Моменты в теоретической механике

Техническая механика

Моменты в теоретической механике


Говорят, что когда-то великий Архимед изрек фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю».

Современная физика утверждает, что с практической точки зрения, мудрый грек, конечно же, погорячился – даже сдвинуть на доли миллиметра такой массив, как планета с помощью мускульной силы человека – занятие не одного года, а уж перевернуть Землю…

Тем не менее, с теоретической точки зрения Архимед прав – если найти соответствующую точку опоры, то с помощью рычага Землю сдвинуть с места может даже комар. Дело в том, что здесь играет роль не сила, как таковая, а ее момент.

Что же такое – момент силы? Следует сразу оговориться, что момент силы — понятие относительное, поскольку без указания того, относительно какой точки он рассматривается, понятие момента силы теряет смысл (не путать с моментом пары сил, о котором речь пойдет в следующих статьях).

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие.
Если взять более длинный ключ, то гайку можно завернуть значительно сильнее, прикладывая одинаковое усилие.

Из этого следует, что одной и той же силой можно выполнить различное по эффективности вращающее действие на какое-либо тело.

В этом и кроется понятие момента силы – это вращающее действие силы относительно какой-либо точки в пространстве.

Понятие момента силы относительно точки ввел гениальный итальянец Леонардо да Винчи (1452-1519), который известен потомкам не только, как великий художник, но и видный ученый своего времени.

Итак, по определению, момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо.
Плечом в данном случае называется кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (см. рисунок b).
Математически это определение можно представить в виде формулы:

М0(F) = Fh,     где h – плечо силы относительно точки 0.

Точка, относительно которой рассматривается момент силы, называется центром момента.

Из приведенной выше формулы очевидно, что единицей измерения момента силы является ньютон × метр (Нм).



Теперь можно оценить справедливость высказывания Архимеда относительно возможности перевернуть Землю — при определенном плече силы, которую способны развить человеческие мускулы, это сделать теоретически возможно, но рука Архимеда должна была описать путь длиной в сотни тысяч километров для того, чтобы сдвинуть земной шар на доли миллиметра, поскольку потребовался бы огромной длины рычаг. Как вы понимаете, практически осуществить подобный подвиг нереально даже для такого уважаемого гения, как Архимед.

Впрочем, бытующее утверждение о трудностях, связанных с перемещением Земли человеческой рукой не совсем безгрешны. Ведь мы, как обыватели, привыкли рассматривать Землю, как весомый предмет, забывая что она, будучи в космическом пространстве, обладает совсем другими весовыми категориями.

Поэтому справедливее будет рассматривать не расстояние, на которое мог бы сдвинуть земной шар Архимед, а ускорение, с которым он попытался бы сдвинуть планету со своего места, т. е. фактически — побороть силу инерции Земли, как тела.

И тогда ему не потребовался бы рычаг непомерной длины — прикладывая незначительную силу, сдвинуть Землю можно было бы и двухметровой палкой, но здесь уже возник бы вопрос о времени, в течении которого необходимо было давить на рычаг, чтобы побороть инертность земного шара (как вы понимаете, мускульная сила человека не способна придать планете существенного ускорения).

Опять же, возникает еще одна проблема — Архимеду потребовался бы надежный упор для ног, способный противостоять возмущению Земли на нахальную попытку Архимеда сдвинуть ее с места, а где его найти в открытом космосе?…

Осталось разобраться со знаками для момента силы, ведь он, как и сила, является векторной величиной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением своего вращающего действия.

При расчетах в технической механике условно считают, что если момент силы стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, то он является положительным, если по часовой стрелке — отрицательным (см. рисунок a).

Одна и та же сила относительно разных точек может вызывать и положительный, и отрицательный момент (см. рисунок a).

Отдельный случай, когда рассматриваемая точка (центр момента) лежит на линии действия силы. Очевидно, что в этом случае момент силы относительно этой точки будет равен нулю, поскольку плечо отсутствует (расстояние от линии действия силы до точки равно нулю).

И еще одна важная деталь, которая следует из определения момента силы относительно точки: если переносить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно любой точки не изменится, поскольку не изменится и расстояние от этой точки до линии действия силы, т. е. плечо (см. рисунок с).

***

Плоская система пар сил



Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/11-statika_moment/

Как определить реакции в опорах?

Моменты в теоретической механике

Привет! В этой статье, предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции.

Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции в опорах, и этому уделяют особое внимание на термехе. А курс термеха, по традиции, читают до сопромата.

