Математическая термодинамика

Математическая термодинамика

Математическая термодинамика

Основным математическим аппаратом в классической термодинамики является гипотеза дифференциальных фазовых форм, которая представляет собой две и более независимые переменные, а также способы преобразования частных производных от одной группы независимых показателей к другой.

На сегодняшний день ученые выделяют два типа дифференциальных форм:

  • неполное уравнение — характеризуется зависимостью решения от пути интегрирования;
  • полный дифференциал — предполагает независимость интеграла от выбора пути.

Примеров, иллюстрирующих свойства указанных критериев математической термодинамики можно привести множество из различных областей физики, экономики и химии. Также часто используются простые термодинамические системы, состояние которых непременно определяется заданием основных значений двух независимых переменных. В этом случае дифференциальная форма будет иметь более простой вид.

Математическая формулировка второго закона термодинамики

Рисунок 1. Математическое выражение 2-го начала термодинамики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Согласно первому закону классической термодинамике математическое выражение удельной внутренней энергии можно приравнять к алгебраической сумме, полученной системой в форме показателя внешней работы.

Это позволяет подвести тепловую энергию к работе тела, в результате чего значительно уменьшается энергетический потенциал.

Следует подчеркнуть, что математическая формулировка в этом случае справедлива только для обратимых процессов, протекающих бесконечно медленно без потери энергии.

Работа, совершаемая при этом, является максимальной. При необратимых явлениях тепло любого физического тела всегда меньше, чем при обратимых. Изменение же уровня энтропии, являющейся функцией общего состояния, не зависит от характера происходящего процесса. Поэтому для необратимого процесса. Это соотношение и называется математической формулировкой второго закона термодинамики.

Замечание 1

Для реализации этих расчетов необходимо учитывать задание математических уравнения в виде величин удельной энергии основного состояния концепции.

Как правило, этот показатель практически не изменяется, так может быть задан для определенных моделей или косвенно определен посредством упомянутых выше выражений.

Обязательный учет наличия внешних электромагнитных полей необходимо включить в работающую схему, в итоге — увеличится общее количество уравнений.

Это проще всего с помощью предварительного подсчета изменения свободной энергии при включении линий системы от нуля до заданной величины.

Математические задачи термодинамики

Рисунок 2. Второе начало термодинамики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 1

Математическая термодинамика – это прежде всего задачи, которые напрямую связаны с изучением наиболее общих свойств макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и физических процессов перехода между данными состояниями.

Математический аппарат термодинамики исходит из основных термодинамических начал. Согласно нулевому закону, любая концепция должна иметь единственное и постоянное в термодинамическом смысле устойчивое состояние, которое возможно определить с помощью фиксации внешних условий, в которых находится система.

Определение 2

Первое начало – основной закон сохранения и превращения энергии, используемый для квазистатического малого изменения показателей состояния системы в виде медленного перехода из одной позиции в другую.

Такой эффект связывает тепловую энергию этого процесса с внезапным изменением внутреннего потенциала концепции.

В качестве достаточно простого и наглядного примера можно выбрать систему типа идеального газа с фиксированным количеством частиц, то его общее состояние фиксируется тремя параметрами, задав изначально, к примеру, его объем, температуру и число элементов. Тогда связанная с процессом расширения работа определяет давление газа наряду с первым началом баланса тепловой энергии.

Из второго начала термодинамики для квазистатических процессов следует факт существования энтропии, как равномерной функции термодинамических состояния.

Следовательно, в этом случае полный дифференциал необходимо учитывать в математической формулировке для удельной энергии как функции и удельного объема $v = \frac{V}{N}$.

Эти величины способны определить с максимальной точностью все процессы до константы, а всю внутреннюю энергию — с точностью до аддитивной линии.

Остальные термодинамические характеристики и потенциалы системы определяются уже путем полученных решений с применением математических операций, однако не сложнее операций дифференцирования.

Для получения правильных решений уравнений все элементы в концепции должны быть заданы.

Эта конкретизация системы зачастую включает задание формул состояния и калорического уравнения состояния в качестве теплоемкости, которые определяют макроскопические явления по отношению к изменению внешних показателей.

Константу возможно отнести в счет главного выбора начала отсчета внутренней энергии. Энтропийный параметр, крайне важные при решении ряда конкретных проблем, устанавливается с помощью третьего начала термодинамики, которое в более радикальной формулировке Планка выглядит как второстепенное условие к системе действующих уравнений.

Математические основы иерархической термодинамики

Рисунок 3. Математическое выражение второго закона термодинамики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замечание 2

Математическая база иерархической термодинамики живых систем является термодинамической функцией.

Способы иерархий и разделения, их наличие в научных рассуждениях в виде количественного метода анализа «движения» выполняют значимую роль во временном и пространственном развитиях.

Важным является то обстоятельство, что при разбивании процессов на классы, каждый должен оказаться только в одной окружающей среде. Это значит, что необходимо соблюдать принципы полноты и несовместимости.

Что касается нестабильности, то при совмещении нескольких материальных веществ, в частности, когда все три параметра возможно фиксировать-разделять, получаются различные допустимые состояния физического процесса.

Математически неразличимые уравнения несут, в отдельности, очень ценную для науки информацию о комплексном развитии системы с качественной точки зрения. Взгляд на явления посредством теплоты отлично работает, следовательно, дает повод изучить процессы с различных теорий и мнений.

