Методы электродинамики

Тема 11. Электродинамические потенциалы. Основные теоремы и принципы электродинамики

Методы электродинамики

Постановка задач в электродинамике. Скалярный и векторный электродинамические потенциалы. Уравнения Даламбера для электродинамических потенциалов. Уравнения Пуассона и Лапласа. Связь электродинамических потенциалов с векторами ЭМП. Решение неоднородных уравнений Даламбера для электродинамических потенциалов. Запаздывающие потенциалы.

Применение электродинамических потенциалов в анализе ЭМП.

Основные теоремы и принципы в теории гармонических полей. Магнитные токи и заряды. Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Теорема единственности для внешней и внутренней задач электродинамики. Принцип эквивалентности. Различные формулировки принципа эквивалентности. Лемма Лоренца. Сопряженная лемма. Теорема взаимности.

Указания к теме

Необходимо выучить определения скалярного и векторного потенциалов, обратить внимание на их связь с векторами и энергией ЭМП, а также на применение в анализе ЭМП; уяснить понятие запаздывающего потенциала.

Пользуясь теоремой Пойнтинга о балансе энергии, можно определить дополнительные условия, наложение которых сообщает решениям уравнений Максвелла физическую определенность (единственность).

Следует выучить формулировки теорем единственности и взаимности, принципов эквивалентности и двойственности, обратить внимание на их место в теории ЭМП.

Основные сведения

При решении задач излучения необходимо решать систему уравнений Максвелла при наличии сторонних источников ЭМП. Введение электродинамических потенциалов позволяет упростить расчет ЭМП излучающих систем. Из условия соленоидальности магнитного поля (2.8) можно записать:

Þ , (11.1)

где введенную функцию называют векторным потенциалом.

Подстановка выражения (11.1) в (2.6) позволяет связать с :

или . (11.2)

Из условия потенциальности электростатического поля

Þ , (11.3)

где введенную функцию j называют скалярным потенциалом (в случае электростатического поля функция jявляется скалярным электрическим потенциалом)[1, 11].

Векторы ЭМП можно выразить через и j :

, . (11.4)

Волновые уравнения для электродинамических потенциалов.Подставляя выражение (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем

. (11.5)

Удобно выбрать div так, чтобы в уравнении (11.5) слагаемое в скобках оказалось бы равным нулю

. (11.6)

Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона [1–3, 11].

С учетом выражения (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для потенциалов и j

; (11.7)

. (11.8)

После решения уравнений (11.7) и (11.8) для конкретных исходных данных векторы и находятся после подстановки и j в (11.4).

В случае стационарного магнитного поля можно считать потенциальной энергией токов, в то же время j связан с потенциальной энергией зарядов в электростатике [1–3].

При решении задач излучения с целью уменьшения числа неизвестных иногда вводят вектор Герца [12] ( , ).

, . (11.9)

В классической электродинамике и j – лишь вспомогательные величины, так как для представления ЭМП необходим переход к и . В квантовой электродинамике и j считаются фундаментальными величинами [1–3].

Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве.Решение уравнений (11.7) и (11.8) в безграничном пространстве упрощается. В пространстве вне точечного источника rст = 0.

Для точечного заряда в ССК и ЦСК решение имеет вид [1–4]

. (11.10)

При v®¥ (мгновенное распространение действия ЭМП) из уравнений (11.8) получается уравнение С. Пуассона [1, 6, 11] : .

При точках незаряженной области (r = 0) уравнение Пуассона (11.15) переходит в уравнение П. Лапласа [6, 11] : .

Волновое уравнение для векторного потенциала имеет вид [1–3, 11]

(11.11)

Полученные решения (11.10) и (11.11) отражают конечность скорости распространения ЭМП от своих источников.

В точке наблюдения значения электродинамических потенциалов (а значит, и векторов ЭМП) определяются значением не в текущий момент времени t, а в предшествующий момент t – r/v. Поэтому решения (11.10) и (11.

11) называют запаздывающими потенциалами. Время запаздывания r/v как раз показывает, какое время требуется ЭМВ, чтобы пройти расстояние r с конечной скоростью v [11].

Сравнивая уравнения (11.10) и (11.11) с (5.5) и (5.6), можно сделать вывод, что полученные решения имеют характер сферических волн.

