Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности

Вещество в магнитном поле. Вектор наманниченности. Связь молекулярных токов с величиной вектора намагниченности. Магнитная проницаемость, восприимчивость

Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности

Если несущие ток провода находятся в какой-либо среде, магнитное поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться).

Намагниченное вещество создает магнитное поле В', которое накладывается на обусловленное токами поле Во. Оба поля в сумме дают результирующее поле .

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний.

Под В подразумевается усредненное (макроскопическое) поле. Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле.

В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего обусловленное ими результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю.

Под действием поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается — его суммарный магнитный момент становится отличным от нуляМагнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не компенсируют друг друга и возникает поле В'.

Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченностью (вектор намагниченности) и обозначают буквой J. Если магнетик намагничен неоднородно, намагниченность в данной точке определяется следующим выражением:

где — физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме . Поле В', так же как и поле Во, не имеет источников. Поэтому дивергенция результирующего поля В равна нулю: .

Можно найти такую вспомогательную величину, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов. Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, выразим плотность молекулярных токов через намагниченность магнетика J.

С этой целью вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых некоторым контуром Г , где S — поверхность, натянутая на контур. В алгебраическую сумму молекулярных токов входят только те молекулярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур.

Токи, не «нанизанные» на контур, либо не пересекают натянутую на контур поверхность совсем, либо пересекают эту поверхность дважды — один раз в одном направлении, второй раз в другом. В результате их вклад в алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, оказывается равным нулю. Из рис.

видно, что элемент контура dl, образующий с направлением намагниченностиJ угол α, нанизывает на себя те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом Sмол cos α dl(Sмол — площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если n — число молекул в единице объема, то суммарный ток, охватываемый элементом dl, равен

IмолnSмол cos α dl.

Произведение IмолSмол равно магнитному моменту рm отдельного молекулярного тока. Следовательно, выражение IмолnSмол представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора j, a IмолnSмол cos α проекцию вектора j на направление элемента dl.

Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, равен j dl, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром равна . Преобразовав правую часть по теореме Стокса, получим .

Это равенство, к которому мы пришли, должно выполняться при произвольном выборе поверхности S. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные выражения равны в каждой точке магнетика: . ( — ротор). Таким образом, плотность молекулярных токов определяется значением ротора намагниченности.

В случае, когда [yJ]=0, молекулярные токи отдельных молекул ориентированы так, что их сумма в среднем равна нулю.

Выражение . Преобразовав это выражение получим . След. .Н -есть искомая нами вспомогательная величина, ротор которой определяется одними лишь макроскопическими токами. Эта величина называется напряженностью магнитного поля .

Если макроскопические токи текут по проводам, охватываемым контуром, то — теорема о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического смещения D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные электрическим зарядам магнитные массы, и учение о магнетизме развивалось по аналогии с учением об электричестве.

В те времена и были введены названия: «магнитная индукция» для В и «напряженность поля» для Н.

Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в природе не существует и что величина, названная магнитной индукцией, в действительности является аналогом не электрического смещения D, а напряженности электрического поля Е (соответственно Н — аналогом не Е, a D).

Однако изменять уже установившуюся терминологию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного полей (электростатическое поле потенциально, магнитное — соленоидально *)) величины В и D обнаруживают много сходства в своем поведении (например, линии В, как и линии D, не претерпевают разрыва на границе двух сред). В вакууме J=0, поэтому Н превращается в В . Напряженность магнитного поля имеет размерность, равную размерности силы тока, деленной на размерность длины. В связи с этим единица напряженности магнитного

поля в СИ носит название ампер на метр (А/м).

Из этого определения следует, что в вакууме Н совпадает с В. В соответствии с этим единица Н в гауссовой системе, называемая эрстедом (Э), имеет ту же величину и размерность, что и единица магнитной индукции — гаусс (Гс). По существу эрстед и гаусс суть разные названия одной и той же единицы. Если этой единицей измеряют Н, ее называют эрстедом, если измеряют В, то — гауссом.

Намагниченность принято связывать не с магнитной индукцией, а с напряженностью поля. Полагают, что в каждой точке магнетика , где χ— характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью.

