Модели математической физики

Модели математической физики

Модели математической физики

Определение 1

Математическая физика (МФ) — это общее название различных математических методов решения и исследования ряда дифференциальных уравнений физики.

Теория математических моделей физических явлений занимает особое положение в физике и математике, находясь на стыке этих наук.

МФ связана с физикой в той области, которая касается построения математической модели. МФ – это и раздел математики, так как методы исследования моделей — математические.

Замечание 1

В физике под моделью понимают особую систему, которая отображает или воспроизводит объект исследования.

Математические модели

Если речь идет о математической модели, то под ней понимают систему математических соотношений, которая описывает, исследует явление или процесс. Модель имеет довольно важное значение для таких видов наук, как:

  • экология;
  • экономика;
  • физика;
  • социология;
  • химия;
  • информатика;
  • механика;
  • биология и др.

При получении моделей применяют специальные законы конкретных наук, общие законы естествознания, результаты активных и пассивных экспериментов, имитационное моделирование при помощи ПК. Математические модели позволяют рассчитать целевую функцию (выходные параметры процесса), предположить ход процесса, проектировать системы с желаемыми характеристиками, управлять процессом.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Создание математических моделей

Для создания моделей используют математические средства:интегральных уравнений или язык дифференциальных, инструменты теории вероятностей, абстрактной алгебры, теории множеств, математическую логику, графы и другие.

Замечание 2

Сам процесс создания математической модели носит название математическое моделирование. Это общий и более используемый в науке, в первую очередь, в кибернетике, метод исследований.

Если отношение задаются аналитически, то их можно будет решить в замкнутом виде (явно) касательно искомых переменных как функции от параметров модели, или в замкнутом частично виде (неявно), когда переменные зависят от многих параметров модели.

Если невозможно получить точное решение модели, применяют вычислительные или многочисленные методы, или иные виды моделирования.

Учитывая то, каковы внешние возмущения и параметры системы, модели могут быть стохастическими и детерминированными. Последние имеют важное значение при проектировании и исследовании больших систем со сложными свойствами и связями, которые очень трудно учесть.

Математическое описание непрерывного процесса представляет собой непрерывную модель.

Методы математической физики

В математической физике рассматриваются такие проблемы:

Заключается прямая проблема в следующем. Дано правило определения физической величины в каждой точке пространства. Обратная проблема заключается в нахождении физической величины, то есть определенного вида математического поля, если известны условия, где находится физический объект.

Любой процесс или физическое явление представляют собой изменения физических величин (векторных, скалярных, тензорных) со временем и в пространстве. Поэтому математическое поле описывается функциями независимых переменных x, y, z и t. И задача их заключается в поиске этих функций.

Задачи математической физики

Постановка задач МФ – это построение математических моделей, которые описывают главные закономерности исследуемого класса для физических явлений. Подобная постановка состоит в выводе конечных уравнений (интегральных, дифференциальных, алгебраических или интегро-дифференциальных), которые удовлетворяют ряд величин, характеризующие физические процессы.

Исходя из главных физических законов, учитывают лишь наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик.

Подобными законами являются законы сохранения, например, энергии, импульса, числа частиц.

Все это приводит к тому, что для процесса описания процессов всевозможной физической природы, имеющих характерные общие черты, оказывается можно применить те же математические модели.

К примеру, все математические задачи для уравнения гиперболического типа, которое получено Ж. Д. Аламбером (1747 году) для процесса описания свободных колебаний однородной струны, что оказываются пригодными и для описания волновых процессов гидродинамики, акустики, электродинамики и других областей физики.

Аналогично, краевые задачи, уравнения, для которого изучались первоначально П. Лаплас (конец XVIII в.), связанные с построением теории тяготения, в дальнейшем уже нашли свое применение при процессе решения ряда проблем теории упругости, электростатики, задач устойчивого движения идеальной жидкости и т.д.

Любой математической модели физики соответствует определенный класс физических процессов.

Для МФ характерно, что общие методы, которые можно применять для решения задач математической физики, развились из частных способов решения определенных физических задач и не имели в своем первоначальном виде достаточного совершенства и строгого математического обоснования. Это относится к известным методам решения задач математической физики, как методы Галеркина и Ритца, к методам теории преобразований Фурье, возмущений и других, включая также метод разделения переменных.

