Магнитная энергия контура с током

Магнитная энергия совокупности контуров с током

Магнитная энергия контура с током

Допустим, что система состоит из двух контуров, в которых текут токи. Для того чтобы найти энергию магнитного поля этих контуров.

необходимо учитывать, что ${{\mathcal E}}_i$ (ЭДС) в каждом из контуров появляется не только за счет изменения потока индукции магнитного поля, которое создается током этого контура, но и за счет изменения потока индукции магнитного поля, которое порождается током в соседнем контуре. Допустим, что: ${{\rm I}}_1$ и ${{\rm I}}_2$ — силы токов в соответствующих контурах, потоки магнитной индукции через первый контур ${\Phi }_{11}$ и ${\Phi }_{12}$ создаются, соответственно, первым и вторым токами. Для второго контура потоки магнитной индукции обозначим как ${\Phi }_{21}$ и ${\Phi }_{22}$. В таком случае полный магнитный поток, который охватывает первый контур (${\Phi }_1$) равен:

суммарный поток через контур (2) равен:

Если $L_{11}$ — индуктивность первого контура, $L_{22}$ — индуктивность второго контура, то можно записать, что:

Поток ${\Phi }_{12}$, который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $L_{12}$- постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуров. Для второго контура имеем:

Преобразуем формулы (1) и (2) используя выражения для $\ {\Phi }_{11}{,\Phi }_{12},{\Phi }_{21},{\Phi }_{22}$ получим:

Исходя из выражений (6) и (7), ЭДС индукции в первом контуре равна:

ЭДС во втором контуре:

Вся работа, которую совершают источники сторонних ЭДС за время $dt$ может быть представлена выражением:

Далее примем, что:

это будет доказано в примере 2.

Используя равенство (11) имеем:

Следовательно, выражение (10) запишем как:

Проинтегрируем выражение (12), учтем, что сила тока изменяется в контурах от нуля до $I_{1\ }и\ I_2$ соответственно и вся работа идет на магнитную энергию, получим:

Так, мы получили формулу (13), определяющую магнитную энергию, для поля двух контуров с токами.

Обобщим формулу (13) на случай с $N$ контурами:

Рисунок 1.

при $i=k$ коэффициент $L_{ik}$ называется индуктивностью контура ${\rm I}$, при $ie k$, этот же коэффициент называют взаимной индуктивностью ${\rm I}$-го и $k$-го контуров. Эти коэффициенты определяются формулами при $ie k$:

где $d\overrightarrow{l_i},d\overrightarrow{l_k}$ — элементы длины контуров ${\rm I}$-го и k-го. $r_{ik}-$расстояние между ними. При этом $L_{ik}=L_{ki}$.

Пример 1

Задание: Вычислите энергию магнитного поля системы из $N=100$ витков с током, которые намотаны на железный сердечник в виде кольца в один слой. Учесть, что при силе тока ${\rm I}=2 A$ магнитный поток в железе равен $\Phi $=${10}{-4}Вб.$

Решение:

В качестве основы для решения используем формулу для вычисления магнитной энергии поля, которое создается витками с током. Для случая, который описан в задаче она примет вид:

\[W_m=\frac{LI2}{2}\left(1.1\right).\]

\Psi (потокосцепление), через $N$ витков равно:

\[\Psi =N\Phi \ и\ \Psi =LI\ \left(1.2\right),\]

где $\Phi $ — поток магнитной индукции через один виток.

Выразим коэффициент индукции из уравнений (1.2), получим:

\[L=\frac{N\Phi }{I}\left(1.3\right).\]

Подставим L из (1.3) в уравнение (1.1), получим:

\[W_m=\frac{\frac{N\Phi }{I}I2}{2}=\frac{N\Phi I}{2}.\]

Все данные в условиях задачи представлены в системе СИ, следовательно, можно провести вычисление магнитной энергии:

\[W_m=\frac{100\cdot 2\cdot {10}{-4}}{2}={10}{-2}\left(Дж\right).\]

Ответ: $W_m={10}{-2}Дж.$

Пример 2

Задание: Требуется показать, что взаимные индуктивности системы двух контуров с токами равны, то есть $L_{21}=L_{12}$.

Решение:

Для этого найдем ${\Phi }_{21}и\ {\Phi }_{12}$:

\[{\Phi }_{21}=\int\limits_{S_2}{\overrightarrow{B_1}}d\overrightarrow{S_2},\ {\Phi }_{12}=\int\limits_{S_1}{\overrightarrow{B_2}}d\overrightarrow{S_1}\ \left(2.1\right),\]

где $\overrightarrow{B_1}$, $\overrightarrow{B_2}$ — индукции полей, которые созданы токами $I_1\ и\ I_2$. $S_1\ и\ S_2$- поверхности интегрирования, которые натянуты на рассматриваемые контуры.