Опыт показывает, что для слабомагнитных (неферромагнитных) веществ при не слишком сильных полях χ не зависит от Н. Размерность Н совпадает с размерностью J.

Следовательно, χ — безразмерная величина.

. Безразмерная величина М называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

В отличие от диэлектрической восприимчивости κ которая может иметь лишь положительные значения (поляризованность Р в изотропном диэлектрике всегда направлена по полю Е), магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость и. может быть как больше, так и меньше единицы.

Таким образом, напряженность магнитного поля Н есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в раз меньший по модулю (в анизотропных средах векторы Н и В, вообще говоря, не совпадают по направлению).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_345131_veshchestvo-v-magnitnom-pole-vektor-namannichennosti-svyaz-molekulyarnih-tokov-s-velichinoy-vektora-namagnichennosti-magnitnaya-pronitsaemost-vospriimchivost.html

Лекция № 7. § 7 – 1 Модель молекулярных токов

Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности

Под действием магнитнго поля все тела приобретают магнитные свойства– в веще-

стве появляются собственные магнитные поля так, что теперь поле внутри вещества скла-дывается из внешнего поля и собственного. В этом смысле принято говорить, что все тела являются магнетиками. Простейшее объяснение проявления магнетизма связано с гипо-тезой молекулярных токов, высказанной еще в начале XIX века Ампером.

Согласно этой ги-потезе в веществе циркулируют микроскопические замкнутые токи — молекулярные токи. С точки зрения современных представлений о строении вещества нетрудно заметить, что эта гипотеза предвосхитила электронную теорию строения атома, где каждый вращаю-щийся вокруг ядра атома электрон представляет собой элементарный круговой ток.

В отсутствие внешнего поля орбиты молекулярных токов, а, следовательно, и их магнитные моменты рМ (напомним, что рМ =IS) ориентированы хаотически в пространстве так, что вещество не проявляет никаких магнитных свойств.

При наложении внешнего магнитного поля моменты ориентируются вдоль силовых линий этого поля (также как рам-ка с током) так, что каждый бесконечно малый объем DV вещества приобретает отличный от нуля магнитный момент, — вещество намагничивается.

Суммарный магнитный момент единицы объема называется намагниченностью и определяется выражением:

.

В большинстве случаев значение намагниченности оказывается пропорциональным величи-не магнитного поля J~cB, где коэффициент пропорциональности c носит название магнит-ной восприимчивости.

Однако существует группа веществ, у которых упорядочение мо-ментов происходит самопроизвольным способом.

Эти вещества получили название ферро-магнетиков ( по названию первого известного ферромагнетика – железа).

§ 7 – 2 Связь молекулярных токов с вектором намагниченности.

Для установления соотношения между намагниченностью и молекулярными токами

Рис.27. К расчету молекулярных токов. мысленно выделим внутри вещества некото-рую поверхность S, ограниченную контуром L, и найдем полный молекулярный ток через эту поверхность. Ясно, что вклад в этот ток дадут только те молекулярные токи, которые охватывают линию контура L.Подсчитаем сначала ток DIM на малом элементе Dl. Этот элемент охватывает только те токи, центры которых лежат внутри изображенного на

рис. 27 цилиндра. Число таких токов равно произведению концентрации молекул n0 на объем цилиндра sDlcosa, где s – площадь молекулярного тока, a — угол между элементом Dl и вектором намагниченности J. Обозначая силу каждого элементарного тока i, можно найти, что DIM = i n0 Dlcosa. Учтем, что is = pM , а n0pM = J.

Кроме того, Jcosa = Jl и DIM = Jl Dl. Полный молекулярный ток через поверхность получим суммированием всех DIM по контуру L:

,

т.е. полный молекулярный ток определяется циркуляцией вектора намагниченности.

