Метод перемещений в строительной механике

Курс лекций по строительной механике

Метод перемещений в строительной механике

Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

Основы метода

Метод перемещений в строительной механике является во многом основополагающим для большинства современных методов (метод конечных элементов и др.) раскрытия статической неопределимости сложных стержневых конструкций.

В методе сил за неизвестные принимают усилияв устранённых связях, а дополнительными уравнениями являются условия совместности основной и заданной систем, записываемых в виде уравнений, описывающих равенство перемещений в направлении этих устранённых связей.

  В методе перемещений, наоборот, неизвестные выбирают в виде перемещений , а дополнительными уравнениями являются условия совместности основной и заданной систем, записанных в виде статических уравнений.

Основная система в методе сил обычно выбирается статически определимой.

 В методе перемещений основная система всегда статически неопределимая.

Метод перемещений имеет преимущество перед методом сил в том, что для сложных конструкций количество неизвестных в методе перемещений меньше, чем в методе сил.

Другим преимуществом метода перемещений перед методом сил является то, что в методе перемещений для любой заданной системы возможен только один вариант основной системы, тогда как в методе сил для заданной системы можно выбрать несколько вариантов основной системы.

 При расчёте рамных систем методом перемещений принимают следующие допущения:

а) деформациями стержней, работающих на изгиб от продольных и поперечных сил, пренебрегают;

б) ввиду малости перемещений отрезки, соединяющие концы любого деформированного стержня, принимают равными длине самих стержней;

в) сближение концов стержня при его изгибе как от внешней нагрузки, так и от смещения узлов рамы не учитывают.

За неизвестные в методе перемещений принимают (рис. 8.1) перемещения Z — углы поворота жестких узлов рамы и линейные смещения узлов рамы.

Выбор основной системы

Основную систему в методе перемещений выбирают из заданной путём введения во все жёсткие узлы условных жёстких заделок.

В направлении возможных линейных подвижек элементов заданной системы ставят условные простые кинематические связи, препятствующие линейным подвижкам этих элементов.

Следует отметить, что условные жёсткие заделки предотвращают только угловые перемещения, но не препятствуют линейным перемещениям этих узлов.

В методе перемещений заданная стержневая система превращается в совокупность однопролётных статически неопределимых стержней, известные решения которых используются при расчёте рассматриваемых заданных систем.

В методе перемещений имеет место не статическая, как в методе сил, а кинематическая неопределимость  заданной системы. Кинематическую неопределимость n определяют по выражению

,  (8.1)

где — число жестких узлов, в которые необходимо ввести условные жёсткие заделки, устраняющие возможные повороты узлов;  — число простых кинематических связей, которые необходимо ввести в заданную систему, чтобы устранить возможные линейные подвижки элементов рамы.

Пример. Определить степень кинематической неопределенности рамы, показанной на рис. 8.1.

·, т.к. рассматриваемая рама имеет два жёстких узла, обозначенных на схеме цифрами 1 и 2;

·для определения  во все узлы заданной рамы вводят шарниры (рис. 8.2), тем самым превращая заданную схему рамы в геометрически изменяемую систему.

В дальнейшем исследование такой системы сводится к определению того количества простых кинематических связей, которые необходимо поставить в неё для того, чтобы превратить её в геометрически неизменяемую систему. Для этого по формуле nл = 3Д  2Ш  С0 из первого раздела настоящего курса определяем

 . (8.2)

Из (8.2) очевидно, что заданная на рис. 8.1 система имеет одну линейную подвижку.

Таким образом, согласно выражению (8.1), степень кинематической неопределимости рассматриваемой рамы будет равна

  . (8.3)

При выборе основной системы метода перемещений в жёсткие узлы 1 и 2 заданной системы вводим условные защемления, устраняющие поворот примыкающих к этому узлу поперечных сечений стержней.

Затем в направлении возможной линейной подвижки вводим одну условную простую кинематическую связь 3, которая устраняет возможное линейное смещение горизонтального элемента рамы (ригеля). На рис. 8.

3 показана выбранная из заданной (см. рис. 8.1) основная система.

