Наклонная плоскость

Решение задач на движение тел по наклонной плоскости. урок. Физика 11 Класс

Наклонная плоскость

Брусок находится на наклонной плоскости и может скользить вниз при наличии трения, на него будут действовать сила притяжения к земле, сила реакции опоры и сила трения (Рис. 1).

Рис. 1. Получение стандартного уравнения движения тел по наклонной плоскости

 =>

Векторная сумма этих трех сил будет равна произведению массы на ускорение. Координатная ось  будет направлена в сторону ускорения вдоль наклонной плоскости – вниз, ось  будет перпендикулярна оси х, соответственно, она совпадает по направлению с силой реакции опоры.

Тогда в проекциях на ось  мы имеем: составляющая  противолежащая углу , как мы помним, углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны,  – вертикальная линия, основание плоскости – горизонтальная линия. Линия проецирования перпендикулярна поверхности плоскости, поэтому эти два угла будут равны. Сила трения проецируется со знаком «минус», а сила реакции опоры проекции не имеет.

По оси  проецируются две силы:  проецируется через  со знаком «минус», так как проекция направлена против оси , и сила реакции опоры.

Находим силу трения через произведение коэффициента трения и силы реакции опоры, которую находим из второго уравнения.

Подставляя это выражение силы трения в уравнение по оси , получаем стандартное уравнение движения тела по наклонной плоскости.

Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона . Чему равен коэффициент трения?

1.      2.  3.  4.

Составляем краткую запись условия задачи и решаем:

Записываем стандартное уравнение движения тела по наклонной плоскости, ускорение в данном случае будет равно нулю, так как тело движется равномерно по наклонной плоскости. Так как  у нас не может быть равно нулю, значит, нулю будет равна разность в скобочках, отсюда мы и находим коэффициент трения, который будет равен , по выборке это ответ 3.

Троллейбус массой 12 т движется равномерно под гору с уклоном 0,05 рад при силе тяги 4 кН. Определить силу сопротивления движению.

Записываем краткое условие задачи и выполняем поясняющий чертеж (рис. 2):

Рис. 2. Решение задачи 2

 при

Ответ: .

Запишем общее уравнение динамики по второму закону Ньютона и в проекции ох, необходимо помнить, что если угол α меньше или равен 0,1 рад, то в задачах по физике можно применять равенство, где угол  численно равен  и равен , а  равен единице. В таком случае мы можем выразить силу сопротивления через уравнение и, подставив значения, получим, что

На наклонной плоскости с углом 300 находится брусок массой m, на который воздействует горизонтальная сила, равная mg/2, прижимающая брусок к поверхности плоскости. С каким ускорением будет двигаться брусок при коэффициенте трения, равном 0,065?

Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 3):

Рис. 3. Решение задачи 3

 ; ;

Ответ : .

К бруску приложено несколько сил.

Горизонтальная сила, прижимающая брусок к плоскости, направлена в одну сторону, сила тяжести действует так, что брусок должен двигаться в другую сторону, поэтому необходимо вычислить силы, которые могут подействовать на брусок, сдвинув его с места.

Сила  имеет проекцию , которая будет равна , так как  равен . Сила  пытается сдвинуть брусок вверх по наклонной плоскости, но она имеет проекцию , которая, в свою очередь, равна произведению  на , который меньше единицы.

В таком случае  будет больше силы, действующей на тело, это означает, что брусок будет двигаться вниз и сила трения будет направлена вверх. Применив уравнение динамики по второму закону Ньютона и спроецировав его на координатные оси, мы выразим силу реакции опоры и подставим в уравнение по оси , откуда и получим выражение для ускорения.

Подставляя числовые значения, определим, что ускорение будет отрицательным. Это значит, что тело не может двигаться вниз по наклонной плоскости, но и при наличии силы притяжения и силы, прижимающей брусок, тело не может двигаться вверх по наклонной плоскости.

Это говорит о том, что ускорение равно нулю, то есть тело могло бы двигаться вниз, но силе тяжести не удается преодолеть возникающую при этом силу трения.

Сила трения не будет достигать своего максимального значения, будет принимать несколько меньшее значение, а ускорение тела будет равно нулю.

Мы разобрали основные типы задач на движение тел по наклонной плоскости, использование основных законов механики для различных способов решения задач не только на уроках физики, но даже в практической и повседневной жизни.

Список литературы

  1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
  2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
  3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. – М.: Просвещение, 1990.

Домашнее задание

  1. Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
  2. Какое равенство используется при решении задач, когда угол меньше или равен 0,1 рад?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Dist-tutor.info (Источник).
  2. Интернет-портал Repetitors.info (Источник).
  3. Интернет-портал Bambookes.ru (Источник).

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/dinamika/reshenie-zadach-na-dvizhenie-tel-po-naklonnoy-ploskosti

Простые механизмы

Наклонная плоскость

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: простые механизмы, Кпд механизма.