Строгая теория магнетизма делает вывод, что для молекулярных токов на поверхно-сти полученная формула сохраняет свой вид, лишь вместо DIM фигурируют поверхностные тока In . В любом случае, при наличии вещества в правую часть теоремы о циркуляции добавляются молекулярные токи, и

Преобразуем это выражение, перенося интеграл циркуляции в левую часть. Тогда

(¨)

Сравнивая последнее соотношение (¨) с теоремой о циркуляции магнитного поля в ваку-уме, находим

,

где обозначение В0 соответствует магнитному полю в вакууме; нетрудно заметить, что подинтегральные варажения двух последних уравнений должны быть одинаковыми. Из этого следует, что

(В — m0J) = B0 . ( ´´)

Как уже отмечалось, для большинства магнетиков J ~ cB0 . Коэффициент пропорцио-нальности, который требуется ввести, чтобы установить точное соотношение между J и B0 , зависит от выбора системы единиц. В выбранной нами системе СИ этот коэффициент равен 1/m0 , т.е. .

Подставляя это выражение для намагниченности в уравнение ( ´´), получим B — cB0 =B0 , и

B = (1+c)B0 .

Величина (1+c) = m называется относительной магнитной проницаемостью, т.е. В =mВ0 .

§ 7 – 3 Классификация магнетиков.

Принято различать три класса магнетиков:диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

1.Диамагнетики. Диамагнетизм – явление универсальное.Оно обусловлено законом элетромагнитной индук-ции. В момент включения магнитного поля элементарные молекулярные токи в веществе изменяются таким образом, чтобы воспрепятствовать возникновению внешнего поля, т.е.

индуцированный дополнительный магнитный момент направлен против внешнего поля. Суммарное действие всех элементарных индуцированных моментов приводит к тому, что внешнее магнитное поле В0 уменьшается: В = В0 – В инд . Это означает, что m = (1+c )< 1 или c< 0.

Величина cдиам крайне незначительна и составляет около 10 –4 – 10-5. 2.Парамагнетики.

К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых имеют незаполненные электронные оболочки, причем число электронов на них должно быть нечетно.

Тогда каждый атом можно рассматривать как элементарный молекулярный ток, магнитный момент которого ориентируется вдоль направления внешнего поля., т.е. В = В0 +Всобст .Очевидно, что для

этих веществ c > 0. Значения c парам достигают величины порядка 10 –3. …….
3.Ферромагнетики. . В этих веществах между отдельными атомами возникает особый вид взаимодействия, имеющий сугубо квантовомеханическое происхождение и поэтому нами не рассматри-ваемый. Это взаимодействие носит название обменного. Благодаря этому взаимодействию в ферромагнетиках возникают малые, но конечные области – так называемые домены, где все атомные магнитные моменты оказываются упорядоченными так, что каждый домен намагничен. Однако в макроскопическом объеме взятого образца домены ориентированы хаотически, и суммарный магнитный момент всего образца равен нулю. Внешнее магнит-ное поле стремится ориентировать все домены в одном направлении – образец намагничи-вается. Характерной особенностью ферромагнетиков является то, что собственное магнит-ное поле значительно превышает внешнее, т.е. для них m >>1 ( для некоторых сплавов железа m » 10 6 .

§ 7-4 Магнитное поле Земли.

Известно, что планета Земля представляет собой гигантский постоянный магнит, северный полюс которого находится в южном полушарии Земли, а южный – на севере Канады, примерно в 1500 км от северного географического полюса.

Несовпадение магнитных и географических полюсов приводит к тому, что стрелка компаса не указывает точно на полюс. Это явление известно как склонение. Для Москвы склонение – восточное, оно составляет 6,50. Установлено, что магнитное поле Земли оказывает влияние на сезонные миграции зверей и птиц .

Менее известным фактом является то, что поле Земли защищает все живое на планете от убийственного действия космической радиации, создавая вокруг планеты радиационные пояса.Нижний радиационный пояс находится на высоте 200–600 км, тогда как верхний постирается до 1500 км.

Кроме того, магнитное поле Земли отклоняет потоки частиц от Солнца в области, прилегающие к полюсам, вызывая полярные сияния.

Переменный ток.

Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 78; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-66394.html

Тема vii. магнитное поле в веществе

Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности

Найдем связь вектора намагничивания с поверхностной плотностью тока намагничивания, выделив внутри тела малый

объем в виде цилиндра с образующими, составляющими угол α с вектором магнитной индукции и основаниями перпендикулярными направлению поля (рис.93).