Из анализа основной системы видно, что она представляет собой набор однопролётных статически неопределимых балок. Как правило, такими балками являются балки двух типов — защемлённые с обеих сторон и балки, защемлённые с одной стороны и шарнирно опёртые с другой.

Исходя из этого, основную систему метода перемещений в обобщённом виде можно представить как систему, состоящую из набора определённого количества конечных элементов.

Однажды рассчитав эти статически неопределимые балки от действия различного вида внешней нагрузки и перемещений, их можно использовать для расчёта любых статически неопределимых стержневых систем методом перемещений. В прил. 2 приведены данные расчёта часто встречающихся в инженерной практике статически неопределимых балок.

Линии влияния моментов для сечений, расположенных в пролётах неразрезной балки После построения линий влияния опорных моментов (раскрытие статической неопределимости системы) можно приступать к построению линий влияния внутренних усилий в сечениях неразрезной балки.

Линии влияния поперечных сил

Канонические уравнения метода перемещений В каждой условно введенной связи основной системы возникают реактивные усилия как от действия внешней нагрузки, так и от смещения связей. В заделках возникают реактивные моменты, а в линейных связях — реактивные усилия.

Основы динамики стержневых систем В предыдущих разделах был рассмотрен расчёт стержневых систем при действии на них статических нагрузок. Однако в практике создания и эксплуатации транспортных сооружений большинство нагрузок являются такими, которые во времени изменяют и свою величину, и направление действия.

Кинематический метод Метод определения усилий в плоской или пространственной системе, вызванных неподвижной или подвижной нагрузкой, состоящий в освобождении системы от некоторой кинематической связи и рассмотрении в образованной таким способом системе виртуальных перемещений или скоростей. Метод перемещений Метод деформаций Метод определения усилий и перемещений в статически неопределимой системе, при котором в качестве основных неизвестных выбираются перемещения (линейные и угловые).

Метод перемещений в строительной механике

Источник: http://krmatem.ru/vereshagin/konstrukt38.htm

Метод перемещений в строительной механике

Метод перемещений в строительной механике

Возведение зданий и инженерных конструкций осуществляется по техническим регламентам, в которых определяются размеры отдельных частей и самого сооружения.

Замечание 1

Параметры всех элементов устанавливаются посредством тщательных расчетов, изложенных в курсах сопротивления строительных материалов, оборудования и инженерных инструментов.

Одно из ключевых мест среди указанных направлений занимает такая научная область, как строительная механика.

В данной дисциплине рассматриваются методы и принципы расчета деформируемых концепций, которые состоят из стержней, брусьев, нитей, а также из оболочек и специальных пластин.

Строительная механика – это комплексная научная сфера, изучающая специальные инженерные разделы. Основной задачей этого направления выступает разработка теоретического фундамента для точного расчета и планирования сооружений.

Способы определения перемещений базируются на использовании работ внутренних и внешних сил. В строительной механике исследуются два вида взаимодействий – действительное и возможное.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Реальным перемещением принято называть движение, которое вызвано силой по назначению ее прямого действия. Формула для этого процесса записывается следующим образом:

$\Delta = \sigma P$

$dA = P d \Delta = P \sigma d P $

$a — \sigma P \int\limits_{0}{P} PdP — \sigma \frac {P2}{2} — \frac {P \Delta }{2} $

При формировании методов расчета применяются ключевые принципы теоретической механики, физики и противодействие материалов.

Цель расчетов в строительной механике

Главной задачей расчётов, проводимых методами строительной механики, считается установление возможных неблагоприятных напряжений в элементах конструкций (изгибающих частей, продольных и поперечных сил) и движений точек будущего сооружения (смещений, прогибов и отклонений) от воздействующих на строительный объект нагрузок и других дополнительных действий окружающей среды. По обнаруженным усилиям конструкторы и инженеры могут определить необходимые размеры основных элементов, обеспечивающих требуемую устойчивость сооружения при минимальных финансовых затратах.

Найденные перемещения и возможные риски отдельных точек конструкции помогают установить изменения начальной формы, жесткость элементов, осуществить объективное сравнение компонентов сооружения с ожидаемыми изменениями и обеспечить максимально комфортную эксплуатацию здания.