Подобное эффективное применение всех методов для решения конкретных задач в дальнейшем стало стимулом для их математического обобщения и обоснования, что приводит к возникновению новых видов математических направлений.

Влияние на различные разделы математики математической физики проявляется и в том, что развитие математической физики, которой отражает требования естественных наук, может привести к переориентации направленности исследований в ряде разделов математики. Постановка ряда задач математической физики связана с созданием ряда моделей физических явлений.

Появилась теория краевых задач, которая позволила связать в дальнейшем дифференциальное уравнение в частных производных, вместе с вариационными методами и интегральными уравнениями.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/matematicheskaya_fizika/modeli_matematicheskoy_fiziki/

Математические открытия или изобретения? Связь математики с физикой

Модели математической физики

Роль математики в физике сложно переоценить. Известна цитата Галилео Галилея «Математика — это язык, на котором написана книга Природы».

Но только ли языком является современная математика? Работа математиков заключается в нахождении новых математических объектов и исследовании их свойств и взаимосвязей.

Со времен Галилея появилось множество новых разделов математики со своим языком для описания математических объектов.

Возьмем известный всем математический объект — функцию. В школьной программе ее вводят в виде \( \displaystyle y=f(x)\) и подразумевают задание какой-то зависимости переменной y от переменной x.

Однако с точки зрения теории множеств, функция — это отображение одного множества в другое:

\( \displaystyle A\overset{f}{\rightarrow}B \)

А с помощью абстрактной алгебры функцию можно представить в виде оператора, а набор значений x и y считать векторами. В данном описании задание функции эквивалентно заданию матрицы оператора \( \displaystyle \hat{F} \).
\( \displaystyle Y=\hat{F}X \)

А в теории возмущений, функции привычнее задавать в виде бесконечного ряда. Причем для разных областей определения функции конкретный вид ряда может отличаться.

\( \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}{\infty }a_{n}x{n} \)

То есть функция существует как некий абстрактный математический объект, который можно «увидеть» с помощью разных математических методов. Данные рассуждения можно отнести практически к любому математическому объекту.

Вектор, например, можно задать абстрактным символом \( \displaystyle \overline{v} \) или конкретным координатным представлением \( \displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z}) \).

Причем численные значения этих координат будут зависеть от выбранной системы координат и базиса.

Так существуют ли математические объекты, которых миллионы (или бесконечность?), как некие абстрактные сущности вне времени и пространства и которые в какой-то момент были просто открыты математиками и не зависят от конкретных способов описания/исследования? Или же все это изобретения человеческого ума?

Данный вопрос обсуждается еще со времен античных философов. Одни считают, что математические объекты существуют в «Платоновском мире идей» независимо от нас. Роджер Пенроуз — яркий представитель данного направления.

Вроде бы логично. Многие математические объекты были открыты независимо разными людьми и даже разными цивилизациями.

Теорема Пифагора и другие аспекты Евклидовой геометрии или некоторые факты из теории чисел были известны всем древним культурам. Теорема Пифагора или натуральные числа в этом смысле существовали всегда в Платоновском мире. Позднее были открыты отрицательные числа, действительные числа, комплексные числа, кватернионы.

Открываемые математические объекты становятся все более абстрактными: Грассмановы числа, группы, кольца, поля, расслоения… Но все они подчиняются тем или иным правилам, которые выполнялись всегда и будут выполняться всегда. Мало кто сомневается, что теорема Пифагора работала даже до формирования Земли и зарождения жизни.

Евклидово пространство как математическая структура, таким образом, занимает свой уголок в Платоновском мире.

Однако существует противоположная точка зрения которую разделяют даже некоторые топовые математики, например, Майкл Атья.

Идея такова — в корне всех математических открытий все равно лежат наблюдения, полученные нами через органы чувств. Майкл говорит, что если бы мы не видели вокруг себя дискретных вещей (были бы плазмоидной формой жизни на планете типа «газовый гигант»)), то даже понятие числа и арифметика не были бы изобретены.

Что не означает отсутствие математики вообще, просто она была бы другая.
Действительно, откройте современную статью по абстрактной алгебре и вы не увидите ни одного числа. Без органов зрения и соответствующей эволюции мозга не было бы пространственного воображения и геометрии в том виде, как мы ее знаем. И так далее, то есть математика — это изобретение человечества.

