Метод зеркальных изображений

Метод зеркальных изображений

Метод зеркальных изображений

Предполагаем что имеется следующая система: бесконечная проводящая плоскость (поверхность) и точечный заряд q находящийся в области пространства X>0 над данной проводящей поверхностью. Имеется необходимость рассчитать поле в области пространства над данной поверхностью. То есть в области X>0. (На пример в точке А)

Трудность расчёта поля в области X>0 состоит в том что ЭП созданное двумя видами зарядов, а именно точечным зарядом q и зарядом индуцированным данным точечным зарядом q на проводящей поверхности.

В том случае если вблизи проводящей поверхности находится некоторый заряд, то поле данного заряда начинает действовать на свободный заряд находящийся внутри проводника. Под действием внешнего ЭП положительный заряд будет двигаться вдоль силовых линий ЭП. (Отрицательный против).

Таким образом на проводящей поверхности находящейся вблизи внешнего заряженного тела появляется индуцированный заряд. Данное движение зарядов будет происходить до тех пор пока поле внутри проводника не станет равным нулю.

Таким образом можно утверждать что поле в точке А как и любой другой точке X>0, создается как точечным зарядом так и зарядом индуцированным на данной проводящей поверхности. Однако воспользоваться на прямую для расчёта данного поля принципом суперпозиции затруднительно так как не известно распределение наведённого заряда на проводящей поверхности.

Для расчёта электрического поля созданного такой системой применяем искусственный метод получивший название метода зеркальных изображений. Его сущность состоит в том что от системы (точечный заряд – проводящая поверхность) переходят к системе точечных зарядов (q – (-q)) причём заряд –q расположен симметрично заряду q относительно той области пространства в которой находилась бы проводящая поверхность.

Правомерность данного перехода можно объяснить строго доказанной единственностью решения первой краевой задачи. Как для системы 1 так и для системы 2 в любой точке пространства кроме точки нахождения заряда можно сформулировать уравнение Лапласа (*). Так как проводящая поверхность является бесконечной то потенциал на данной проводящей поверхности будет равен нулю. Для первой системы:

— Первая краевая задача

Для второй системы мы так же можем в любой точке пространства кроме точки нахождений заряда написать уравнение (*), а потенциал в плоскости X=0 можно определить используя принцип суперпозиции.

(=)

— потенциал в плоскости X=0 созданный положительным зарядом q; — потенциал в плоскости X=0 созданный зарядом –q.

Таким образом как для первой так и для второй системы мы сформулировали первую краевую задачу которая имеет единственное решение. Следовательно поле созданное системой 2 в области X>0 будет точно таким же в этой области как и поле созданное системой 1.

С помощью единственности решения второй краевой задачи можно обосновать принцип электростатической защиты.

Рассмотрим ситуацию: пусть имеется некоторая проводящая плоскость в нутрии которой находится заряд (семейство точечных зарядов ). Определим как внешнее электрической поле влияет на данную систему зарядов и как данная система зарядов влияет на внешнее ЭП.

Под действием поля данной системы точечных зарядов свободные заряды в данной проводящей плоскости начнут перемещаться. На внутренней части данной проводящей плоскости появится некоторый заряд суммарная величина которого Q.

Величину этого заряда можно определить используя уравнение обобщающее закон Кулона. Для этого выделим внутри проводящей плоскости замкнутую поверхность S и для этой поверхности сформулируем уравнение обобщающее закон Кулона.

Q – суммарный заряд находящийся внутри проводящей плоскости.

Так ак поле внутри проводника равно нулю.

Таким образом на внутренней поверхности проводящей плоскости появится заряд равный по величине и противоположный по знаку заряду находящемуся внутри проводящей плоскости.

Qn на внутренней части полости появляется за счёт его оттягивания с внешней части полости.

Так как проводник в целом нейтрален то на внешней части оболочки появляется заряд распределённый по внешней части оболочки причём суммарная величина этого заряда (Qвн – Qn)

Для любой точки пространства кроме точек нахождения зарядов мы можем сформулировать уравнение (*). Так же на поверхностях внутри металлической оболочки однозначно заданы заряды. Таким образом имеется вторая краевая задача единственность решения которой мы обосновали выше.

