Локальное поле

Локальное поле

Локальное поле

Если диэлектрик поместить в электрическое поле (которое назовем внешним), то сам диэлектрик становится источником поля.

Значит, что поле внутри диэлектрика (локальное поле), которое действует на его молекулы, будет отличаться от внешнего поля.

Особенно существенным отличие локального поля становится в диэлектриках с большой плотностью (твердых и жидких). Можно сказать, что напряженность локального поля ($\overrightarrow{E_{lok}}$) равна:

где $\overrightarrow{E}$ — макроскопическое поле в диэлектрике, ${\overrightarrow{E}}_{mol}$ — напряжённость поля, которое порождает сама молекула.

Расчет локальных полей

Расчет локальных полей в общем случае представляется весьма сложной задачей. Лоренц предложил следующую модель для описания подобного поля. Допустим, что выделенная молекула (А) окружена гипотетической сферой, радиус которой в 200 раз больше, чем радиус молекулы.

Вне сферы диэлектрик непрерывен, его диэлектрическая проницаемость $\varepsilon .$ «Удалим» все молекулы кроме (A) из сферы, но будем считать, что поляризация вне сферы при этом не изменилась $(\overrightarrow{P}=const)$, так как сфера имеет физически малый объем.

В таком случае напряженность поля $(\overrightarrow{E_{lok}})$, которое действует на молекулу (А) равна:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $\overrightarrow{E}$ — напряженность среднего макроскопического поля, $\overrightarrow{E_1}$ — напряжённость поля, которое создают связанные заряды на поверхности сферы, $\overrightarrow{E_2}$ — напряженность поля, которое создают все молекулы внутри сферы за исключением молекулы (A). Напряжённость поля связанных поверхностных зарядов мы можем определить как:

В таком случае учитывая (3) и (4), получим:

Поляризацию и среднее макроскопическое поле в изотропном диэлектрике связывает соотношение:

Используем (6), подставим его в (5), получим:

\[\overrightarrow{E_{lok}}=\overrightarrow{E}+\frac{\left(\varepsilon -1\right){\varepsilon }_0\overrightarrow{E}}{3{\varepsilon }_0}=\frac{\left(2+\varepsilon \right)}{3}\overrightarrow{E}\left(7\right).\]

Формулу (7) следует рассматривать как приближенную, так как реальный диэлектрик отличается от модели Лоренца, с помощью которой получена данная формула. Так, например, поля молекул могут существенно отличаться от полей диполей, дипольные моменты молекул могут иметь различные направления и т.д.

Пример 1

Задание: Для модели Лоренца локального поля получите напряжённость поля, которое создают поверхностные заряды сферы ($\overrightarrow{E_1}$).

Решение:

Так как выделенная сфера в модели Лоренца мала, то будем считать, что мы ищем напряженность в ее центре. Напряженность в центре сферы создается связанными зарядами на ее поверхности, как на границе раздела между средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon \ $и вакуумом (${\varepsilon }_{vak}=1$). Поверхностная плотность связанных (${\sigma }_{sv}$) зарядов равна:

\[{\sigma }_{sv}=-P_{2n\ }\left(1.1\right),\]

где $P_{2n\ }$ — нормальная компонента вектора поляризованности с внешней стороны сферы. Направим ось Z вдоль вектора $\overrightarrow{P}$ (рис.1), получим:

\[{\sigma }_{sv}=-P_{2n}=-Pcos\theta \left(1.2\right).\]

Рис. 1

В телесном угле $d\Omega $ находится заряд ($dq$) равный:

\[dq={\sigma }_{sv}R2d\Omega \left(1.3\right),\]

где $R$ — радиус сферы. Этот заряд создает поле в центре сферы с напряжённостью $dE_z$. В направлении оси Z величина $dE_z$ равна:

\[dE_z=-\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{dq}{R2}cos\theta \ \left(1.4\right).\]

Компоненты поля $dE_x=dE_y=0.$ Найдем $E_z$, взяв интеграл от выражения (1.4) и используя (1.3) и (1.2), получим:

\[E_z=E_1=-\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\int{\frac{dq}{R2}cos\theta =-\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\int{\frac{{\sigma }_{sv}R2d\Omega }{R2}cos\theta =}}\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\int{\frac{Pcos\theta R2d\Omega }{R2}cos\theta =}\frac{P}{4\pi {\varepsilon }_0}\int{{cos}2\theta }d\Omega =\int\limits{2\pi }_0{d\alpha }\int\limits{\pi }_0{{cos}2\theta }sin\theta d\theta =\frac{P}{3{\varepsilon }_0}\ \left(1.5\right).\]

В векторной форме напряженность будет иметь вид:

\[\overrightarrow{E_1}=\frac{\overrightarrow{P}}{3{\varepsilon }_0}.\]

Данная формула справедлива только для бесконечного однородного диэлектрика. Если диэлектрик конечен, то напряженность в нем зависит от его размера и формы.