Рассчитаем магнитный момент этого малого объема, исходя из двух позиций. Во-первых, если вещество однородное и изотропное, то: Pm = JV = JSH = JSL cosα .

Во вторых, если учесть поверхностный ток намагничивания, то: Pm = Inob S = inob LS .

Сравнив эти выражения, получим: inob = J cosα = Jl = Jlo — линейная плотность поверхностного тока намагничивания вдоль произвольного направления равна проекции вектора намагничивания на это направление.

В отличие от объемных токов поверхностные токи всегда возникают при намагничивании тел.

На рис.94 картина поверхностных молекулярных токов в случае однородно намагниченного шара. Линейная плотность поверхностного тока максимальна на «экваторе» так как

Jl = Jr и убывает до нуля при приближении к полюсам.

§ 41. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В МАГНЕТИКАХ. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ.

Токи намагничивания, по своей природе, те же, что и токи проводимости, для которых получены уравнения описывающие магнитное поле в вакууме.

1.∫∫BdS = 0илиdivB = 0 — фундаментальное свойство магнитного поля.
2.∫Brdlr = µ0 I охвилиrotBr = µ0 j — справедливо в вакууме, а в магнетиках необходимо учитывать токи
намагничивания:rotB = µ0 (rj0 + rjm ), гдеj0 — объемная плотность токов проводимости.
∫Brdlr = µ0 ∫∫(rj0 + jm )dSr— теорема оциркуляции вектора магнитной индукции в магнетиках (веществе):

циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру в магнетиках равна произведению магнитной постоянной на суммарный ток проводимости и намагничивания сквозь любую замкнутую поверхность, опирающуюся на этот контур.

Распределение и сила токов намагничивания не известны, поэтому эта формула непригодна для расчетов поля. Преобразуем выражение теоремы о циркуляции в дифференциальной форме, используя связь объемных токов

намагничивания с вектором намагничивания: rotJ = jm

1rrrBrr
µ0rotB − rotJ = j0rotµ0− J= j0
,.
Введем вектор напряженности магнитного поля :
rBrrrotHr = rj0 — дифференциальная форма теоремы о циркуляции для вектора напряженности.
H=− J
µ0,тогда
rrrr
∫Hdl = ∫∫j0dS= I0
L— теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля: циркуляция вектора

напряженности по любому замкнутому контуру равна суммарному току проводимости, охваченному этим контуром.

Эта теорема позволяет, по известным токам проводимости, получить функциональную зависимость напряженности

магнитного поля от координат в любом магнетике, в том числе и анизотропном. [H ]= А/м

Хотя циркуляция вектора напряженности определяется только токами проводимости, сам вектор напряженности включает в себя вектор намагничивания, характеризующий намагниченность среды. Поэтому напряженность магнитного поля не является чисто полевой характеристикой, и в литературе иногда этот вектор называют вспомогательным.

Источник: https://studfile.net/preview/5623723/page:11/

Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности

Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности

Магнитное поле, подобно полю электрическому может быть макроскопическим и микроскопическим. Микроскопическое поле возникает в результате движения элементарных зарядов в веществе.

Макроскопическое поле — результат усреднения микроскопических полей по бесконечно малым объемам пространства. Вращения электронов и ядер атомов по отношению к создаваемому ими магнитному полю эквивалентны токам, которые текут в атомах вещества.

Средняя плотность такого тока в веществе равна нулю, переноса электрического заряда на макроскопические расстояния не происходит.

В ненамагниченных магнетиках молекулярные токи распределены хаотично, их магнитные поля в среднем взаимно компенсируют друг друга. Намагниченный магнетик можно характеризовать упорядоченным характером молекулярных токов, благодаря чему результирующее магнитное поле вещества не равно нулю.

В тех магнетиках, которые являются проводниками (например, металлы) различают токи проводимости (плотность тока проводимости $\overrightarrow{j_{pr}}$), которые относят к упорядоченному движению заряда в макроскопическом понимании (например, движению свободных электронов в металле) и молекулярные токи ($\overrightarrow{j_m}$), тогда микроскопическую плотность тока ($\overrightarrow{j_{mik}}$) в среде вычисляют как:

\[\overrightarrow{j_{mik}}=\overrightarrow{j_m}+\overrightarrow{j_{pr}}\ \left(1\right).\]

Часто предполагают, что отличие токов проводимости от молекулярных токов в том, что молекулярные токи замыкаются внутри микроскопически малых объектов пространства. Подобное разделение токов на два типа упрощает вывод макро уравнений поля из посылок электронной теории.