Внешнее поле (поле заряда находящегося внутри оболочки) никак не влияет на формулировку второй краевой задачи, а следовательно это поле никак не влияет на заряды находящиеся внутри полости окружённой проводящей оболочкой, апосредственно влияет на внешнее ЭП.

Действительно как было показано выше (Qвн=Q) Qвн создаёт такое же поле как Q и это поле накладываясь на внешнее ЭП меняет его.

С помощью метода краевой задачи можно так же произвести расчёт сложных электростатических систем. Например используя методику краевой задачи можно рассчитать электрические характеристики конденсатора.

Простейшим конденсатором является плоский конденсатор (устройство состоящее из двух пластин S находящихся на расстоянии D друг от друга. В область пространства между пластинами можно внести диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε.

При заряде конденсатора появляется положительный заряд и за счёт описанного выше явления электростатической индукции появляется такой же по величине но противоположный по знаку отрицательный заряд. Предполагаем что потенциал левой пластины равен нулю, а потенциал правой равен .

В области между пластинами справедливо (*)

Таким образом для данного конденсатора мы сформулировали первую краевую задачу

Полагаем поле внутри конденсатора созданного зарядами q преобразованное краевыми эффектами уравнение (*) в декартовой системе координат можно записать следующим образом:

Интегрируя дважды по X получаем общее решение дифференциального уравнения

и — произвольные постоянные. Определить данные производные постоянные можно непосредственно из условий краевой задачи.

из второго граничного условия

Найдя выражение для функции потенциала можем найти зависимость напряжённости ЭСП от координаты X.

Учитывая что напряжённость электрического поля так же будет зависеть от Х.

— единичный вектор направленный в сторону противоположную увеличению потенциала.

Поле внутри конденсатора является однородным не зависящим от координаты Х. Определим ёмкость данного конденсатора. Общее определение ёмкости проводника – это та величина заряда проводника которую нужно дать проводнику для того чтобы ему сообщить потенциал в 1 вольт. Емкость зависит от размеров и формы проводника.

Ёмкость конденсатора рассчитывается

— разность потенциалов между обкладками конденсатора.

— поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора.

Поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора можно определить из граничного условия вблизи поверхности проводника. Условие выглядит так:

— нормальная составляющая вектора электрической индукции

Источник: https://studopedia.su/3_44918_metod-zerkalnih-izobrazheniy.html

Форма эквипотенциальных поверхностей

Пусть мы имеем несколько точечных зарядов. При этом $S$ — эквипотенциальная поверхность, которая делит пространство на два полупространства (1) и (2). В полупространстве (1) заряды обозначим как $q_1,\ q_2,\ \dots ,$ в полупространстве (2) заряды будут: ${q'}_1,\ {q'}_2,\ \dots .

$ Если заданы величины зарядов и их расположения, потенциал поверхности $S$, тогда поле в полупространстве определено однозначно (согласно теореме о единственности). Это относится и к полупространству (1), и к полупространству (2). В том случае если поверхность $S$ является проводящей, то поле во всем пространстве ни как не изменится.

Но при этом поля в полупространствах при этом совершенно независимы друг от друга.

Так решаются одновременно две аналогичные задачи. Одна из них: В полупространстве (1) находятся точечные заряды $q_1,\ q_2,\ \dots .\ $Необходимо найти электрическое поле (вектор напряженности) в этом полупространстве.

Это поле складывается из полей отдельных зарядов $q_1,\ q_2,\ \dots ,$ и индуцированных зарядов на поверхности $S$. Но, следуя теореме о единственности, в полупространстве (1) поле индуцированных зарядов такое же, как поле зарядов ${q'}_1,\ {q'}_2,\ \dots .

$ Следовательно, при вычислении напряженности искомого поля поверхность S можно удалить и заменить ее точечными зарядами ${q'}_1,\ {q'}_2,\ \dots .$ Система зарядов ${q'}_1,\ {q'}_2,\ \dots .$ при этом называется электрическим изображением зарядов $q_1,\ q_2,\ \dots $ в поверхности $S$.

