Материальное уравнение для векторов магнитного поля

Материальное уравнение для векторов магнитного поля

Материальное уравнение для векторов магнитного поля

Фундаментальным уравнением магнитостатики в дифференциальной форме, является выражение:

где $\overrightarrow{j}$ — плотность тока. Уравнение (1) является полевым и применяется для описания магнитостатического поля.

Однако, при рассмотрении конкретных примеров этого уравнения не достаточно, так ка уравнение (1) не содержит ни каких постоянных, которые характеризовали бы свойства среды, в которой возбуждается поле.

Для того чтобы при описании поля учесть свойства вещества вводят уравнение, которое называют материальным уравнением для векторов магнитного поля.

Принципиальный способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электрической проводимости среды. В основе этих теорий положены идеализированные модели вещества.

К таким моделям применяют уравнения классической или квантовой механики методы статистической физики и находят связь между векторами магнитной индукции и напряжённостью магнитного поля.

Получают более или менее сложные соотношения, которые и дополняют фундаментальные уравнения.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Материальное уравнение для векторов магнитного поля в простейшем случае

Самое простое материальное уравнение для векторов магнитного поля получено для слабых полей, которые медленно изменяются во времени и пространстве. В таком случае для изотропных неферромагнитных сред материальное уравнение имеет вид:

где ${\mu }_0$ — магнитная постоянная$,\mu $ — магнитная проницаемость среды, характеризующая магнитные свойства среды.

Учет магнитных свойств, феноменологически описываемых намагниченностью, содержится в магнитной проницаемости ($\mu $). Когда Максвелл в свою теорию вводил материальное уравнение вида (2), он рассматривал магнитную проницаемость среды как постоянную величину, введенную в теорию из опыта. Электронная теория показала, что материальное уравнение в виде (2) выполняется, если соблюдаются условия:

  1. за время приблизительно равное собственному периоду внутриатомных колебаний поле должно изменяться мало;
  2. поле должно изменяться на очень небольшую величину на расстояниях сравнимых с размерами атомов и молекул.

Итак, обычно считают, что материальное уравнение (2) выполняется, если $\mu $ может зависеть от координат, но не зависит от времени и векторов поля. В поле отсутствуют магниты и ферромагнитные тела.

Для учета движения среды сводят к движению зарядов или токов в среде. Тогда уравнение (1) не изменяется, а материальное уравнение (2) становится зависимым от скорости движения среды и что существенно их усложнит.

Надо отметить, что уравнение (2), как и остальные материальные уравнения электромагнитного поля хоть и является весьма значимым в теории, но фундаментальным не является и общностью, такой как уравнение (1) не обладает.

Пример 1

Задание: Определите индукцию магнитного поля (B) и намагниченность (J) сердечника тороида, который имеет N=151 виток. Средний радиус тороида R=3 см. Сила тока в тороиде I=1 А. Используйте график зависимости В(H) рис.1.

Рис. 1

Решение:

За основу решения задачи примем формулу, определяющую напряженность магнитного поля в тороиде:

\[H=In\ \left(1.1\right),\]

где $n$ — число витков тороида на единицу длины. Найдем эту величину как:

\[n=\frac{N}{l}=\frac{N}{2\pi R}\left(1.2\right).\]

Тогда выражение (1.1) примет вид:

\[H=I\frac{N}{2\pi R}\ \left(1.3\right).\]

Для того, чтобы далее воспользоваться графиком (рис.1) проведем вычисление напряженности поля:

\[H=1\frac{151}{2\cdot 3,14\cdot 3\cdot {10}{-2}}\approx 800\ \left(\frac{А}{м}\right).\]

Используя график получим, что при $H=800\frac{А}{м}$ индукция магнитного поля В=1,2Тл.

