Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

Векторная диаграмма токов и напряжений

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

Цифровое представление динамических процессов затрудняет восприятие, усложняет расчет выходных параметров после изменения условий на входе или в результате выполненной обработки. Векторная диаграмма токов и напряжений помогает успешно решать обозначенные задачи. Ознакомление с теорией и практическими примерами поможет освоить данную технологию.

Диаграмма, поясняющая процесс короткого замыкания в трехфазной цепи счетчика электроэнергии

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных величин, которые определяют функциональность радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика.

Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой.

Для наглядного представления процесса гармоническое колебание представляют, как проекцию вектора на координатную ось.

С применением типовых формул несложно рассчитать длину, которая получится равной амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона будет показывать фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов подчиняются обычным правилам геометрии.

Различают качественные и точные диаграммы. Первые применяют для учета взаимных связей. Они помогают сделать предварительную оценку либо используются для полноценной замены вычислений. Другие создают с учетом полученных результатов, которые определяют размеры и направленность отдельных векторов.

Допустим, что надо изучить изменение параметров тока в цепи при разных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме напряжение на выходе (U) будет равно сумме значений (UR и UL) на каждом из элементов.

Индуктивный характер второй величины подразумевает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Образованные треугольники отлично вписываются в сегмент окружности 180 градусов.

Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR при соответствующем изменении электрического сопротивления. Вторая диаграмма в) демонстрирует отставание тока по фазе на угол 90°.

Здесь изображен двухполюсный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB, соответственно). Аналогичными параметрами обладает классический колебательный контур, созданный с применением параллельной схемы.

Отмеченные выше параметры можно изобразить векторами, которые расположены постоянно под углом 90°. Изменение реактивной компоненты сопровождается перемещением вектора тока (I1…I3).

Образованная линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки оси координат.

Векторные диаграммы и комплексное представление

Такой инструментарий помогает строить наглядные графические схемы колебательных процессов. Аналогичный результат обеспечивает применение комплексных числовых выражений.

В этом варианте, кроме оси с действительными, применяют дополнительный координатный отрезок с мнимыми значениями.

Для представления вектора пользуются формулой A*ei(wt+f0), где:

  • А – длина;
  • W – угловая скорость;
  • f0 – начальный угол.

Значение действительной части равно A*cos*(w*t+f0). Это выражение описывает типичное гармоническое колебание с базовыми характеристиками.

Примеры применения

Допустимый ток для медных проводов – плотность тока в медном проводнике

В следующих разделах приведены описания задач, которые решают с помощью представленной методики.

Следует подчеркнуть, что применение комплексных чисел пригодно для сложных расчетов с высокой точностью.

Однако на практике достаточно часто сравнительно простой векторной графики с наглядным отображением исходной информации на одном рисунке.

Механика, гармонический осциллятор

Таким термином обозначают устройство, которое можно вывести из равновесного состояния.

После этого система возвращается в сторону исходного положения, причем сила (F) соответствующего воздействия зависит от дальности первичного перемещения (d) прямо пропорционально.

Величину ее можно уточнить с помощью постоянного корректирующего коэффициента (k). Отмеченные определения связаны формулой F=-d*k

Формулы для расчета основных параметров гармонического осциллятора

К сведению. Аналогичные процессы происходят в системах иной природы. Пример – создание аналога на основе электротехнического колебательного контура (последовательного или параллельного). Формулы остаются теми же с заменой соответствующих параметров.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде.

Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия).

С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма для схемы соединений без нейтрального провода – звезда

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач.

Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление.

При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Схемы и векторные диаграммы для идеального элемента и диэлектрика с потерями

Преобразование Фурье

Векторные технологии применяют для анализа спектров радиосигналов в определенном диапазоне. Несмотря на простоту методики, она вполне подходит для получения достаточно точных результатов.

Сложение двух синусоидальных колебаний

В ходе изучения таких источников сигналов рекомендуется работать со сравнительно небольшой разницей частот. Это поможет создать график в удобном для пользователя масштабе.

Фурье-образ прямоугольного сигнала

В этом примере оперируют суммой синусоидальных сигналов. Последовательное сложение векторов образует многоугольник, вращающийся вокруг единой точки. Для правильных расчетов следует учитывать отличия непрерывного и дискретного распределения спектра.