Из бесконечного набора гипотетических математических объектов выбираются лишь некоторые, которые наш ограниченный мозг может осознать, и следовательно они (хоть и не всегда очевидно) связаны с окружающей реальностью. Микеланджело говорил «Скульптура уже существует внутри куска мрамора. Я лишь отсекаю лишнее».

Так и математические объекты скорее создаются математиками подобно скульптуре из океана бесконечных возможностей.

В рамках этой парадигмы Майкл отвечает и на известный вопрос физиков, сформулированный в известной статье Ю.Вигнера Необъяснимая эффективность математики в естественных науках.

Почему в современной теоретической физике находят применение такие абстрактные математические объекты, которые казалось бы не имеют никакого отношения к реальности.

Атья говорит — математика в конечном счете, как и физика, основана на наблюдениях окружающего мира. Ничего удивительного, что она отражает реальность.

Работа физика-теоретика заключается в построении математической модели, которая бы описывала наблюдаемые явления и желательно предсказывала бы существование новых. Все физические теории — это математические модели.

Закон Ньютона выражается математически как  \( \displaystyle F=ma \). Это на самом деле пример модели, основанной на дифференциальном уравнении, поскольку ускорение есть вторая производная по времени.

То есть в развернутом виде закон Ньютона выглядит как:

\( \displaystyle m\frac{d{2}x(t)}{dt{2}}=F(x) \)

Для Ньютоновской механики необходимо дифференциальное исчисление. Для общей теории относительности Эйнштейна нужна уже неевклидова геометрия, точнее Риманова геометрия.

Для квантовой механики абстрактная алгебра с Гильбертовыми пространствами и линейными операторами. Но в то же время нельзя оспорить, что математика имеет дело с куда большим диапазоном исследуемых абстрактных структур, чем физика. Математика ограничена лишь логикой.

Она не ограничена, скажем, тремя пространственными измерениями или физическими принципами.

Куча теорем имеют только математическую ценность (пока?). Но часть из них служит основой физики. С этой точки зрения физика — всего лишь часть математики.

Дополнительные физические принципы, не берущиеся обычно математиками в рассмотрение, жестко ограничивают выбор возможных математических структур для описания физических явлений.

Современная физическая теория должна быть инвариантной относительно преобразований Лоренца и калибровочных преобразований, не противоречить постулатам квантовой механики и т.д. На самом деле это очень жесткие ограничения, но даже в рамках них существует множество пространства для маневров.

Крайняя точка зрения в этом направлении высказывается Максом Тегмарком — физического мира как такового не существует, мы находясь внутри математического мира и являясь его частью просто ощущаем его таковым.

Задачей физики является нахождение «своих координат» в этом математическом мире, то есть поиск тех математических структур, которые позволяют развиться таким самоосознающим объектам типа нас с вами и наблюдаемой Вселенной с ее законами в целом.

Между тем, хотя физику и можно считать частью математики, она оказывает большое влияние на ход развития последней. Дифференциальное и интегральное исчисления были открыты Ньютоном в связи с задачами механики.

И хотя обычно необходимая математика оказывается уже существующей к моменту становления новой физической теории (так было и с теорией относительности, и с квантовой механикой), современная физика оказывает влияние и на чистую математику.

Как только физика вышла за диапазоны величин непосредственно доступных органам чувств человека (скорости близкие к скорости света, атомарные расстояния и т.п.), оказалась востребована крайне абстрактная математика недоступная для визуализации нашим мозгом. Никто не может представить себе электрон, электромагнитную волну или четырехмерное пространство-время.

Все что нам осталось — это исследовать описывающие их математические структуры. И чем детальнее описание, тем более абстрактные математические объекты возникают. И без подсказки Природы математики вряд ли додумались бы копать в сторону этих структур. Так появились квантовые группы, некоммутативная геометрия, твисторы и тому подобные вещи.

Экспериментальная физика дает математике современную замену органам чувств.

Вопросы касательно объективного существования всегда уходят в сторону философии.

Стоит ли отождествлять электрон с математической структурой для его описания? Единственно ли вообще математическое описание физического объекта или разные математические структуры могут описывать одну физику? Существует ли объективная реальность для любой математической структуры?
Девяносто девять процентов всех существовавших когда-либо на Земле биологических видов (по текущим оценкам 5 миллиардов) к настоящему моменту вымерли. Но они отличаются всего лишь структурой ДНК. В Платоновском мире это соседние области математического пространства. Существуют ли объективно эти вымершие или никогда не существовавшие в нашем мире животные в «параллельных вселенных»? Здесь опять прослеживается тесная связь с современной физикой. Многомировая интерпретация квантовой механики утверждает, что все возможные эволюционные траектории существуют объективно. Однако классическая, Копенгагенская интерпретация, говорит совсем противоположное — объективный мир вообще не существует. По крайней мере независимо от субъекта — наблюдателя.
Субъективна ли математика?