Приводящий к математическому уравнению подход является всеобщим и постоянным: рассуждая таким образом, можно прийти к уравнениям «геодезическим» в дифференциальной геометрии, обеспечивающим полноценный переход к «самому центру механического мира » и к «основам термодинамического учения» тем самым, подчеркивая «глубокую аналогию между современной механикой и термодинамикой». Иерархическая связь осуществляется по определенной системе матрешек — каждый уровень которой входит в другой, как его существенная часть и каждый подобен собственному элементу.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/termodinamika/matematicheskaya_termodinamika/

ПОИСК

Математическая термодинамика
    Математический аппарат термодинамики строится на основе объединенного уравнения первого и второго законов термодинамики для обратимых процессов. Для систем с постоянным составом [c.

82]

    При построении математического аппарата термодинамики используется сопоставление фундаментального уравнения Гиббса (2.106) или вытекающих из него уравнений для йН, йр, йО [c.

103]

    Соотношение (7.3) является основой математического аппарата термодинамики неравновесных процессов. На его основе вводятся и выражаются через потерянную работу сг — скорость возрастания энтропии, связанного с неравновесностью  [c.306]

    Математический аппарат термодинамики основан на использовании свойств основного уравнения [c.33]

    При построении математического аппарата термодинамики используется сопоставление фундаментального уравнения Гиббса (3.1) или вытекающих из него уравнений для dH, dF, dG (3.3) — (3.5) и дифференциалов других вспомогательных функций Ф с дифференциалом соответствующей функции  [c.86]

    Эти постулаты представляются достаточно очевидными утверждениями, но они необходимы для построения строгого математического аппарата термодинамики. Этот аппарат оказался настолько общим и полезным для физики и химии, что в начале XX в.

он был подвергнут всестороннему физическому и логическому анализу, устранившему ряд кажущихся противоречий и позволившему в значительной степени придать ясный физический смысл математическому аппарату термодинамического описания свойств вещества, а саму термодинамику превратил в общую теорию макроскопических свойств равновесных систем. [c.12]

    Поэтому уравнение (1.39) Гиббс называл фундаментальным. В связи с заслугами Гиббса в разработке общего математического аппарата термодинамики это уравнение и несколько его преобразованных форм называют фундаментальными уравнениями Гиббса. [c.51]

    Основой математического аппарата термодинамики служит объединенное уравнение первого и второго начал термодинамики или фундаментальное уравнение Гиббса. Для обратимых процессов оно записывается в виде [c.52]

    Внутренняя энергия — функция состояния, определяемая с помощью первого начала термодинамики с точностью до неопределенной постоянной. Имеет физический смысл суммарной энергии частиц системы без учета движения системы как целого.

Термодинамическое уравнение баланса внутренней энергии лежит в основе всего математического аппарата термодинамики. Зависимость внутренней энергии от объема (59), способы вычисления (61).

статистический расчет (207, 220), внутренняя энергия идеального газа (75, 83), внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса (77). [c.309]

    Гиббса фундаментальные уравнения (51, 52, 53)—объединенное уравнение обоих начал термодинамики в форме дифференциальных уравнений для функций и, Н, F или G. Лежит в основе современного математического аппарата термодинамики. [c.309]

    Уравнение (2.1.1) является математическим выражением первого закона термодинамики, который отражает наблюдение, что вп>тренняя энергия закрытой системы изменяется на величину, равную количеству работы и теплоты, прошедшей через ее стенки, и что эти переходы объясняют любое изменение внутренней энергии. Весь математический аппарат термодинамики основан на этом уравнении. [c.65]

    Уравнение (1,22) лежит в основе математического аппарата термодинамики. Из него вытекают наиболее общие соотношения, разбираемые в гл. П. [c.21]

    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕРМОДИНАМИКИ [c.33]

    Современная общая и неорганическая химия стала не описательной, а количественной наукой. Измерение физических характеристик веществ и их изменений в ходе химических превращений — основа научного исследования в любой области знаний, но требует владения в определенном объеме математикой.

Математический аппарат термодинамики сложен, и это отпугивает от нее как студентов, так и преподавателей, открывающих книгу по химической термодинамике.

Тем не менее химическая термодинамика должна намного больше вводиться в курс общей химии, даже в том случае, если затем студенты подробно знакомятся с ней в курсах физической химии и физики. [c.6]

    Дифференциальные соотношения (1.110) —(1.121) вместе с соотношениями (1.20), (1.26), (1.101) и др., приведенными ниже, составляют основу математического аппарата термодинамики . Они, в частности, позволяют [c.66]

    Энергия — основная физическая величина. Математический аппарат большинства разделов теоретической физики, включая термодинамику, основан на различных формах закона сохранения энергии. Однако важнейшая особенность макроскопических систем, которые рассматриваются в термодинамике, состоит в том, что энергию макроскопической системы невозможно непосредственно измерить.

Различные физические методы позволяют только определять изменения энергии отдельных частиц системы — атомов, молекул, ионов. Однако не существует никаких методов непосредственного измерения энергии системы как целого. Изменение энергии макроскопической системы определяют в виде теплоты или работы. Первоначально они рассматривались независимо.

Поэтому для макроскопической системы сам факт существования внутренней энергии макроскопической системы как некоторой физической величины удалось установить только в середине XIX в., причем для этого потребовалось открыть ранее неизвестный закон природы — первое начало термодинамики.

Впоследствии возникла необходимость использовать и другие неизмеряемые величины — энтропию, химический потенциал и т. п. Широкое применение в математическом аппарате термодинамики непосредственно не измеряемых величин является особенностью термодинамики как науки и сильно затрудняет ее изучение.

Однако каждая неизмеряе-мая величина в термодинамике точно определена в виде функций измеряемых величин и все окончательные выводы термодинамики можно проверить на опыте. При этом для описания свойств системы используют специальные термодинамические переменные (или термодинамические параметры).