Ответ: $\overrightarrow{E_1}=\frac{\overrightarrow{P}}{3{\varepsilon }_0}.$

Пример 2

В теоретической части в модели Лоренца мы из внутренности сферы удалили вещество и предположили, что $\overrightarrow{E_2}=0.$ Вообще говоря, данное поле зависит от распределения дипольных моментов молекул внутри выделенной сферы и не может быть описано универсальной формулой.

Задание: Вычислите напряженность $\overrightarrow{E_2}$ модели Лоренца для случая, когда молекулы расположены в узлах кубической кристаллической решетки, все дипольные моменты имеют одинаковые направления в пространстве. Такое условие выполняется для индуцированных дипольных моментов.

Решение:

Для определённости будем искать напряженность в узле кристаллической решетки. Поместим начало координат в узел кристаллической решетки, оси X,Y,Z направим по ребрам решетки. Используем в качестве основания для решения формулу напряженности поля диполя:

\[\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\left[\frac{3\left(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r5}-\frac{\overrightarrow{p}}{r3}\right]\left(2.1\right),\]

где $\overrightarrow{p}$ — момент диполя $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор, определяющий местоположение диполя. Формулу (2.1) запишем для проекции вектора напряженности на ось X ($E_{2x}$):

\[E_{2x}=\frac{p_x}{4\pi {\varepsilon }_0}\sum\limits_i{\frac{-r2_i+3x2_i}{r5_i}}+\frac{p_y}{4\pi {\varepsilon }_0}\sum\limits_i{\frac{3x_iy_i}{r5_i}}+\frac{p_z}{4\pi {\varepsilon }_0}\sum\limits_i{\frac{3x_iz_i}{r5_i}}\left(2.2\right),\]

где суммирование проводится по всем молекулам малого объема внутренности сферы. Аналогичные формулы можно записать для компонент $E_{2y}$, $E_{2z}$. В формуле (2.2) вычислим сумму по всем молекулам, который находится в малом сферическом слое радиуса r. Из-за кубической симметрии имеем:

\[\sum\limits_i{x2_i=}\sum\limits_i{y2_i=\sum\limits_i{z2_i=\frac{1}{3}}}\sum\limits_i{r2_i,\ \ \ \sum\limits_i{x_iy_i=\sum\limits_i{y_iz_i=}\sum\limits_i{x_iz_i=0}}}\ \left(2.3\right).\]

В таком случае уравнение (2.2) с учетом (2.3) принимает вид:

\[E_{2x}=\frac{p_x}{4\pi {\varepsilon }_0}\sum\limits_i{\frac{-r2_i+3x2_i}{r5_i}}=\frac{p_x}{4\pi {\varepsilon }_0}\left(-\sum\limits_i{\frac{r2_i}{r5_i}}+\frac{1}{3}\sum\limits_i{\frac{3x2_i}{r5_i}}\right)=\frac{p_x}{4\pi {\varepsilon }_0}\left(-\sum\limits_i{\frac{1}{r3_i}}+\sum\limits_i{\frac{1}{r3_i}}\right)=0\left(2.4\right).\]

Аналогично получится для $E_{2y}=E_{2z}=0.$ То есть окончательно получим: $E_2=0.\ $

Ответ: Получено, что $E_2=0.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/lokalnoe_pole/

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Локальное поле

Cтраница 1

Локальное электрическое поле Е отличается, как мы увидим ниже, от приложенного электрического поля из-за поляризации окружающего диэлектрика.

Задача молекулярной теории заключается РІ том, чтобы качественно Рё количественно описать поляризационную способность вещества Рё ее зависимость РѕС‚ температуры, напряженности поля Рё частоты.  [2]

Локальное электрическое поле, как отмечалось выше, есть электрическое поле, реально воздействующее на молекулы в диэлектрике.

Р’ тех случаях, РєРѕРіРґР° расстояния между молекулами велики, как, например, РІ разреженных газах, РєРѕРіРґР° взаимодействием между молекулами можно пренебречь, допустимо считать, что напряженность локального поля Р• равна напряженности внешнего поля Р•, хотя обычно РѕРЅРё различаются.  [3]

Как уже упоминалось выше, поляризация молекул зависит от локального электрического поля вблизи молекулы.