Механизм — это приспособление для преобразования силы (её увеличения или уменьшения).
Простые механизмы — это рычаг и наклонная плоскость.

Рычаг

Рычаг — это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. На рис. 1) изображён рычаг с осью вращения . К концам рычага (точкам и ) приложены силы и . Плечи этих сил равны соответственно и .

Условие равновесия рычага даётся правилом моментов: , откуда

.

Рис. 1. Рычаг

Из этого соотношения следует, что рычаг даёт выигрыш в силе или в расстоянии (смотря по тому, с какой целью он используется) во столько раз, во сколько большее плечо длиннее меньшего.

Например, чтобы усилием 100 Н поднять груз весом 700 Н, нужно взять рычаг с отношением плеч 7 : 1 и положить груз на короткое плечо. Мы выиграем в силе в 7 раз, но во столько же раз проиграем в расстоянии: конец длинного плеча опишет в 7 раз большую дугу, чем конец короткого плеча (то есть груз).

Примерами рычага, дающего выигрыш в силе, являются лопата, ножницы, плоскогубцы. Весло гребца — это рычаг, дающий выигрыш в расстоянии. А обычные рычажные весы являются равноплечим рычагом, не дающим выигрыша ни в расстоянии, ни в силе (в противном случае их можно использовать для обвешивания покупателей).

Неподвижный блок

Важной разновидностью рычага является блок — укреплённое в обойме колесо с жёлобом, по которому пропущена верёвка. В большинстве задач верёвка считается невесомой нерастяжимой нитью.

На рис. 2 изображён неподвижный блок, т. е. блок с неподвижной осью вращения (проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку ).

На правом конце нити в точке закреплён груз весом . Напомним, что вес тела — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. В данном случае вес прило жен к точке , в которой груз крепится к нити.

К левому концу нити в точке приложена сила .

Плечо силы равно , где — радиус блока. Плечо веса равно . Значит, неподвижный блок является равноплечим рычагом и потому не даёт выигрыша ни в силе, ни в расстоянии: во-первых, имеем равенство , а во-вторых, в процессе движении груза и нити перемещение точки равно перемещению груза.

Зачем же тогда вообще нужен неподвижный блок? Он полезен тем, что позволяет изменить направление усилия. Обычно неподвижный блок используется как часть более сложных механизмов.

Подвижный блок

На рис. 3 изображён подвижный блок, ось которого перемещается вместе с грузом. Мы тянем за нить с силой , которая приложена в точке и направлена вверх. Блок вращается и при этом также движется вверх, поднимая груз, подвешенный на нити .

В данный момент времени неподвижной точкой является точка , и именно вокруг неё поворачивается блок (он бы «перекатывается» через точку ). Говорят ещё, что через точку проходит мгновенная ось вращения блока (эта ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка).

Вес груза приложен в точке крепления груза к нити. Плечо силы равно .

А вот плечо силы , с которой мы тянем за нить, оказывается в два раза больше: оно равно . Соответственно, условием равновесия груза является равенство (что мы и видим на рис. 3: вектор в два раза короче вектора ).

Следовательно, подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. При этом, однако, мы в те же два раза проигрываем в расстоянии: чтобы поднять груз на один метр, точку придётся переместить на два метра (то есть вытянуть два метра нити).

У блока на рис. 3 есть один недостаток: тянуть нить вверх (за точку ) — не самая лучшая идея. Согласитесь, что гораздо удобнее тянуть за нить вниз! Вот тут-то нас и выручает неподвижный блок.

На рис. 4 изображён подъёмный механизм, который представляет собой комбинацию подвижного блока с неподвижным. К подвижному блоку подвешен груз, а трос дополнительно перекинут через неподвижный блок, что даёт возможность тянуть за трос вниз для подъёма груза вверх. Внешнее усилие на тросе снова обозначено вектором .

Принципиально данное устройство ничем не отличается от подвижного блока: с его помощью мы также получаем двукратный выигрыш в силе.

Наклонная плоскость

Как мы знаем, тяжёлую бочку проще вкатить по наклонным мосткам, чем поднимать вертикально. Мостки, таким образом, являются механизмом, который даёт выигрыш в силе.

В механике подобный механизм называется наклонной плоскостью. Наклонная плоскость — это ровная плоская поверхность, расположенная под некоторым углом к горизонту. В таком случае коротко говорят: «наклонная плоскость с углом «.

Найдём силу, которую надо приложить к грузу массы , чтобы равномерно поднять его по гладкой наклонной плоскости с углом . Эта сила , разумеется, направлена вдоль наклонной плоскости (рис. 5).

Выберем ось так, как показано на рисунке. Поскольку груз движется без ускорения, действующие на него силы уравновешены:

.

Проектируем на ось :

,

откуда

.

Именно такую силу нужно приложить, что двигать груз вверх по наклонной плоскости.