Получается, что задача о поле зарядов, которые находятся по одну сторону проводящей поверхности, ведет к поиску электрических изображений этих зарядов в поверхности S.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Точечный заряд q находится на расстоянии a от бесконечной проводящей плоскости. Найти силу взаимодействия этого заряда с плоскостью.

Решение:

Заряд ($q'$) равный по величине, имеющий противоположный знак будет электрическим изображением в плоскости $S$, заряда $q$ из условий задачи. То есть $q'=-q$. $q'$ расположен по другую сторону от плоскости $S$ на таком же расстоянии равном а (рис.1). Выберем некоторую точку A.

Рис. 1

Для этой точки потенциал поля будет равен:

\[\varphi =kq\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r'}\right)\left(1.1\right),\]

где $k=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}.$ $\varepsilon =1.$ Потенциал $\varphi $=0 на плоскости $S$. Плоскость $S$ является эквипотенциальной. Формула (1.1) определяет потенциал поля в полупространстве (1).

В полупространстве (2), которое заполнено средой, поле равно нулю. Заряд $q$ индуцирует на плоскости $S$ такие заряды, которые создают в полупространстве (1) такое же поле как создавал бы заряд $q'.

$ Индуцированные заряды притягивают заряд $q$ с силой равной силе притяжения, которая действует между зарядами $q\ и\ q'$:

\[F=k\frac{q2}{{(2a)}2}\ \left(1.2\right),\]

где силу $F$ называют силой электрического изображения. В полупространстве (2) индуцированные заряды компенсируют поле заряда $q$.

Ответ: Сила взаимодействия равна $F=k\frac{q2}{{(2a)}2}.$

Пример 2

Задание: Найдите силу взаимодействия, которая возникает между точечным зарядом q и проводящим сплошным шаром радиуса R, если точечный заряд находится на расстоянии l от центра сферы считать, что шар заземлен. Найдите энергию взаимодействия того же точечного заряда с тем же шаром, если шар изолирован.

Решение:

Заряд $q$ индуцирует в проводящем шаре свое изображение ($q'$). Потенциал поля, которое создают два точечных заряда равен:

\[\varphi =k\left(\frac{q}{r}-\frac{q'}{r'}\right)\left(2.1\right),\]

$\varphi (R)=0$ на поверхности шара потенциал равен нулю. Центр шара лежит на прямой, которая соединяет заряды $q\ и\ q'$. k=$\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\varepsilon =1.$

Рис. 2

Расстояние от точки О до точки А равно l, расстояние от точки О до точки $A'$ равно $l'$. При этом выполняются равенства:

\[\frac{l}{l'}={\left(\frac{q}{q'}\right)}2,\ R2=ll'\left(2.2\right).\]

  1. Пусть шар заземлен ($\varphi =0$). В таком случае поле за пределами шара, которое создает заряд $q,$ находящийся в точке А (рис.2) будет таким же как поле, которое создают два заряда: заряд $q$ и заряд $-q',\ который\ находится\ в\ точке\ A'$. В данном случае выполняются равенства:
  2. \[l'=\frac{R2}{l},\ q'=\frac{qR}{l}\left(2.3\right).\]

    Потенциал такого поля равен:

    \[\varphi =k\left(\frac{q}{r}-\frac{qR}{lr'}\right)\left(2.4\right).\]

    На поверхности шара индуцируется заряд не равный нулю. Он равен -$q'.$ Энергия взаимодействия заряда и шара равна:

    \[W=-k\frac{qq'}{2\left(l-l'\right)}=-k\frac{q2R}{2\left(l2-R2\right)}\ \left(2.5\right).\]

    Тогда сила притяжения заряда к шару равна:

    \[F=-\frac{\partial W}{\partial l}=-k\frac{q2lR}{{\left(l2-R2\right)}2}.\]

