Магнитное поле в вакууме

Электромагнетизм. Магнитное поле в вакууме. Силовые линии вектора В. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции полей. Применение закона Био-Савара_Лапласа к расчёту магнитных полей

Магнитное поле в вакууме

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Магнитное поле в вакууме

§1 Магнитное поле  и его характеристики.

Мвр, рм, В, силовые линии  и

Постоянные магниты были известны 2 тысячи лет назад, но только в 1820 г. Х. Эрстед (датский физик) обнаружил, что вокруг проводника с током создается магнитное поле, которое оказывает воздействие на магнитную стрелку.

В дальнейшем было установлено, что магнитное поле создается любыми движущимися телами или зарядами. Магнитное поле, как и электрическое, является одним из видов материи. Магнитное поле обладает энергией.

Посредством магнитного поля осуществляется взаимодействие между электрическими токами, движущимися зарядами.

Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости  от формы проводника, по которому течёт ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, для того чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.

Для исследования электрического поля использовали пробный точечный заряд. Аналогично, для исследования магнитного поля используют рамку с током, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура (рамки с током) в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру.

Положительное направление нормали определяется по правилу правой руки: четыре пальца правой руки расположить по направлению тока в рамке, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направление нормали. Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие.

Рамка устанавливается в магнитном поле так, что её нормаль совпадает с направлением силовых линий магнитного поля.

Магнитным моментом рамки с током называется вектор равный произведению силы тока, текущего по рамке, на вектор площади .

Направление  совпадает с направлением . Направление  определяется по правилу правой руки.

Т.к. рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на неё в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке

так и от свойств рамки

— вектор магнитной индукции, является силовой количественной характеристикой магнитного поля.

Единица измерения магнитной индукции – Тесла

.

Если в данную точку магнитного поля вносить различные рамки с током, имеющие магнитные моменты p1,p2,…pn, то вращающий момент будет для каждой рамки различным M1, M2,…Mn, но отношение

для всех рамок одинаково и может служить характеристикой магнитного поля.

Магнитная индукция  в данной точке однородного магнитного поля численно равна максимальному вращающему моменту , действующему на рамку с магнитным моментом равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. ( определяют также с помощью силы Лоренца или силы Ампера).

Направление вектора  совпадает с направлением вектора  в том случае, когда рамка находится в положении равновесия и .

Магнитное поле удобно представлять с помощью силовых линий вектора . Силовой линией вектора  называется такая линия, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора  в этой точке.

Направление силовых линий вектора  определяется по правилу правой руки. Для прямолинейного проводника: большой палец по направлению тока, согнутые четыре пальца укажут направления силовой линии.

Для кругового витка с током: четыре пальца  — по направлению тока, большой палец укажет направление силовой линии в центре витка.

 Линии магнитной индукции , в отличие от силовых линий вектора , электрического поля, всегда замкнуты и охватывают проводники с током. (Силовые линии вектора   начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, подходят перпендикулярно к поверхности заряда, густота силовых линий характеризует величину поля).

В некоторых случаях наряду с вектором  применяют вектор напряженности магнитного поля , который связан с вектор  соотношением

;

µ0 – магнитная постоянная; ,

µ — магнитная проницаемость среды  — показывает во сколько раз магнитное поле в среде больше (меньше) магнитного поля в вакууме.

,

где В – магнитное поле в веществе, В0 – внешнее намагничивающее поле.

Из сравнения векторных характеристик электрического поля (вектора   и вектора  ) и магнитного поля (вектора  и ) следует, что вектор напряженности  электрического поля аналогичен вектору магнитной индукции . И тот и другой определяют силовое действие полей и зависят от свойств среды, в которой создаются поля.

Аналогом вектора электрического смещения является вектор напряженности магнитного поля . Вектор  описывает магнитное поле макротоков  (макротоки – токи, протекающие по проводникам), поэтому не зависит от свойств среды.

  (Тесла);

§2 Закон Био-Савара-Лапласа

  1. Ж. Био и Ф. Савар в результате экспериментальных исследований магнитных полей, создаваемых проводниками с током, позволили теоретику П. Лапласу в 1820 г. Сформулировать закон Био-Савара-Лапласа. Этот закон позволяет определить значение

     в любой точке относительно проводника с током.

Магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника , по которому течёт ток ?, в некоторой точке А, положение которой относительно элемента  определяется радиус-вектором , находится по закону Био-Савара-Лапласа:

 — закон Био-Савара-Лапласа

(в векторной форме)

Т.к. в законе Био-Савара-Лапласа имеется векторное произведение , то вектор

Должен быть перпендикулярен плоскости векторов  и . Направление вектора по правилу правой руки.

Модуль (величина) вектора равен

 — закон Био-Савара-Лапласа

(в скалярной форме)

где α – угол между  и .

  1. Принцип суперпозиции полей:

Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами (или движущимися зарядами), равна геометрической (векторной) сумме магнитных индукций, создаваемых каждым током в отдельности.

  1. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей.