Чтобы равномерно поднимать тот же груз по вертикали, к нему нужно приложить силу, равную . Видно, что , поскольку . Наклонная плоскость действительно даёт выигрыш в силе, и тем больший, чем меньше угол .

Широко применяемыми разновидностями наклонной плоскости являются клин и винт.

Золотое правило механики

Простой механизм может дать выигрыш в силе или в расстоянии, но не может дать выигрыша в работе.

Например, рычаг с отношением плеч 2 : 1 даёт выигрыш в силе в два раза. Чтобы на меньшем плече поднять груз весом , нужно к большему плечу приложить силу . Но для поднятия груза на высоту большее плечо придётся опустить на , и совершённая работа будет равна:

т. е. той же величине, что и без использования рычага.

В случае наклонной плоскости мы выигрываем в силе, так как прикладываем к грузу силу , меньшую силы тяжести. Однако, чтобы поднять груз на высоту над начальным положением, нам нужно пройти путь вдоль наклонной плоскости. При этом мы совершаем работу

т. е. ту же самую, что и при вертикальном поднятии груза.

Данные факты служат проявлениями так называемого золотого правила механики.

Золотое правило механики. Ни один из простых механизмов не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, и наоборот.

Золотое правило механики есть не что иное, как простой вариант закона сохранения энергии.

Кпд механизма

На практике приходится различать полезную работу A полезн, которую нужно совершить при помощи механизма в идеальных условиях отсутствия каких-либо потерь, и полную работу Aполн,
которая совершается для тех же целей в реальной ситуации.

Полная работа равна сумме:-полезной работы;-работы, совершённой против сил трения в различных частях механизма;

-работы, совершённой по перемещению составных элементов механизма.

Так, при подъёме груза рычагом приходится вдобавок совершать работу по преодолению силы трения в оси рычага и по перемещению самого рычага, имеющего некоторый вес.

Полная работа всегда больше полезной. Отношение полезной работы к полной называется коэффициентом полезного действия (КПД) механизма:

=Aполезн/Аполн.

КПД принято выражать в процентах. КПД реальных механизмов всегда меньше 100%.

Вычислим КПД наклонной плоскости с углом при наличии трения. Коэффициент трения между поверхностью наклонной плоскости и грузом равен .

Пусть груз массы равномерно поднимается вдоль наклонной плоскости под действием силы из точки в точку на высоту (рис. 6). В направлении, противоположном перемещению, на груз действует сила трения скольжения .

Ускорения нет, поэтому силы, действующие на груз, уравновешены:

.

Проектируем на ось X:

. (1)

Проектируем на ось Y:

. (2)

Кроме того,

, (3)

Из (2) имеем:

.

Тогда из (3):

.

Подставляя это в (1), получаем:

.

Полная работа равна произведению силы F на путь, пройденный телом вдоль поверхности наклонной плоскости:

Aполн=.

Полезная работа, очевидно, равна:

Аполезн=.

Для искомого КПД получаем:

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/prostye-mexanizmy/

Наклонная плоскость

Наклонная плоскость

Наклонная плоскость представляет собой плоскую поверхность, расположенную под тем или иным углом к горизонтали. Она позволяет поднять груз с меньшей силой, чем если бы этот груз поднимался вертикально вверх. На наклонной плоскости груз поднимается вдоль этой плоскости. При этом он преодолевает большее расстояние, чем если бы поднимался вертикально.

Примечание 1

Причем во сколько раз происходит выигрыш в силе, во столько раз будет больше расстояние, которое преодолеет груз.

Рисунок 1. Наклонная плоскость

Если высота, на которую надо поднять груз, равна $h$, и при этом затрачивалась бы сила $F_h$, а длина наклонной плоскости $l$, и при этом затрачивается сила $F_l$, то $l$ так относится к $h$, как $F_h$ относится к $F_l$: $l/h = F_h/F_l$… Однако $F_h$ — это вес груза ($P$). Поэтому обычно записывают так: $l/h = P/F$, где $F$ — сила, поднимающая груз.

Величина силы $F$, которую надо приложить к грузу весом $Р$, чтобы тело находилось в равновесии на наклонной плоскости, равна $F_1 = Р_h/l = Рsin{\mathbf \alpha }$, если сила $Р$ приложена параллельно наклонной плоскости (рис.2, а), и $F_2$ = $Р_h/l = Рtg{\mathbf \alpha }$, если сила $Р$ приложена параллельно основанию наклонной плоскости (рис.2, б).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рисунок 2. Движение груза по наклонной плоскости

а) сила параллельна плоскости б) сила параллельна основанию

Наклонная плоскость дает выигрыш в силе, с ее помощью можно легче поднять груз на высоту. Чем меньше угол $\alpha $, тем больше выигрыш в силе. Если угол $\alpha $ меньше угла трения, то груз самопроизвольно не будет двигаться, и нужно усилие, чтобы тянуть его вниз.