Зная материальное уравнение для векторов магнитного поля, в применении к нашему случаю запишем его, как:

\[B=\mu {\mu }_0H\left(1.4\right),\]

из уравнения (1.4) выразим магнитную проницаемость вещества:

\[\mu =\frac{B}{{\mu }_0H}\left(1.5\right).\]

Намагниченность связана с напряжением магнитного поля формулой:

\[J=\varkappa H=\left(\mu -1\right)H\left(1.6\right),\]

где $\varkappa $ магнитная восприимчивость. Используя (1.5), получим, что:

\[J=\left(\mu -1\right)H.\]

Вычислим магнитную проницаемость вещества:

\[\mu =\frac{1,2}{4\cdot \pi \cdot 800}\approx 1,19\cdot {10}3\]

Проведем вычисление намагниченности:

\[J=(1,19\cdot {10}3-1)\cdot 800\approx 952\cdot 103(\frac{А}{м}).\]

Ответ: В=1,2Тл, $J=952\cdot 103\frac{А}{м}.$

Пример 2

Задание: Бесконечно длины соленоид находится в диамагнитной среде, длина соленоида равна l, площадь поперечного сечения S, число витков N. Индуктивность соленоида L, сила тока в нем I. Найдите намагниченность внутри соленоида и его магнитную индукцию.

Решение:

Зная материальное уравнение, которое связывает напряжённость магнитного поля и индукцию для нашего соленоида:

\[B=\mu {\mu }_0H\ (2.1)\]

напряжённость поля длинного соленоида:

\[H=\frac{N}{l}I\ (2.2)\]

и формулу для индуктивности соленоида:

\[L={\mu }_0\mu \frac{N2}{l}S\ (2.3)\]

найдем индукцию магнитного поля соленоида. Для этого выразим из (2.3) магнитную проницаемость среды, подставим ее в уравнение (2.1), так же подставим в (2.1) напряженность из (2.2), получим:

\[B={\mu }_0\frac{Ll}{N2S{\mu }_0}\frac{N}{l}I=\frac{L}{NS{\mu }_0}I\left(2.4\right).\]

Вектор намагниченности связан с вектором напряженности, в нашем случае можно записать, что:

\[J=\left(\mu -1\right)H=\left(\frac{Ll}{N2S{\mu }_0}-1\right)\frac{N}{l}I.\]

Ответ: $B=\frac{L}{NS{\mu }_0}I,\ J=\left(\frac{Ll}{N2S{\mu }_0}-1\right)\frac{N}{l}I.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/magnetiki/materialnoe_uravnenie_dlya_vektorov_magnitnogo_polya/

Вектор магнитной индукции: формула

Материальное уравнение для векторов магнитного поля

Один из параметров магнитного поля – его силовая характеристика. Она обозначает, с какой силой поле влияет на движущиеся в нём заряженные частицы. Это значение из разряда векторных величин, носит название магнитная индукция B→.

Индукция B→ проводника с током и соленоида

Физический смысл магнитной индукции (МИ)

Возможность действовать на предмет магнитным полем (МП) определяет сущность настоящей индукции. Она появляется в момент перемещения в катушке индуктивности магнита постоянной природы.

Результатом такого движения является появление тока, с одновременным увеличением магнитного потока.

Поскольку обмотка у катушки металлическая, а структура металла – кристаллическая решётка, то можно объяснить физические свойства этого явления.

Электроны, находящиеся в этой решётке, при отсутствии магнитного воздействия находятся в покое. Движения никакого нет. Оно начинается в тот момент, когда электроны попадают под воздействие переменного МП (поле изменяется при перемещении постоянного магнита).

Значение возникающего в катушке тока зависит от диаметра жилы и количества витков, физических характеристик магнита и скорости его движения.

Единица размерности в системе Си рассматриваемой характеристики – тесла. Она обозначается буквами Тл.

Важно! Электроны в решётке, после попадания катушки в МП, разворачиваются под некоторым углом и выстраиваются вдоль силовых линий МП. Количество ориентированных частиц и однородность их размещения зависимы от величины поля.

Вектор  – это вектор индукции магнитного поля (градиентный параметр МП).

Вектор магнитной индукции

Направление вектора МИ

Направление магнитных полей может указать стрелка магнита, помещаемая в эти поля. Она будет крутиться до тех пор, пока не остановится. Северный конец стрелки покажет, куда ориентирован B→ орт того или иного поля.

Таким же образом ведёт себя рамка с током, имеющая возможность без помех ориентироваться в МП. Направленность вектора индукции указывает ориентацию нормали к такому замкнутому электромагнитному контуру.