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Построение векторной диаграммы напряжений и токов

Виды соединения проводников

Для изучения технологии выберем однофазный источник синусоидального напряжения (U). Ток изменяется по формуле I=Im*cos w*t. Подключенная цепь содержит последовательно подключенные компоненты со следующими значениями:

  • резистор: Ur=Im*R*cos w*t;
  • конденсатор: Uc=Im*Rc*cos (w*t-π/2), Rc=1/w*C;
  • катушка: UL= Im*RL*cos(w*t+π/2), RL=w*L.

При прохождении по цепи переменного тока на реактивных элементах будет соответствующий сдвиг фаз. Чтобы построить вектора правильно, рассчитывают амплитуды и учитывают изменение направлений. Ниже приведена последовательность создания графики вручную.

Диаграмма напряжений и токов на отдельных элементах

Далее с применением элементарных правил геометрии проверяют взаимное влияние векторов.

Решение векторного уравнения

На первом рисунке приведен результат сложения двух векторов при условии, когда Uc меньше UL. Добавив значение на сопротивление, получим результирующее напряжение Um. На третьей иллюстрации отмечен общий фазовый сдвиг.

Векторное отображение процессов в параллельном колебательном контуре, резонанс напряжений

В топографической диаграмме начало координат совмещают с так называемой точкой «нулевого потенциала». Такое решение упрощает изучение отдельных участков сложных схем.

Специализированный редактор онлайн

В интернете можно найти программу для построения векторных диаграмм в режиме online.

Источник: https://amperof.ru/elektroenergia/vektornaya-diagramma-tokov-napryazhenij.html

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм. Вынужденные колебания. Резонанс. Резонансные кривые. Векторные диаграммы. Уравнение движения

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

Может случиться так, что осциллятор принимает участие в двух одинаково направленных колебаниях с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Рассмотрим сложение таких колебаний.

Сложение колебаний с одинаковыми частотами

Для простоты рассмотрим сначала случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:

где x 1 , x 2— переменные, описывающие колебания, A 1 , A 2— их амплитуды, а , — начальные фазы. Результирующее колебание

удобно найти с помощью векторной диаграммы.Этот метод использует аналогию между вращением и колебательным процессом.

Возьмем общее решение (1.23) для гармонического колебания. Выберем ось 0x. Из точки 0 отложим вектор длиной A, образующий с осью 0x угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси 0xот +Aдо –A, причем величина проекции будет изменяться по закону

Таким образом, проекция конца вектора на ось 0xбудет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Векторная диаграмма для общего решения (1.23)

Применим теперь эту технику к сложению колебаний (1.34). Представим оба колебания с помощью векторов А 1 и А 2 Возьмем их векторную сумму (рис. 1.13)

Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний одинаковой частоты

Проекция вектора А 1 на ось 0xравна сумме проекций соответствующих векторов

Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ,амплитудой Aи начальной фазой a.Согласно теореме косинусов:

В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на величину, кратную (то есть ), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд

Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть ), то


Биения

В этом разделе мы рассмотрим случай сложения одинаково направленных гармонических колебаний с разными частотами. На практике особый интерес представляет случай, когда складываемые колебания мало отличаются по частоте. Как мы увидим, в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, называемые биениями.

Для простоты рассмотрим случай, когда амплитуды складываемых колебаний равны A, а начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Частоты складываемых колебаний равны, соответственно, и . Итак,

Складываем эти выражения и учитываем известную формулу тригонометрии:

Если то в аргументе второго косинуса мы можем пренебречь сдвигом частоты:

Кроме того, множитель в скобках меняется медленно по сравнению с .Поэтому результирующее колебание xможно рассматривать как модулированное гармоническое колебание с частотой w,эффективная амплитуда которого изменяется со временем по закону (1.40) (рис. 1.14):

Подчеркнем, что в строгом смысле такое колебание не является гармоническим, и еще раз напомним, что, согласно определению, колебание гармоническое, если оно происходит по закону , причем все три его параметра: строго постоянны во времени.