Молекулярные токи и индукция магнитного поля

Для того, чтобы вычислить индукцию макроскопического поля молекулярные токи заменяют макроскопическими токами, которые непрерывно изменяются в пространстве. Такие токи имеют название токов намагничивания. Дальше эти плотность этих токов будем обозначать $\overrightarrow{j_m}$.

Плотность токов проводимости будем обозначать $\overrightarrow{j}$. Так получаем, что магнитное поле порождается токами проводимости и токами намагничивания. Если известны эти токи, то можно вычислять индукцию поля $\overrightarrow{B},$ используя формулы для вакуума.

В таком случае теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля будет иметь вид:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}\overrightarrow{dl}}={\mu }_0\left(I+I_m\right)\left(2\right)\]

или в дифференциальной форме:

\[rot\overrightarrow{B}={\mu }_0\left(\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}_m\right)\left(3\right),\]

где I — ток проводимости, $I_m$ — ток намагничивания, полные токи, которые пронизывают контур L.

Итак, возникновение магнитных моментов связано с наличием круговых токов. Токи в элементарных объемах, которые приводят к возникновению магнитных моментов, назвали молекулярными токами. Однако не следует воспринимать этот термин буквально.

Молекулярные токи, строго говоря, могут течь только внутри молекулы. При определении намагниченности и других параметров имеют в виду усредненные величины.

Магнитные моменты представляют размазанными по объему вещества, а молекулярные токи текущими по всему объему.

Намагниченность

Для характеристики состояния намагниченного состояния магнетика используют вектор намагниченности $(\overrightarrow{J})$.

Намагниченностью ($\overrightarrow{J}$) называют физическую величину, которая равна:

\[\overrightarrow{J}=\frac{1}{\triangle V}\sum\limits_{\triangle V}{{\overrightarrow{p}}_{mi}(4)},\]

где $\triangle V$ — элементарный объем, $\overrightarrow{p_{mi}}$ — магнитные моменты молекул, суммирование осуществляется по всем молекулам в объеме $\triangle V$. Из формулы (4) имеем, что:

\[p_m=\overrightarrow{J}dV\left(5\right).\]

Связь намагниченности с молекулярными токами

Рассмотрим бесконечно маленький замкнутый контур L, который ограничивает элемент площади $\triangle S$ (рис.1). Вычислим циркуляцию намагниченности ($\overrightarrow{J}$) по контуру:

Рис. 1

\[\int\limits_L{\overrightarrow{J}\overrightarrow{dl}=\int\limits_L{J_{\tau }dl}\left(6\right),}\]

где $J_{\tau }$- тангенциальная составляющая вектора намагниченности вдоль контура L. Эта составляющая возникает за счет токов, которые текут по замкнутым контурам вокруг линии, вдоль которой проводится интегрирование.

Умножим и разделим правую часть выражения (6) на величину $\delta S$ (площадь которую обтекает ток в плоскости, которая перпендикулярная линии интегрирования), проведем преобразования в том числе используя выражение (5):

\[\int\limits_L{J_{\tau }dl}=\int\limits_L{J_ф\frac{dl\delta S}{\delta S}}=\int\limits_L{J_{\tau }\frac{dV}{\delta S}}=\int\limits_L{\frac{dp_m}{\delta S}}\left(7\right).\]

В соответствии с определением магнитного момента ($p_m=IS\to {dp}_m=\delta I\delta S,\ $)$\ где\ \delta I\ сила\ тока,\ который\ обтекает\ площадку\ \ \delta S,$ причем$\ \delta I$ пересекает $\triangle S$ по нармали. Получаем из (7):

\[\int\limits_L{\frac{dp_m}{\delta S}}=\int\limits_L{\frac{\delta I \delta S}{дS}}=\int\limits_L{\delta I}=\triangle I_n\left(8\right),\]

где $\triangle I_n$- нормальная составляющая силы тока, которая пересекает площадку $\triangle S.$ В результате мы получили:

\[\int\limits_L{\overrightarrow{J}\overrightarrow{dl}=\triangle I_n\left(9\right).}\]

Из выражения (9) легко получить:

\[\overrightarrow{j_m}=rot\overrightarrow{J}\left(10\right).\]

Формула (10) — выражение для объемной плотности молекулярных токов, которые являются причиной намагниченности $\overrightarrow{J}$.