а) Магнитное поле прямого тока

;  ;   

Поскольку индукция, создаваемая различными элементарными участками, на которые мы разбили проводник, в данной точке имеет одинаковое направление, мы можем геометрическое суммирование векторов  заменить скалярным суммированием:

 —  магнитная индукция прямолинейного проводника конечной длины.

 – напряженность магнитного поля проводника конечной длины.

В случае бесконечно длинного проводника

;

.

б) Магнитное поле в центре кругового проводника с током

α = 90°; sin α = 1.

,

.

Источник: http://bog5.in.ua/lection/magnetism_lect/lect1_magn.html

Магнитное поле в вакууме

Магнитное поле в вакууме

Магнитное поле – это одна из форм проявления электромагнитного поля. Это поле действует исключительно на заряженные частицы, находящиеся в движении, и на намагниченные тела (в любом состоянии).

Магнитные поля создают:

  • проводники с током;
  • движущиеся электрические заряды и тела;
  • намагниченные тела;
  • переменные электрические тела.

Магнитное взаимодействие токов

Электрические токи взаимодействуют с магнитами, магниты действуют на электрические токи. Посредством магнитного поля взаимодействуют электрические токи.

Взаимное действие электрических токов было открыто почти одновременно с воздействием тока на магнитные стрелки. Это явление подробно исследовал Ампер, рассматривающий движение контуров из проволоки разной формы.

Допустим, что к подвижной рамке мы приблизили другую неподвижную рамку с током. При малом расстоянии между двумя ребрами разных рамок, можно считать, что взаимодействуют только эти близлежащие ребра.

Легко увидеть, что если токи в сторонах рамок направлены в одну сторону, то они (стороны с токами) притягиваются. Антипараллельные токи отталкиваются.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Если поднести к одной из вертикальных сторон подвижной рамки с током магнит, то рамка повернется. Если заменить полюса магнита, то рамка будет разворачиваться в противоположную сторону.

Причиной появления сил магнитного взаимодействия является порождение током магнитного поля. Ток всегда порождает магнитное поле.

Ампером было определено, что:

  1. проводники с токами взаимодействуют с силами, величина которых пропорциональна силе токов в каждом из них;
  2. сила взаимодействия контуров конечных размеров, является суммой взаимодействий отдельных элементов тока;
  3. сила взаимодействия контуров с током зависит от размеров контуров, их взаимного расположения и их формы.

Поэтому дать общий закон взаимодействия контуров нельзя, но можно сформулировать закон магнитного взаимодействия элементов тока.

Определение 1

Произведение силы тока ($I$) на вектор, обладающий длиной малого отрезка в котором течет этот ток ($d\vec l$):

$Id\vec l$

называют элементом тока.

Понятие элемента тока (элементарного тока) в законах, описывающих магнитные поля, играет такую же роль как точечный заряд в электростатике.

Возможность магнитного поля порождать механическую силу, которая действует на каждый элемент проводника с током, можно математически описать:

$d\vec{F}=I\, \left( d\vec{l}\times \vec{B} \right)\left( 1 \right)$,

где $\vec B$ – вектор магнитной индукции.

Вектор $\vec B$ является основной силовой характеристикой магнитного поля. Магнитные поля описывают, задавая в каждой токе поля вектор магнитной индукции. Выражение для силы Ампера (левая часть выражения (1)), может служить определением магнитной индукции.

Силу, которая действует на проводник конечных размеров с током, находят как сумму, действующих на каждый элементарный ток.

Для прямого тока, расположенного в магнитном поле с постоянной индукцией во всех точках поля, силу Ампера можно определить как:

$\vec{F}_{A}=I\left( \vec{l}\times \vec{B} \right)\left( 2 \right)$,

где $l$ — длина прямого проводника.

Модуль силы Ампера из (2) равен:

$F_{A}=IBL\sin \left( \hat{\vec{l}\vec{B}} \right)\left( 3 \right)$.

Вектор силы Ампера перпендикулярен плоскости, в которой лежат $\vec l$ и $\vec B$ и направлен по правилу правого винта.

Магнитная индукция поля

Эмпирически показано, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции:

$\vec{B}=\vec{B}_{1}+\vec{B}_{2}+… =\sum\limits_k{\vec{B}_{k}\left( 4 \right),}$

где $\vec{B}_{k}$ – магнитные индукции отдельных магнитных полей.

Экспериментальные исследования привели ученых к выводу о том, что индукция магнитного поля элементарного тока может быть вычислена при помощи закона Био – Савара — Лапласа:

$d\vec{B}=K\frac{I\left( d\vec{l}\times d\vec{r} \right)}{r{3}}\left( 5\right)$,

где $K$ – постоянный коэффициент, зависящий от выбора системы единиц; $ \vec{r}$ – радиус-вектор, который проведен от элементарного тока в точку, в которой рассматривается поле.

Замечание 1

В системе СИ: $K$=$\frac{\mu_{0}}{4\pi \varepsilon_{0}}.$

В системе Гаусса: $K=1$.

Из закона Био – Савара-Лапласа следует, что в точке, которая находится на расстоянии $r$ от элементарного тока, магнитная индукция равна:

$dB=K\frac{Idl\sin \alpha }{r{2}}\left( 6 \right)$.