Внимание! Здесь используют правило буравчика (правого винта). Если винт вращать так, как направлен ток в рамке, то поступательное продвижение винта совпадёт с направлением положительной нормали.

В некоторых случаях, чтобы найти направление, применяют правило правой руки.

Определение направления B→

Наглядное отображение линий МИ

Линию, к которой можно провести касательную, совпадающую с B→, называют линией магнитной индукции (МИ). С помощью таких линий можно визуально отобразить магнитное поле. Это сомкнутые контурные чёрточки, которые охватывают токи. Их густота всегда пропорциональна величине B→ в конкретной точке МП.

Информация. Когда имеют дело с МП прямого движения заряженных частиц, то эти линии изображаются в виде концентрических окружностей. Они имеют свой центр, расположенный на прямой линии с током, и находятся в плоскостях, расположенных под прямым углом к нему.

С направлением магнитных линий также можно определиться, пользуясь правилом буравчика.

Графическое обозначение линий МИ

Модуль вектора магнитной индукции

Напряженность электрического поля

Чтобы определить величину вектора МИ, нужно узнать его модуль. Как определяется модуль вектора магнитной индукции (градиент)? Это можно понять на примере небольшой модели.

Если поместить в поле подковообразного магнита горизонтально подвешенный проводник, то МП магнита будет действовать только на участок, расположенный в междуполюсном промежутке. Сила F→, действующая на этот участок, будет направлена под прямым углом к линиям индукции и самому проводнику.

Она достигает своего максимума, когда орт МИ располагается перпендикулярно проводнику.

Значение модуля B→ будет равно отношению максимального значения этой силы F к произведению длины отрезка ∆L на силу движения зарядов (I), а именно:

B = Fm/I*∆L.

Электрическая модель для определения модуля B→

Основные формулы для вычисления вектора МИ

Вектор магнитной индукции, формула которого B = Fm/I*∆L, можно находить, применяя другие математические вычисления.

Закон Био-Савара-Лапласа

Описывает правила нахождения B→ магнитного поля, которое создаёт постоянный электроток. Это экспериментально установленная закономерность. Био и Савар в 1820 году выявили её на практике, Лапласу удалось сформулировать. Этот закон является основополагающим в магнитостатике.

При практическом опыте рассматривался неподвижный провод с малым сечением, через который пропускали электроток. Для изучения выбирался малый участок провода, который характеризовался вектором dl.

Его модуль соответствовал длине рассматриваемого участка, а направление совпадало с направлением тока.

Интересно. Лаплас Пьер Симон предложил считать током даже движение одного электрона и на этом утверждении, с помощью данного закона, доказал возможность определения МП продвигающегося точечного заряда.

Согласно этому физическому правилу, каждый сегмент dl проводника, по которому протекает электрический ток I, образовывает в пространстве вокруг себя на промежутке r и под углом α магнитное поле dB:

dB = µ0 *I*dl*sin α /4*π*r2,

где:

  • dB – магнитная индукция, Тл;
  • µ0 = 4 π*10-7 – магнитная постоянная, Гн/м;
  • I – сила тока, А;
  • dl – отрезок проводника, м;
  • r – расстояние до точки нахождения магнитной индукции, м;
  • α – угол, образованный r и вектором dl.

Важно! Согласно закону Био-Савара-Лапласа, суммируя векторы магнитных полей отдельных секторов, можно определить МП нужного тока. Оно будет равно векторной сумме.

Существуют формулы, описывающие этот закон для отдельных случаев МП:

  • поля прямого перемещения электронов;
  • поля кругового движения заряженных частиц.

Формула для МП первого типа имеет вид:

В = µ* µ0*2*I/4*π*r.

Для кругового движения она выглядит так:

В = µ*µ0*I/4*π*r.

В этих формулах µ – это магнитная проницаемость среды (относительная).

Рассматриваемый закон вытекает из уравнений Максвелла. Максвелл вывел два уравнения для МП, случай, где электрическое поле постоянно, как раз рассматривают Био и Савар.