Если учесть силы трения между грузом и наклонной плоскостью, то для $F_1$ и $F_2$ получаются следующие значения: $F_1=Рsin($${\mathbf \alpha }$$\pm$${\mathbf \varphi }$)/cos${\mathbf \varphi }$; $F_2=Рtg($${\mathbf \alpha }$$\pm$${\mathbf \varphi }$)

Знак плюс относится к передвижению вверх, знак минус — к опусканию груза.

Коэффициент полезного действия наклонной плоскости ${\mathbf \eta }$1=sin${\mathbf \alpha }$cos${\mathbf \alpha }$/sin(${\mathbf \alpha }$+${\mathbf \varphi }$), если сила $Р$ направлена параллельно плоскости, и ${\mathbf \eta }$2=tg${\mathbf \alpha }$/tg(${\mathbf \alpha }$+${\mathbf \varphi }$), если сила $Р$ направлена параллельно основанию наклонной плоскости.

Наклонная плоскость подчиняется «золотому правилу механики». Чем меньше угол между поверхностью и наклонной плоскостью (т. е. чем она более пологая, не круто поднимающаяся вверх), тем меньше надо прикладывать сил для подъема груза, но и большее расстояние необходимо будет преодолеть.

При отсутствии сил трения выигрыш в силе $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. В реальных условиях из-за действия силы трения КПД наклонной плоскости меньше 1, выигрыш в силе меньше отношения $l/h$.

Пример 1

Груз массой 40 кг поднимают по наклонной плоскости на высоту 10 м при этом прикладывая силу 200 Н (рис.3). Какова длина наклонной плоскости? Трением пренебречь.

Рисунок 3

Решение

Дано:

$F$ = 200 H

$m$ = 40 кг

$H$ = 10 м

${\mathbf \eta }$ = 1

$g$ = 9.8 м/c2

$m$ — ?

При движении тела по наклонной плоскости отношение прилагаемой силы к весу тела равно отношению длины наклонной плоскости к её высоте: $\frac{F}{P}=\frac{l}{h}=\frac{1}{{sin {\mathbf \alpha }\ }}$. Следовательно, $l=\frac{Fh}{mg}=\ \frac{200\cdot 10}{40\cdot 9,8}=5,1\ м$.

Ответ: Длина наклонной плоскости 5,1 м

Пример 2

Два тела с массами $m_1$ = 10 г и $m_2$ = 15 г связаны нитью, перекинутой через неподвижный блок, установленный на наклонной плоскости (рис. 4). Плоскость образует с горизонтом угол $\alpha $ = 30${}\circ$. Найти ускорение, с которым будут двигаться эти тела.

Решение

Дано:

$m_1$ = 10 Г

$m_2$ = 15 Г

${\mathbf \alpha }$ = 30 градусов

$g$ = 9.8 $м/c_2$

$m$ — ?

Направим ось ОХ вдоль наклонной плоскости, а ось ОY — перпендикулярно ей, и спроектируем на эти оси вектора $\ {\overrightarrow{Р}}_1\ и\ {\overrightarrow{Р}}_2$. Как видно из рисунка, равнодействующая сил, приложенных к каждому из тел, равна разности проекций векторов $\ {\overrightarrow{Р}}_1\ и\ {\overrightarrow{Р}}_2$ на ось ОХ:

\[\left|\overrightarrow{R}\right|=\left|P_{2x}-P_{1x}\right|=\left|m_2g{sin \alpha \ }-m_1g{sin \alpha \ }\right|=g{sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ }\] \[\left|\overrightarrow{R}\right|=9.8\cdot {sin 30{}\circ \ }\cdot \left|0.015-0.01\right|=0.0245\ H\] \[a_1=\frac{R}{m_1}=\frac{0.0245}{0.01}=2,45\frac{м}{с2};\ \ \ \ \ \ a_2=\frac{R}{m_2}=\frac{0.0245}{0.015}=1,63\ м/с2\]

Ответ: Ускорения тел $a_1=2,45\frac{м}{с2};\ \ \ \ \ \ a_2=1,63\ м/с2$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/statika/naklonnaya_ploskost/

Движение под действием нескольких сил: наклонная плоскость

Наклонная плоскость

Эта тема — вторая из цикла четырех тем, в которых рассматривается решение задач на силы. Речь пойдет о движении тела по наклонной плоскости.

Для того чтобы «войти» в тему, рассмотрим самую простую задачу на наклонную плоскость.

Условие

На наклонной плоскости длиной 555 м и высотой 333 м находится груз массой 505050 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы

  • удержать этот груз?
  • тянуть равномерно вверх?
  • тянуть с ускорением 1 м/с21\text{ }м/с21 м/с2?

Коэффициент трения 0,20,20,2.