Рис. 1.14. Биения при сложении колебаний с близкими частотами

Частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений) равна разности частот складываемых колебаний. Период биений равен

Колебания двух связанных осцилляторовПриведем поучительный пример системы, в которой возникают биения. Рассмотрим два груза массой m, которые могут колебаться под действием двух одинаковых пружин с коэффициентами жесткости k. Пусть грузы соединены также мягкой пружиной с коэффициентом жесткости KПостроить график спектра)График спектраВиден чистый пик на 100 Гц (логарифмический масштаб). Что такое спектр? Это амплитудно-частотная характеристика. Существует ещё фазочастотная характеристика. Если помните, выше я говорил, что для построения сигнала надо знать его частоту, амплитуду и фазу? Так вот, можно из сигнала получить эти параметры. В данном случае у нас график соответствий частот амплитуде, при чём амплитуда у нас не в реальных единицах, а в Децибелах.Я понимаю, что чтобы объяснить, как работает программа, надо объяснить, что такое быстрое преобразование Фурье, а это как минимум ещё на одну некислую статью.Для начала алокируем массивы:C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // массив поворотных множителей in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //входный массив out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //выходной массивСкажу лишь, что в программе мы читаем данные в массив длиной size_array (которое берём из заголовка wav-файла).While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) { in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break;}Массив для быстрого преобразования Фурье должен представлять собой последовательность {re, im, re, im,… re, im}, где fft_size=1

Источник: https://hookahday.ru/metody-kompleksnyh-amplitud-i-vektornyh-diagramm-vynuzhdennye-kolebaniya/

2. Метод комплексных амплитуд

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

2.1. Гармоническоеколебание

Гармоническоеколебание должно записываться [1] вканоническойформе

, (2.1)

где — амплитуда,- круговая частота,- циклическая частота,- период, а- начальная фаза.

Если гармоническийсигнал представлен не в каноническойформе (2.1), то его необходимо преобразоватьс использованием тригонометрическихсоотношений, приведенных в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Исходная функцияРезультат преобразования

Если сигнал заданв виде ,то после преобразования получим

Примеры преобразованийгармонического сигнала в каноническуюформу показаны в табл. 2.2.

2.2. Комплекснаяамплитуда

Для гармоническогосигнала (тока или напряжения)

39

комплекснаяамплитударавна

,. (2.2)

Пусть ток равен,тогда его комплексная амплитуда равна.Если известна комплексная амплитуданапряженияпри частоте,то мгновенные значения напряжения имеютвид.

В табл. 2.2 приведеныпримеры записи мгновенных значенийгармонических сигналов, соответствующихим канонических форм и комплексныхамплитуд.

Таблица 2.2

Исходная функцияКаноническая формаКомплекснаяамплитуда

Проведитенеобходимые преобразования самостоятельно.

40

2.3. Комплексныечисла

Комплексные числамогут записываться в алгебраической ипоказательной формах

,

где и-действительная и мнимая части,

,

(безточки сверху)и — модуль и аргумент комплексного числасоответственно,

В табл. 2.3 приведеныкомплексные числа в алгебраическойформе и результаты их преобразованияв показательную форму (проведитесамостоятельно необходимые вычисления,связанные с переходом от алгебраическойформы к показательной и наоборот).

Полезно запомнитьследующие соотношения

.

Рассмотрим операциис комплексными числами.

Пусть заданы двакомплексных числа в виде и,тогда их сумма и разность соответственноравны

,

,

41

то естьсложение и вычитание комплексных чисел удобно проводить в алгебраическойформе. Еслихотя бы одно из этих чисел задано впоказательной форме, то его необходимопредставить в алгебраическом виде,например,

При необходимостирезультат можно представить в показательнойформе

.

Таблица 2.3

5
-5

Найдем разностьэтих же чисел

42

Проведитевычисления самостоятельно.На рис. 2.1 показана программа вычисленийв среде MathCAD.

Рис. 2.1

Умножение и делениекомплексных чисел удобно проводить впоказательной форме:

Примеры расчетапоказаны в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Проведитевычисления самостоятельно.

Если одно из чиселпредставлено в алгебраической форме,то его необходимо перевести в показательнуюформу, примеры показаны в табл. 2.3.

Полезно использоватьсоотношение (устранениекомплексности в знаменателе дроби)

43

Комплексно-сопряженныминазывают числа и,а такжеи,они имеют одинаковые модули. Произведениекомплексно сопряженных чисел равноквадрату их модуля

.

Проведемвычисления по устранению комплексностизнаменателя, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5.

Исходное числоРезультат

Вычисления изтабл. 2.5 можно выполнить, преобразовавчисла из алгебраической формы впоказательную, как показано в табл. 2.6.

Таблица 2.6.

Исходное числоРезультат

44

Проведитевычисления в табл. 2.5 и табл. 2.6 самостоятельно.На рис. 2.2 показана программа вычисленийв среде MathCAD.