Особенности метода перемещений

Данный способ определения строительных напряжений базируется на принципе вероятных перемещений. Согласно этой схеме механические элементы находится в равновесии только тогда, когда нахождение всех внутренних и внешних сил на любой плоскости равно нулю:

$V+U=0$, где:

$V$ – действие внешних сил (примерной нагрузки); $U$ – функционал внутренних сил (напряжений, появляющихся в элементах заданной концепции).

Возможным перемещением в строительной механике принято считать любое бесконечное передвижение, которое совместимо со связями и компонентами системы. Для применения метода перемещений надо выбрать базу, полученную из заданной расчетной схемы посредством отбрасывания той части, в которой устанавливается напряжение, и заменой её неизвестной единицей.

Таким образом, основная концепция в строительной механике представляет собой периодически измененную формулу с единственной степенью свободы.

Для выявления необходимого усилия следует в центральной системе задать небольшое положительное движение по направлению отброшенного элемента, получив в результате картину возможных деформаций, называемую эпюрой физических перемещений. Затем уже можно составить выражение итоговой работы всех вовлеченных в данный процесс внешних сил.

Так как указанная схема является нестабильной, то усилия в компонентах возникать не будут, работа начальных внутренних сил приравнивается к нулю $(U=0)$. Из выражения перемещений внешних сил при $V=0$ устанавливается требуемое искомое усилие.

Например, определить реакцию опоры $V$ в простой балке под воздействием распределенной нагрузки можно путем отбрасывания опорного стержня, который берет на себя реакцию $V$, и заменить его неизвестной единицей $X$.

В итоге получается основная система, где распределенную дополнительную работ заменим равнодействующей $(Q=ql)$. Любой точке в рассматриваемой схеме в направлении внешней силы $X$ предоставим малое перемещение $\Delta x$, в результате наблюдаем эпюру перемещений.

Все движения и изменения необходимо задавать малыми, поэтому горизонтальные оси балки нет потребности учитывать. Выражение для определения реакции выглядит так:

$ \Delta_v= \frac {1}{2} \Delta_x$

$x \Delta_x – ql \frac {1}{2} \Delta_x = 0$

$x = \frac {1}{2} \Delta_x = 0 $

Плюсы и минусы метода перемещения

Замечание 2

Ключевое преимущество рассматриваемого метода заключается в том, что для каждого обеденного усилия всегда получается только одно уравнение (не надо решать целую систему уравнений).

Недостатками способа перемещений в строительной механике является необходимость изучения многих механизмов (для каждого уравнения выбирается собственная центральная система – инструмент), а также сложности автоматизации вычислительного процесса (применение только при ручном счёте). Поэтому указанный метод при воздействии неподвижной нагрузки используется достаточно редко, однако при перемещении подвижных элементов он находит более широкое применение.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/stroitelnaya_mehanika/metod_peremescheniy_v_stroitelnoy_mehanike/

Строительная механика

Метод перемещений в строительной механике

Определить внутренние усилия (M, Q, N) в статически неопределимых системах в строймехе можно методом перемещений.

Для этого метода в систему вводятся дополнительные связи, а за неизвестные принимаются перемещения во введенных связях.

Так как за неизвестные принимаются перемещения (угловые и поступательное), то общее число неизвестных называется степенью кинематической неопределимости и рассчитывается по формуле:

n=nугл+nлин

где nугл – количество углов поворота жестких узлов (равно числу жестких узлов в системе) (рис. 1, г, д);

      nлин – количество возможных линейных перемещений.

Например, в раме (рис. 1, а) nугл =2.

Рисунок 1. Степень кинематической неопределимости

При определении nлин во все жесткие узлы и опоры заданной системы устанавливают шарниры и определяют число линейных перемещений на базе известной формулы кинематического анализа:

nлин =3Д–2Ш-С0

В рассматриваемом примере (рис. 1, а): nлин=2× 6 – 5 – 6 =1. Т.е. число независимых линейных перемещений равно числу стержней, которые надо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую.

Неизвестные перемещения обозначаются: Z1, Z2, …, Zn.