Для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Что такое реакция опоры?

Реакция опоры – это та сила, которая возникает в опоре от действия внешней нагрузки. В зависимости от конструкции опоры и ее назначения, в ней может появляться разное количество реакций, это может быть как сила, так и момент.

В начале этой статьи, расскажу о том, что должен уже уметь читатель, для успешного освоения данного урока. Если у Вас есть проблемы по поднятым вопросам на старте статьи, переходите по ссылкам на другие материалы на нашем сайте, после чего возвращайтесь к нам на чай реакции.

Во второй части статьи, посмотрим, как вычисляются реакции на простейшем примере – балки, загруженной по центру сосредоточенной силой. Тут я покажу, как пользоваться уравнениями равновесия статики, как их правильно составлять.

Дальше по плану, научу учитывать распределенную нагрузку, на примере той же балки. И завершать данный урок, будет пример определения реакций для плоской рамы, загруженной всевозможными типами нагрузок. Где применим уже все фишки, о которых я буду рассказывать по ходу урока.

Что же, давайте начнем разбираться с реакциями!

Что вы должны уже уметь?

В этом блоке статье, я расскажу, как и обещал, что Вы должны УЖЕ уметь, чтобы понять то, что я буду докладывать дальше, про реакции опор.

Должны уметь находить сумму проекций сил

Да, это то, что Вам когда-то рассказывали на термехе, как собственно, и опорные реакции. Если Вы шарите немного в этих проекциях, то можете смело переходить к следующему пункту. Если же нет, то специально на этот случай, у меня есть другая статья, про проекции сил. Переходите, просвещайтесь, после чего, обязательно, возвращайтесь сюда!

Должны уметь составлять сумму моментов относительно точки

Немного теории! Познакомимся для начала с самим понятием момент силы. Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр. Проиллюстрирую написанное:

На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.

Так же, для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

  • Если сила относительно точки крутит ПРОТИВ часовой стрелке, то момент положительный.
  • Если она крутит ПО часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.

Причем, это правило условно! Какое правило Вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают также как я рассказываю.

Должны разбираться в основных видах опор

Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье, будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как  Ri, где i — точка крепления опоры.

Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.

Вообще-то способов закрепления элементов конструкций и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.

Примеры определения сил реакций опор

Вроде, всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнем с простейшей расчетной схемы балки.

Определение реакций опор для балки

Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра. Загрузим ее, посередине пролета, сосредоточенной силой:

Для этой расчетной схемы, выгодно записать такое условие равновесия:
То есть, будем составлять две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах.

 В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того, что горизонтальные силы отсутствуют.

Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.

Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как RA и RB:

Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает ПО часовой стрелки, записываем ее со знаком МИНУС и умножаем на плечо. Сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем ее со знаком ПЛЮС и умножаем на плечо. Все это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию RB.

Первая реакция найдена! Вторая реакция находится аналогично, только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

После нахождения реакций, делаем проверку:

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:

Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно свернуть до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

 Определение опорных реакций для плоской рамы

Теперь, после освоения азов по расчету реакций, предлагаю выполнить расчет плоской рамы. Для примера, возьмем раму, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

  • заменяем опоры на реакции;
  • сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
  • вводим глобальную систему координат x и y.

Для такой расчетной схемы, лучше использовать следующую форму условий равновесия:

Составив первое уравнение, относительно точки A, сразу найдем реакцию в опоре B:

Записав второе уравнение, сумму проекций на ось х, найдем горизонтальную реакцию HA:

И, наконец, третье уравнение, позволит найти реакцию RA:

Не пугайтесь отрицательного значения реакции! Это значит, что при отбрасывании опоры, мы не угадали с направлением этой силы.

Расчет же показал, что RA, направленна в другую сторону:

В итоге, получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумму будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

Источник: https://ssopromat.ru/statika/kak-opredelit-reaktsii-v-oporah-dlya-balki/

Тема1.3. Пара сил и момент силы — Техническая механика

Моменты в теоретической механике

§1. Момент силы относительно центра (или точки)

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее момен­том.

Рассмотрим силу, приложенную в точке А твердого тела (рис. 1). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О.

Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , на­зывается плечом силы  от­носительно центра О.

Так как точку приложения силы можно произвольно переме­щать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 

1) от модуля силы F и длины плеча h

2) от поло­жения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силуF

3) от направления поворота к этой плоскости.