Это физические величины, с помощью которых описывают явления, связанные с взаимными превращениями теплоты и работы. Все это макроскопические величины, выражающие свойства больших групп молекул. Не все эти величины можно непосредственно измерить. [c.6]

    Объект изучения термодинамики — макроскопическая система. Поскольку математический аппарат термодинамики строится на основе зак0[10в сохранения энергии и энтропии, определение термодинамической системы производят таким образом, чтобы можно было точно составить и записать необходимые балансовые соотношения. [c.8]

    Для большинства химических реакций сиаикатной технологии мы наблюдаем сложный многостадийный процесс протекания, трудно поддающийся изучению известными методами классической термодинамики.

Безусловно, эти вопросы можно решать с помощью законов термодинамики необратимых процессов [38, 41, 74, 107], в уравнения которой входит фактор времени, но математический аппарат термодинамики необратимых процессов, как указано выше, из-за отсутствия соответствующих данных еще не позволяет во всех случаях довести результаты вычислений до количественных выводов. В связи с этим проанализируем возможность использования принципов классической термодинамики для изучения метастабильных и необратимых процессов. Для химических процессов, представляющих совокупность химических и фазовых превращений, массо-и теплопередачи, термодинамические потенциалы в качестве меры движущих сил процесса должны иметь решающее значение в определении его относительной скорости [44]. [c.54]

    С математическим аппаратом термодинамики, примененным Клаузиусом, можно ознакомиться по книге О, Д. Хвольсона [11] и статье [12]. [c.203]

Источник: https://www.chem21.info/info/1495526/

ТЕРМОДИНА́МИКА

Математическая термодинамика

Авторы: Ю. Г. Рудой

ТЕРМОДИНА́МИКА (от тер­мо… и ди­на­ми­ка), раз­дел фи­зи­ки, опи­сы­ваю­щий наи­бо­лее об­щие свой­ст­ва (в т. ч. те­п­ло­вые) мак­ро­ско­пич.

сис­тем, на­хо­дя­щих­ся в тер­мо­ди­на­ми­че­ском (те­п­ло­вом) кон­так­те с ок­ру­жаю­щей сре­дой. За­ко­ны Т. но­сят уни­вер­саль­ный ха­рак­тер, т. е. не за­ви­сят от фи­зич.

при­ро­ды кон­крет­ных объ­ек­тов (сис­тем) и, сле­до­ва­тель­но, от их мик­ро­ско­пич. струк­ту­ры.

Основные понятия термодинамики

В рам­ках Т. объ­ек­ты (сис­те­мы) ха­рак­те­ри­зу­ют­ся толь­ко свои­ми мак­ро­ско­пич. ха­рак­те­ри­сти­ка­ми, ко­то­рые на­зы­ва­ют экс­тен­сив­ны­ми и ин­тен­сив­ны­ми па­ра­мет­ра­ми со­стоя­ния (тер­мо­ди­на­мич. па­ра­мет­ра­ми).

К экс­тен­сив­ным па­ра­мет­рам от­но­сят­ся пол­ная энер­гия $ℰ$, пол­ный им­пульс $\boldsymbol P$, пол­ный мо­мент им­пуль­са $\boldsymbol L$, а так­же объ­ём $V$, чис­ло час­тиц $N$, эн­тро­пия $S$ и др.

Этим ве­ли­чи­нам со­ответ­ст­ву­ют ин­тен­сив­ные па­ра­мет­ры – аб­со­лют­ная темп-ра $T$, ско­рость цен­тра инер­ции $\boldsymbol V_{ц. и.}$ и уг­ло­вая ско­рость $Ω$, дав­ле­ние $p$, хи­мич. по­тен­ци­ал $μ$ и др.

От др. раз­де­лов фи­зи­ки, напр. ме­ха­ни­ки и элек­тро­ди­на­ми­ки, Т. от­ли­ча­ет­ся спо­со­бом взаи­мо­дей­ст­вия сис­те­мы и ок­ру­жаю­щей сре­ды, при ко­то­ром оп­ре­де­ляю­щую роль иг­ра­ет ха­рак­тер гра­ни­цы (стен­ки) ме­ж­ду ни­ми. В ча­ст­но­сти, пол­но­стью изо­ли­ров.

сис­те­мы во­об­ще не взаи­мо­дей­ст­ву­ют с ок­ру­же­ни­ем и со­хра­ня­ют свои экс­тен­сив­ные па­ра­мет­ры, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ме­ха­нич. ин­те­гра­ла­ми дви­же­ния. Адиа­ба­ти­че­ски изо­ли­ров. сис­те­мы мо­гут из­ме­нять ве­ли­чи­ны $ℰ$, $\boldsymbol P$ и $\boldsymbol L$ за счёт внеш­ней ме­ха­нич.

ра­бо­ты, но не под­вер­же­ны те­п­ло­об­ме­ну; в замк­ну­тых сис­те­мах стен­ки не­про­ни­цае­мы для час­тиц, так что чис­ло час­тиц $N$ со­хра­ня­ет­ся.

Тер­мо­ди­на­мич. со­стоя­ние сис­те­мы мо­жет быть рав­но­вес­ным или не­рав­но­вес­ным (см. Тер­мо­ди­на­ми­ка не­рав­но­вес­ных про­цес­сов), при­чём в рав­но­вес­ном со­стоя­нии от­сут­ст­ву­ют по­то­ки лю­бых тер­мо­ди­на­мич. па­ра­мет­ров ме­ж­ду час­тя­ми сис­те­мы, что оз­на­ча­ет их од­но­род­ное рас­пре­де­ле­ние по объ­ё­му. В об­щем слу­чае тер­мо­ди­на­мич.

