Математическая физика

Уравнения математической физики, с примерами

Математическая физика

Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.

Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.

Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции таков:

Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:

данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.

Если функции не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть , тогда уравнение (2) называется линейным. Если , то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Решений уравнений математической физики

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Если с=0, то система сводится к одному уравнению .

Если общий интеграл уравнения, тогда – общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка

Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных.

Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение.

Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)

  1. параболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    где — независимые переменные. Кроме того — дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.

  2. гиперболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    первая каноническая форма:

    где — независимые переменные,

    вторая каноническая форма:

    где . Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.

  3. эллиптическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    где — независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.

Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):

которое распадается на два уравнения:

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

где

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.

Уравнение (13) называют однородным, если =0.

Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при -эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:

В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.

Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если .

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

где линейный дифференциальный оператор определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.

При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при и начальным условиям:

Граничные условия задаются (14).

Уравнения эллиптического типа

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:

где

Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени. Уравнение (18) называется однородным, если

Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:

В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка.

Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты

таковыми и мы будем считать коэффициенты .

Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.

Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:

Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:

Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:

Чаще всего В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при описывает поверхностную химическую реакцию.

Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:

  1. аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
  2. численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:

  1. Метод характеристик.
  2. Метод разделения переменных.
  3. Метод Фурье.
  4. Метод Деламбера.
  5. Метод интегральных преобразований.
  6. Преобразование Лапласа.
  7. Представление решений через функцию Грина.

Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:

  1. метод сеток;
  2. метод конечных разностей;
  3. методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
  4. методы Эйлера;
  5. методы Рунге-Кутта;
  6. метод Адамса;
  7. символьно-численный метод.

Примеры решения задач

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/uravneniya-matematicheskoj-fiziki/

Математическая физика

Математическая физика

Математическая физика, теория математических моделей физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.

  М. ф. тесно связана с физикой в той части, которая касается построения математической модели, и в то же время — раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются те математические методы, которые применяются для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений.

  Методы М. ф. как теории математических моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф. и их успешное применение к изучению математических моделей огромного круга различных физических явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П.

Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского и многих других учёных. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Начиная со 2-й половины 19 века методы М. ф.

успешно применялись для изучения математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физических явлений в сплошных средах.

Математические модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнений математической физики. Помимо дифференциальных уравнений М. ф.

, при описании математических моделей физики применение находят интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики.

В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математических моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач. Теоретические исследования в области квантовой электродинамики, аксиоматической теории поля и ряде других направлений современной физики привели к созданию нового класса математических моделей, составивших важную отрасль М. ф. (например, теория обобщённых функций, теория операторов с непрерывным спектром).

  Постановка задач М. ф. заключается в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физических явлений.

Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), которым удовлетворяют величины, характеризующие физический процесс.

При этом исходят из основных физических законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, например, количества движения, энергии, числа частиц и т. д.

Это приводит к тому, что для описания процессов различной физической природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математические модели. Например, математические задачи для простейшего уравнения гиперболического типа

  ,

полученного первоначально (Ж. Д’Аламбер, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и других областей физики. Аналогично, уравнение

  ,

краевые задачи для которого первоначально изучались П. Лапласом (конец 18 века) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математической модели физики соответствует целый класс физических процессов.

  Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физических задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математического обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф.

, как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущении, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных.

Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математического обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математических направлений.

  Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в некоторых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф.

, связанная с разработкой математических моделей реальных физических явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференциальные уравнения с частными производными с интегральными уравнениями и вариационными методами.

  Изучение математических моделей физики математическими методами не только позволяет получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физических явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов.

Стремление к более детальному изучению физических явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математических моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитических методов исследования этих моделей.

Это объясняется, в частности, тем, что математические модели реальных физических процессов являются, как правило, нелинейными, то есть описываются нелинейными уравнениями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф.

применение численных методов сводится к замене уравнениями М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраическими уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог.

Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физический эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом.

Достаточно полно проведённый математический численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физического эксперимента, выбора параметров сложных физических установок, определения условий проявления новых физических эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математических моделей физических явлений.

  Математическая модель физического явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретических исследований принятой модели с данными экспериментов.

  Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физических проявлений.