где $ \alpha$ — угол между векторами $d\vec l$ и $\vec r$.

Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости, в которой находятся $d\vec l$ и $\vec r$, его направление определено правилом правого винта.

Выражения (2) и (5) в совокупности описывают взаимодействие пары элементарных токов.

Пример 1

Пусть у нас имеется пара параллельных элементарных токов (рис.1) $I_1d$$\vec l_1$ и $I_2d$$\vec l_2$, находящихся в вакууме. Магнитная индукция поля первого тока в точке $A$ направлена перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Сила Ампера ($d\vec F$), действующая на ток $I_2d$$d\vec l_2$ будет равна:

$dF=I_2dB_1l_2$,

где ${dB}_{1}=K\frac{I_{1}dl_{1}}{r{2}};$ ; векторы $d\vec l_2$ и $d\vec B_1$ перпендикулярны.

Рисунок 1. Пара параллельных элементарных токов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Напряженность магнитного поля в вакууме

Напряженность магнитного поля – еще одна векторная физическая величина при помощи которой, описывают эти поля. В вакууме она равна:

$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}\left( 7 \right)$.

где $\vec B$ – вектор магнитной индукции в одной точке с рассматриваемым $\vec H$.

В вакууме направления векторов индукции и напряженности магнитного поля совпадают.

Напряженность магнитного поля, которое создает элементарный проводник с током в вакууме, может быть найдено как:

$d\vec{H}=\frac{1}{4\pi }\frac{I\left( d\vec{l}\times d\vec{r}\right)}{r{3}}\left( 8 \right)$.

Вихревой характер магнитного поля

Для того чтобы обеспечивать наглядность изменения магнитного поля его изображают при помощи силовых линий (линий магнитной индукции).

Определение 2

Линиями магнитной индукции называют такие кривые, касательные к которым имеют направление такое же, как у вектора индукции в исследуемой точке поля.

Через любую точку магнитного поля можно провести линию индукции. Направление силовой линии поля в каждой его точке единственно, следовательно, линии магнитной индукции поля нигде не пересекаются.

Силовые линии поля изображают так, чтобы их количество на единицу поверхности, нормальной к ним было равно (или пропорционально) модулю вектора индукции магнитного поля в данной точке.

Представление о том, как выглядят линии магнитной индукции можно получить из эксперимента. Для этого используют, например, подвижную магнитную стрелку, которая всегда своей осью устанавливается вдоль силовой линии.

Для визуализации линий магнитного поля, так же можно использовать железные опилки. Частички этого вещества в магнитном поле намагничиваются и становятся подобными магнитным стрелкам.

Железные крупинки выстраиваются в цепочки, вдоль линий магнитной индукции рассматриваемого поля.

Линии любых магнитных полей являются непрерывными (не имеют начала и конца). Это свойство вихревых полей. Так, магнитные поля — это вихревые поля, что является принципиальным отличием магнитного поля от электростатического:

  • Силовые лини электростатических полей разомкнуты. Они начинаются на электрических зарядах.
  • Линии магнитной индукции всегда замкнуты или уходят на бесконечность. В природе магнитные заряды не обнаружены.
  • Перемещение электрических зарядов создает электрический ток.
  • Магнитного тока не существует, так как нет соответствующих зарядов.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/magnitnoe_pole/magnitnoe_pole_v_vakuume/

Магнитная индукция в вакууме

Магнитное поле в вакууме

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах.

Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция.

Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Закон Био – Савара – Лапласа

В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:

  • магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
  • магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
  • магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.

Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции.

Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током.

Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа. Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию

Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.

Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl, с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением

где I – сила тока, протекающая по проводнику,

r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,

dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ0/(4π)

Так как [dl r] является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом

Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения

где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.

Магнитная индукция прямолинейного проводника

Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током.

Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения.

Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα.

Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения

В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.

Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по в пределах от 0 до π.

Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где μ0  – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м,

I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.

Магнитная индукция кольца

Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется.

Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока.

Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.

В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.

Магнитная индукция в центре кругового тока.

В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид

Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности

где μ0  – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник.

Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х, которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности.

В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dBX, которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB

Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции

Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности

где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник,

х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.

Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру.

Представим некоторый контур l, который перпендикулярный току I. В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением

Так как угол достаточно мал, то векторов dlВ определяется, как длина дуги

Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции

Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура

В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.

Магнитное поле соленоида и тороида

С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.

Магнитная индукция соленоида.

Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4. Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид

Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4, который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид

где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,

I – ток, протекающий по соленоиду.

Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.

Магнитная индукция тороида.

В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R, на который намотано N витков провода.

Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r, центр данного контура совпадает в центром тороида.

Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид

где r – радиус контура магнитной индукции.

Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид

где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,

r – радиус контура магнитной индукции,

R – радиус тороида.

Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.

Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.

Источник: https://www.electronicsblog.ru/nachinayushhim/magnitnaya-indukciya-v-vakuume.html

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/7-35084.html

Booksm
Добавить комментарий