Принцип суперпозиции

Для МП существует принцип, согласно которому общий вектор магнитной индукции в определённой точке равен векторной сумме всех векторов МИ, созданных разными токами в данной точке:

B→= B1→+ B2→+ B3→… + Bn→

Теорема о циркуляции

Изначально в 1826 году Андре Ампер сформулировал данную теорему. Он разобрал случай с постоянными электрическими полями, его теорема применима к магнитостатике. Теорема гласит: циркуляция МП постоянного электричества по любому контуру соразмерна сумме сил всех токов, которые пронизывают этот контур.

Стоит знать! Тридцать пять лет спустя Д. Максвелл обобщил это утверждение, проведя параллели с гидродинамикой.

Другое название теоремы – закон Ампера, описывающий циркуляцию МП.

Математически теорема записывается следующим образом.

Математическая формула теоремы о циркуляции

где:

  • B→– вектор магнитной индукции;
  • j→ – плотность движения электронов.

Это интегральная форма записи теоремы. Здесь в левой части интегрируют по некоторому замкнутому контуру, в правой части – по натянутой поверхности на полученный контур.

Магнитный поток

Одна из физических величин, характеризующих уровень МП, пересекающего любую поверхность, – магнитный поток. Обозначается буквой φ и имеет единицу измерения вебер (Вб). Эта единица характерна для системы СИ. В  СГС магнитный поток измеряется в максвеллах (Мкс):

108 Мкс = 1 Вб.

Магнитный поток φ определяет величину МП, пронизывающую определённую поверхность. Поток φ зависит от угла, под которым поле пронизывает поверхность, и силы поля.

Формула для расчёта имеет вид:

φ = |B*S| = B*S*cosα,

где:

  • В – скалярная величина градиента магнитной индукции;
  • S – площадь пересекаемой поверхности;
  • α – угол, образованный потоком Ф и перпендикуляром к поверхности (нормалью).

Внимание! Поток Ф будет наибольшим, когда B→ совпадёт с нормалью по направлению (угол α = 00). Аналогично Ф = 0, когда он проходит параллельно нормали (угол α = 900).

Вектор магнитной индукции, или магнитная индукция, указывает направление поля. Применяя простые методы: правило буравчика, свободно ориентирующуюся магнитную стрелку или контур с током в магнитном поле, можно определить направление действия этого поля.

Источник: https://amperof.ru/teoriya/vektor-magnitnoj-indukcii-formula.html

Максвелла уравнения

Материальное уравнение для векторов магнитного поля

фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в произвольной среде. М. у. сформулированы Дж. К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений.

Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля, Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую М. у. Современная форма М. у. дана немецким физиком Г.

Герцем и английским физиком О. Хевисайдом.

М. у. связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов.

В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В.

Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда r (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В, вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н.

М. у. позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и r как функции координат и времени. М. у. могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц).

М. у. в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

Первое М. у. является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме.

Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально).

Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое М. у. имеет вид:

, (1, a)

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Здесь jn — проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S, — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3?1010 см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

Второе М. у. является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

, (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь Bn — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу для направления индукционного тока.

Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

, (1, в)

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

, (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов B и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а — г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму М. у. (обычно более удобную для решения различных задач):

rot ,

rot , (2)

div ,

div .

Здесь rot и div — дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е, а B — через Н:

D = D (E), B = B (Н), j = j (E). (3)

Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D?Е и B? Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.

Макроскопические М. у. описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды. М. у.

могут быть получены из Лоренца — Максвелла уравнений для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам.

Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D, B и jв данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие моменты времени.

В некоторых средах векторы D и B могут быть отличными от нуля при Е и H равных нулю (сегнетоэлектрики и ферромагнетики).

Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значительных полей, уравнения состояния имеют простую линейную форму:

D= eE, B= mH, j = sE+ jcтр. (4)

Здесь e (x, у, z) — диэлектрическая проницаемость, а m (x, у, z) — магнитная проницаемость среды, характеризующие соответственно её электрические и магнитные свойства (в выбранной системе единиц для вакуума e = m = 1); величина s(x, у, z) называется удельной электропроводностью; j cтр — плотность так называемых сторонних токов, то есть токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологической теории Максвелла макроскопические характеристики электромагнитных свойств среды e, m и s должны быть найдены экспериментально. В микроскопической теории Лоренца — Максвелла они могут быть рассчитаны.

Проницаемости e и m фактически определяют тот вклад в электромагнитное поле, который вносят так называемые связанные заряды, входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества.