Рис. 2.2

2.4. Векторнаядиаграмма

Векторнаядиаграммаэлектрической цепи – это совокупностьвекторов, соответствующих гармоническимтокам и напряжениям цепи, длина каждоговектора равна амплитуде (или действующемузначению) сигнала, а угол наклона векторак горизонтальной оси – начальной фазесигнала.

Для построениявекторной диаграммы простой цепинеобходимо использовать известныесвязи начальных фаз тока и напряженияв элементах цепи:

— в сопротивлениинапряжение совпадает по фазе с током,сдвиг фаз между ними равен нулю;

— в индуктивностинапряжение опережает по фазе ток на 900(на радиан), сдвиг фаз между нимиравен 900;

— в емкостинапряжение отстает по фазе от тока на900(на радиан), сдвиг фаз между нимиравен -900.

При построениидиаграммы необходимо использоватьуравнения первого и второго законовКирхгофа в векторной форме.

45

Рассмотрим цепь,показанную на рис. 2.3. Мгновенныезначениягармонических токов и напряженийобозначены строчными(маленькими) латинскими буквами.

Рис. 2.3

Цепь представляетсобой параллельное соединение двухветвей, одна из которых являетсяпоследовательным соединением элементови.Поэтому построение векторной диаграммыцелесообразно начинать с токаэтого последовательного соединения,как показано на рис. 2.4 (вектор строитсяпроизвольно).

Рис. 2.4

Напряжение на сопротивлениисинфазнос током ,поэтому их векторысовпадают.Напряжение на емкостиотстает пофазе от токана 900,поэтому соответствующий ему векторизображается повернутым на прямой уголпротив часовой стрелки относительнотока .По второму закону Кирхгофа сумманапряжений наирав-

46

на напряжению на сопротивлении,а токчерезсовпадает по фазе с напряжением(их векторы совпадают по направлению).По первому закону Кирхгофа сумма токовиравна току источника.Векторная диаграмма построена безчисленных расчетов (качественно). Каквидно,длинывекторов выбираются произвольно, заисключением тех, которые строятся позаконам Кирхгофа.

Рассмотрим цепьв виде последовательного соединениясопротивления, индуктивности, емкостии источника напряжения, показанную нарис. 2.5 (она будет использоваться влабораторной работе).

Рис. 2.5

Впоследовательной цепи построениевекторной диаграммы начинают с вектораобщего тока.Он отображается произвольно, например,горизонтально и направленным вправо,как показано на рис. 2.6. Напряжение насопротивлении совпадает по фазе с током,напряжение на емкости отстает от негопо фазе на 900,а напряжение на индуктивности опережаетток по фазе на 900, соответст-

Рис. 2.6 вующие векторы изображены

47

на рис. 2.5 спроизвольной длиной. Сумма этих напряженийравна ЭДС источника .

Построим векторнуюдиаграмму цепи, показанной на рис. 2.7а.В цепи последовательно соединеныиндуктивность и параллельно включенные сопротивлениеи емкость,поэтому начать целесообразно с напряженияна параллельном соединении,как показано на рис. 2.7б.

Рис. 2.7

Ток черезсопротивление совпадает по фазе снапряжением ,а через емкость – опережает его по фазена 900.Сумма токов исогласно первому закону Кирхгофа равнатоку индуктивности,а напряжение на индуктивностиопережает ток по фазе на 900.По второму закону Кирхгофа сумманапряжений иравна ЭДС источника.

2.5. Комплексныесопротивление и проводимость

участкацепи

Комплексныесопротивления и проводимости элементовцепи приведены в табл. 2.7. Для сопротивленияонидействительны,а для реактивных элементов (индуктивностии емкости) являютсямнимымичислами.

В общем случаекомплексное сопротивление можно записатьв виде

48

, (2.3)

где —активная,а —реактивнаясоставляющие сопротивления. Длякомплексной проводимости аналогичнополучим

, (2.4)

где -активная, а-реактивная составляющие проводимости.

Таблица 2.7.

ЭлементСопротивлениеПроводимость

Реактивноесопротивление емкости и реактивная проводимость индуктивностиотрицательны,а реактивноесопротивление индуктивности и реактивная проводимость емкостиположительны.Активныесопротивление и проводимостьне могут бытьотрицательны.