При решении задач электродинамики выделяют внутреннюю и внешнюю задачи.

Внутренней называется задача определения ЭМП внутри области V, ограниченной замкнутой поверхностью S (рис. 11.1), при заданных на ней граничных условиях для векторов ЭМП.

Примеры внутренней задачи – определение ЭМП в объемном резонаторе, определение функции распределения тока в антенне заданной конструкции.

Внешняя задача электродинамики заключается в решении уравнений Максвелла для неограниченного пространства вне области V, ограниченной замкнутой поверхностью S , при наличии источников ЭМП. Примеры внешней задачи – определение ЭМП антенны в свободном пространстве при известном распределении тока в антенне, решение задач дифракции.

При постановке задач электродинамики необходимо ввести начальные и граничные условия, сообщающие этим задачам физическую определенность [1]. Векторы ЭМП не могут иметь произвольную зависимость от координат и времени. Например, есть ограничения на скорость убывания амплитуд и .

Из закона сохранения энергии следует [1], что в пространстве без потерь каждый из векторов и должен убывать не медленнее, чем 1/r . Это условие называется условием излучения на бесконечности [1]:

= 0 ; = 0 . (11.12)

Условия (11.12) эквивалентны условиям излучения Зоммерфельда

= 0 ; = 0 . (11.13)

Знак при вторых слагаемых в уравнениях (11.13) определяет, что условия записаны для ЭМВ, которая расходится (удаляется) от источника [1, 5]. При наличии потерь в пространстве, которые учитываются коэффициентом затухания a, векторы ЭМП убывают быстрее пропорционально exp(–ar)/r.

Существуют принципы и теоремы электродинамики, которые позволяют существенно упростить решение задач электродинамики и теории антенн.

Теорема единственности решений уравнений Максвелла.Методы решения уравнений ЭМП могут быть различными, поэтому необходимо доказать, что решение, полученное любым методом, является единственным.

В учебных пособиях [1, 12] приведено доказательство того, что если при решении уравнений Максвелла при определенных начальных и граничных условиях получены значения векторов ЭМП ( и ), то это решение будет единственным.

Принцип двойственности. Для решения задач теории ЭМП удобно ввести понятия магнитных токов и зарядов. Как отмечалось ранее, эти величины являются фиктивными и вводятся как эквивалент действия электрических токов.

При наличии магнитных источников уравнения Максвелла (2.20)–(2.21) уступают место следующим [1, 13]:

= = , , (11.14)

= = , . (11.15)

где и – плотности сторонних электрического и магнитного токов соответственно; – удельная эквивалентная магнитная проводимость; и – объемные плотности электрического и магнитного зарядов.

Сопоставляя уравнения Максвелла и выражения (11.14)–(11.15), нетрудно убедиться, что одни полностью переходят в другие при следующей замене:

® , ® , ® , ® , ® , ea « µa , « ,

, ® – , ® – , ® – , ® – , ® – . (11.16)

Следует отметить, что размерности эквивалентных величин несколько отличаются от обычных в системе СИ.

Оказывается, что измеряется в вольтах на метр квадратный, а не в амперах на метр квадратный, как , Iм – в вольтах (размерность U), – в веберах (размерность Ф), – в омах на метр (размерность удельного сопротивления) [1, 7], то есть размерности прямой и обратной замены отличаются как сопротивление и проводимость!

Таким образом, если найдено ЭМП заданных электрических источников, то достаточно сделать замену (11.16) в готовом решении задачи, и это непосредственно приведет к выражению ЭМП излучения магнитных источников.

Общий смысл принципа двойственности состоит в том, что при определенных условиях электрическое и магнитное поля «меняются ролями». Кроме того, симметрия системы уравнений Максвелла (11.14)–(15.9) подчеркивает равноправие электрических и магнитных составляющих в переменном ЭМП.

Лемма Лоренца. Пусть в некоторой линейной среде имеется два электрических источника, характеризуемых функциями плотности стороннего электрического тока и соответственно (рис. 11.2). После преобразований

. (11.17)

Интегрируя уравнение (11.17) по области V, ограниченной поверхностью S, охватывающей источники ЭМП, с учетом теоремы Остроградского – Гаусса (2.11) получим

. (11.18)

Соотношения (11.17) и (11.18) – это соответственно дифференциальная и интегральная формулировки леммы Лоренца, устанавливающей важные связи между полями двух источников.