Источник: http://LightCone.ru/math-vs-phys/

Математическая физика

Модели математической физики

Математическая физика – это теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней – математическое доказательство.

Однако, в отличие от чисто математических наук, в МФ исследуются физические задачи на математическом уровне, а результаты представляются в виде теорем, графиков, таблиц и т.д. и получают физическую интерпретацию.

При таком широком понимании математической физики к ней следует относить и такие разделы механики, как теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости. Математические модели физических явлений можно условно разделить на модели, основанные на линейных дифференциальных уравнениях, нелинейных дифференциальных уравнениях и интегродифференциальных уравнениях.

Все большую роль в создании и верификации математических моделей физических процессов настоящее время приобретают методы численного эксперимента.

Первоначально математическая физика сводилась к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Это направление составляет предмет классической математической физики, которая сохраняет важное значение и в настоящее время. Классическая математическая физика развивалась со времён Ньютона параллельно с развитием физики и математики.

В конце XVII в. было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII в.

методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX в.

методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т.д.; создаются теория потенциала, теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши, М.В. Остроградский, П. Дирихле, Дж.К. Максвелл, Б.

Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, Г.Р. Кирхгоф, А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт, Ж. Адамар). В XX в. возникают новые задачи газовой динамики, теории переноса частиц и физики плазмы.

Основными математическими средствами исследования задач классической математической физики служат теория дифференциальных и интегральных уравнений, теория функций и функ-циональный анализ, вариационное исчисление, теория вероятностей, приближённые методы и вычислительная математика.

Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач по Адамару, т.е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.

Хотя эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естественными, их, тем не менее, необходимо доказывать в рамках принятой математической модели.

Доказательство корректности – это первая апробация математической модели: модель непротиворечива (решение существует), модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно), модель малочувствительна к погрешностям измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задачи).

В XX в. появляются новые разделы физики: квантовая механика, квантовая теория поля, квантовая статистическая физика, теория относительности, гравитация (А. Пуанкаре, Д. Гильберт, П. Дирак, А. Эйнштейн, Н. Н. Боголюбов, В.А. Фок, Э. Шрёдингер, Г. Вейль, Р. Фейнман, Дж. фон Нейман, В. Гейзенберг).

Для изучения этих явлений множество используемых математических средств значительно расширяется: наряду с традиционными областями математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщённых функций, теория функций многих комплексных переменных, топологические и алгебраические методы, теория чисел, p-адический анализ, асимптотические и вычислительные методы. С появлением ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная возможность ставить вычислительные эксперименты, например моделировать взрыв атомной бомбы или работу атомного реактора в реальном масштабе времени. В этом интенсивном взаимодействии современной теоретической физики и современной математики оформилась новая область – современная математическая физика. Её модели не всегда сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений, они часто формулируется в виде системы аксиом. Эту тенденцию в развитие ТФ XX в. хорошо понимал П. Дирак.

Ещё в 1930 г. он в своей известной статье, в которой теоретически предсказал существование позитрона, писал: “Кажется вероятным, что этот процесс непрерывного абстрагирования будет продолжаться и в будущем и что успех физики должен в большей степени опираться на непрерывные модификации и обобщения аксиом на математической основе.”

Рекомендуемая литература

1. Владимиров В.С. Что такое математическая физика? Препринт МИАН № НС-06-001, 2006.

2. А.А. Арсеньев, А.А. Самарский. Что такое математическая физика. Изд. « Знание», 1983г., 65 стр.