Если реактивноесопротивление положительно (реактивнаяпроводимость отрицательна), то цепьимеет индуктивныйхарактер, аиначе – емкостный.

При последовательномсоединении элементов их комплексныесопротивления складываются, а припараллельном суммируются их комплексныепроводимости.

Сопротивлениесмешанной цепи рассчитывается следующимобразом. В цепи выделяются простыефрагменты с последовательным илипараллельным соединением, вычисля-

49

ются их полныекомплексные сопротивления (проводимости) и эти фрагменты заменяются однимэквивалентным элементом. Цепь упрощается,и процедура вновь повторяется.

Рассмотрим примервычисления комплексного сопротивленияцепи, показанной на рис. 2.8а при ,ина частоте.

Рис. 2.8

В цепи имеетсяфрагмент с простым параллельнымсоединением элементов и,эквивалентное комплексное сопротивлениекоторого равно

.

Заменяя выбранныйфрагмент эквивалентным элементом скомплексным сопротивлением ,получим цепь на рис. 2.8б. Ее комплексноесопротивлениезаписывается в виде

(2.5)

50

Подставляя исходныеданные, получим ,то есть цепь имеет индуктивный характер.

Как видно, активнаяи реактивная составляющие сопротивленияиз (2.5) зависят от частотыгармонического сигнала. Программа ирезультаты расчета этих зависимостейпоказаны на рис. 2.9 при,для двух значений сопротивленияи.

Рис. 2.9

51

Как видно, наразличных частотах значения составляющихкомплексного сопротивления сильноизменяются, в том числе и характерсопротивления.

Цепь на рис. 2.9аможно рассчитать через эквивалентнуюпроводимость параллельного соединения элементови,

,

вычисляя сопротивлениецепи на рис. 2.9б по формуле

.

Очевидно, получим(2.5). Проводимость цепи равна

Проведем расчеткомплексной проводимости цепи на рис.2.10а при ,ина частоте.

Рис. 2.10

52

В цепи имеетсяпростое последовательное соединениедвух элементов и,его сопротивление равно

.

Получим эквивалентнуюцепь, показанную на рис. 2.10б. Ее проводимостьможно записать в виде

Подставляя значенияпараметров цепи, получим (цепь имеетемкостныйхарактер). Сопротивление цепи равно

(проведитевычисления самостоятельно).

2.6. Комплекснаямощность

Полнаякомплексная мощность гармоническоговоздействия на двухполюсник (рис. 2.11) скомплекснымиамплитудамитока и напряженияравна

, (2.6)

Рис. 2.11

где-комплексно-сопряжен-

53

ная амплитудатока (значениес противоположным знаком аргумента).Из (2.6) получим

(2.7)

сдвиг фазмеждунапряжение6м и током в двухполюснике.Действительная часть является мощностью,потребляемойцепью отисточника(активной мощностью),

, (2.8)

а мнимую часть называютреактивноймощностью,

. (2.9)

Активная мощностьизмеряется в ваттах (Вт), реактивная вВАр, а комплексная в ВА.

Пусть ток и напряжениедвухполюсника на рис. 2.11 представленыв виде

(напряжение отстаетпо фазе оттока, сдвиг фаз между напряжением итоком равен ).Комплексные амплитуды тока и напряжениясоответственно равны

54

а комплексно-сопряженнаяамплитуда тока — соответственно

,

а комплекснаямощность определяется выражением

Потребляемая иреактивная мощности равны

55

Источник: https://studfile.net/preview/4287656/page:2/

Метод расчета линейных электрических цепей. Метод комплексных амплитуд

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием ЭДС (синусоидальная функция от времени). Определение значений токов и напряжений в рассматриваемой схеме сводится к составлению и решению системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые могут быть записаны в следующем виде:

В общем виде решение данного дифференциального уравнения будет определяться суммой двух составляющих: свободной и вынужденной составляющей.

Свободная составляющая представляет собой общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи после коммутации.

Свободная составляющая определяет процессы, которые возникают в электрической цепи, выведенной из состояния покоя некоторым воздействием.

Свободная составляющая характеризует процесс обмена энергией между индуктивными и емкостными элементами электрической цепи, частота колебаний свободной составляющей определяется параметрами расчетной цепи. В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают во времени по экспоненциальному закону.

Вынужденная составляющая представляет собой частное решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи после коммутации. Вынужденная составляющая определяет установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса. Данная составляющая может также называться  установившейся составляющей.