Экспериментальное определение e, m, s позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде, не решая трудную вспомогательную задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в веществе. Плотность заряда r и плотность тока j в М. у.

— это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогательные векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D — плотностью распределения этих зарядов в пространстве.

Если электромагнитное поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае уравнения (2) должны быть дополнены граничными условиями:

[nH]2 — [nH]1 = ,

[nE]2 — [nE]1 = 0, (5)

(nD)2 — (nD)1 = 4ps,

(nB)2 — (nB)1 = 0.

Здесь jпов и s — плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки — соответственно векторное и скалярное произведения векторов, n — единичный вектор нормали к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1®2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

Основные уравнения для поля (2) линейны, уравнения же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях. В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям (4)] и, в частности, в вакууме М. у. линейны и, таким образом, оказывается справедливым суперпозиции принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

Из М. у. вытекает ряд законов сохранения. В частности, из уравнений (1, а) и (1, г) можно получить соотношение (так называемое уравнение непрерывности):

, (6)

представляющее собой закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

Из М. у. следует, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии w (энергии единицы объёма поля) равна:

, (7)

Электромагнитная энергия может перемещаться в пространстве. Плотность потока энергии определяется так называемым вектором Пойнтинга

. (8)

Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно как Е, так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П.

Если не происходит превращений электромагнитной энергии в другие формы, то, согласно М. у., изменение энергии в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую этот объём.

Если внутри объёма за счёт электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии записывается в форме:

(9)

где Q — количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

Плотность импульса электромагнитного поля g(импульс единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

. (10)

Существование импульса электромагнитного поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899).

Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрическое и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).

М. у. приводят к фундаментальному выводу о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной с = 3?1010 см/сек).

Это означает, что при изменении плотности заряда или тока в некоторой точке пространства порождаемое ими электромагнитное поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя время t = R/c, где R — расстояние от элемента тока или заряда до точки наблюдения.

Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий возможно существование электромагнитных волн, частным случаем которых (как впервые показал Максвелл) являются световые волны.

Электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, то есть удовлетворяют принципу относительности. В соответствии с этим М. у. не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны).

Выполнение принципа относительности для электромагнитных процессов оказалось несовместимым с классическими представлениями о пространстве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию специальной теории относительности (А. Эйнштейн, 1905; см. Относительности теория). Форма М. у.

остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е, Н, В, D, плотность тока j и плотность заряда r изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские представления о пространстве и времени).

Релятивистски-инвариантная форма М. у. подчёркивает тот факт, что электрическое и магнитное поля образуют единое целое.

М. у. описывают огромную область явлений.

Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц, астрофизика и т. д.

М. у. неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля — фотонов — велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Лит.: Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перевод с английского, М., 1952; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Калашников С. Г., Электричество, М., 1956 (Общий курс физики, т.

2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, (перевод с английского], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); их же, Электродинамика сплошных сред, М.

, 1959.

Г. Я. Мякишев.

Источник: https://rza.org.ua/glossary/read/Maksvella-uravneniya_101.html

1.3. Материальные уравнения. Классификация сред

Материальное уравнение для векторов магнитного поля

Электромагнитныевзаимодействия между зарядами и токамизависят от свойств среды. Свойства средыхарактеризуются тремя электродинамическими(макроскопическими) параметрами: Среды принято делить на однородные инеоднородные, линейные и нелинейные,изотропные и анизатропные.

Средаоднородна,если ее электродинамические параметрыне зависят от координат. Если хотя быодин из параметров меняется от точки кточке, то среда неоднородна.

Средалинейна,если ее электродинамические параметрыне зависят от величин векторовэлектромагнитного поля. Если хотя быодин из параметров зависит от величинвекторов электромагнитного поля, тосреда нелинейна.

Средаизотропна,если ее электродинамические параметрыне зависят от направления векторовэлектромагнитного поля. Если хотя быодин из параметров зависит от направлениявекторов электромагнитного поля, тосреда анизатропна.

