяобыкновенными обозначается буквой с,второй не удовлетворяет, поэтомуназывается необычными обозначается буквой р.

Направление в кристалле, вдоль котороголуч не разделяется на два луча, называетсяоптическойосьюкристалла, а сечение кристалл, которыйвключает в себя оптическую ось — главнымсечениемкристалла.

Обычныйи необычный лучполностью поляризованные, и колебаниясветового вектора в них происходит вперпендикулярных плоскостях: в необычномлучи — в главном сечения кристалл, вобычном — в перпендикулярной к нейплоскости.

Волноваяповерхность для обыкновенного лучапредставляет собой сферу, а для необычного- эллипсоид вращения, поскольку дляколебаний, перпендикулярных к главномусечению кристалла, для всех направленийраспространения диэлектрическаяпроницаемость одна и та, а для колебанийв плоскости главного переризуe зависитот направления распространение.

Пустьпучок параллельных лучей падает награницу раздела вакуум-подвийнозаломлюючийкристалл. Рассмотрим только два лучаиз пучка. Пока луч идет до точки 1, луч,который пришел в точку 2, распространяетсяв кристалле и создает волновые фронты,которые представляют собой сферу дляобычного луча, и эллипсоид вращения длянеобычного.

И так — для каждой точкиграницы, от 1 до 2. Проводя огибающие всехволновых фронтов (они касаются всехволновых фронтов), мы получаем направленияраспространения обыкновенного инеобыкновенного лучей. Явление двойноголучепреломления лежит в принципе работыполяризатора,который называется призмой Николя илипросто некогда.

33. Поляроиды. Поляризационные и двоякопреломляющие призмы

В основеработы поляризационных приспособлений,служащих для получения поляризованногосвета, лежит явление двойноголучепреломления. Наиболее часто дляэтого применяются призмы и поляроиды.Призмы делятся на два класса:

1) призмы,дающие только плоскополяризованныйлуч (поляризационныепризмы);

2) призмы,дающие два поляризованных во взаимноперпендикулярных плоскостях луга(двоякопреломляющиепризмы).

Поляризационныепризмы построены по принципу полногоотражения одного из лучей (например,обыкновенного) от границы раздела, в товремя как другой луч с другим показателемпреломления проходит через эту границу.Типичным представителем поляризационныхпризм является првзма Ннколь*,называемая часто ни́колем. Призма Николя(рис.

281) представляет собой двойнуюпризму из исландского шпата, склееннуювдоль линии АВканадскимбальзамом с n =1,55. Оптическая ось ОО'призмысоставляет с входной гранью угол 48°. Напередней грани призмы естественныйлуч, параллельный ребру СВ,раздваиваетсяна два луча: обыкновенный (no =1,66) и необыкновенный (ne =1,51).

При соответствующем подборе углападения, равного или большего предельного,обыкновенный луч испытывает полноеотражение (канадский бальзам для негоявляется средой оптически менее плотной),а затем поглощается зачерненной боковойповерхностью СВ.

 Необыкновенныйлуч выходит из кристалла параллельнопадающему лучу, незначительно смещенномуотносительно него (ввиду преломленияна наклонных гранях АС и BD).

Двоякопреломляющиепризмы используют различие в показателяхпреломления обыкновенного и необыкновенноголучей, чтобы развести их возможно дальшедруг от друга. Примером двоякопреломляющихпризм могут служить призмы из исландскогошпата и стекла, призмы, составленные издвух призм из исландского шпата совзаимно перпендикулярными оптическимиосями.

Для первых призм (рис. 282) обыкновенныйлуч преломляется в шпате и стекле двараза и, следовательно, сильно отклоняется,необыкновенный же луч при соответствующемподборе показателя преломлениястекла n(n » nе)проходит призму почти без отклонения.

Для вторых призм различие в ориентировкеоптических осей влияет на угол расхождениямежду обыкновенным и необыкновеннымлучами.

Двоякопреломляющиекристаллы обладают свойством дихроизма, т.е. различного поглощения света взависимости от ориентации электрическоговектора световой волны, и называются дихроичнымикристаллами.

 Примеромсильно дихроичного кристалла являетсятурмалин, в котором из-за сильногоселективного поглощения обыкновенноголуча уже при толщине пластинки 1 мм изнее выходит только необыкновенный луч.

Такое различие в поглощении, зависящее,кроме того, от длины волны, приводит ктому, что при освещении дихроичногокристалла белым светом кристалл поразным направлениям оказывается различноокрашенным.