Рис.1. Сила, приложенная к телу

Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы  относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Момент силы  относительно центра О будем обозначать M

Следовательно,  М= ±Fh. Единицы измерения в системе СИ : Н·м,

Правило знаков для момента силы: момент пары сил будем считатьположительным, если пара стремиться повернуть тело по направлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если пара силстремится вращать тело против хода часовой стрелки. 

Отметим следующие свойства момента силы:

1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия.

2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью тре­угольника ОАВ (рис. 1)

M= ± 2пл.ΔOAB

§2.Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Докажем следующую теорему Вариньона:момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил от­носительно любого центра равен алгеб­раической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рис.2. Сходящаяся система сил

Рассмотрим систему сил, сходящихся в точке А (рис. 2). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О.

Для доказательства теоремы найдем соответствующие  выражения  моментов М(), М(), … . 

По формуле М() = +2пл.ΔОАВ1. Но, как видно из рисунка,  где F1x — проекция силы  на ось Ох; сле­довательно  М() = ОА · F1x                                                                     

Аналогично вычисляются моменты всех других сил.

Обозначим равнодействующую сил ,  через, где . Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим . Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем:

или  .

§3. Пара сил. Момент пары

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по ве­личине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. 3). Очевидно,  и .

Рис. 3. Пара сил

Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:

.

Расстояние aмежду линиями действия сил называется плечом пары.

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается отрицательным (как на рис. 3), если по часовой стрелке – положительным.

Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары  направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть от­туда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 4).

Нетрудно доказать, что вектор мо­мента пары  – есть вектор этого векторного произведения (рис. 4). И за­метим, что он равен вектору момента силы  относительно точки А, точки приложения второй силы:

.

Рис.4. Вектор момента пары сил

-урок «Пара сил и ее свойства»


1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.

2) Найдём сумму моментов сил оставляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.5).

Рис.5.  Пара сил

Покажем радиусы-векторы точек А1 и А2 и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О

.

Но . Поэтому .

Но .

Значит .

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, рав­ный моменту этой пары .

3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним.

Например, при силах F1=F2=5 H и плече а = 4 см момент пары m= 20 H∙см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см.

При этом момент останется прежним 20 Н∙см и действие пары на тело не из­менится.

Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вы­вод, что пары с одинаковым вектором момента  и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m (рис. 6). Или, если это пространственная конструкция, по­казывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела.

Значит вектор момента пары  – свободный вектор. Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости.

Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил.

Рис.6. Эквивалентные пары сил 

И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары ра­вен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z– есть проекция вектора момента пары  на эту ось:   ,  где  – угол между вектором  и осью z.

-уроки «Эквивалентность пар»


Пусть даны две пары с моментами mm2, расположенные в пере­секающихся плоскостях (рис. 7).

Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны: , а об­разующих вторую пару: .

Эти пары показаны на рис. 7, где . И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересе­чения плоскостей.

Рис.7.  Пары сил с моментами mm2

Сложив силы, приложенные к точкам А и В, построением паралле­лограммов, получим их равнодействующие .

Так как , то эти силы  и  будут образовывать пару, мо­мент которой , где  – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ.
Так как , то момент полученной пары   .

Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пере­секающихся плоскостях, получится пара сил. Момент её будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.

При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоско­стях, получим пару с моментом  .                                                                            

Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоско­сти перпендикулярной вектору .

Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие рав­новесия пар  =0.                 

Это является необходимым и достаточным условием равновесия систем пар.

Если пары расположены в одной плоско­сти, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно опре­делить как алгебраическую сумму моментов пар.

Рис.8. Моменты пар сил, расположенные в одной плоскости

 Например, пары, показанные на рис.8, расположены в одной плоскости и моменты их:

m1=2 Hсм , m2=5 Hсм, m3=3 Hсм. Пары урав­нове­шива­ются, потому что алгебраиче­ская сумма их моментов равна нулю:

Вопросы для самопроверки:

— Что называется моментом силы относительно центра на плоскости?

— Какая система сил называется парой?

— Можно ли заменить действие пары сил на тело одной силой?

— Что такое момент пары?

— Какая плоскость называется плоскостью действия пары?

— Какие пары называются эквивалентными?

— Что называется плечом пары?

— Запишите векторную и скалярную зависимости между элементами пары.

— Почему пара сил не имеет равнодействующей?

— Имеет ли пара сил равнодействующую?

— Каким образом можно уравновесить действие на тело пары сил?

— Что такое момент пары сил?

— Изменятся ли моменты пар сил, если положения сил, показанные на рис. а, изменить на положения, показанные на рис. б?