  Для М. ф. характерно стремление строить такие математические модели, которые не только дают описание и объяснение уже установленных физических закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности.

Классическим примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет.

С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

  Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А.

, Уравнения математической физики, М., 1966; Курант Р., Уравнения с частными производными, перевод с английского, М., 1964; Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, перевод с английского, т.

1—2, М., 1958.

  А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, А. Г. Свешников.

Оглавление БСЭ

Источник: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/074/315.htm

Математическая и теоретическая физика

Математическая физика
МАТЕМАТИЧЕСКАЯИТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

Магистратура по направлению Прикладные математика и физика

Уважаемые абитуриенты. Информация на данной странице сейчас обновляется. В случае противоречий ориентируйтесь на английскую версию.

Цель программы — обеспечить студентам мощный математический фундамент и глубокое понимание математической физики или ключевых вопросов теоретической физики. Главное достоинство программы — фокус на независимой научной работе каждого магистранта: за 2 года студент получает необходимый набор навыков и знаний для успешной научной и профессиональной карьеры.

Сколковский институт науки и технологий

Сколтех — новый международный исследовательский университет, созданный в Москве в сотрудничестве с MIT. Лаборатории Сколтеха оборудованы на уровне ведущих исследовательских центров мира. Здесь преподают эксперты с мировым именем, учатся студенты из более чем 40 стран.

Магистратура:
2 года (full-time)

Язык обучения:
Английский

Стоимость:
студенты, прошедшие отбор, не платят за обучение

Условия:
ежемесячная стипендия (40 тыс.руб.), ДМС, отсрочка от армии

Подача заявки:Мат.физика: до 19.04

Теор.физика: до 16.07

Обучение в магистратуре длится 2 года: в течение первого года студент существенно углубляет свою теоретическую подготовку, в течение второго фокусируется на исследовательской работе. Студенты свободны в выборе курсов в соответствии с их научными и профессиональными интересами.

Лекции и практические занятия от экспертов и профессоров с мировым именем

Реализация собственного научно-исследовательского проекта в лабораториях Сколтеха каждым студентом

8-недельная стажировка в индустрии на базе одной из ведущих компаний отрасли

Курсы по инновациям и предпринимательству, дающие знания и навыки для коммерциализации научных разработок

+ Программы академической мобильности с ведущими мировыми вузами (для части студентов, на конкурсной основе)

ГЛАВНОЕ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ДАЛЬНЕЙШАЯ КАРЬЕРА ПОСТУПЛЕНИЕ

Программа дает вам возможность:

выбрать собственную образовательную траекторию, учиться по индивидуальной программе, подобранной исходя из ваших научных интересов

приобрести навыки и качества современного исследователя, соответствовать самым строгим требованиям ведущих российских и зарубежных исследовательских и образовательных центров

получить опыт участия в научных проектах как самостоятельно, так и совместно с ведущими российскими и зарубежными специалистами

освоить культуру научной дискуссии, приобрести навыки проведения научно-исследовательских проектов и работы в научных коллективах или междисциплинарных командах

продолжить обучение и исследовательскую работу в рамках PhD-программы (аспирантуры) в Сколтехе или других ведущих научных центрах России и мира

Математическое направление программы дает студентам прочный математический фундамент и глубокое знание математической физики. Программа построена на научно-исследовательских семинарах и летних и зимних научных школах.


Выпускник этого направления сможет:

  • Применять знания математики и современных методов теоретической физики к решению наиболее актуальных проблем фундаментальной науки.
  • Использовать высокий уровень математической подготовки (по алгебраической геометрии, топологии, теории представлений и т.д.) и знаний теоретической физики (квантовой теории поля, интегрируемых систем, статистической механики, сложных систем и т.д.) для дальнейшей успешной карьеры в наиболее востребованных направлениях науки и технологий.

Задача этого направления обеспечить высококлассное обучение и профессиональную подготовку для специалистов в сфере современной теоретической физики с упором на теорию твердого тела.


Выпускник этого направления сможет:

  • Применять математические методы современной теоретической физики, включая комплексный анализ, топологию, функциональные интегралы, многомерные асимптотические методы.
  • Использовать аналитические методы и подходы к широкому кругу проблем физики: фазовые переходы (классические и квантовые), термодинамика и кинетика мезоскопических систем и наноструктур, квантовая теория поля, гидродинамика, квантовый перенос заряда, спина и тепла, квантово-когерентные эффекты в макроскопических системах, включая теоретические и прикладные исследования кубитов.