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Решение

Сначала ответим на последний вопрос задачи: «Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы тянуть груз с ускорением 1 м/с21\text{ }м/с21 м/с2?» Ответив на этот вопрос и немного изменив решение, мы легко сможем ответить и на первые два вопроса. Об этом — в конце.

Схема решения задач по динамике, которую мы выработали при разборе задач на движение вдоль плоскости, остается той же самой. Ее применяем и здесь. Итак.

Шаг 1. Сделаем рисунок.

α\alphaα — это угол при основании клина (наклонную плоскость часто называют клином); по условию задачи он нам не дан, но нам даны длина наклонной плоскости и ее высота.

Шаг 2. Приложим все необходимые силы, изобразим ускорение тела.

Понятно, что если нужно тянуть тело с ускорением вверх вдоль наклонной плоскости, то и ускорение будет направлено вдоль наклонной плоскости вверх. Сила трения — направлена всегда в сторону, противоположную «сдвигающей» силе F⃗\vec{F}F⃗, и при этом — вдоль поверхности. Поэтому сила трения направлена вдоль плоскости вниз.

Как мы помним, сила реакции опоры направлена всегда перпендикулярно поверхности.

Сила тяжести всегда направлена вниз — к центру Земли.

Шаг 3. Запишем 2-й закон Ньютона для сдвигаемого тела:

F⃗+F⃗тр+N⃗+mg⃗=ma⃗\vec{F}+\vec{F}_{тр}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}F⃗+F⃗тр​+N⃗+mg⃗​=ma⃗.

Шаг 4. Следующий этап — ввести оси и записать в проекциях на них уравнение, полученное на предыдущем этапе.

Можно заметить, что задача двумерная. Поэтому понадобятся обе оси.

В задачах на наклонную плоскость оси вводятся немного необычно.

Ось OXOXOX направляют вдоль наклонной плоскости: можно направить вверх, а можно и вниз. Обычно ее направляют в ту же сторону, что и ускорение. Так делать удобно, потому что и вынуждающая («сдвигающая») сила F⃗\vec{F}F⃗, и сила трения F⃗тр\vec{F}_{тр}F⃗тр​, и ускорение a⃗\vec{a}a⃗ — все они направлены вдоль наклонной плоскости. В этом случае их проекции будет находить очень просто.

Ось OYOYOY направляют (так бывает всегда) перпендикулярно оси OXOXOX. Поэтому ось OYOYOY направлена перпендикулярно оси OXOXOX и одновременно перпендикулярно наклонной плоскости.

Оси можно направлять и по-другому. Например, привычным для нас образом, когда ось OXOXOX направлена горизонтально, а ось OYOYOY — вертикально вверх. Можно. Но в этом случае проецирование на них сил сильно усложнится. Как правило, в случае наклонной плоскости одну из осей направляют параллельно плоскости, а другую — перпендикулярно.

Единственный вектор, с которым будут проблемы при проецировании на оси OXOXOX и OYOYOY, — это вектор силы тяжести mg⃗m\vec{g}mg⃗​. Посмотрите на него. Посмотрите, как он криво направлен. Нахождение проекций вектора силы тяжести — это единственная сложная часть в решении задач на наклонную плоскость. В остальном решение аналогично решению задачи на горизонтальной плоскости.

Давайте найдем проекции вектора силы тяжести mg⃗m\vec{g}mg⃗​ на оси OXOXOX и OYOYOY. Сделаем специальный отдельный рисунок только с этой силой.

Наша цель: через рисунок найти углы между вектором силы тяжести mg⃗m\vec{g}mg⃗​ и осями OXOXOX, OYOYOY.

Посмотрим на треугольник ABOABOABO. Угол при вершине BBB — прямой. Треугольник прямоугольный. Это значит, что угол при вершине OOO равен ∠AOB=90∘−α\angle AOB=90{\circ}-\alpha∠AOB=90∘−α. Тогда угол при вершине OOO в другом прямоугольном треугольнике OBCOBCOBC равен ∠BOC=α\angle BOC=\alpha∠BOC=α. Всё! Ура! Мы нашли этот угол. Теперь будет проще.

Как мы выяснили, угол между mg⃗m\vec{g}mg⃗​ и осью OYOYOY равен α\alphaα. Укажем на рисунке проекции вектора силы тяжести на оси OXOXOX и OYOYOY. Для удобства на рисунке мы обозначили их буквами ddd и eee соответственно.

Вектор mg⃗m\vec{g}mg⃗​ — гипотенуза прямоугольного треугольника, а проекции d=(mg⃗)xd=(m\vec{g})_{x}d=(mg⃗​)x​ и e=(mg⃗)ye=(m\vec{g})_{y}e=(mg⃗​)y​ — его катеты. Проекция на ось OYOYOY — это прилежащий катет для угла α\alphaα.

Значит, в формуле проекции будет участвовать cosα\cos\alphacosα. Только обратите внимание на то, что вектор mg⃗m\vec{g}mg⃗​ и ось OYOYOY направлены «практически» в разные стороны.