Индукция магнитного поля в каждой точке находится суммированием: $\overrightarrow{B_1}$+$\overrightarrow{B_2}$.

Если $\overrightarrow{A_1}$, $\overrightarrow{A_2}$ — векторные потенциалы, соответствующих магнитных полей, то получим:

\[\overrightarrow{B_1}=rot\ \overrightarrow{A_1},\ \overrightarrow{B_2}=rot\ \overrightarrow{A_2},\ \left(2.2\right).\]

Тогда выражения (2.1) перепишем в виде:

\[{\Phi }_{21}=\int\limits_{S_2}{rot\ \overrightarrow{A_1}}d\overrightarrow{S_2}=\oint\limits_{L_2}{\overrightarrow{A_1}d\overrightarrow{l_2}},\ {\Phi }_{12}=\int\limits_{S_1}{rot\ \overrightarrow{A_2}}d\overrightarrow{S_1}=\oint\limits_{L_1}{\overrightarrow{A_2}d\overrightarrow{l_1}}\left(2.3\right),\]

где $L_1,\ L_2$ — контуры с токами. $d\overrightarrow{l_2}$, $d\overrightarrow{l_1}$ — элементы контуров с токами. Интегральные преобразования выполнены в соответствии с формулой Стокса. Векторный потенциал, для тока можно записать как:

\[\overrightarrow{A_1}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I_1\oint\limits_{L_1}{\frac{d\overrightarrow{l_1}}{r}},\ \overrightarrow{A_2}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I_2\oint\limits_{L_2}{\frac{d\overrightarrow{l_2}}{r}\left(2.4\right).}\]

Подставим выражения для векторных потенциалов (2.4) в (2.3), получим:

\[{\Phi }_{21}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I_1\oint\limits_{L_2}{\oint\limits_{L_1}{\frac{d\overrightarrow{l_1}\cdot d\overrightarrow{l_2}}{r_{21}}}},{\Phi }_{12}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I_2\oint\limits_{L_1}{\oint\limits_{L_2}{\frac{d\overrightarrow{l_2}\cdot d\overrightarrow{l_1}}{r_{12}}}}\left(2.5\right),\ \]

где $r_{21}=r_{12}$ — расстояния между элементами $d\overrightarrow{l_1}и\ d\overrightarrow{l_2}$. Сравниваем формулу (2.5) с выражениями (4) и (5), получаем:

\[L_{12}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint\limits_{L_1}{\oint\limits_{L_2}{\frac{d\overrightarrow{l_2}\cdot d\overrightarrow{l_1}}{r_{12}}}},\ L_{21}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint\limits_{L_2}{\oint\limits_{L_1}{\frac{d\overrightarrow{l_1}\cdot d\overrightarrow{l_2}}{r_{21}}}}\left(2.6\right).\]

Формула (2.6) показывает, что взаимная индуктивность контуров зависит только от их геометрических характеристик и взаиморасположения.

Так как $d\overrightarrow{l_1}и\ d\overrightarrow{l_2}$ — независимые переменные интегрирования можно изменить порядок интегрирования.

Используя то, что $r_{21}=r_{12},\ d\overrightarrow{l_2}\cdot d\overrightarrow{l_1}=d\overrightarrow{l_1}\cdot d\overrightarrow{l_2},$ получаем, что:

\[L_{12}=L_{21}\left(2.7\right).\]

Что и требовалось доказать.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnaya_indukciya/magnitnaya_energiya_sovokupnosti_konturov_s_tokom/

Энергия магнитного поля. урок. Физика 11 Класс

Магнитная энергия контура с током

На этом уроке мы повторим явление самоиндукции. Ознакомимся с энергией магнитного поля. Также узнаем о том, как вычислить плотность энергии магнитного поля.

Вспомним, в чем состоит явление самоиндукции. При изменении силы тока, протекающего через проводник, в этом же проводнике возникает ЭДС индукции, препятствующая изменению основного тока в проводниках. Это приводит к тому, что сила тока в проводнике достигает своего максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого времени.

Данное явление наблюдается и при размыкании цепи: сила тока падает до нуля не мгновенно, а постепенно.

Явление самоиндукции связано с тем, что проводник с током находится в пространстве собственного магнитного потока и при любом изменении тока в проводнике меняется и магнитный поток, что, в свою очередь, приводит к возникновению ЭДС индукции (рис. 1).