  3. Допустим, что шар не заряжен и изолирован (это значит, что его заряд поддерживается равным нулю). Для того чтобы полный индуцированный заряд на поверхности проводящего шара был равен нулю следует ввести еще один фиктивный заряд. Он должен быть таким, что полный индуцированный заряд поверхности шара стал равен нулю. И при этом должно сохраниться постоянство потенциала на поверхности шара. Потенциал поля при этом будет выражен следующим образом:
  4. \[\varphi =k\left(\frac{q}{r}-\frac{q'}{r'}+\frac{q'}{r_0}\right)\left(2.6\right).\]

    Энергия взаимодействия в таком случае будет записана как:

    \[W=-k\frac{qq'}{2}\left(\frac{1}{l}-\frac{1}{l-l'}\right)=-k\frac{q2R3}{2l2\left(l2-R2\right)}\ \left(2.7\right).\]

Ответ: Сила взаимодействия для случая 1 равна $F=-k\frac{q2lR}{{\left(l2-R2\right)}2}.$ Энергия взаимодействия для второго случая $W=-k\frac{q2R3}{2l2\left(l2-R2\right)}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/metod_zerkalnyh_izobrazheniy/

Идея метода зеркальных изображений

Метод зеркальных изображений

Рассмотрим следующую ситуацию. Имеется источник поля, расположенный над бесконечной идеально проводящей поверхностью S (рис. 5.1), которая делит пространство на два полупространства – 1 и 2.

В полупространстве 2 поле отсутствует, так как оно экранировано от источника. Требуется найти поле в полупространстве 1, которое, очевидно, не совпадает с полем источника в отсутствие экрана.

С формально-матема­тической точки зрения влияние экрана сказывается в том, что на его поверхности должно выполняться граничное условие

, . (5.1)

Метод зеркальных изображений позволяет рассчитать поле в полупространстве 1 путем замены экрана зеркальным изображением источника в нем. Искомое поле представляется тогда суммой полей истинного источника и его зеркального изображения. На месте удаленного экрана должно при этом обеспечиваться выполнение условия (5.1).

Рассмотрим применение метода на примере вертикального и горизонтального диполя Герца с моментом ( -ток, l-длина диполя) (рис. 5.2). На основе метода зеркальных изображений откажемся от проводящей границы раздела и запишем выражение для напряженности электрического поля, создаваемого в дальней зоне диполя Герца с моментом pэв следующем виде: .

На фиктивной границе двух сред орт можно представить как сумму нормальной и касательной к поверхности, составляющей со своими амплитудными коэффициентами . Из приведенного выражения видно, что одиночной диполь имеет отличную от нуля касательную к поверхности составляющую электрического поля, что не удовлетворяет ГУ (5.1).

В связи с этим необходимо осуществить выбор расположения и фазы дипольного момента изображения, при которых обеспечивается выполнение ГУ. Поле мнимого изображения должно скомпенсировать касательную составляющую электрического поля оригинала, следовательно, моменты оригинала и изображения должны быть синфазными. В этом случае поле, создаваемое изображением, запишется как .

В результате суммарное поле будет удовлетворять ГУ (5.1) и таким образом, поле в дальней зоне системы из двух источников окажется эквивалентным полю диполя над проводящей поверхностью.

Рис. 5.2

Повторяя изложенные рассуждения для горизонтально расположенного диполя можно сделать вывод, что в этом случае моменты должны быть противофазными.

5.2. Применение метода зеркальных изображений к антеннам,
размещенным над проводящей плоскостью

Как известно, любую антенну можно представить совокупностью элементарных электрических и магнитных диполей Герца. Поэтому очевидна законность переноса метода зеркальных изображений и на этот случай.

Суть метода полностью сохраняется: чтобы найти поле антенны в полупространстве 1, нужно отбросить экран, а его действие заменить действием зеркального изображения антенны. Необходимо лишь выяснить связь между характе­ристиками направленности реальной антенны и ее зеркального отображения.

Для удобства анализа рассмотрим отдельно случай антенны с вертикально- и горизонтально-поляризованным полями излучения.

Вертикальная поляризация.Пусть центр О1антенны 1 поднят над поверхностью на высоту h (рис. 5.3). Центр изображения (антенны 2) должен, очевидно, находиться в зеркально-симметричной точке О2. Суммарное напряженность электрического поля обеих антенн должно иметь нулевую касательную составляющую в любой точке А на поверхности S.