Молекулярные токи могут течь и по поверхности раздела меду магнетиками или между магнетиком и вакуумом. Тогда поверхностная плотность молекулярного тока ($i_{m.p}=\frac{\triangle I_{m.pov}}{l}$) равна:

\[\overrightarrow{i_{m.p}}=\overrightarrow{n}\times \left(\overrightarrow{J_2}-\overrightarrow{J_1}\right)\left(11\right),\]

где $\overrightarrow{n}$ — единичные вектор нормали к поверхности раздела, направленные во вторую среду.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Получите формулу, связывающую объемную плотность молекулярных токов и вектор намагниченности ($\overrightarrow{j_m}=rot\overrightarrow{J}$).

Решение:

Найдем составляющую ротора вектора намагниченности в направлении нормали к площадке $\triangle S\ (рис.1)$. Используем определение ротора и равенство (1.1):

\[\int\limits_L{\overrightarrow{J}\overrightarrow{dl}=\triangle I_n\left(1.1\right).}\]

получим:

\[{rot}_n\overrightarrow{J}={\mathop{lim}_{\triangle S\to 0} \frac{\int\limits_L{\overrightarrow{J}\overrightarrow{dl}}}{\triangle S}\ }={\mathop{lim}_{\triangle S\to 0} \frac{\triangle I_n}{\triangle S}=j_{mn}\ }\left(1.2\right),\]

где ${\mathop{lim}_{\triangle S\to 0} \frac{\triangle I_n}{\triangle S}=j_{mn}\ }$

$j_{mn}$— нормальная составляющая плотности молекулярных токов. Это логично, так как именно они отвечают за возникновение намагниченности.

Равенство (1.2) выполняется при любой ориентации площадки $\triangle S,$ то есть для любых компонент $rot\overrightarrow{J}\ $и $\overrightarrow{j_m}$. Следовательно, имеет место равенство:

\[\overrightarrow{j_m}=rot\overrightarrow{J}\left(1.3\right).\]

Пример 2

Задание: Покажите, что поля постоянного магнита в виде цилиндра и поле соленоида с током эквивалентны.

Рис. 2

Решение:

Найдем поверхностную плотность молекулярного тока однородного намагниченного цилиндра (рис.2), который является постоянным магнитом.

Намагниченность цилиндра ($\overrightarrow{J_1}$) изображена на рис.2 стрелкой. В вакууме намагниченность равна нулю $J_2=0.$ Нормаль $\overrightarrow{n}$ — внешняя нормаль к цилиндру. В соответствии с формулой:

\[\overrightarrow{i_{m.p}}=\overrightarrow{n}\times \left(\overrightarrow{J_2}-\overrightarrow{J_1}\right)\left(2.1\right),\]

плотность поверхностного молекулярного тока, который течет по цилиндру, равна:

\[\overrightarrow{i_{m.p}}=\overrightarrow{n}\times \left(-\overrightarrow{J_1}\right)=\overrightarrow{J_1}\times \overrightarrow{n}\left(2.2\right).\]

Одна из линий тока показана как окружность со стрелкой. Намагниченность $\overrightarrow{J_1}$ составляет с текущим по поверхности током правовинтовую систему. Из формулы:

\[rot\overrightarrow{J_1}=0\ \left(2.3\right).\]

следует, что объемные молекулярные токи внутри цилиндра отсутствуют.

Ответ: Поле вне цилиндра создано поверхностными молекулярными токами, которые текут по окружностям. Этим доказано, что поля постоянного цилиндрического магнита и поле соленоида эквивалентны.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/magnetiki/molekulyarnye_toki_ih_svyaz_s_vektorom_namagnichennosti/

Booksm
Добавить комментарий