Дихроичныекристаллы приобрели еще более важноезначение в связи с изобретением поляроидов. Примеромполяроида может служить тонкая пленкаиз целлулоида, в которую вкрапленыкристаллики герапатита (сернокислогоиод-хинина). Герапатит — двоякопреломляющеевещество с очень сильно выраженнымдихроизмом в области видимого света.

Установлено, что такая пленка уже притолщине » 0,1 мм полностьюпоглощает обыкновенные лучи видимойобласти спектра, являясь в таком тонкомслое совершенным поляризатором.Преимущество поляроидов перед призмами- возможность изготовлять их с площадямиповерхностей до нескольких квадратныхметров.

Однако степень поляризации вних сильнее зависит от А, чем в призмах.Кроме того, их меньшая по сравнению спризмами прозрачность (приблизительно30%) в сочетании с небольшой термостойкостьюне позволяет использовать поляроиды вмощных световых потоках.

Поляроидыприменяются, например, для защиты отослепляющего действия солнечных лучейи фар встречного автотранспорта.

Разныекристаллы создают различное по значениюн направлению двойное луче преломление,поэтому, пропуская через них поляризованныйсвет и измеряя изменение его интенсивностипосле прохождения кристаллов, можноопределить их оптические характеристикии производить минералогический анализ.Для этой цели используются поляризационныемикроскопы.

1.Характеристика оптического диапазона электромагнитных волн. Особенностивидимого диапазона

2. Плоскойэлектромагнитная волна, её структураи представление в комплексной форме.

3. Сферическиеволны. Сходящиеся и расходящиесясферические волны.

4. Плотность потокаэнергии и импульса световых волн.Давление света.

5. Суперпозицияэлектромагнитных волн. Стоячие волны.Биение.

6. Поляризацияэлектромагнитных волн. Виды поляризации.Число независимых поляризаций. ЗаконМалюса.

7. Волна с круговойили эллиптической поляризацией каксуперпозиция волн с линейными поляризациямии линейно поляризованная волна каксуперпозиция волн с круговой поляризацией.

8. Понятие дисперсиисвета. Классическая электронная теориядисперсии.

9. Нормальная ианомальная дисперсия.

10. Модулированиеволны и волновые пакеты. Распространениеволновых пакетов в диспергирующейсреде. Групповая и фазовая скорости.Формула Рэлея.

11. Отражение ипреломление света на границе междудиэлектриками. Граничные условия. ЗаконСнеллиуса.

12. Формула Френелядля s-и p-поляризаций.

13. Энергетическиеи фазовые соотношения при преломлениии отражении света на границе разделадвух сред. Явление Блюстера.

14. Полное внутреннееотражение света. Примеры его проявленияи использования.

15. Распространениесвета в проводящих средах. Комплексныйпоказатель преломления. Отражение светаот поверхности проводника. Глубинапроникновения. Закон Бугера.

16. Геометрическаяоптика как предельный случай волновойоптики.

17. Центрированныеоптические системы. Параксиальноеприближение. Кардинальные элементыоптической системы.

18. Линза, её основныеэлементы. Тонкие и толстые линзы. Фокусноерасстояние линзы. Построение изображенияв оптических системах.

19. Простейшиеоптические приборы геометрическойоптики.

20. Интерференциясвета. Условия наблюдения линиймаксимальной и минимальной интенсивности.Временная и пространственная когерентностисвета.

21. Двухлучеваяинтерференция, осуществляемая делениемамплитуды. Интерферометр Майкельсона.

22. Двухлучеваяинтерференция, осуществляемая делениемволнового фронта. Схема Юнга. Примерыпрактических схем двухлучевойинтерференции.

23. Интерференцияв тонких пленках. Полосы равного наклонаи равной толщины. Кольца Ньютона.

24. Многолучеваяинтерференция. Интерферометр Фабри-Перо.

25. ПринципГюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Графическоевычисление амплитуды. Пятно Пуассонаи пятно Араго.

26. ДифракцияФраунгофера на прямоугольном отверстиии цели.

27. ДифракцияФраунгофера на круглом отверстии. Пределдифракционной расходимости.

28. Дифракция напериодической структуре. Дифракционнаярешётка.

29. Критерийрэлея. дисперсионная область и разрешающаяспрособность дифракционной решётки.

30. ПРИНЦИПЫГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАПИСИ ИЗОБРАЖЕНИЙ.СХЕМЫ ЗАПИСИ И ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ГОЛОГРАММ.

31. анизотропныесреды. тензор диэлектрическойпроницаемости. Распространение плоскойэлектромагнитной волны в анизотропнойсреде. эллипсоид лучевых скоростей.