со­стоя­ние сис­те­мы оп­ре­де­ля­ет­ся ми­ни­маль­но не­об­хо­ди­мым чис­лом па­ра­мет­ров со­стоя­ния (см. Гиб­бса пра­ви­ло фаз), или ко­ор­ди­нат в про­стран­ст­ве не­за­ви­си­мых тер­мо­ди­на­мич. па­ра­мет­ров (фа­зо­вом про­стран­ст­ве); в про­стей­шем слу­чае это про­стран­ст­во дву­мер­но и вклю­ча­ет, напр., объ­ём $V$ и темп-ру $T$ (или дав­ле­ние $p$).

Из­ме­не­ние во вре­ме­ни тер­мо­ди­на­мич. со­стоя­ния сис­те­мы на­зы­ва­ет­ся тер­мо­ди­на­мич. про­цес­сом, при­чём в рам­ках Т. обыч­но рас­смат­ри­ва­ют­ся об­ра­ти­мые про­цес­сы (как пра­ви­ло, дос­та­точ­но мед­лен­ные), ко­то­рые пред­став­ля­ют­ся кри­вы­ми в фа­зо­вом про­стран­ст­ве. Наи­бо­лее рас­про­стра­не­ны по­лит­роп­ные про­цес­сы, при ко­то­рых к.-л.

из тер­мо­ди­на­мич. па­ра­мет­ров ос­та­ёт­ся по­сто­ян­ным.

Начала термодинамики

Ос­но­вой Т. как нау­ки яв­ля­ют­ся 4 на­ча­ла, имею­щие эм­пи­рич. про­ис­хо­ж­де­ние и до сих пор не по­лу­чив­шие оп­ро­вер­же­ния ни в од­ном на­уч. экс­пе­ри­мен­те. Т. н. ну­ле­вое на­ча­ло Т.

ут­вер­жда­ет су­ще­ст­во­ва­ние со­стоя­ния тер­мо­ди­на­ми­че­ско­го рав­но­ве­сия, ус­та­нав­ли­ва­ет важ­ное свой­ст­во его тран­зи­тив­но­сти и да­ёт воз­мож­ность вве­сти по­ня­тие (эм­пи­рической) темп-ры $t$, а за­тем и аб­со­лют­ной $T$.

Пер­вое на­ча­ло тер­мо­ди­на­ми­ки яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем за­ко­на со­хра­не­ния и из­ме­не­ния энер­гии $E$ в ме­ха­ни­ке, где в про­стей­шем слу­чае $dE=δA=–pdV$ (здесь $A$ – ра­бо­та). Имен­но пер­вое на­ча­ло Т.

вво­дит по­ня­тие ма­ло­го ко­ли­че­ст­ва те­п­ло­ты $δQ$, а в даль­ней­шем и эн­тро­пии (сна­ча­ла эм­пи­рич. $σ$ , а за­тем и аб­со­лют­ной $S$) по­сред­ст­вом со­от­но­ше­ния Клау­зиу­са: $δQ=tdσ=ТdS$. Со­глас­но пер­во­му на­ча­лу Т., $dU=δA+δQ=–pdV+ТdS$, где внутр.

энер­гия $U$ и эн­тро­пия $S$ яв­ля­ют­ся функ­ция­ми со­стоя­ния (точ­ки в фа­зо­вом про­стран­ст­ве), то­гда как функ­ций со­стоя­ния $A$ и $Q$ не су­ще­ст­ву­ет – эти ве­ли­чи­ны за­ви­сят от ви­да кон­крет­но­го про­цес­са. Пер­вое на­ча­ло Т. ис­клю­ча­ет су­ще­ст­во­ва­ние веч­но­го дви­га­те­ля 1-го ро­да.

Вто­рое на­ча­ло тер­мо­ди­на­ми­ки име­ет ряд вза­им­но эк­ви­ва­лент­ных ка­че­ст­вен­ных фор­му­ли­ро­вок, имею­щих ха­рак­тер «прин­ци­пов за­пре­та» – напр.

, не­воз­мо­жен про­цесс са­мо­про­из­воль­но­го (спон­тан­но­го) пе­ре­хо­да те­п­ло­ты от ме­нее на­гре­то­го те­ла к бо­лее на­гре­то­му (Дж. Том­сон). Ана­ло­гич­но, не­воз­мо­жен цик­лич. про­цесс пол­но­го пре­вра­ще­ния те­п­ло­ты в ра­бо­ту без к.-л.

из­ме­не­ний в ок­ру­жаю­щей сре­де (М. Планк), что оз­на­ча­ет ис­клю­че­ние воз­мож­но­сти су­ще­ст­во­ва­ния ги­по­те­тич. веч­но­го дви­га­те­ля 2-го ро­да.

В об­щем слу­чае вто­рое на­ча­ло Т. ука­зы­ва­ет на­прав­ле­ние лю­бых не­рав­но­вес­ных и не­об­ра­ти­мых тер­мо­ди­на­мич.

про­цес­сов; его ко­ли­че­ст­вен­ное вы­ра­же­ние име­ет вид не­ра­вен­ст­ва Клау­зиу­са для пол­ной эн­тро­пии: $dS ⩾ δQ/Т$, при­чём знак ра­вен­ст­ва име­ет ме­сто лишь для рав­но­вес­ных об­ра­ти­мых про­цес­сов. Наи­бо­лее про­стой фи­зич.