Электродинамическиепараметры в каждой точке поля входят вматериальные уравнения, связывающиевекторы электромагнитного поля. Дляслучая линейной изотропной средыматериальные уравнения имеют следующийвид:

, (1.9)

, (1.10)

. (1.11)

Множитель σ впоследнем уравнении имеет размерностьСм/м и называется удельной проводимостьюсреды. При σ = const это уравнение выражаетзакон Ома в дифференциальной форме.

Электродинамическиепараметры большинства сред в обычныхусловиях – скалярныеи постоянныевеличины. При этом соответствующие парывекторов коллинеарные, а их модулисвязаны линейной зависимостью. Привозрастании напряженности поля линейнаязависимость нарушается, параметры средыизменяются при изменении напряженностиполя, среда становится нелинейной.

Ванизотропных средах соотношения междупарами векторов зависят от их ориентации.В общем случае эти векторы непараллельные.Для описания свойств анизотропных средприменяют несимметричные тензоры║εа║,║μа║,║σ║.

Как правило,нелинейность или анизотропия проявляетсялишь в одном из материальных соотношений.Соответственно различают нелинейныедиэлектрики, анизотропные магнетики ит.п.

В дальнейшем, еслине сделано специальных оговорок, средысчитаются линейными однородными иизотропными.

1.4. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной

формах

Макроскопическаятеория электромагнетизма основываетсяна уравнениях Максвелла, которыесвязывают между собой источники ивекторы электромагнитного поля.

Основные законыэлектричества и магнетизма, кроме законаФарадея, были получены при наблюдениистационарных полей. С логической точкизрения, априори не следует, что ониостаются неизменными для полей, зависящихот времени.

Поэтому так велика заслугаМаксвелла, который обобщил полученныедо него экспериментальные закономерностина случай произвольного электромагнитногополя в произвольной среде, введя всеголишь одно дополнительное слагаемое взакон, открытый Ампером.

Системауравнений электромагнитного поля былапостулирована Максвеллом, т.е. введенав теорию аксиоматически.

В любойфизической теории аксиомами считаютсяте фундаментальные соотношения, изкоторых путем лишь математическихпреобразований выводятся остальныесвойства изучаемых объектов.

Необъятноеколичество экспериментальных фактов,полученных после введения этих уравнений,не оставляют сомнений в их правильности,так как выводы электромагнитной теориинаходятся в неизменном соответствии срезультатами опыта и практическойдеятельности.

Различают уравненияМаксвелла в дифференциальной иинтегральной формах (см. табл. 1.1).

Уравнения Максвелла в дифференциальнойформе уста­навливают связь междувекторами и источниками электромагнитногополя в каждой точке пространства, ауравнения в интегральной форме связываютмеж­ду собой источники и интегральныехарактеристики (потоки, циркуляции)электромагнитных полей. Переход отодной формы уравнений к другойосуществ­ляется простыми математическимипреобразованиями (см. Приложение А).

Таблица 1.1 –Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Первое уравнение Максвелла –

закон полного тока Ампера-Максвелла

(I)

Второе уравнение Максвелла – закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла

(II)

Третье уравнение Максвелла – обобщенная теорема Гаусса

(III)

Четвертое уравнение Максвелла –

закон непрерывности магнитного потока

(IV)

Пояснимфизический смысл уравнений Максвелла.

Законполного тока.

Из закона пол­ного тока в дифференциальнойформе сле­дует, что вихри магнитногополя возникают только в тех точкахпространст­ва, где имеется либообъемная плотность тока про­водимости,либо перемен­ное во вре­мениэлектрическое поле.Мож­но сказать иначе. Перемен­ноево времени электрическое поле возбуждаеттакже, как и переменный ток проводимости,переменное во времени магнитное вихревоеполе.

Иззакона полного тока в интегральнойформе следует, что цирку­ляция векторанапряженности магнитного поля по любомузамкнутому контуру Lравна полному току, протекающему черезлюбую поверхность, опирающуюся на этотконтур (рис. 1.1).

Приэтом полным током называется величина, равная:

. (1.12)

Соответственнообъемная плотность полного тока равна:

. (1.13)

Величину, определяемуюсоотношением

, (1.14)

принятоназывать объемной плотностью токасмещения.

Из определения вектора следует, что плотность тока смещенияопределяется движением (смещением)электрических зарядов, связанных вмолекулах вещества, и изменениемэлектрического поля в вакууме.