Источник: http://lomonosov-fund.ru/enc/ru/encyclopedia:0177:article

Методы математической физики в примерах и задачах, в 2 томах, Том I, Горюнов А.Ф., 2015

Модели математической физики

  • Книги и учебники →
  • Книги по физике

СкачатьЕще скачатьСмотреть Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Методы математической физики в примерах и задачах, в 2 томах, Том I, Горюнов А.Ф., 2015.Учебное пособие ориентировано на специальности «Прикладная математика и информатика», «Физика», «Механика», «Физика атомного ядра и частиц» и др. Пособие представляет собой сборник задач и примеров по уравнениям математической физики. Темы первого тома: построение математических моделей различных физических процессов, решение задач методом Фурье и методом интегральных преобразований, интегральные уравнения. При решении задач используется аппарат обобщенных функций.Пособие адресовано студентам, изучающим математическую и теоретическую физику; некоторые разделы могут быть полезны аспирантам, инженерно-техническим и научным работникам, интересующимся данной областью знаний.Допущено Учебно-методическим объединением вузов направления подготовки 140300 «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Ядерные физика и технологии».

МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

Предметом математической физики является разработка методов решения задач, возникающих при изучении явлений природы. Реальные процессы характеризуются величинами, зависящими (в общем случае) от координат и времени. Соотношения между этими величинам, записанные в математических терминах, составляют математическую модель данного процесса.

Указанные соотношения являются следствием законов природы и представляют собой дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения, а также набор дополнительных условий (граничных, начальных), учитывающих специфические свойства системы.

Математическая модель лишь приближенно отражает эволюцию системы, так как невозможно учесть все факторы, определяющие ее поведение. С другой стороны, построение более точных моделей приводит к достаточно сложным задачам, аналитическое решение которых получить не удается.

Поэтому на первом этапе изучения какого-либо процесса используется сравнительно простая модель, в которой не учитываются факторы, мало влияющие на его развитие.

В ряде случаев это определяется ограничениями, которые накладываются на систему: малость отклонения величин от их равновесных значений, пренебрежение некоторыми из внешних воздействий и т.п. Как правило, при достаточно жестких ограничениях можно получить линейную модель, для изучения которой существуют различные эффективные методы.

Таким образом, формирование математической модели (или постановка задачи) зависит от того, какие аспекты конкретного явления считаются главными, а какие второстепенными. Упрощенная модель является стартовой: после решения соответствующей задачи, анализа развития изучаемого явления и т. п. можно переходить к более сложным моделям.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Предисловие Предисловие к первому томуОбозначения

Глава I. Модели математической физики

Литература к главе 11.1. Модели механики1.2. Модели теплопроводности и диффузии1.3. Модели газо- и гидродинамики1.4. Модели электродинамики1.5. Ответы

Глава 2. Метод разделения переменных

Литература к главе 22.1. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями 2.2. Задачи для неоднородного уравнения2.3. Задачи, в которых применяются специальные функции и ортогональные полиномы 2.4. Ответы

Глава 3. Метод интегральных преобразований

Литература к главе 33.1. Преобразование Фурье3.2. Преобразование Лапласа3.3. Преобразование Меллина3.4. Преобразование Ганкеля3.5. Ответы

Глава 4. Методы решения интегральных уравнений

Литература к главе 44.1. Вывод интегральных уравнений4.2. Решение интегральных уравнений4.3. ОтветыОсновные формулыЛитература
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Методы математической физики в примерах и задачах, в 2 томах, Том I, Горюнов А.Ф., 2015 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу

Скачать — pdf — Яндекс.Диск.

04.02.2018 06:03 UTC

Горюнов :: 2015 :: физика :: математика

Следующие учебники и книги:

  • Микроволновое излучение ядерного взрыва, Федоров В.Ф., Котов Ю.Б., Мозгов К.С., Семенова Т.А., 2013
  • Физика для чайников, Несерьезное пособие, Ильин А., 2018
  • Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы, Яворский Б.М., 2005
  • Гравитация, От хрустальных сфер до кротовых нор, Петров А.Н., 2013

Предыдущие статьи:

  • Механика контактного разрушения, Морозов Е.М., Колесников Ю.В., 2012
  • Теоретическая механика, Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В., 2010
  • Курс общей физики, Том 3, Квантовая оптика, Атомная физика, Физика твердого тела, Физика атомного ядра и элементарных частиц, Савельев И.В., 1987
  • Курс общей физики, Том 2, Электричество и магнетизм, Волны, Оптика, Савельев И.В., 1988

>

 

Источник: https://nashol.me/2018020498839/metodi-matematicheskoi-fiziki-v-primerah-i-zadachah-v-2-tomah-tom-i-gorunov-a-f-2015.html

Booksm
Добавить комментарий