В большинстве решаемых задач рассматривают только квазистационарные режимы работы энергосистемы (установившийся режим работы), в связи с этим рассматривают только вынужденную составляющую,  а свободной составляющей пренебрегают.

В таком случае для расчёта сложной электрической цепи с гармоническими источниками ЭДС широко применяется метод комплексных амплитуд.

 Данный метод в технической литературе может встречаться под другими названиями: символический метод или комплексный метод, так как он основан на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами.  Данный метод разработан в конце XIX века американскими инженерами — электротехниками Ч.П.Штейнметцем и  А.Е.Кеннели.

Метод комплексных амплитуд, основан на идее функционального преобразования, при котором гармоническая функция из временной области (оригинал функции) заменяется функцией, которая определена на комплексной области (изображение исходной функции). Переход от реаль­ных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам осуществляется с помощью формулы Эйлера, которая связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции через комплексные величины, которые записываются через экспоненты с мнимыми аргументами:

• Рассмотрим случай, когда гармонический сигнал представлен в виде косинусоидальной функции. В рассматриваемом случае в соответствии с представленными выражениями гармоническая функция, заданная во временной области, переписывается в виде двух экспонент в следующем виде:

Таким образом, оригинал косинусоидальной функции определяется проекцией комплексного числа на вещественную ось. В представленном выражении используются  следующие обозначения:

 — комплексная амплитуда, которая определяется по формуле: 

— сопряженная комплексная амплитуда, которая определяется по формуле: 

 — оператор вращения, который имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения, начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с заданной угловой скоростью.

Рис.1.Разложение косинусоидальной функции в виде двух векторов

Таким образом, символическое изображение косинусоидальной функции (оригинала функции) определяется при заданной частоте ω вектором, который характеризуется двумя величинами — амплитудой и начальной фазой.

• Рассмотрим другой случай, когда гармонический сигнал представлен в виде синусоидальной функции. В рассматриваемом случае в соответствии с представленными выражениями гармоническая функция, заданная во временной области, переписывается в виде двух экспонент в следующем виде:

Таким образом, оригинал синусоидальной функции определяется проекцией комплексного числа на мнимую ось.  В представленном выражении используются  следующие обозначения:

 — комплексная амплитуда, которая определяется по формуле: 

— сопряженная комплексная амплитуда, которая определяется по формуле: 

 — оператор вращения, который имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения, начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с заданной угловой скоростью.

Рис.2.Разложение синусоидальной функции в виде двух векторов

Таким образом, символическое изображение синусоидальной функции (оригинала функции) определяется при заданной частоте ω вектором, который характеризуется двумя величинами — амплитудой и начальной фазой.

Использование метода комплексных амплитуд значительно упрощает расчет линейной электрической цепи, так как операции дифференцирования и интегрирования сводятся к задаче решения системы алгебраических уравнений: операция дифференцирование гармонической функции соответствует умножение комплексного числа на переменную «jω»,а операция интегрирование гармонической функции соответствует делению комплексного числа на «jω».

Объединяя полученные результаты можно сделать вывод, что любую гармоническую функцию с заданной частой  ω можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, который вращается с угловой скоростью ω.

 С целью единообразия выполнения расчетов в соответствии с методом комплексных амплитуд было принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для нулевого момента времени .

Таким образом, символическое изображение синусоидальной функции определяется в следующем виде:

Для определения интенсивности действия электрических параметров (тока или напряжения) используют действующие комплексные значения, которые определяются следующим образом:

Расчет цепи синусоидального тока методом комплексных амплитуд проводится в следующем порядке:

— На первом этапе гармоническая функция, заданная во временной области, заменяется изображением данной функции на комплексной плоскости.

— На втором этапе составляется система уравнений, которая описывает рассматриваемую электрическую цепь,  в соответствии с любым методом расчета электрических цепей. Далее выполняется расчет данной системы уравнений с определением комплексных значений искомых токов и напряжений.

— На третьем этапе выполняют обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображения функции на комплексной плоскости к оригиналам функции во временной области. Чтобы восстановить исходное гармоническое колебание по известной комплексной амплитуде и частоте ω, необходимо комплексную амплитуду умножить на , а затем выделить мнимую часть (для синусоидальной функции).

Комплексное сопротивление электрической цепи

Определим комплексное сопротивление пассивных элементов электрической цепи, которые находятся под гармоническим воздействием. Для этого рассмотрим связь между током и напряжением на активном, индуктивном и емкостном элементах.