Определим сна чала в этой точке поле антенны 1. Как известно, в поле излучения вектор электрического поля перпендикулярен направлению распространения, т. е. в данном случае — лучу О1А; в то же время этот вектор, по нашему предположению, поляризован в вертикальной плоскости. Следовательно, он должен быть ориентирован по орту .

Поле излучения пропорционально характеристике направленности по направлению луча О1А. Характеристика направленности антенны 1 записывается как функция угла , отсчитываемого от вертикали. Следовательно, ее значение по направлению луча О1А есть ( ).

Наконец, выражение для поля [В/м] должно содержать множитель, учитывающий запаздывание волны по фазе и убывание ее по амплитуде обратно пропорционально расстоянию от антенны. Этот множитель — функция Грина . Учитывая изложенное, получим

. (5.2)

Аналогичным образом записывается поле зеркального изображения в точке А:

, (5.3)

где – характеристика направленности антенны 2. Угол по-преж­нему отсчитывается от вертикали, так что в данном случае он равен (см. рис. 5.3).

Чтобы поле , полученное суммированием (5.2) и (5.3), имело нулевую касательную составляющую относительно S, значения и должны совпадать. Только в этом случае касательные составляющие обоих полей взаимно компенсируются.

Заметим, что углы и в данном рассмотрении жестко связаны: . Поэтому Это равенство означает, что характеристика направленности антенны 2 должна быть зеркальным отражением харак­теристики направленности антенны 1 (см. рис. 5.

3), а антенны должны быть возбуждены синфазно.

Особо выделим случай, когда ДН антенны 1 симметрична относительно направления (рис. 5.4). В таком случае ее зеркальное изображение будет совпадать с оригиналом. Следовательно,

. (5.4)

Горизонтальная поляризация. В данном случае выражение для поля антенны 1 в точке А будет отличаться от выражения (5.3).

Во-первых, вектор , который должен быть перпендикулярен О1А (см. рис. 5.3) и одновременно горизонтально поляризован, будет направлен по орту , перпендикулярному плоскости рисунка.

Во-вторых, характеристика направленности имеет индекс «г», а не «в». Таким образом,

. (5.5)

Поле антенны 2 также поляризовано по орту :

. (5.6)

Сумма векторов (5.5) и (5.6) должна обратиться в нуль, поскольку орт касателен к S. Следовательно, значения и должны быть равны и противоположны по знаку:

= — , . (5.7)

Таким образом, характеристики направленности антенн являются зеркальными изображениями друг друга, но, согласно (5.7) в отличие от вертикальной поляризации (см. (5.4)), антенны должны быть возбуждены в противофазе.

В особом случае, когда характеристики направленности симметричны относительно , получим следующее соотношение между ними:

. (5.8)

5.3. Обобщение на антенны с произвольно
поляризованным излучением

В общем случае поле излучения антенны имеет вертикальную и горизонтальную составляющие, причем каждая из них обладает своей характеристикой направленности.

Полное поле каждой из антенн представляется как сумма вертикальной и горизонтальной составляющих. Запишем поле антенны 1 в произвольной точке М 1-го полупространства (рис. 5.5). Для этого сложим выражения (5.

2) и (5.5), подставляя в них координаты точки М:

. (5.9)

В той же точке М поле зеркального изображения равно

. (5.10)

Если точка наблюдения находится в дальней зоне системы «антенна 1 — антенна 2», то выполняются неравенства >> , >> , >> . В этом случае выражения (5.9) и (5.10) можно упростить. При выполнении указанных неравенств лучи О1М и О2М практически параллельны; поэтому . Кроме того, в знаменателях (5.9) и (5.10) можно положить . Тогда

, (5.11)

. (5.12)

Наконец, примем, что характеристики направленности и по горизонтальной, и по вертикальной составляющим симметричны относительно . Тогда действуют связи (5.4) и (5.8). Учитывая их, преобразуем (5.12):

. (5.13)

Следует отметить, что поля антенн 1 и 2 из-за разницы знака при в (5.11) и (5.13) поляризованы неодинаково. Допустим, например, что и равны по модулю и сдвинуты по фазе на 90º, так что квадратную скобку в (5.