32. Оптическаяось. двуосные и одноосные кристаллы.двойное лучепреломление. обыкновенныйи необыкновенный лучи. поляризация придвойном лучепреломлении.

33. ПОЛЯРОИДЫ.ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ и двоякопреломляющиепризмы.

Источник: https://studfile.net/preview/6212648/page:17/

Обыкновенные и необыкновенные волны

Определение 3

Волну, электрический вектор которой находится в главном сечении кристалла, называют необыкновенной.

Ее скорость ($v_{//}$) зависит от направления распространения, и это вызвано тем, что при изменении направления $\overrightarrow{n}$ меняется угол между электрическим вектором и оптической осью кристалла.

В случае, при котором необыкновенная волна бежит вдоль по оптической оси кристалла ($n_{\bot }=0$), то имеем:

\[v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon }}=c\sqrt{\frac{n2_{\bot }}{{\varepsilon }_{//}}+\frac{n2_{//}}{{\varepsilon }_{\bot }}}\equiv v_{//}=v_{\bot }\equiv v_0(2).\]

В таком случае, не существует различия между обыкновенной и необыкновенной волнами. Если $n_{//}=0$), то есть необыкновенная волна распространяется по нормали к оптической оси, то скорость волны:

Определение 4

Понятие «оптическая ось» было введено для определения прямой по которой обе волны в кристалле распространяются с одинаковыми скоростями. В общем случае таких прямых две. В связи с этим кристалл называют оптически двуосным. В частном случае, когда оптические оси совпадают, кристалл становится одноосным.

В кристаллах уравнения Максвелла являются линейными и однородными.

В общем случае волна, падающая на кристалл из изотропно среды, делится внутри анизотропной среды на две линейно поляризованные волны: обыкновенную, имеющую вектор $\overrightarrow{D}\ $нормальный к главному сечению, и необыкновенную, обладающую вектором электрического смещения, находящимся в главном сечении.

Данные волны распространяются в кристалле в различных направлениях и имеют отличные скорости ($v_{//}\ и\ v_{\bot }$). В направлении оптической оси скорости этих волн совпадают. Понятия обыкновенная и необыкновенная волны относят только к одноосным кристаллам.

К этим волнам можно применять законы отражения и преломления, но в анизотропных кристаллах их относят к волновым нормалям, а не световым лучам. Волновые нормали отраженной и двух преломленных волн находятся в плоскости падения. Они формально подчинены закону Снеллиуса:

где $n_o=\frac{с}{v_{\bot }}$ — показатель преломления обыкновенной волны, $n_e=\frac{с}{v_{//}}=\sqrt{\frac{n2_{\bot }}{{\varepsilon }_{//}}+\frac{n2_{//}}{{\varepsilon }_{\bot }}}$ — показатель преломления необыкновенной волны (не путайте с нормалью, которая обозначается такой же буквой). $n_e$ зависит от угла падения. Параметр $n_o$ — называется обыкновенным показателем преломления кристалла. В том случае, если необыкновенная вона распространяется перпендикулярно оптической оси ($n_{//}=0\ и\ n_{\bot }=1$), то

Параметр $n_e$ называют необыкновенным показателем преломления кристалла. Данную величину нельзя путать с показателем преломления необыкновенной волны ($n_{//}$), так как $n_e=const$, а $n_{//}$- функция направления распространения волны. Их совпадение — частный случай.

Эллипсоид волновых нормалей

Пространственной распределение показателя преломления в анизотропной среде иногда представляют, используя эллипсоид волновых нормалей. Его полуоси равны главным значениям показателя преломления. Сечение такого эллипсоида плоскостью, которая перпендикулярна волновому вектору $\overrightarrow{k}$ — это эллипс.

Направление осей данного эллипса определяют направления векторов $\overrightarrow{D'}\ и\ \overrightarrow{D''}$ двух волн, которые рапространяются в кристалле. При этом длины полуосей этого эллипса пропорциональны показателям преломления рассматриваемых волн. Любой трехосный эллипсоид имеет два центральных круговых сечения.

Направления, которые нормальны данным сечениям — есть направления оптических осей кристалла.

Так, в одноосном кристалле эллипсоид нормалей становится эллипсоидом вращения вокруг оси $OZ$, при этом его круговое сечение находится в плоскости $XOY$. Для одноосных кристаллов приняты обозначения: $n_z=n_e,\ n_x=n_y=n_0.$

Анализ распространения света и его преломления на границах наглядно с применением сечений волновых поверхностей. При этом из начала координат откладывают отрезки длинной, которая пропорциональна фазовым скоростям $v'\ и\ v''$ в данном направлении.