В случае свободного пространства в дальней зоне источников (S®∞) левая часть соотношения (11.18) стремится к нулю [1, 5, 6], а это приводит к таким соотношениям:

, . (11.19)

Принцип взаимности разделенных источников. В случае, когда источники разделены в пространстве, первый источник расположен в области V1, а второй – в области V2 (рис. 11.2), соотношения (11.19) принимают форму

. (11.20)

Интеграл справа можно истолковать как некоторую характеристику взаимодействия ЭМП первого источника с ЭМП второго; аналогичный смысл имеет интеграл слева. Очевидно, что характеристики такого рода равны независимо от типа источников и изотропных сред, в которых они расположены.

Соотношение (11.20) выражает принцип взаимности, подразумевая пространственно разделенные источники и их поля.

Для двух линейных токов из выражения (11.20) следует [1]

, (11.21)

где и представляют собой э. д. с., наводимые на каждом из линейных элементов (I1) и (I2) полем другого источника.

Равенство (11.21) можно представить в другой форме:

Þ , (11.22)

где и имеют смысл взаимных сопротивлений.

Принцип взаимности проявляется в том, что э. д. с., наводимая на первом элементе заданным током второго, оказывается такой же, как и э. д. с. на втором элементе при равном токе первого [1].

Э. д. с., наводимая в приемной антенне в зависимости от ее ориентации, изменяется по тому же закону, что и ЭМП в дальней зоне, создаваемое этой антенной в режиме передачи.

То есть направленность действия антенны при приеме и передаче одинакова.

В теории антенн принцип взаимности позволяет использовать характеристику направленности передающей антенны (ДН) при использовании этой антенны в качестве приемной, а также использовать измеренную характеристику ДН приемной антенны и в режиме передачи.

Среды, устройства и системы, в которых выполняется принцип взаимности, называют взаимными [1].

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 11, 15, с. 55–59, 83–90; 2, с. 75–78, 123–126, 132–139, 150–152; 3, гл. 11, с. 51–55; 4, с. 47–50; 5, с. 21–24, 52–55, 223–239; 6, с. 128–138, 172, 205–212; 7, с.

63–67, 244–279; 8, с. 18–25, 57–61; 9, с. 60–61, 143–154, 157–159; 10, с. 68–70; 11, с. 61–75, 121–125; 12, с. 63–65, 94–98, 106–132; 13, с. 134–140, 150–155, 165–168, 238–241; 32, с. 13–17; 34, с. 5–10; 35, с.

11–13; 36, с. 9–12].

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение электродинамическим потенциалам ЭМП.

2. Что дает введение электродинамических потенциалов?

3. Почему потенциалы называют «запаздывающими»?

4. Существует ли связь электродинамических потенциалов с энергией ЭМП?

5. С помощью какого из электродинамических потенциалов можно охарактеризовать потенциальную энергию зарядов в электростатическом поле?

6. Какой потенциал связан с потенциальной энергией токов в случае стационарного магнитного поля?

7. Каково место электродинамических потенциалов в теории ЭМП и теории антенн?

8. Укажите условия калибровки волновых уравнений для электродинамических потенциалов. Зачем нужны условия калибровки?

9. Можно ли скалярный потенциал назвать «электростатическим»?

10. Существуют ли магнитные токи и заряды?

11. Дайте определение внешней и внутренней задач электродинамики.

12. В чем смысл принципа двойственности?

13. Назовите формулировку теоремы единственности. Какие требования предъявляются к функциям, описывающим ЭМП для выполнения теоремы единственности?

14. Дайте формулировку принципа эквивалентности.

15. В чем заключается смысл теоремы взаимности?

16. Поясните смысл леммы Лоренца.

Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 750; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-48921.html

Предмет и методы электродинамики. Экспериментальные основы электродинамики

Методы электродинамики

Экспериментальные основы, предмет и методы электродинамики вы найдете в данной статье.

Предметом электродинамики является электромагнитное взаимодействие и изучение его закономерности.