• Рассмотрим активное сопротивление, по которому протекает синусоидальный ток. Данный ток создает в активном напряжении  падение напряжение на элементе, которое определяется в следующем виде:

Перепишем данную формулу для изображений синусоидальных функции в следующем виде:

Для нулевого момента времени данное выражение записывается в следующем виде:

Из полученного выражения видно, что ток на индуктивности совпадает по фазе с напряжением. Сопротивление на индуктивности носит активный характер и определяется в следующем виде: 

Рис.3. Векторная диаграмма токов и напряжений на резистивном элементе

• Рассмотрим индуктивный элемент, по которому протекает синусоидальный ток. Данный ток создает в индуктивной катушке переменное магнитное поле, изменение которого вызывает в катушке ЭДС самоиндукции. Таким образом, падение напряжение на элементе определяется в следующем виде:

Перепишем данную формулу для изображений синусоидальных функции в следующем виде:

Для нулевого момента времени данное выражение записывается в следующем виде:

Из полученного выражения видно, что ток на индуктивности отстает от напряжения на угол 90 градусов. Сопротивление на индуктивности носит реактивный характер и определяется в следующем виде: 

Рис.4. Векторная диаграмма токов и напряжений на индуктивном элементе

• Рассмотрим емкостной элемент, к которому приложено синусоидальное напряжение. Под действием синусоидального напряжения конденсатор будет периодически заряжаться и разряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора будет сопровождаться протеканием тока. Таким образом, ток, протекающий между обкладками конденсатора, будет определяться следующим образом:

Перепишем данную формулу для изображений синусоидальных функции в следующем виде:

Для нулевого момента времени данное выражение записывается в следующем виде:

Из полученного выражения видно, что ток на емкости опережает напряжение на угол 90 градусов. Сопротивление на емкости носит реактивный характер и определяется в следующем виде: 

Рис.5. Векторная диаграмма токов и напряжений на емкостном элементе

Следует отметить, что для определения изображений синусоидальных функции (токов и напряжений) в электрической цепи необходимо составить систему уравнений любым доступным методом:

— с помощью первого и второго закона Кирхгофа, который записывается для изображений синусоидальных функции;

— с помощью метода контурных токов, который записывается для изображений синусоидальных функции;  

— с помощью метода узловых потенциалов, который записывается для изображений синусоидальных функции.

Источник: http://simenergy.ru/simulation/method/72-comlex-amplitude

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм

Положение точки на плоскости можно однозначно задать комплексным числом:

Если точка ($А$) вращается, то координаты этой точки изменяются в соответствии с законом:

Используем формулу Эйлера:

запишем $z$ в виде:

где $Re(z)=x$, то есть физическая величина x равна вещественной части комплексного выражения (4). При этом модуль комплексного выражения равен амплитуде колебаний — $a$, его аргумент равен фазе (${\omega }_0t+\delta $). Иногда при взятии реальной части от $z$ знак операции Re опускают и получают символическое выражение:

Выражение (5) не следует принимать буквально. Часто формально упрощают (5):

где $A=ae{i \delta}$ — комплексная амплитуда колебания. Комплексный характер амплитуды $А$ обозначает, что колебание имеет начальную фазу неравную нулю.

Для того чтобы раскрыть физический смысл выражения типа (6), предположим, что частота колебаний (${\omega }_0$) имеет вещественную и мнимую части, и ее можно представить как:

Тогда выражение (6) можно записать как:

В том случае, если ${\omega }2>0,$ то выражение (8) описывает затухающие гармонические колебания с круговой частотой $\omega1$ и показателем затухания ${\omega }_2$. Если ${\omega }_2

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Замечание

Над комплексными величинами можно проводить многие математические операции так, как будто величины являются вещественными. Операции возможны, если они сами линейны и вещественны (такими являются сложение, умножение, дифференцирование по вещественной переменной и другие, но не все). Надо помнить, что комплексные величины сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам.

Метод векторных диаграмм

Пусть точка $A$ равномерно вращается по окружности радиуса $r$ (рис.1), скорость ее вращения ${\omega }_0$.

Рисунок 1.