— Какие пары называются эквивалентными?

— Эквивалентны ли пары сил, изображенные на рисунке?

— Каким образом производится сложение пар сил?

— Сформулируйте условие равновесия пар сил.

— Чем характеризуется действие пары сил на твердое тело?

— Как направлен вектор момента пары сил?

— Как определяются моменты пар сил, лежащих в одной плоскости?

— Какие преобразования пары сил не изменяют ее действия на твердое тело?

— Сформулируйте теоремы об эквивалентности пар.

— Что называется результирующей парой?

— Запишите формулу для определения результирующей системы пар.

— Назовите условия равновесия плоской системы пар.

— Приведите векторную запись условия равновесия произвольной системы пар.

— Будет ли изменяться момент силы относительно точки, если, не меняя направления, переносить силу вдоль линии ее действия?

— На тело действуют две силы F1 = 40 Н и F2 = 50 Н, как показано на рисунке (а = 0,5 м, b = 0,8 м, ). Какая из сил создает больший момент относительно точки О?

— Что такое главный вектор и главный момент плоской системы сил?

— Как аналитически найти главный вектор и главный момент данной плоской системы сил?

— В чем сходство и в чем различие между главным вектором плоской системы сил и ее равнодействующей?

— Сформулируйте теорему Вариньона.

— Приведите векторную запись теоремы Вариньона.

—  Чему равен главный вектор системы сил?

— Чему равен главный момент системы сил при приведении ее к точке?

— Тело движется равномерно и прямолинейно (равновесие). Чему равны главный вектор и главный момент системы?

Источник: https://www.sites.google.com/site/tehmehprimizt/lekcii/teoreticeskaa-mehanika/statika/para-sil-i-moment-sily

Моменты в теоретической механике

Моменты в теоретической механике

Определение 1

Теоретическая механика представляет раздел физики, в котором изложены основные законы механических взаимодействий и движений материальных тел.

Определение 2

В теоретической механике говорится о таком понятии, как момент силы. Он представляет собой величину, характеризующую вращательную способность силы.

Парой сил считается система двух параллельных, противоположно направленных и равнозначных по модулю сил: $\vec{F}$, $\vec{F2}$. Тело, под воздействием пары сил, будет совершать вращательные движения.

Системой сил является комплекс сил, оказывающих непосредственное воздействие на механическую систему. Плоскую систему при этом представляют силы, чьи линии действия лежат в одной плоскости. Пространственную систему – силы, у которых линии действия не лежат в одинаковой плоскости.

Систему сходящихся сил представляют силы, чьи линии действия будут пересекаться в одной точке. В произвольной системе линии действия сил не будут пересекаться в одной точке.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Равновесное состояние характеризует такое положение, тело при котором в момент действия сил или сохраняет неподвижность, или движется равномерным и прямолинейным образом.

Уравновешенной системой сил считается такая система, которая, прилагаясь к свободному твердому телу, сохраняет неизменность его механического состояния (то есть не выводит из равновесия). Равнодействующей силой будет та сила, чье воздействие на тело эквивалентно действиям системы сил.

Проекцию силы на ось представляет заключенный между перпендикулярами отрезок. При этом они проведены из начала и конца вектора силы к данной оси. Проекция положительная при совпадении направленности отрезка и положительного направления оси. Проекцию силы на плоскость представляет вектор на плоскости между перпендикулярами, которые проведены из начала и конца вектора силы к такой плоскости.

Момент силы относительно оси

Замечание 1

Моментом силы относительно оси будет считаться момент проекции такой силы на перпендикулярную оси плоскость в отношении точки их пересечения.

Момент окажется положительным при условии, что поворот, совершаемый силой, осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным – если против, записывается это формулой:

$M_z (\vec{F} = M_0 (\vec{F_xy}) = hF_xy$

Для нахождения момента силы относительно оси нужно:

  • провести перпендикулярно оси $z$ плоскость и спроецировать на нее силу $F$;
  • спроецировать силу $F$ на вышеуказанную плоскость с последующим вычислением величины проекции $F_xy$;
  • провести $h$ (плечо) из точки, где пересекается ось с плоскостью, на линию действия проекции $F_xy$ с последующим определением его длины;
  • вычислить произведение этого плеча, а также — проекции силы с соответствующим знаком.

Нулевое значение момент силы относительно оси обретает в том случае, когда $F_xy=0$ (при параллельности силы $F$ оси). Второе условие заключается в том, что линия действия силы будет пересекать ось, т.е. $h=0$.