После расчета количества неизвестных в заданную систему (ЗС) вводят столько же связей для предотвращения перемещений концов ее стержней. При этом система делится на однопролетные статически неопределимые балки. Полученная система является основной системой (ОС) метода перемещений. А сама ОС называется кинематически определимой.

В рассматриваемом примере в раму введем две заделки в жесткие узлы и одну шарнирно-подвижную опору. Полученная схема (рис. 1, в) будет ОС метода перемещений.

Для образования ОС метода перемещений требуется:

– в жесткие узлы заданной системы ввести nугл заделок;

– в направлении поступательных перемещений узлов заданной системы ввести nлин шарнирно-подвижных опор.

Введенная заделка в отличии от обычной заделки исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность линейного смещения.

Полученная ОС метода перемещений будет единственной.

Рама, приведенная на рис. 2, а, четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 2, б.

Рисунок 2. Канонические уравнения метода перемещений

В методе перемещений в раму необходимо ввести n=nугл+nлин=1+0=1 кинематическую связь (жесткую заделку – рис. 2, б). Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через Z, получим ОС показанную на рис. 2 в.

nлин=3·3–2·2–5=0

Чтобы усилия и деформации ОС были аналогичными ЗС, перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы (рис. 2, а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 2, в) должен равняться нулю: R =0.

Указанную реакцию определяют рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы.

В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение (угол поворота, равный единице) и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 2, г). В грузовом состоянии будем учитывать только заданную внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию RP (рис. 2, д).

С учетом упругости системы и принципа суперпозиции получаем следующее уравнение:

r · Z+ RP =0         

где r – реактивный момент в заделке от поворота этой заделки на угол, равный 1 (или от линейного перемещения на 1).

Полученное уравнение называется каноническим уравнением метода перемещений.

Если известны величины реакций r и RP, то можно определить величину узлового перемещения:

Z= – RP /r.

Для стержневой системы, степень кинематической неопределимости которой равна n, ОС образуется введением n дополнительных связей с неизвестными Z1, Z2, …, Zn. Соответственно, необходимо составить n уравнений. Далее исследуются n единичных состояний и одно грузовое состояние. 

где rii – главные коэффициенты;

      rij – боковые коэффициенты;

      Rip – грузовые коэффициенты.

Полученная система уравнений называется системой канонических уравнений метода перемещений.

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений можно определять статическим или кинематическим способами.

Статический способ основан на определении реакций во введенных связях основной системы из уравнений равновесия. Для этого необходимо вырезать отдельные узлы или части основной системы и составить уравнения равновесия (статики).

Если искомая реакция является  моментом, то она определяется из условия равенства нулю момента в узле, если же она является  силой, то определяется из уравнения проекции на ось (например, на ось x) в направлении этой реакции.

Статический способ достаточно прост для использования, поэтому является основным способом определения коэффициентов системы канонических уравнений.

Кинематический способ основан на определении коэффициентов канонических уравнений путем перемножения эпюр. Этот способ используется в случае когда  статическим способом рассчитать сложно или для проверки результатов статического способа.

После определения всех коэффициентов они подставляются в систему канонических уравнений. После ее решения определяются неизвестные Z1, Z2, …, Zn. Далее аналогично методу сил определяются внутренние усилия.

Вначале рассчитываются изгибающие моменты:

Далее по эпюре изгибающих моментов (M) определяются поперечные силы (Q), а по ним методом вырезания узлов – продольные силы (N).

Проверка правильности построения эпюр М, Q, N выполняется аналогично методу сил:

– статическая проверка состоит в составлении уравнений равновесия для реакций в опорах статически неопределимой системы, которые могут быть определены из построенных эпюр внутренних усилий, т.е.:

– деформационная проверка – в результате умножения окончательной эпюры изгибающих моментов М, полученной методом перемещений, на любую из единичных эпюр, построенных для основной системы метода сил. В результате должен получаться нуль.

Пример задачи с решением.

Источник: https://5stroymeh.ru/staticheski-neopr-mye/metod-peremeshchenij/27-metod-peremeshchenij-pri-raschete-staticheski-neopredelimykh-sistem.html

Booksm
Добавить комментарий