Поэтому в формуле для проекции появится знак «минус»:

(mg⃗)y=−mg⋅cosα(m\vec{g})_{y}=-mg\cdot\cos\alpha(mg⃗​)y​=−mg⋅cosα.

Проекция на ось OXOXOX — это противолежащий катет для угла α\alphaα. Значит, в формуле будет sinα\sin\alphasinα. Но при этом вектор силы тяжести опять же направлен как бы «против» направления оси OXOXOX. Поэтому в формуле тоже будет присутствовать знак «минус»:

(mg⃗)x=−mg⋅sinα(m\vec{g})_{x}=-mg\cdot\sin\alpha(mg⃗​)x​=−mg⋅sinα.

Всё! С самым сложным теперь покончено. Возвращаемся к проецированию уравнения F⃗+F⃗тр+N⃗+mg⃗=ma⃗\vec{F}+\vec{F}_{тр}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}F⃗+F⃗тр​+N⃗+mg⃗​=ma⃗ на оси OXOXOX и OYOYOY.

Какой из вариантов проецирования уравнения F⃗+F⃗тр+N⃗+mg⃗=ma⃗\vec{F}+\vec{F}_{тр}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}F⃗+F⃗тр​+N⃗+mg⃗​=ma⃗ верен?

Шаг 5. Работаем с получившимися уравнениями:

{F−Fтр−mgsinα=maN−mgcosα=0\begin{cases}F-F_{тр}-mg\sin\alpha=ma\-mg\cos\alpha=0\end{cases}{F−Fтр​−mgsinα=maN−mgcosα=0​.

Вспоминаем, что сила трения скольжения равна Fтр=μNF_{тр}=\mu NFтр​=μN. Подставляем эту формулу в первое уравнение:

{F−μN−mgsinα=maN=mgcosα\begin{cases}F-\mu N-mg\sin\alpha=ma\=mg\cos\alpha\end{cases}{F−μN−mgsinα=maN=mgcosα​,

{F−μmgcosα−mgsinα=maN=mgcosα\begin{cases}F-\mu mg\cos\alpha-mg\sin\alpha=ma\=mg\cos\alpha\end{cases}{F−μmgcosα−mgsinα=maN=mgcosα​.

Отлично!

Шаг 6. Посмотрим, что именно нам нужно. Надо найти «сдвигающую» (или вынуждающую) силу FFF. Да мы же ее уже практически нашли!

F=ma+μmgcosα+mgsinαF=ma+\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alphaF=ma+μmgcosα+mgsinα,

F=ma+mg(μcosα+sinα)F=ma+mg(\mu\cos\alpha+\sin\alpha)F=ma+mg(μcosα+sinα).

Готово.

«Разберемся» с синусом и косинусом:

sinα=hL\sin\alpha=\frac{h}{L}sinα=Lh​.

Из теоремы Пифагора можно найти недостающий нам ближний к углу α\alphaα катет; он равен L2−h2\sqrt{L2-h2}L2−h2​.

Тогда косинус:

cosα=L2−h2L\cos\alpha=\frac{\sqrt{L2-h2}}{L}cosα=LL2−h2​​.

Осталось подставить конкретные числа в получившуюся формулу силы:

F=ma+mg(μcosα+sinα)=ma+mg(μL2−h2L+hL)=F=ma+mg(\mu\cos\alpha+\sin\alpha)=ma+mg(\mu\frac{\sqrt{L2-h2}}{L}+\frac{h}{L})=F=ma+mg(μcosα+sinα)=ma+mg(μLL2−h2​​+Lh​)=

=50⋅1+50⋅10⋅(0,2⋅52−325+35)=50+500⋅(0,2⋅45+35)==50\cdot 1+50\cdot 10\cdot(0,2\cdot\frac{\sqrt{52-32}}{5}+\frac{3}{5})=50+500\cdot(0,2\cdot\frac{4}{5}+\frac{3}{5})==50⋅1+50⋅10⋅(0,2⋅552−32​​+53​)=50+500⋅(0,2⋅54​+53​)=

=50+500⋅(15⋅45+35)=50+500⋅(425+1525)=50+500⋅1925==50+500\cdot(\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}+\frac{3}{5})=50+500\cdot(\frac{4}{25}+\frac{15}{25})=50+500\cdot\frac{19}{25}==50+500⋅(51​⋅54​+53​)=50+500⋅(254​+2515​)=50+500⋅2519​=

=50+20⋅19=50+380=430=50+20\cdot 19=50+380=430=50+20⋅19=50+380=430 (Н).

Ответ. F=430F=430F=430 Н.

Теперь вернемся к двум первым вопросам задачи:

  • какую силу нужно приложить, чтобы удерживать груз?
  • какую силу нужно приложить, чтобы двигать груз вверх без ускорения?