Рис. 1. Самоиндукция

ЭДС индукции определяется как отношение изменения силы тока к изменению времени и умноженное на индуктивность проводника. А индуктивность определяется геометрическими параметрами проводника. Знак «минус» указывает на то, что возникающая ЭДС препятствует изменению тока.

Обратим внимание на то, что при размыкании цепи ток в ней хоть и убывает, но все равно существует – это доказывает процесс переноса заряда, которому необходима энергия. Но откуда она берется? Поскольку никаких других изменений, кроме убывания магнитного поля, вокруг проводника не происходит, можно сделать предположение, что энергия локализована в магнитном поле

Необходимо выяснить, откуда берется энергия и как ее рассчитать.

Рассмотрим опыт. Пусть имеется электрическая цепь, в которой катушка с индуктивностью () последовательно соединена с лампочкой и через переключатель может быть замкнута либо на источник постоянного тока (), либо на резистор с сопротивлением () (рис. 2).  

Рис. 2. Схема

Если в цепь включить амперметр, то можно получить график зависимости тока в цепи от времени. Сначала замкнем катушку на источник ЭДС – в цепи будет протекать ток  (рис. 3).

Рис. 3. График изменения тока

Затем, в некоторый момент времени  переключим ключ, замыкая катушку на резистор  – в цепи будет протекать убывающий ток. С момента времени  до полного исчезновения тока пройдет определенное время, в течение которого будет происходить перенос заряда в цепи катушки и резистора.

Следовательно, будет совершаться работа: убывание тока в катушке вызовет явление самоиндукции, и в ней возникнет ЭДС самоиндукции.

Разобьем участок 2 графика изменения тока на бесконечно малые интервалы времени , такие, что на каждом интервале изменения тока можно считать линейными (рис. 4).

Рис. 4. Разбиение участка 2 на интервалы  

На каждом таком участке будет совершаться работа, численно равная произведению ЭДС индукции на переносимый за этот интервал времени заряд:

Подставим выражение для ЭДС самоиндукции в выражение для работы на интервале времени :

Отношение перенесенного заряда  к интервалу времени  является средним значением тока на этом элементарном интервале времени:

Тогда выражение для работы на элементарном интервале времени примет вид:

Если просуммировать работу по всем элементарным участкам  от  до 0, получим выражение для полной работы за весь интервал времени:

Такая работа пойдет на нагревание проводников внутри катушки, замкнутой на резистор.

Выразим энергию магнитного поля через параметры магнитного поля. Для катушки индуктивность равна:

Модуль магнитной индукции катушки определяется соотношением:

Тогда для энергии магнитного поля получим выражение:

Разделим выражение для энергии магнитного поля катушки на ее объем, считая, что все магнитное поле сосредоточено в объеме катушки:

Развивая теорию электромагнетизма, Джеймс Кларк Максвелл показал, что полученное выражение для длинной катушки справедливо для любых магнитных полей, а полученная величина называется плотностью энергии магнитного поля.

При замыкании цепи ток нарастает не мгновенно, а в течение некоторого времени, поскольку источник тока должен совершить работу против ЭДС самоиндукции. Эта работа аккумулируется в магнитном поле, которое окружает проводник с током.

Впоследствии энергия магнитного поля преобразуется в работу вихревого электрического поля, которое возникает в проводнике после размыкания цепи и затем некоторое время поддерживает индукционный ток в этом проводнике.

Энергия магнитного поля вычисляется по формуле: «половина произведения индуктивности проводника на квадрат силы тока, протекающего через проводник».

Список литературы

  1. Касьянов В.А., Физика 11 кл.: Учебн. для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 416с.: ил., 8 л. цв. вкл.
  2. Тихомирова С.А., Яровский Б.М., Физика 11. – М.: Мнемозина.      
  3. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., Физика 11. – М.: Мнемозина.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «Физика» (Источник).
  2. Интернет-портал «Terver.ru» (Источник).
  3. Интернет-портал «Классная физика» (Источник).

Домашнее задание

  1. Касьянов В.А., Физика 11 кл.: Учебн. для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 416с.: ил., 8 л. цв. вкл., ст. 101, в. 5, з. 4, 5.
  2. Почему при размыкании цепи питания трансформатора или электродвигателя может возникнуть сильная искра?
  3. Какова индуктивность контура, если при равномерном изменении силы тока на 5 А за 50 мс в этом контуре создается ЭДС 10 В?
  4. * Катушку с индуктивностью 50 мГн, по которой шел ток 2 А, с помощью переключателя замкнули накоротко. Какое количество теплоты выделилось в катушке к тому моменту, когда сила тока уменьшилась до 1 А?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/belektromagnitnaya-indukciyab/energiya-magnitnogo-polya

Booksm
Добавить комментарий