Электромагнитное взаимодействие одно из 4 фундаментальных взаимодействий.

Объектом электродинамики является электромагнитное поле, которое является переносчиком электромагнитного взаимодействия между заряженными телами.

Электрический заряд – это физическая величина, которая характеризует способность тел участвовать в электромагнитном взаимодействии.

Свойства электрического заряда:

  1. Существует 2 вида электрического заряда (положительный и отрицательный);
  2. Справедлив закон сохранения электрического заряда (суммарный электрический заряд в изолированной системе не изменяется);
  3. Электрический заряд является релятивистским инвариантом, т.е. величина заряда не зависит от выбора системы отсчета;
  4. Дискретность электрического заряда, т.е. существует минимальная порция заряда е=1,6*10-19 Кл.

Для описания пространственного распределения заряда вводят понятие плотности заряда.

— объемная плотность заряда;

— поверхностная плотность заряда;

— линейная плотность заряда;

Электромагнитное поле – особый вид материи, наличие которого устанавливается по действию на заряженные электрические тела.

Электрическое поле образуется заряженными телами, однако может существовать и независимо от них (электромагнитные волны). О наличии поля можно судить по силе, действующей на заряженные тела.

Для характеристики электромагнитного поля, применяют два вида характеристик:

Силовые характеристики – это напряженность электрического поля , и магнитная индукция .

Напряженность электрического поля :

Пробный заряд – материальная точка обладающая зарядом.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина, равная силе, действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку.

Если заряд неподвижен, то вокруг заряда наблюдается только электрическое поле, если же заряд движется с некоторой скоростью, во вокруг него существует как электрическая, так и магнитная составляющая электромагнитного поля.

Магнитное поле – одно из проявлений электромагнитного поля, которое наблюдается вокруг движущихся электрических зарядов и наличие которого устанавливается по действию на движущийся заряд.

Так же силовой характеристикой является магнитная индукция :

, где Fmax – максимальная сила действующая на проводник с током; I – сила тока; l – длина проводника;

Сила, действующая на проводник в магнитном поле, называется силой Ампера:

Однако, сила Ампера, не является фундаментальной силой. Фундаментальной является сила Лоренса, действующая на заряд в магнитном поле:

Сила Ампера – результирующая, которая действует на заряды, движущиеся в проводнике. Часто силой Лоренса называют полную силу, действующую на заряд в электромагнитном поле.

Энергетические характеристики:

Поля делятся на потенциальные и не потенциальные (вихревые). В потенциальных полях, работа не зависит от формы траектории и в таких полях можно ввести такое понятие как энергия и потенциал.

Электростатическое поле – поле, образованное неподвижными электрическими зарядами.

Оно является потенциальным и в таком поле можно ввести понятие электрического потенциала.

, где Wn — потенциальная энергия;

Потенциал – скалярная физическая величина, равная работе сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.

Обычно нулевой уровень потенциала принимают на бесконечности.

Магнитное поле является вихревым и понятие потенциала ввести нельзя, вводится понятие векторного потенциала А.

Для основных характеристик магнитного поля справедлив принцип суперпозиции. Если в некоторой точке, электромагнитное поле образовано несколькими источниками, то напряженность электрического поля равна векторной сумме напряженностей полей создаваемых в этой точке  каждым зарядом в отдельности.

Потенциал поля в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов полей создаваемых в данной точке каждым зарядом в отдельности.

Магнитная индукция равна векторной сумме индукций полей, создаваемых различными источниками.

Источник: http://neudoff.net/info/fizika/predmet-i-metody-elektrodinamiki-eksperimentalnye-osnovy-elektrodinamiki/

Методы электродинамики

Методы электродинамики

Электродинамика в ее классическом понимании предстает в виде предмета, который описывает и изучает различные свойства электромагнитных полей, а также занимается комплексным рассмотрением законов. По ним устанавливаются основные правила взаимодействия электромагнитного поля и тел с наличием электрического заряда.

Понятие электродинамики

В базовое понятие электродинамики включено уравнение Максвелла. Оно является основой электродинамики неподвижной силы. Также электродинамика рассматривает такие многосложные понятия как:

  • электрический заряд;
  • электромагнитное поле;
  • электромагнитный потенциал;
  • вектор Пойнтинга.