Программа длится 2 года и состоит из обязательных и рекомендованных элективных курсов, курсов и проектов по выбору студента, научно-исследовательской работы, предпринимательской подготовки и практики в индустрии. Для успешного прохождения программы нужно набрать 120 ECTS-кредитов.

Направление A:
Математическая физика

Направление B:Теоретическая физика

Обязательные и рекомендованные элективные курсы (48 ECTS-кредитов)

Research seminar «Modern Problems of Mathematical Physics»

Research seminar «Modern Problems of Theoretical Physics»

Рекомендованные элективы:

Lie Groups and Lie Algebras, and their Representations

Geometric Representation Theory

Differential Geometry of Connections

Supersymmetric Gauge Theories

Supersymmetric Gauge Theories and Integrable Systems

Classical Integrable Systems

Quantum Integrable Systems

Virasoro Algebra and Conformal Field Theory

Gauge Fields and Complex Geometry

Statistical Mechanics, Percolation Theory and Conformal Invariance

Mathematical Methods of Science

Introduction to Quantum Theory

Advanced Quantum Mechanics

Functional Methods in the Theory of Disordered Systems

Theory of Phase Transitions

Introduction to the Theory of Disordered Systems

Introduction to the Quantum Field Theory

Asymptotic Methods in Complex Analysis

Quantum mesoscopics. Quantum Hall effect

One-dimensional Quantum Systems

Numerical Simulations of Quantum Many-Body Systems

Курсы и проекты по выбору студента

(18 ECTS-кредитов)

See at the Skoltech Course Catalogue >>

Инновации и предпринимательство

(6 ECTS-кредитов)

Исследовательская стажировка

(12 ECTS-кредитов)

Научно-исследовательская работа (36 ECTS-кредитов)

Основные направления исследований:

Направление A:

  • Topology
  • Algebraic geometry
  • Representation theory
  • Symplectic geometry
  • Category theory
  • Integrable systems
  • Supersymmetric gauge theories and conformal theories

Направление B:

  • Mesoscopic electronic systems
  • Superconducting hybrid structures
  • Quantum phase transitions
  • Quantum Hall effect
  • Spintronics
  • Quantum magnetism and topological order
  • Physics of quantum computation

У выпускников программы большие перспективыи широкий выбор карьерных, научных и бизнес-возможностей:

Наука

Продолжение научной деятельности в ведущих российских и зарубежных научных организациях.

Индустрия

Позиции специалистов в широком спектре отраслей, где требуются фундаментальные знания по математике и физике.

Стартап

Создание собственного бизнеса, в том числе при поддержке инновационной экосистемы ИЦ «Сколково» с широким пулом экспертов, консультантов и инвесторов.

Требования к поступающим:

Знания и навыки (Направление А):

Основы комбинаторики, элементы теории групп, линейная алгебра, топология, пределы последовательностей и функций, производные и дифференциалы, геометрия (аффинные и проективные пространства, отображение, кривые второго порядка), комплексный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения, классическая механика, классическая электродинамика. Подробности можно изучить по ссылке.

Знания и навыки (Направление B):

квантовая механика (по материалу курса Ландау-Лифшица), математика (математический анализ, линейная алгебра, комплексный анализ, дифференциальные уравнения). Вступительный экзамен по квантовой механике эквивалентен по уровню сложности аналогичному экзамену в рамках Теоретического минимума Ландау

Образование:

Степень бакалавра (и выше) по направлениям Математика, Прикладная математика, Физика.

Английский язык:

Кандидаты, ранее не проходившие обучения на английском языке, должны будут подтвердить в процессе отбора высокий уровень владения английским языком.

ПАКЕТ ДОКУМЕНТОВ:

  • Резюме (на английском)
  • Мотивационное письмо (на английском)
  • 2 рекомендательных письма
  • Диплом или выписка
  • Подтверждения ваших значимых научных и профессиональных достижений, награды, сертификаты и т.д.

Регистрация

Зарегистрируйтесь и получите доступ в систему подачи заявок.