Разберем вместе случай, когда груз перемещается вверх без ускорения. В этом случае мы имеем дело с равномерным движением, а ускорение равно a=0a=0a=0. Рисунок для этого случая будет очень похож на тот рисунок, который мы уже сделали, с той лишь разницей, что ускорение будет нулевым. Поэтому мы можем воспользоваться нашим решением и подставить в формулу FFF нулевое ускорение. Получим:

F=ma+mg(μcosα+sinα)=mg(μcosα+sinα)=F=ma+mg(\mu\cos\alpha+\sin\alpha)=mg(\mu\cos\alpha+\sin\alpha)=F=ma+mg(μcosα+sinα)=mg(μcosα+sinα)=

=mg(μL2−h2L+hL)==mg(\mu\frac{\sqrt{L2-h2}}{L}+\frac{h}{L})==mg(μLL2−h2​​+Lh​)=

=50⋅10⋅(0,2⋅52−325+35)=500⋅(0,2⋅45+35)==50\cdot 10\cdot(0,2\cdot\frac{\sqrt{52-32}}{5}+\frac{3}{5})=500\cdot(0,2\cdot\frac{4}{5}+\frac{3}{5})==50⋅10⋅(0,2⋅552−32​​+53​)=500⋅(0,2⋅54​+53​)=

=500⋅(15⋅45+35)=500⋅(425+1525)=500⋅1925==500\cdot(\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}+\frac{3}{5})=500\cdot(\frac{4}{25}+\frac{15}{25})=500\cdot\frac{19}{25}==500⋅(51​⋅54​+53​)=500⋅(254​+2515​)=500⋅2519​=

=20⋅19=380=20\cdot 19=380=20⋅19=380 (Н).

Предлагаем вам самостоятельно ответить на самый первый вопрос задачи: какую силу нужно приложить, чтобы удерживать груз на месте?

Разберем еще одну задачу. Выберем усложненный вариант — с «подключением» кинематики.

Условие

Маленькая шайба соскальзывает без начальной скорости с вершины AAA гладкого клина ABCABCABC, закрепленного на столе. Угол при основании клина равен 30∘30{\circ}30∘, высота клина AC=0,8AC=0,8AC=0,8 м. Через какое время после начала соскальзывания шайба окажется на минимальном расстоянии от точки CCC?

(Источник. ЕГЭ-2012. Физика. Тренировочная работа)

Решение

Шаг 1. Для начала надо немного разобраться в условии. Итак, шайба находится в точке AAA. Она начинает соскальзывать. В принципе, соскальзывать она будет прямо до самого низа, но нас, похоже, спрашивают про скольжение до другой точки — не до нижней точки клина BBB.

В задаче говорится про минимальное расстояние до точки CCC.

Опустим перпендикуляр из точки CCC на прямую ABABAB. Обозначим основание перпендикуляра буквой OOO.

Длина отрезка перпендикуляра — это и есть кратчайшее расстояние от точки до прямой. В принципе, этого факта вы могли и не знать — он из геометрии. Для убедительности можно привести пример.

Представьте, что вы стоите в поле недалеко от автомобильной дороги, которая представляет собой прямую линию.

Как вы поступите, чтобы добраться до дороги самым быстрым, самым коротким путем? Правильно — вы пойдете перпендикулярно дороге по направлению к ней.

Шаг 2. Поскольку шайба начинает движение из состояния покоя, то можно предположить, что она двигается равноускоренно. С некоторым ускорением. Возможно, мы сможем его найти.

Давайте пока думать, что действительно сможем найти ускорение. Расстояние AOAOAO мы тоже сможем определить — это из геометрии.

Если мы сможем найти ускорение aaa и расстояние S=AOS=AOS=AO, то, возможно, мы сможем найти и время движения ttt.

Как связаны путь SSS, ускорение aaa и время ttt для шайбы, которая двигается равноускоренно из состояния покоя?

Составьте правильную формулу.

aaa+++t2t2t2V0V_0V0​///ttt222

Шаг 3. Найдем расстояние SSS. Здесь нам поможет геометрия. Треугольник AOCAOCAOC прямоугольный. Угол при вершине AAA в нем равен 60∘60{\circ}60∘, а при вершине CCC — 30∘30{\circ}30∘.

В треугольнике AOCAOCAOC отрезок ACACAC — гипотенуза. Нам нужен катет AOAOAO. Это катет, противолежащий углу CCC. Его можно найти через синус угла α\alphaα:

sin30∘=AOAC\sin 30{\circ}=\frac{AO}{AC}sin30∘=ACAO​,

AO=AC⋅sin30∘=0,8⋅12=0,4AO=AC\cdot\sin 30{\circ}=0,8\cdot\frac{1}{2}=0,4AO=AC⋅sin30∘=0,8⋅21​=0,4.