11) можно записать в виде . Это означает, что поле антенны 1 имеет левую круговую поляризацию (если смотреть по направлению распространения волны). В то же время для поля антенны 2 та же скобка записывается как , т. е.

это поле с правой круговой поляризацией.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/7_93375_ideya-metoda-zerkalnih-izobrazheniy.html

электричество и магнетизм

Метод зеркальных изображений

…Не став пред вопросом в тупик, Ответил я так собеседнице милой: Владеет любовь электрической силой, а золото — проводник!(Р.Бернс. Золотое кольцо)

В электростатике существует ряд искусственных методов, позволяющих без громоздких вычислений найти распределение полей. К ним, например, относится метод функций комплексного переменного, с которым вы познакомитесь при изучении классической электродинамики.

Здесь мы рассмотрим метод зеркальных изображений, который может помочь при решении симметричных задач. Суть метода в следующем:

def: Если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем соответствующий потенциал, то электрическое поле не изменится. Естественно, что справедливо и обратное положение.

Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется бесконечная проводящая заземленная плоскость, которой припишем нулевой потенциал, и около нее на расстоянии h заряд Q. Требуется найти что-нибудь электрическое, например, поверхностную плотность заряда на плоскости. Распределение поля показано на рис.10.1.

Сечение этой картины любой плоскостью перпендикулярной исходной показано на рис.10.2. Вам это ничего не напоминает? Конечно! Это часть поля, созданного двумя разноименными зарядами (сравните с рис.4.6а).

Ясно, что заменить существующее поле в исследуемой области можно полем двух точечных зарядов разного знака (отразить имеющийся заряд в плоскости, как в зеркале). Тогда (рис.10.3)

C другой стороны поле плоскости равно Ez=s/e0 (см. формулу 5.11) Приравняв, получим

    (10.2)

Полный заряд на плоскости равняется

Откуда взялся этот заряд? Не зря же плоскость заземленная!

Без интегрирования по поверхности, легко рассчитать силу взаимодействия между зарядом и плоскостью.

   (10.4)

По сути дела метод изображений основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас области пространства была бы той же. По теореме единственности других решений быть не может.

2. Заряд и сфера

Еще один пример применения этого метода — это задача о взаимодействии точечного заряда и сферы. Решать ее мы будем наоборот.

Вернемся к задаче о линии нулевого потенциала поля двух разноименных неодинаковых по модулю точечных зарядов (см. лк.7 п.11). Решим ее в другой системе координат (рис.10.4). Линия нулевого потенциала найдется из соотношения

.

Разрешая последнее уравнение, имеем

   (10.6)

С осью ОХ (y=0) эта кривая пересекается в точках

.

График этой линии показан на рис.10.5. Правда, похоже на окружность со смещенным центром? Чтобы убедиться в этом, напишем уравнение этой окружности

(10.8)    

сравнивая, (10.6) и (10.8) получаем систему уравнений

и    (10.9)

Из этой системы и находятся параметры этой окружности

— ее центр, и — ее радиус.

Кстати, если обратить внимание на масштаб рис.7.17, то можно убедиться, что и там тоже окружность.

Теперь считаем, что заданы радиус окружности и положение ее центра, а найти нужно a и m. Из системы (10.9) получаем

,      (10.13)

и расстояние между центром сферы и вторым зарядом

А теперь попробуем понять, что же мы нашли. Если нужно выяснить, что-либо про электрическое взаимодействие точечного заряда q1 и сферы нулевого потенциала (заземленной) радиуса R, центр которой находится от точечного заряда на расстоянии х0, то эту сферу нужно заменить точечным зарядом

,

который находится от первого на расстоянии а, рассчитанном по формуле (10.13).

А что делать, если потенциал сферы не равен нулю? В центр сферы всегда можно добавить заряд q3. По принципу суперпозиции, сфера всегда останется эквипотенциальной, а изменится только величина потенциала.