смысл не­ра­вен­ст­во Клау­зиу­са име­ет для адиа­ба­ти­че­ски изо­ли­ров. сис­те­мы, ко­гда $δQ=0$ и рост эн­тро­пии обу­слов­лен толь­ко внутр. не­об­ра­ти­мы­ми про­цес­са­ми, при­во­дя­щи­ми к вы­рав­ни­ва­нию ин­тен­сив­ных тер­мо­ди­на­мич. па­ра­мет­ров.

Оче­вид­но, что рав­но­вес­но­му со­стоя­нию изо­ли­ров. сис­те­мы со­от­вет­ст­ву­ет мак­си­мум её внутр. эн­тро­пии. Од­ной из аль­тер­на­тив­ных фор­му­ли­ро­вок вто­ро­го на­ча­ла Т. яв­ля­ет­ся Кар­но тео­ре­ма, со­глас­но ко­то­рой кпд лю­бо­го цик­ла те­п­ло­вой ма­ши­ны не пре­вос­хо­дит кпд Кар­но цик­ла.

Третье на­ча­ло тер­мо­ди­на­ми­ки опи­сы­ва­ет по­ве­де­ние фи­зич. сис­тем вбли­зи аб­со­лют­но­го ну­ля темп-ры. Ка­че­ст­вен­ный смысл это­го на­ча­ла со­сто­ит в не­воз­мож­но­сти дос­тичь это­го зна­че­ния по­сред­ст­вом ко­неч­но­го чис­ла тер­мо­ди­на­мич. про­цес­сов.

Ко­ли­че­ст­вен­но третье на­ча­ло Т. ус­та­нав­ли­ва­ет на­ча­ло от­счёта эн­тро­пии для лю­бой рав­но­вес­ной сис­те­мы: $S→0$ при $Т→0$ (М. Планк, 1911). В бо­лее об­щем случае $S→S_0$, где $S_0=k\ln g_0$, $g_0 ⩾ 1$ – крат­ность вы­ро­ж­де­ния наи­низ­ше­го (основ­но­го) энер­гетич.

уров­ня объ­ек­та, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на. От­сю­да, в ча­ст­но­сти, сле­ду­ет, что те­п­ло­ём­кость $C=T(dS/dT)→0$ при $Т→0$, так что лю­бая сис­те­ма в пре­де­ле $T→0$ ста­но­вит­ся адиа­ба­ти­че­ски изо­ли­ро­ван­ной, т. е.

прак­ти­че­ски не­спо­соб­ной к даль­ней­ше­му ох­ла­ж­де­нию.

Математический аппарат термодинамики

Для ко­ли­че­ст­вен­но­го ана­ли­за со­стоя­ний и об­ра­ти­мых про­цес­сов в рав­но­вес­ной Т. раз­ра­бо­тан ме­тод по­тен­циа­лов тер­мо­ди­на­ми­че­ских, ко­то­рые яв­ля­ют­ся функ­ция­ми со­стоя­ния. К чис­лу этих по­тен­циа­лов от­но­сит­ся внутр. энер­гия $U$ как функ­ция объ­ё­ма $V$ и эн­тро­пии $S$, а так­же эн­тро­пия $S$ как функ­ция объ­ё­ма $V$ и внутр.

энер­гии $U$; наи­бо­лее упот­ре­би­тель­ным по­тен­циа­лом яв­ля­ет­ся сво­бод­ная энер­гия $F$ как функ­ция объ­ё­ма $V$ и темп-ры $Т$. Все тер­мо­ди­на­мич. по­тен­циа­лы рав­но­цен­ны, т. к. ме­ж­ду ни­ми су­ще­ст­ву­ют диф­фе­рен­ци­аль­ные со­от­но­ше­ния; их вы­чис­ле­ние тре­бу­ет за­да­ния мо­де­ли объ­ек­та и яв­ля­ет­ся пред­ме­том ста­ти­сти­че­ской фи­зи­ки.

Пер­вые про­из­вод­ные лю­бо­го тер­мо­ди­на­мич. по­тен­циа­ла да­ют урав­не­ния со­стоя­ния фи­зич. сис­те­мы (ка­ло­рич. и тер­ми­че­ское), вто­рые про­из­вод­ные – тер­мо­ди­на­мич.

вос­при­им­чи­во­сти, к чис­лу ко­то­рых от­но­сят­ся те­п­ло­ём­кость (при по­сто­ян­ном объ­ё­ме или дав­ле­нии) и сжи­мае­мость – изо­тер­ми­че­ская (при по­сто­ян­ной темп-ре) и адиа­ба­ти­че­ская (при по­сто­ян­ной эн­тро­пии). Ме­ж­ду зна­че­ния­ми вос­при­им­чи­во­стей су­ще­ст­ву­ют со­от­но­ше­ния сим­мет­рии (т. н.

со­от­но­ше­ния Мак­свел­ла), обу­слов­лен­ные тем, что все тер­мо­ди­на­мич. по­тен­циа­лы яв­ля­ют­ся функ­ция­ми со­стоя­ния. Тер­мо­ди­на­мич. по­тен­циа­лы по­зво­ля­ют дать бо­лее удоб­ную фор­му­ли­ров­ку ус­ло­вий тер­мо­ди­на­мич.

рав­но­ве­сия – ме­ха­ни­че­ско­го ($p=p_0$) и те­п­ло­во­го ($T=T_0$) (ин­декс «0» от­но­сит­ся к па­ра­мет­рам ок­ру­жаю­щей сре­ды), а так­же ус­той­чи­во­сти это­го рав­но­ве­сия, тре­бую­щей по­ло­жи­тель­но­сти всех тер­мо­ди­на­мич. вос­при­им­чи­во­стей. Раз­ви­тие ме­то­да тер­мо­ди­на­мич.