Равнодействующую $R$ двух сходящихся сил находят по аксиоме параллелограмма сил. Геометрическую сумму любого числа сходящихся сил вычисляют посредством последовательного суммирования двух сил (способом векторного многоугольника).

Таким образом, систему сходящихся сил $\vec{F_n}$ приводят к одной равнодействующей силе $\vec{R}$

Аналитически равнодействующую силу определяют ее проекцией на оси координат:

$R=\sqrt{R_x2+R_y2R_z2}$

Исходя из теоремы, проекция равнодействующей на ось вычисляется формулой:

$R_x=F_1x+F_2x+F3x$

Или

$F_kx=\sum{F_kx}$

С учетом этого, равнодействующую определяет выражение:

$R=\sqrt{(\sum{F_kx})2+(\sum{F_ky})2+(\sum{F_kz})2}$

Действие системы для сходящихся сил будет эквивалентным действию одной равнодействующей силы. Условием равновесия тела считается нулевое значение равнодействующей, т.е. $\vec{R}=0$

Из формулы $R=\sqrt{(\sum{F_kx})2+(\sum{F_ky})2+(\sum{F_kz})2}$ следует, что главным и необходимым условием равновесного состояния пространственной системы сходящихся сил будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$, $Z$:

$\sum{F_kx}=0$

$\sum{F_ky}=0$

$\sum{F_kz}=0$

Необходимым условием равновесия для плоской будет нулевое значение суммы проекций всех сил на оси $X$, $Y$:

$\sum{F_kx}=0$

$\sum{F_ky}=0$

Момент силы относительно точки

Абсолютное значение момента в теоретической механике вычисляется формулой:$M_0(\vec{F})=hF$

При положительном моменте сила вращает плечо $h$ против часовой стрелки, а при отрицательном – по часовой.

Согласно свойствам момента силы относительно точки, он сохраняет свою неизменность, если точка приложения силы переносится вдоль линии ее действия. Еще одно свойство проявляется в том, что момент равнодействующей силы относительно точки определяет сумма моментов слагаемых сил в отношении этой точки:

$M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_1})$,

где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$

Момент пары сил

Момент пары сил определяет формула: $M(\vec{F},\vec{F})=Fh$где $\vec{F},\vec{F}) – силы, которые составляют пару, $h$ — плечо пары. — плечо пары.

Момент пары окажется положительным при стремлении сил к вращению плеча против часовой стрелки. Свойства пары сил выражены в: нулевом значении суммы проекций сил на ось; неизменности момента пары при одновременном изменении значения сил и плеча пары, возможности переноса пары в плоскости ее действия при неизменности действия пары на тело.

Момент силы относительно точки будет выражать следующая формула: $M_0(\vec{F})=hF$. Момент окажется положительным при стремлении силы к вращению плеча против часовой стрелки и отрицательным – когда вращать будет по часовой.

Свойства момента силы в отношении точки выражаются в следующем: его неизменности в момент переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия; момент равнодействующей силы в отношении точки представляет суммарное значение моментов слагаемых сил относительно нее: $M_0(\vec{R})=M_0(\vec{F_1})+M_0(\vec{F_2})$, где $\vec{R}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$, нулевом значении момента силы при прохождении линии действия силы через точку ее приложения;

Приложенную к твердому телу силу возможно перенести. При этом будет неизменным оказываемое ею действие, а перенос осуществляется параллельно в другую точку тела.

Также при этом добавляется пара сил с моментом, равнозначным переносимой силе относительно точки, куда она переносится. Вследствие вышеуказанного преобразования мы наблюдаем формирование сходящейся системы сил и суммы моментов пар сил.

Действие такой системы заменяют действия суммарной силы, а действие моментов — суммарный момент.

Суммарный вектор $\vec{R}$ считается главным вектором системы сил. Суммарный момент $M_0(\vec{F_k})$ — основной момент системы сил.

Итогом становится тождественное преобразование произвольной системы сил в главный вектор и момент такой системы. Аналитически главный вектор и момент системы могут определяться их проекциями на оси координат:

$R=\sqrt{\sum{R_kx}2+\sum{R_ky}2+\sum{R_kz}2}$

$M=\sqrt{\sum{M_kx}2+\sum{M_ky}2+\sum{M_kz}2}$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/teoreticheskaya_mehanika/momenty_v_teoreticheskoy_mehanike/

Booksm
Добавить комментарий