Положение точки $А$ на окружности можно задать с помощью угла $\varphi $. Этот угол равен:

где $\delta =\varphi (t=0)$ величина угла поворота радиус-вектора $\overrightarrow{r}$ в начальный момент времени. Если точка $М$ вращается, то ее проекция на $ось X$ движется по диаметру окружности, совершая гармонические колебания между точками $М$ $N$. Абсциссу точки $А$ можно записать как:

Подобным способом можно представлять колебания любых величин.

Необходимо только принять изображение величины, которая совершает колебания абсциссой точки $А$, которая равномерно вращается по окружности. Можно, конечно использовать и ординату:

Замечание 1

Для того чтобы представлять затухающие колебания, надо брать не окружность, а логарифмическую спираль, которая приближается к фокусу. Если скорость приближения движущейся по спирали точки постоянна и очка движется к фокусу, то проекция этой точки на $ось X$ даст формулы затухающих колебаний.

Замечание 2

Вместо точки можно использовать радиус-вектор, который будет равномерно вращаться вокруг начала координат. Тогда величина, которая совершает гармонические колебания, будет изображаться как проекция этого вектора на $ось X$. При этом математические операции над величиной $x$ заменяют операциями над вектором.

Так операцию суммирования двух величин:

удобнее заменить суммированием двух векторов (используя правило параллелограмма). Векторы выбрать так, что их проекции на избранную $ось X$ являются выражениями $x_1\ и\ x_2$. Тогда результат операции суммирования векторов в проекции на ось абсцисс будет равен $x_1+\ x_2$.

Пример 1

Продемонстрируем применение метода векторных диаграмм.

Итак, представим комплексные числа векторами на комплексной плоскости. Величина, изменяющаяся по гармоническому закону, изображена вектором, который вращается с частотой ${\omega }0$ вокруг своего начала против часовой стрелки. Длина вектора равна амплитуде колебаний.

Графический метод решения, например, уравнения:

\[IZ=U\ \left(1.1\right),\]

где $Z=R+i(\omega L-\frac{1}{\omega C})$ — импеданс, представим с помощью рис.2. На этом рисунке изображена векторная диаграмма напряжений в цепи переменного тока.

Рисунок 2.

Учтем, что умножение комплексной величины на комплексную единицу означает ее поворот на угол $900$ против часовой стрелки, а умножение на ($-i$) на тот же угол по часовой стрелке. Из рис.2 ледует, что:

\[tg\varphi =\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\left(1.2\right),\]

где $-\frac{\pi }{2}\le \varphi \le \frac{\pi }{2}.$ Изменение угла $\varphi $ зависит от соотношения между импедансами элементов цепи и частотами. Внешнее напряжение может изменяться по фазе, от совпадающего с напряжением на индуктивности, до совпадающего с напряжением на емкости. Выражается это обычно в виде отношения между фазами напряжений на элементах цепи и фазой внешнего напряжения:

  1. Фаза напряжения на индуктивности ${(U}L=i\omega LI)$ всегда опережает фазу внешнего напряжения на угол от $0$ до $\pi .$

  2. Фаза напряжения на емкости ${(U}C=-\frac{iI}{\omega C}$) всегда отстает от фазы внешнего напряжения на угол между $0$ и —$\ \pi .$

  3. При этом фаза на сопротивлении может как опережать, так и отставать от фазы внешнего напряжения на угол между- $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$.

Векторная диаграмма (рис.2) позволяет сформулировать следующее:

  1. Фаза напряжения на индуктивности опережает фазу силы тока на $\frac{\pi }{2}$.

  2. Фаза напряжения на емкости отстает на $\frac{\eth }{2}\ $от фазы силы тока.

  3. Фаза напряжения на сопротивлении совпадает с фазой силы тока.

Пример 2

Задание: Продемонстрируйте то, что операцию возведения в квадрат нельзя применять к комплексным величинам как к вещественным числам.

Решение:

Допустим, что надо возвести в квадрат вещественное число $x$. Правильный ответ: $x2$. Формально применим комплексный метод. Произведем замену:

$x\to x+iy$. Возведем полученное выражение в квадрат, получим:

\[{\left(x+iy\right)}2=x2-y2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Вещественная часть выражения (2.1) равна:

\[{Re\left(x+iy\right)}2=Re\left(x2-y2+2xyi\right)=x2-y2e x2.\]

Причина ошибки в том, что операция возведения в квадрат не является линейной.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/peremennyy_sinusoidalnyy_tok/metody_kompleksnyh_amplitud_i_vektornyh_diagramm/

Booksm
Добавить комментарий