по­тен­циа­лов при­во­дит к ко­ли­че­ст­вен­но­му опи­са­нию тер­мо­ди­на­мич. рав­но­ве­сия не толь­ко для од­но-, но и для мно­го­фаз­ных фи­зич. сис­тем; напр., кри­вая фа­зо­во­го рав­но­ве­сия двух фаз оп­ре­де­ля­ет­ся Кла­пей­ро­на – Клау­зиу­са урав­не­ни­ем.

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/4189038

Математический аппарат термодинамики

Математическая термодинамика

Основным математическим аппаратом термодинамики является теория дифференциальных пфаффовых форм от двух и более независимых переменных, а также методы преобразования частных производных от одной группы независимых переменных к другой. В общем случае дифференциальная форма записывается в виде

. (1.1)

Здесь — набор независимых переменных (в термодинамике — набор независимых параметров состояния системы); dxi — дифференциалы независимых переменных, т.е. бесконечно малые изменения независимых параметров состояния; — заданные функции независимых переменных. Эти функции представляют собой либо свойства термодинамической системы, либо функции параметров.

Выражение (1.1) позволяет получить функцию интегрированием этой дифференциальной формы вдоль некоторой гиперкривой в пространстве переменных . Известно, однако, что в общем случае результат интегрирования (1.1), т.е.

конкретный вид функции , будет зависеть как от выбранного начального состояния (0), так и от пути (γ) перехода системы из этого начального состояния до текущего, т.е. в общем случае решение следует писать в виде .

Известно также, что существуют два типа дифференциальных форм, одна из которых, называемая неполным дифференциалом,характеризуется зависимостью решенияот пути интегрирования (γ) и другая, называемая полным дифференциалом, интеграл которого не зависит от выбора пути.

Примеров, иллюстрирующих свойства полных и неполных дифференциалов, можно привести множество из различных областей физики, экономики и т.д. В частности, рассмотрим пример с автомобилем, перевозящим груз из какого-либо пункта А, находящегося на географической высоте hA, в пункт Б на высоте hБ.

И пусть имеется множество маршрутов, соединяющих эти пункты. Тогда, как известно, работа по поднятию груза с высоты hA на высоту hБ в поле тяжести определится произведением веса груза на разность высот hБ- hA и не будет зависеть от маршрута, т.е. от пути.

На каждом малом участке любого из маршрутов малые величины работы по поднятию груза определятся дифференциалом , который в данном случае будет полным. Что же касается таких величин, как затраты времени, топлива или стоимости перевозки, то они, очевидно, будут зависеть от выбранного маршрута, т.е.

от его длины, состояния дорог, режима движения и даже от времени суток. Дифференциалы этих величин, т.е. их малые количества на малых участках разных маршрутов, будут неполными.

Условимся в дальнейшем для полных дифференциалов использовать традиционное обозначение , а для неполных – .

Мы будем в дальнейшем рассматривать так называемые простые термодинамические системы, состояние которых однозначно определяется заданием значений двух независимых переменных. В этом случае дифференциальная форма принимает более простой вид

. (1.2)

В математике существуют два признака полноты или неполноты дифференциальной формы:

· Интегральный — интеграл по любому замкнутому пути (контуру) от полного дифференциала равен нулю, т.е.

; (1.3)

· Дифференциальный — равенство перекрёстных производных в случае полного дифференциала, т.е. если , то

. (1.4)

Интегральный признак (1.3) позволяет утверждать, что результатом интегрирования неполного дифференциала от состояния (1) до состояния (2) будет некоторое число z12, величина которого зависит от выбора пути (γ), т.е.

. (1.5)

В случае же, если дифференциал является полным, то результат его интегрирования в тех же пределах не будет зависеть от пути (γ), а будет определяться только разностью значений функции z(x, y) в конечном (2) и начальном (1) состояниях:

. (1.6)

Большое прикладное значение в термодинамике имеет случай , т.е. когда

. (1.7)

Это выражение есть не что иное, как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

, (1.8)

решение которого y=y(x,C) геометрически представляет собой семейство кривых на плоскости переменных (x,y), каждая из которых характеризуется своим значением параметра C.

Оказывается, что интегральные кривые в случае двух независимых переменных никогда не пересекаются, кроме, возможно, дискретного набора точек или конечного набора линий.

А это говорит о том, что дифференциальная форма , не будучи полным дифференциалом, всегда может быть преобразована в полный умножением на подходящим образом подобранную или вычисленную функцию , называемую интегрирующим множителем, таким образом, что

. (1.9)

Для непрерывной однозначной функции z(x,y) всегда можно записать полный дифференциал в виде суммы частных дифференциалов

, (1.10)

где частные производные обычно связаны с физическими свойствами вещества и имеют смысл изменения какого-либо из параметров, например z, при изменении другого параметра, например x, на единицу при условии, что третий параметр, например y, поддерживается постоянным. Во многих случаях экспериментальное нахождение физических свойств веществ, т.е.

соответствующих частных производных, либо является весьма трудоёмким, либо вообще невозможно.

Мощь термодинамического метода состоит в том, что, опираясь на самые общие законы природы и используя формализм простейших операций с дифференциальными формами, термодинамика позволяет описывать и предсказывать поведение самых разных термодинамических систем при тех или иных воздействиях и при соблюдении тех или иных условий.