При этом в плоскости рисунка изображают «мгновенные» сечения волновых фронтов, которые испускались точечным источником, находящимся в начале координат. Для обыкновенной волны они являются сферическими. Для необыкновенной волны являются поверхностями вращения, которые получают с помощью уравнения волновых поверхностей.

Направления, в которых рассматриваемые сечения совпадают, являются оптической осью кристалла.

Пример 1

Покажите, что если вектор $\overrightarrow{D}\bot $ главному сечению кристалла, то скорость волны не зависит от направления ее распространения.

Решение:

Если вектор $\overrightarrow{D}\bot $ главному сечению кристалла, то можно сказать, что $\overrightarrow{D}\equiv {\overrightarrow{D}}_{\bot }$, следовательно:

\[\overrightarrow{D}={\varepsilon }_{\bot }\overrightarrow{E}\left(1.1\right).\]

В рассматриваемом случае кристалл ведет себя как изотропная среда, имеющая диэлектрическую проницаемость ${\varepsilon }_{\bot }.\ $

Уравнения Максвелла выполняются для кристаллических сред и при отсутствии токов и зарядов они имеют вид:

\[rot\overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t},\ rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(1.2\right).\]

Если вещество прозрачное и однородное, то в нем распространяются плоские монохроматические волны, которые запишем как:

\[\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0e{-i(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r})},\overrightarrow{D}={\overrightarrow{D}}_0e{-i(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r})}\ ,\ \overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_0e{-i(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r})},\overrightarrow{H}={\overrightarrow{H}}_0e{-i\left(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r}\right)}\left(1.3\right).\]

При этом $rot\overrightarrow{H}=i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{H}\right]$, $\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=-i\omega \overrightarrow{D}\ $и$\ rot\overrightarrow{E}=i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{E}\right]$, $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=-i\omega \overrightarrow{B}$. Подставим полученные выражения в уравнения (1.2), имеем:

\[i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{H}\right]=-i\omega \overrightarrow{D}\to \left[\frac{\omega }{v}\overrightarrow{n}\overrightarrow{H}\right]=-\omega \overrightarrow{D}\to -\frac{1}{v}\left[\overrightarrow{n}\overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{D}\left(1.4\right).\] \[i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{E}\right]=i\omega \overrightarrow{B}\to \frac{1}{v}\left[\overrightarrow{n}\overrightarrow{E}\right]=\overrightarrow{B}\left(1.5\right),\]

где $v$- фазовая скорость волны в направлении волновой нормали $\overrightarrow{n}$.

Для случая, описанного в условиях из (1.4), (1.5) получаем:

\[D=\frac{1}{v}H,\ B=\frac{1}{v}E\left(1.6\right).\]

применим выражение (1.1), получим из (1.6):

\[{\varepsilon }_{\bot }E=\frac{1}{v}H\left(1.7\right),\] \[\ {\mu }_0H=\frac{1}{v}E\to H=\frac{1}{v{\mu }_0}E\left(1.8\right).\]

подставим в правую часть выражения (1.7) вместо H правую часть формулы (1.8), получаем:

\[{\varepsilon }_{\bot }vE=\frac{1}{vм_0}E\to v{\varepsilon }_{\bot }=\frac{1}{vм_0}\to v=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon_{\bot }м_0}}.\]

Получается, что если электрический вектор нормален к главному сечению, то скорость волны не зависит от направления ее распространения. Такая волна называется обыкновенной. Что требовалось показать.

Пример 2

Показатели преломления кристалла измеряют при использовании кристалл — рефрактометра.

Пластину изучаемого кристалл размещают на плоской поверхности стеклянного полушария с высоким показателем преломления ($n_B$). Свет падает со стороны полушария по его радиусу.

Он отражается от пластинки. При этом показатель преломления исследуемого образца ($n$) находится по предельному углу полного отражения:

$n=n_Bsin\varphi .$ При отражении от кристалла имеются два предельных угла (так как два преломленных луча).

  1. Как будут изменяться показатели преломления исследуемой пластинки при вращении полушария кристалл — рефрактометра, если она сделана перпендикулярно к оптической оси?

  2. При измерении показателей преломления кристаллической пластинки на описанном приборе выяснилось, что $n_0=const$ при любых поворотах полушария. Другой показатель преломления меняется так, что значение для него максимально, минимально. Что можно сказать про ориентацию пластинки относительно оптической оси?

Ответ: 1.Оба показателя преломления $n_0\ и\ n_e\ $, будут постоянны. 2. Пластинка вырезана параллельно оптической оси.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/odnoosnye_i_dvuhosnye_kristally/

Booksm
Добавить комментарий