Подача документов

Соберите пакет документов и загрузите их по мере готовности в систему. Успейте до 16 июля включительно.

Онлайн-отбор

Далее вы получите ссылку и пройдете онлайн-тест (пример заданий вашей программы есть ниже). На основании результатов теста и оценки ваших документов мы выберем финалистов.

Очный финал

Финальный этап проходит в Москве и длится 2 дня, вы бесплатно сдаете TOEFL ITP (или предоставляете уже имеющийся сертификат) и проходите интервью. На некоторых программах возможен дополнительный письменный экзамен в эти же дни.

Примеры экзаменационных заданий:

Это примеры задач с прошлых отборов. Структура экзамена может быть изменена по решению руководства программы.

Вы будете учиться у преподавателей,
чей авторитет и научная экспертиза признаны во всем мире:

Направление B (научные кураторы от Института теоретической физики РАН):

Прием заявок в магистратуру на 2020 год открыт.

Источник: https://msc.skoltech.ru/matematicheskaya-i-teoreticheskaya-fizika

Математическая физика — Большая советская энциклопедия

Математическая физика

Математи́ческая фи́зика

Теория математических моделей (См. Ритца и Галёркина методы) физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.

М. ф. тесно связана с физикой в той части, которая касается построения математической модели, и в то же время — раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются те математические методы, которые применяются для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений.

Методы М. ф. как теории математических моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф.

и их успешное применение к изучению математических моделей огромного круга различных физических явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского (См. Остроградский) и многих других учёных. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов.

Начиная со 2-й половины 19 века методы М. ф. успешно применялись для изучения математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физических явлений в сплошных средах.

Математические модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнений математической физики (См. Уравнения математической физики). Помимо дифференциальных уравнений М. ф.

, при описании математических моделей физики применение находят интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики (См.

Вычислительная математика) особое значение для исследования математических моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач.

Теоретические исследования в области квантовой электродинамики, аксиоматической теории поля и ряде других направлений современной физики привели к созданию нового класса математических моделей, составивших важную отрасль М. ф. (например, теория обобщённых функций, теория операторов с непрерывным спектром).

Постановка задач М. ф. заключается в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физических явлений.

Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), которым удовлетворяют величины, характеризующие физический процесс.

При этом исходят из основных физических законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, например, количества движения, энергии, числа частиц и т. д.

Это приводит к тому, что для описания процессов различной физической природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математические модели. Например, математические задачи для простейшего уравнения гиперболического типа

,

полученного первоначально (Ж. Д’Аламбер (См. Д'Аламбер), 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и других областей физики. Аналогично, уравнение

,

краевые задачи для которого первоначально изучались П. Лапласом (конец 18 века) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математической модели физики соответствует целый класс физических процессов.

Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физических задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математического обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф.

, как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущении, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных.

Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математического обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математических направлений.

Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в некоторых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф.

, связанная с разработкой математических моделей реальных физических явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференциальных уравнений с частными производными. Возникла теория краевых задач (См.

Краевые задачи), позволившая впоследствии связать дифференциальные уравнения с частными производными с интегральными уравнениями и вариационными методами.

Изучение математических моделей физики математическими методами не только позволяет получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физических явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов.

Стремление к более детальному изучению физических явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математических моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитических методов исследования этих моделей.

Это объясняется, в частности, тем, что математические модели реальных физических процессов являются, как правило, нелинейными, то есть описываются нелинейными уравнениями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф.

применение численных методов сводится к замене уравнениями М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраическими уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог.

Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физический эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом.

Достаточно полно проведённый математический численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физического эксперимента, выбора параметров сложных физических установок, определения условий проявления новых физических эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математических моделей физических явлений.

Математическая модель физического явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретических исследований принятой модели с данными экспериментов.

Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физических проявлений.

Для М. ф. характерно стремление строить такие математические модели, которые не только дают описание и объяснение уже установленных физических закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности.

Классическим примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет.

С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; Курант Р., Уравнения с частными производными, перевод с английского, М., 1964; Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, перевод с английского, т. 1—2, М., 1958.