В частности, пусть производные сравнительно легко измеряются на опыте, а свойство для своего измерения требует существенных затрат времени или средств или просто невозможно. Но из (1.10), полагая z = const, dz = 0, имеем

. (1.11)

В термодинамике часто оказывается полезным так называемое преобразование Лежандра, основанное на известной формуле дифференциального исчисления

. (1.12)

Это преобразование позволяет вводить в рассмотрение новые функции состояния, которые могут оказаться более удобными в практических расчетах и/или иметь более ясный и содержательный физический смысл. Непосредственное использование преобразования Лежандра будет показано на конкретных задачах термодинамики в ходе дальнейшего изложения.

Тема 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ (2)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_22884_matematicheskiy-apparat-termodinamiki.html

Учебно-образовательная физико-математическая библиотека

Математическая термодинамика

  • Айзеншиц Р. Статистическая теория необратимых процессов. М.: Изд. Иностр. лит., 1963

    (djvu, 1.11 M)

  • Андреев В.Д. Избранные проблемы теоретической физики. Киев: Аванпост-Прим, 2012. (ISBN 9726175020364)

    (pdf, 6.73 M)

  • Андрющенко А.И. Основы технической термодинамики реальных процессов. М.: Высш. шк., 1967

    (djvu, 10 M)

  • Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. М.: Наука, 1973

    (djvu, 4.12 M)

  • Астахов К.В. (ред.) Термодинамические и термохимические константы. М.: Наука, 1970

    (djvu, 7.18 M)

  • Базаров И.П. Методологические проблемы статистической физики и термодинамики. М.: Изд-во МГУ, 1979

    (djvu, 1.06 M)

  • Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Том 1. М.: Мир, 1978

    (djvu, 5.87 M)

  • Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Том 2. М.: Мир, 1978

    (djvu, 5.90 M)

  • Бахарева И.Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1976

    (djvu, 1.44 M)

  • Беккер Р. Теория теплоты. М.: Энергия, 1974

    (djvu, 5.35 M)

  • Бёрд Г. (Bird G.A.) Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

    (djvu, 2.16 M)

  • Биккин Х.М., Ляпилин И.И. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. Екатеринбург: УрО РАН, 2009

    (pdf, 3.78 M)

  • Болгарский А.В., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача (2-е изд.). М.: Высш. школа, 1975

    (djvu, 4.67 M)

  • Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТТЛ, 1953

    (djvu, 5.68 M)

  • Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: ГИФМЛ, 1960

    (djvu, 3.41 M)

  • Васильев А.Э. Курс общей физики. Молекулярная физика и термодинамика. СПб.: СПбГТУ

    (pdf, 441 K)

  • Вукалович М.П. Теплофизические свойства воды и водяного пара. М.: Машиностроение, 1967

    (djvu, 4.21 M)

  • Вукалович М.П., Новиков И.И. Термодинамика. М.: Машиностроение, 1972

    (djvu, 7.82 M)

  • Вукалович М.П., Новиков И.И. Техническая термодинамика (4-е изд.). М.: Энергия, 1968

    (djvu, 8.40 M)

  • Герасимов Я.И., Гейдерих В.А. Термодинамика растворов. М.: МГУ, 1980

    (djvu, 2.87 M)

  • Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Яковлев И.А. Сборник задач по молекулярной физике (4-е издание). М.: Наука, 1976

    (djvu, 2.49 M)

  • Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961

    (djvu, 16 M)

  • Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации. М.: Мир, 1973

    (djvu, 2.72 M)

  • Глушко В.П. (ред.) Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание (3-е изд.). Т. 1. Кн. 1. М.: Наука, 1978

    (djvu, 7.07 M)

  • Глушко В.П. (ред.) Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание (3-е изд.). Т. 2. Кн. 1. М.: Наука, 1979

    (djvu, 6.48 M)

  • Глушко В.П. (ред.) Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание (3-е изд.). Т. 2. Кн. 2. М.: Наука, 1979

    (djvu, 4.33 M)

  • Горбунова О.И., Зайцева А.М., Красников С.Н. Задачник-практикум по общей физике. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Просвещение, 1978

    (djvu, 2.79 M)

  • Гуревич Л.Э. Основы физической кинетики. Л.-М.: ГИТТЛ, 1940

    (djvu, 5.15 M)

  • Гуров К.П. Основания кинетической теории. Метод Н.Н. Боголюбова. М.: Наука, 1966

    (djvu, 3.77 M)

  • де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М.: ИЛ, 1962

    (djvu, 4.72 M)

  • де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964

    (djvu, 9.56 M)

  • де Гроот С.Р. Термодинамика необратимых процессов. М.: ГИТТЛ, 1956

    (djvu, 2.70 M)

  • Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики. Том 1. Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики (4-е издание). М.: Высшая школа, 1973

    (djvu, 4.54 M)

  • Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974

    (djvu, 2.01 M)

  • Залевски К. Феноменологическая и статистическая термодинамика. Краткий курс лекций. М.: Мир, 1973

    (djvu, 3.15 M)

  • Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980

    (djvu, 9.06 M)

  • Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (2-е издание). М.: Наука, 1966

    (djvu, 8.77 M)

  • Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Том 1. Механика, молекулярная физика, колебания и волны (6-е издание). М.: Наука, 1974

    (djvu, 4.58 M)

  • Зоммерфельд А. Лекции по теоретической физике. Том V. Термодинамика и статистическая физика. М.: ИЛ, 1955

    (djvu, 5.47 M)

  • Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971

    (djvu, 4.51 M)

  • Иверонова В.И. (ред.) Физический практикум. Механика и молекулярная физика (2-е изд.). М.: Наука, 1967

    (djvu, 5.57 M)