Пусть нужно найти силу взаимодействия между точечным зарядом и разряженной нейтральной сферой. Суммарный заряд сферы должен остаться равным нулю, следовательно, в центр сферы нужно поместить заряд q3=-q2, и найти силу, действующую на первый заряд со стороны второго и третьего.

Ричард Фейнман утверждает, что таким методом достаточно легко решается задача о взаимодействии двух разноименно заряженных сфер. Попробуйте! (Фейнмановские лекции по физике, т.5, стр.127).

3. Электрическое поле Земли

Ранее (лк.2 п.6) мы сказали, что Земля имеет достаточно большой отрицательный заряд. А откуда это известно?

Для определения электрического поля Земли и ее заряда используют следующий эксперимент: Две большие пластины площадью S соединены через гальванометр и, следовательно, имеют одинаковый потенциал (рис.10.6). Внутри поля нет, так как, если поле Земли существует, то оно скомпенсировано собственным полем пластин.

Поверхностная плотность заряда пластин равна s=Ee0. Если повернуть пластины на 90 градусов, то через гальванометр пройдет заряд Q=sS. Измерив заряд, можно вычислить напряженность. В результате экспериментов оказалось, что поверхностная плотность заряда на пластинах ~1,15.

10-19 Кл/м2, и следовательно, напряженность равна ~130 В/м и направлена к Земле. Принимая Землю за проводящий шар известного радиуса (~6370 км), можно оценить ее заряд, который получается равным -586 кКл. А потенциал на поверхности Земли 832 МВ. Ничего себе! Напомним только, что это потенциал относительно бесконечности.

Кроме того, расчет очень грубый, так как кроме самой Земли ничего не учитывает, а ведь есть еще положительно заряженная атмосфера.

Реальная разность потенциалов между Землей и верхними слоями атмосферы ~400000 В. На высоте 1 км напряженность уже ~40 В/м. Дальше она спадает очень быстро. Поэтому не будем забираться очень далеко, и посмотрим, что происходит вблизи поверхности Земли.

Кроме того, напомним, что физический смысл имеет не сам потенциал, а его разность. Понятно, что общий для всех потенциал лучше выбрать на поверхности Земли, и очень удобно приписать ему нулевое значение.

При указанной напряженности, казалось бы, разность потенциалов между головой человека среднего роста (170 см) и его подошвами составляет ~220 В.

На самом деле, человек является довольно хорошим проводником с сопротивлением ~1 кОм, и является эквипотенциальным объемом. С Земли на человека переходит часть заряда. Поле вокруг человека искажается примерно так, как показано на рис.10.7б и потенциал человека по-прежнему 0 В.

Если же человек находится на изолирующей подставке, и ему каким-то образом сообщить заряд (снять или надеть синтетическую одежду), то получится примерно то, что показано на рис.10.8. Если человек в таком состоянии коснется батареи отопления или стержня, воткнутого в Землю, то испытает на себе все прелести перераспределения зарядов между двумя телами.

Надеемся, мы достаточно подробно рассказали про заземление приборов и его необходимость.

4. Основная задача электростатики

Она формулируется следующим образом: известна диэлектрическая проницаемость среды e, заданы расположение и форма проводников; знаем либо потенциалы всех проводников, либо заряды всех проводников, либо заряды одних и потенциалы других. Требуется определить поле, потенциалы, распределение зарядов.

Задача сводится к решению уравнения Пуассона с заданными граничными условиями. Ясно, что решение есть, так как мы сами можем взять эти проводники и расположить их так, как нам хочется. Можно доказать, что это решение единственное (теорема единственности).

Существует и обратная задача, причем “обратная задача нахождения формы проводников при заданном выражении потенциала решается более просто, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников” (J.C.Maxwell. Treatise an Electricity and Magnetism. Oxford University, press 1891,v.1,ch.VII).

Это и понятно, так как дифференцировать всегда легче, чем интегрировать.

В качестве примера решим прямую задачу для двух бесконечно длинных цилиндрических поверхностей с радиусами R1 и R2 (R1

Источник: https://tsput.ru/res/fizika/ELECTRO_DREAM/lection_10.html

Booksm
Добавить комментарий