Всё. Теперь нам известно расстояние SSS. Одну сложность мы решили. Двигаемся дальше. Осталось найти ускорение. Сделать это будет несложно. Ускорение найдем из решения уравнения, полученного из 2-го закона Ньютона.

Шаг 4. Делаем рисунок с силами, ускорением и осями.

В нашем случае ситуация достаточно несложная: нет силы трения (потому что в условии сказано, что клин гладкий), нет силы тяги (потому что в условии сказано, что шайба просто соскальзывает с вершины клина). Остаются только две силы: сила тяжести mg⃗m\vec{g}mg⃗​ и сила реакции опоры N⃗\vec{N}N⃗.

Шаг 5. Записываем 2-й закон Ньютона:

mg⃗+N⃗=ma⃗m\vec{g}+\vec{N}=m\vec{a}mg⃗​+N⃗=ma⃗.

Шаг 6. Записываем это уравнение в проекциях на оси.

OX:mg⋅sinα+0=maOX:\,\,mg\cdot\sin\alpha+0=maOX:mg⋅sinα+0=ma,

OY:−mg⋅cosα+N=0OY:\,-mg\cdot\cos\alpha+N=0OY:−mg⋅cosα+N=0.

Второе уравнение, которое получается при проецировании на ось OYOYOY, нам не очень интересно. Из него можно найти только силу реакции опоры NNN, которая бывает полезна для нахождения силы трения. А сила трения у нас отсутствует, поскольку в задаче сказано, что клин гладкий.

Шаг 7. Работа с уравнением.

Нам интересно только первое уравнение:

mg⋅sinα=mamg\cdot\sin\alpha=mamg⋅sinα=ma,

g⋅sinα=ag\cdot\sin\alpha=ag⋅sinα=a,

a=g⋅sinαa=g\cdot\sin\alphaa=g⋅sinα.

Ура. Мы почти дошли до конца.

Шаг 8. Ускорение нашли. Теперь осталось вычислить время ttt. На шаге 2 мы записали формулу

S=at22S=\frac{at2}{2}S=2at2​. Подставим в нее полученное выражение для ускорения:

S=g⋅sinα⋅t22S=\frac{g\cdot\sin\alpha\cdot t2}{2}S=2g⋅sinα⋅t2​,

2S=g⋅sinα⋅t22S=g\cdot\sin\alpha\cdot t22S=g⋅sinα⋅t2,

t2=2Sg⋅sinαt2=\frac{2S}{g\cdot\sin\alpha}t2=g⋅sinα2S​,

t=2Sg⋅sinαt=\sqrt{\frac{2S}{g\cdot\sin\alpha}}t=g⋅sinα2S​​.

Подставляем численные значения:

t=2Sg⋅sinα=2⋅0,410⋅0,5=2⋅2⋅0,410=4⋅410⋅10=410=0,4t=\sqrt{\frac{2S}{g\cdot\sin\alpha}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0,4}{10\cdot0,5}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2\cdot 0,4}{10}}=\sqrt{\frac{4\cdot 4}{10\cdot 10}}=\frac{4}{10}=0,4t=g⋅sinα2S​​=10⋅0,52⋅0,4​​=102⋅2⋅0,4​​=10⋅104⋅4​​=104​=0,4 (c).

Ответ: t=0,4t=0,4t=0,4 с.

Интересно, что ответ совсем не зависит от угла. Если в формулу для времени подставить выражение для пути SSS

S=AC⋅sinαS=AC\cdot\sin\alphaS=AC⋅sinα,

то можно получить:

t=2Sg⋅sinα⇒t=2AC⋅sinαg⋅sinα=2ACgt=\sqrt{\frac{2S}{g\cdot\sin\alpha}}\,\,\Rightarrow\,\,t=\sqrt{\frac{2AC\cdot\sin\alpha}{g\cdot\sin\alpha}}=\sqrt{\frac{2AC}{g}}t=g⋅sinα2S​​⇒t=g⋅sinα2AC⋅sinα​​=g2AC​​.

Задачи для самостоятельного решения: задача 1 и задача 2.

Источник: https://lampa.io/p/%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%B4-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5%D0%BC-%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D1%85-%D1%81%D0%B8%D0%BB:-%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-00000000a618f2ad208bc923911e57ee

Проецирование сил. Движение по наклонной плоскости

Наклонная плоскость

Неопубликованная запись

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Неколлинеарные силы.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых… Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением 

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y:  N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Получаем, что: 

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Ответ: 0,25

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

T — сила натяжения нити

На ось X: нет сил

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Ответ: 65 Н

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей. 

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле, ведь сила, которая действуют на ось X— это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Ответ: 4,22 кг

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска? 

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM: 

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Ответ: 6,36 м/с²

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время. 

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с²  и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Ответ: 6000 кг

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Самое сложное — понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 7,5 см

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами. 

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого технического юмора.

Источник: https://ik-study.ru/ege_po_fizikie/inclined_plane

Booksm
Добавить комментарий