  • Иос Г. Курс теоретической физики. Часть 2. Термодинамика. Статистическая физика. Квантовая теория. Ядерная физика. М.: Просвещение, 1964

    (djvu, 8.52 M)

  • Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960

    (djvu, 1 007 K)

  • Кикоин А.К., Кикоин И.К. Общий курс физики. Молекулярная физика (2-е здание). М.: Наука, 1976

    (djvu, 5.47 M)

  • Киттель Ч. Статистическая термодинамика. М: Наука, 1977

    (djvu, 4.70 M)

  • Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002

    (djvu, 1.50 M)

  • Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики (2-е изд.) М.: Химия, 1970

    (djvu, 7.38 M)

  • Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир, 1970

    (djvu, 3.36 M)

  • Кудрявцев Б.Б. Курс физики: Теплота и молекулярная физика (2-е издание). М.: Просвещение, 1965

    (djvu, 2.17 M)

  • Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики: Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1965

    (djvu, 3.69 M)

  • Ландсберг П. (ред.) Задачи по термодинамике и статистической физике. М.: Мир, 1974

    (djvu, 6.74 M)

  • Леонова В.Ф. Термодинамика. М.: Высш. школа, 1968

    (djvu, 1.75 M)

  • Марч Н., Тоси М. Движение атомов жидкости. М.: Металлургия, 1980

    (djvu, 3.55 M)

  • Мелешко Л.О. Молекулярная физика и введение в термодинамику. Мн.: Выш. школа, 1977

    (djvu, 5.45 M)

  • Микрюков В.Е. Курс термодинамики (3-е изд.) М.: Учпедгиз, 1960

    (djvu, 3.63 M)

  • Мюнстер А. Химическая термодинамика. М.: Мир, 1971

    (djvu, 2.99 M)

  • Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики (2-е изд.) М.: Просвещение, 1967

    (djvu, 5.89 M)

  • Оно С., Кондо С. Молекулярная теория поверхностного натяжения в жидкостях. М.: ИЛ, 1963

    (djvu, 2.62 M)

  • Очелков Ю.П., Прилуцкий О.Ф., Розенталь И.Л., Усов В.В. Релятивистская кинетика и гидродинамика. М.: Атомиздат, 1979

    (djvu, 2.59 M)

  • Планк М. Введение в теоретическую физику. Часть пятая. Теория теплоты. М.-Л.: ОНТИ, 1935

    (djvu, 2.43 M)

  • Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М.: ГИТТЛ, 1957

    (djvu, 10 M)

  • Путилов К.А. Курс физики. Том 1. Механика. Акустика. Молекулярная физика. Термодинамика (11-е издание). М.: ГИФМЛ, 1963

    (djvu, 15 M)

  • Путилов К.А. Термодинамика. М.: Наука, 1971

    (djvu, 4.72 M)

  • Радушкевич Л.В. Курс термодинамики. М.: Просвещение, 1971

    (djvu, 2.95 M)

  • Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. М.: ГИФМЛ, 1961

    (djvu, 5.41 M)

  • Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир, 1980

    (djvu, 5.01 M)

  • Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика статистическая физика и кинетика (2-е изд.). М.: Наука, 1977

    (djvu, 7.40 M)

  • Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1972

    (djvu, 5.26 M)

  • Савельев И.В. Курс общей физики, том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Наука, 1970

    (djvu, 5.58 M)

  • Самойлович А.Г. Термодинамика и статистическая физика (2-е изд.). М.: ГИТТЛ, 1955

    (djvu, 4.52 M)

  • Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике. М.: Просвещение, 1976

    (djvu, 2.69 M)

  • Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. М.: Наука, 1980

    (djvu, 2.43 M)

  • Скрипов В.П., Синицын Е.Н., Павлов П.А. и др. Теплофизические свойства жидкостей в метастабильном состоянии. Справочник. М.: Атомиздат, 1980

    (djvu, 3.82 M)

  • Спартаков А.А. (ред.) Молекулярная физика и термодинамика. Конспект лекции по физике для студентов физического факультета ЛГУ. Л.: ЛГУ, 1966

    (djvu, 3.27 M)

  • Телеснин Р.В. Молекулярная физика (2-е изд.) М.: Высшая школа, 1973

    (djvu, 7.24 M)

  • тер Хаар Д., Вергеланд Г. Элементарная термодинамика. М.: Мир, 1968

    (djvu, 3.75 M)

  • Тимирязев А.К. Второе начало термодинамики. Сборник работ (С. Карно, Р. Клаузиус, В. Томсон-Кельвин, Л. Больцман, М. Смолуховский). М.-Л.: ГТТИ, 1934

    (djvu, 9.19 M)

  • Тимирязев А.К. Основатели кинетической теории материи. Сборник работ (Л. Кар, Д. Бернулли, М.В. Ломоносов, Д.П. Джоуль, Р. Клаузиус, Дж.К. Максвелл). М.-Л.: ОНТИ, 1937

    (djvu, 10 M)

  • Ферми Э. Термодинамика. Харьков: ХГУ, 1969

    (djvu, 1.82 M)

  • Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976

    (djvu, 9.09 M)

  • Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966

    (djvu, 5.36 M)

  • Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953

    (djvu, 8.59 M)

  • Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960

    (djvu, 5.91 M)

  • Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973

    (djvu, 2.78 M)

  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978

    (djvu, 8.81 M)

  • Яковлев В.Ф. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. М.: Просвещение, 1976

    (djvu, 3.27 M)

Источник: http://mechmath.ipmnet.ru/lib/?s=thermodynamics

Booksm
Добавить комментарий