Отметим,что закон полного тока был предложенМаксвеллом путем обобщения законаАмпера (добавления в правую часть законаАмпера тока смещения) на случай полей,меняющихся во времени по произвольномузакону.

Законэлектромагнитной индукции.Из закона электромагнитной индук­циив дифференциальной форме следует, чтовихри электрического поля воз­никаютв тех точках пространства, где имеетсяпеременное во времени магнит­ное поле.Другими словами, переменное во временимагнитное поле возбуждает переменноево времени вихревое электрическое поле.

Иззакона электромагнитной индукции винтегральной форме следует, что циркуляциявектора по любому замкнутому контуруLравна взятой с обратным знаком скоростиизменения магнитного потока, пронизывающеголюбую поверхность S,опирающуюся на этот контур.

Следуетотметить существенную разницу виспользовании одного и того же терминаконтур. В формулировке Фарадея контур– это замкнутая цепь, составленная изпроводников. Максвелл обобщил законФарадея, понимая под контуром замкнутуюлинию, произвольно расположенную впространстве.

ТеоремаГаусса.Cоотношение (III) в интегральной формеизвестно из электростатики, как теоремаГаусса, и обобщено Максвеллом на случайполей, произвольно зависящих от времени.

Оно устанавливает, что электрическиезаряды служат истоками и стокамиэлектрического поля; линии вектораэлектрической индукции выходят изобластей, содержащих положительныезаряды и входят в области, где находятсяотрицательные заряды.

Изтеоремы Гаусса в дифференциальной формеследует, что силовые линии вектораэлектрического смещения начинаются(заканчиваются) в тех точках пространства,где имеется электрический заряд собъемной плотностью ρ.

Точки, в которыхсиловые линии начинаются (ρ 0), называются истокамивектораэлектрического смещения,а точки, в которых силовые линиизаканчиваются (ρ 0), называются стокамитого же вектора.

Изтеоремы Гаусса в интегральной формеследует, что поток вектора через любую замкнутую поверхностьSравен алгебраической сумме зарядов,заключенных в объеме V,ограниченном этой поверхностью.

Законнепрерывности магнитного потока. Изчетвертого уравнения Максвелла вдифференциальной форме следует, чтомагнитное поле не имеет ни истоков, нистоков. Отсюда следует, что силовыелинии вектора магнитной индукции всегдазамкнуты (поле соленоидально).

Изчетвертого уравнения Максвелла винтегральной форме следует, что потоквектора сквозь любую замкнутую поверхность Sвсегда равен нулю.

Из уравненийМаксвелла можно сделать вывод, чтотолько в случае статических полей,создаваемых неподвижными и неизменнымиво времени зарядами, электрические имагнитные поля являются независимыми.

В общем случае,когда заряды меняются во времени,электрические и магнитные поля связанымежду собой: наличие переменногоэлектрического поля невозможно безсуществования переменного вихревогомагнитного поля и, наоборот.

Прирешении конкретных задач электродинамикив уравнения Максвелла вводятся сторонниезаряды и сторонние токи,которые являются первопричинойвозбуждения электромагнитного поля.Задание сторонних источников производитсядобавлением в правые части уравнений(I) и (III) соответствующих слагаемых. Приэтом уравнения Максвелла в дифференциальнойформе принимают следующий вид:

, (1.15)

, (1.16)

, (1.17)

. (1.18)

Сформальной математической точки зренияуравнения (1.15) – (1.18) являются системойвекторно-дифференциальных уравненийдля определения векторов электромагнитногополя по заданным и.Система уравнений (1.15) – (1.18) совместнос материальными уравнениями (1.9) – (1.

11)является математически полной и позволяетставить и решать конкретные задачиэлектродинамики. Используя совместноматериальные уравнения и уравнения(1.15) – (1.18), можно получить векторныедифференциальные уравнения, которымудовлетворяют каждый из векторови.

В случае однородной изотропной средыбез потерь эти уравнения для декартовойсистемы координат имеют следующий вид:

, (1.19)

, (1.20)

где– оператор Лапласа, который в декартовойсистеме координат имеет вид:

.

Источник: https://studfile.net/preview/5157332/page:5/

Booksm
Добавить комментарий