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, А. Г. Свешников.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Источник: https://gufo.me/dict/bse/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Применение математической физики

При проведении теоретических исследований в сфере квантовой физики и научного подтверждения теории относительности, сформулированной около века назад Альбертом Эйнштейном, в настоящее время нашло воплощение в компьютерных вычислениях различных областях математической физики.

Это сформировало новые разделы предмета теоретических исследований и многократно увеличило шансы на поиск конечного результата и применения найденных результатов на практике.

С помощью вычислительных машин в настоящее время проводятся точные вычисления в теории обобщенных функций, комплексных переменных, применяются алгебраические и топологические методы.

Математические модели участвуют в построении основных закономерностей изучаемого класса физических явлений. Уравнения помогают понять физические процессы, происходящие в любой точке Вселенной, и применить знания на практике.

При построении математических моделей исследователи исходят только от общих основополагающих понятий, которые уже известны и сформулированы в идее понятий и формул, а затем высчитываются второстепенные характеристики явления.

Ученые обычно пытаются построить при помощи компьютерных вычислений законы сохранения количества энергии, движение и число частиц.

Для описания различных процессов физической природы используются такие же математические модели с общими характерными чертами.

Замечание 2

Характерными чертами для математической физики являются общие методы. Их можно использовать для решения различных задач математической физики. Они развивались из частных методов, но до определенного отрезка времени не имели четко сформулированных границ, обращенных в понятия и формулы.

Теперь такой процесс пошел ускоренными темпами, что влияет на решение задач, которые долгое время стояли перед математиками и теоретиками. На каком-то этапе все теоретические знания не имели подтверждения в виде точных вычислений и носили общий и приблизительный характер.

Сегодня получена возможность обобщить все предыдущие знания и сделать рывок в изучении происходящих физических процессов рывок вперед.

В настоящее время в числе известных методов решения задач математической физики выделяют:

  • методы Ритца и Галеркина:
  • метод теории возмущения;
  • метод преобразований Фурье;
  • метод разделения переменных.

Все эти методы уже в ближайшем будущем получат эффективное применение, что позволит решить конкретные задачи и стать стимулом для дальнейших изучений строгого математического обобщения и обоснования теоретических знаний. В некоторых случаях появится возможность возникновения новых направлений в математике.

Влияние математической физики на различные разделы математики

Математическая физика сильно влияет на иные разделы математики и физики. Это ощущается в отражении требований естественных наук запросов практики.

Сложившиеся разделы математики требуют изменений и переориентации в области многих исследований, поэтому в задачи математической физики входит разработка новых математических моделей, направленных на всестороннее изучение физических явлений и установления величин и моделей. Все поставленные задачи решаются при наличии производных и интегральных уравнений, а также вариационными методами.

Математические модели позволяют создать такие методы изучения физики, которые существенно улучшают получение количественных характеристик физических явлений.

Исследователи получают возможность рассчитать с большой степенью точности ход реальных процессов, проникать достигать понимания на глубоком уровне суть физических явлений и процессов, выявляются новые закономерности развития и существования явлений, а также предсказываются новые эффекты.

Есть у такой модели познания явлений и ряд негативных признаков.

Как и всякая любая модель на математическом уровне не может даже после вычислений дать с точностью понять о физических свойствах явления, поэтому теоретические знания стоит подкреплять практическими исследованиями.

Только после них можно говорить об адекватности математической модели и ее степени применения в будущем. Считается, что адекватность принятой модели проверяется только после обоснования решения обратных задач математической физики:

  • о свойствах явлений, которые изучаются, делают выводы по результатам иных косвенных исследований;
  • для недоступных к непосредственному наблюдению явлений осуществляется дополнительный комплекс расчетов и экспериментов;
  • описание установленных ранее закономерностей позволяют предсказать еще не установленные закономерности физических явлений.

Пример 1

Как пример такого способа построение математической модели служат теоретические опыта Исаака Ньютона и его обоснование увиденного.

Теория всемирного тяготения не имела до определенного времени практических доказательств, поскольку наука и техника несколько столетий назад еще не могла экспериментально доказать взаимодействие частиц во всей Солнечной системе.

Однако британский ученый смог предсказать заранее, что согласно такому физическому явлению происходит невидимое взаимодействие частиц и это осуществляется не только в земных условиях, но и на других планетах нашей звездной системы.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/matematicheskaya_fizika/

Booksm
Добавить комментарий