При изучении всех процессов электродинамики специалисты останавливаются подробнее на основных понятиях, связанных напрямую с этим явлением.

Определение 1

При взаимодействии одного заряженного тела с другим, возникает особый вид материи. Его принято называть электромагнитным полем. Оно состоит из двух основных составляющих в виде магнитного поля и электрического поля.

Далее принято использовать понятие электромагнитного потенциала. Его изображают в виде определенной физической величины, которая определяет распределение в пространстве электромагнитного поля.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Разделы электродинамики

Саму электродинамику разделяют еще на ряд активных составляющих:

  • электростатику;
  • электродинамику сплошной среды;
  • магнитостатику;
  • релятивистскую электродинамику.

При определении параметров электродинамики рассматривают свойства электрического заряда. Известно, что существует всего два вида электрических зарядов.

При их взаимодействии отмечается закон сохранения энергии, когда суммарный электрический заряд в изолированной системе не изменяется. Также величина заряда может иметь зависимость от выбора системы отсчета.

Исследователи помимо релятивистской составляющей используют значение дискретности электрического заряда, который имеет свою просчитанную минимальную порцию.

В процессе описания распределения заряда в пространстве используют дополнительные понятия по плотности изучаемого заряда. Существует объемная, поверхностная и линейная плотность заряда.

При изучении электромагнитного поля вводятся иные виды характеристик: силовые и энергетические. Также для уяснения свойств электромагнитного поля устанавливается напряженность электрического поля. Еще одной силовой характеристикой электрического поля стала магнитная индукция.

В магнитном поле действует сила Ампера. Она определяется как сила, которая действует на проводник. Как образ фундаментальной силы в физике определяют иное понятие. Оно получило имя силы Лоренца. Она действует на заряд в магнитном поле. Подобную силу еще называют полной силой, которая действует на электромагнитное поле.

Существуют некоторые характеристики электромагнитного поля. Они делятся на потенциальные и вихревые.

Для определения основных характеристик магнитного поля действует принцип суперпозиции. Его можно представить в виде электромагнитного поля, которое образовано сразу несколькими источниками и существующие в определенной точке. Напряженность создаваемых полей в установленной точек станет равной векторной сумме всех полей в отдельности.

После введения основных параметров и характеристик электродинамики и электромагнитного поля есть смысл поговорить об основных методах изучаемого явления.

Существует четыре основных метода электродинамики:

  • математический;
  • численный;
  • аналитический;
  • вычислительный.

Математический метод электродинамики заключается в описании задач напряженности электрического и магнитного поля. В этом случае электромагнитное поле рассматривается как две векторные функции, существующие в пространстве и времени. Математическая модель электродинамики напрямую связана с вычислением векторных полей.

В векторной алгебре величины определяются абсолютным значением и направлением. Вектор в любой системе координат определяется тремя основными значениями. Эти числа зависят от выбранной системы координат.

При векторном анализе производятся основные дифференциальные операции по исчислению.

В электродинамике наряду с общей системой декартовых координат используются криволинейные координаты. В их число входят сферические и цилиндрические координаты, дифференциальные операции в криволинейных координатах.

При численном методе электродинамики задачи решаются с помощью метода половинного деления, метода простой итерации, метода Ньютона, метода хорд, комбинированного метода, метода наименьших квадратов, а также многочлена Лагранжа.

В аналитическом методе электродинамики рассматривается решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими нелинейностями. Распространенным примером аналитического метода стали задачи нелинейной электродинамики плазмы.

В вычислительной электродинамике применяется популярный численный метод решения уравнений Максвелла. У специалистов он получил название метода конечных разностей во временной области.

В подобном методе изучаются основные этапы и численные методы решения различных задач, в том числе методы конечного интегрирования, метод моментов и метод конечных элементов.

Информацию используют в виде научных пособий для инженерных сотрудников, научных деятелей и специалистов, имеющих дело с вычислительной электродинамикой.

Подобные подходы к изучению протекающих процессов электродинамик со временем сформировали целый пласт дополнительных исследований и научных работ, на которых существует весь раздел современной физики.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrodinamika/metody_elektrodinamiki/

Booksm
Добавить комментарий