Поэтому вектор поляризации Р , являющийся РІ общем случае некоторой функцией РѕС‚ Р•, может быть представлен РІ РІРёРґРµ СЂСЏРґР° РїРѕ степеням поля, РїРѕ крайней мере РІ случае малых полей.  [4]

Между тем РІ СЂСЏРґРµ случаев квадрупольное взаимодействие СЏРґСЂР° СЃ локальными электрическими полями играет важную роль РІ опытах РїРѕ магнитному резонансу.  [6]

Что касается ширины линии, то РѕРЅР° определеляется теперь среднеквадратичным отклонением локального электрического поля.  [8]

Поскольку каждая структурная единица цепи содержит электроны Рё положительно заряженные СЏРґСЂР°, РѕРЅР° обладает локальным электрическим полем, которое оказывает влияние РЅР° соседние структурные элементы. Р’ результате этого между химически несвязанными атомами, принадлежащими РѕРґРЅРѕР№ макромолекуле или разным, возникает взаимодействие, проявляющееся РІ притяжении Рё отталкивании Назовем это взаимодействие физическим. РќР° большом расстоянии между несвязанными атомами действуют силы притяжения, РЅРѕ РїСЂРё достаточном сближении исключающем возможность химического взаимодействия) проявляются силы отталкивания. Р’ результате атомы располагаются РЅР° некотором расстоянии, характеризующемся минимальной потенциальной энергией. Для РјРЅРѕРіРёС… органических соединений эти расстояния составляют 0 3 — 0 5 РёРј. Таким образом, физические СЃРІСЏР·Рё внутри макромолекул или между РЅРёРјРё, так же как Рё РІ низкомолекулярных веществах, имеют электрическую РїСЂРёСЂРѕРґСѓ.  [9]

Химическая примесь может, однако, действовать как рассеивающий центр, потому что она искажает локальное электрическое поле.

Если подвижность позитрона окажется значительно выше подвижности электрона, можно считать, что подвижность электрона определяется химической примесью.

Такой вывод подкрепляется измерением температурной зависимости подвижности.

Если подвижность позитрона меняется пропорционально Рў -, РіРґРµ Рї 1, то можно считать, что РѕРЅ движется РІ Р·РѕРЅРµ Рё подвержен лишь рассеянию РЅР° фононах.  [11]

Лоренцева форма линии.  [12]

Например, активные атомы РІ твердых телах испытывают различные внешние возмущения, РІ частности обусловленные локальными электрическими полями, которые зависят РѕС‚ положения отдельного атома. Это ведет Рє неоднородному уширению линии. Другое важное неоднородное уширение обусловлено эффектом Доплера движущихся атомов. Это явление хорошо известно РёР· акустики. РљРѕРіРґР° автомобиль, издающий РіСѓРґРѕРє, проезжает РјРёРјРѕ, сигнал кажется более высоким РїРѕ частоте РїСЂРё его приближении Рё более РЅРёР·РєРёРј РїСЂРё его удалении. Подобный же эффект наблюдается РІ оптике. РљРѕРіРґР° атом движется СЃРѕ скоростью v РІ направлении наблюдателя, частота света, испускаемого атомом, кажется больше согласно формуле v v ( 1 vie), РіРґРµ v — частота перехода покоящегося атома.  [13]

Электрическое поле можно создать между обкладками конденсатора в физическом эксперименте, но каждая молекула обладает собственным локальным электрическим полем.

Поэтому при достаточном сближении одна молекула попадает в поле другой и вследствие этого поляризуется.

Если в молекуле мало электронов, то их распределение жестко контролируется зарядом ядра и поляризуемость низкая.

Если молекула содержит большие атомы СЃ множеством электронов, то степень ядерного контроля меньше, распределение электронов более рыхлое, Рё поляризуемость больше.  [14]

Р’ учебниках РїРѕ общей физике показано, что РІ изотропной среде макроскопическое поле Р• отличается РѕС‚ локального электрического поля Елок для данного атома или молекулы вследствие влияния окружающей поляризуемой среды.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id281331p1.html

Локальное поле Лорентца

Локальное поле

Локальным полем называют результирующую напряженность поля Ел,действующего на молекулу в веществе. Это поле обусловлено наличием свободных зарядов на электродах, связанных зарядов и зарядов других молекул.

Величина локального поля определяет собой электрический момент молекулы и, следовательно, значение поляризации.

Наиболее просто локальное поле можно вычислить в случае нейтральных диэлектриков, в частности нейтральных газов. Индуцированный момент молекулы ,

где α — поляризуемость молекулы и
— поле, действующее на молекулу (локальное).

Это поле отличается от среднего макроскопического поля. Поляризация равна сумме дипольных моментов молекул:

,

где сумма берется по всем молекулам единицы объема. Таким образом, для определения поляризации нужно вычислить величину локального поля, действующего на молекулы.

Рис. 6‑5. К вычислению локального поля, действующего на молекулу в плоском конденсаторе

Рассмотрим плоский конденсатор с газообразным диэлектриком (Рис. 6‑5). В центральной части конденсатора вокруг какой-либо молекулы проведем сферу.

Радиус R этой сферы выберем достаточно большим, порядка 100 диаметров молекулы или более, для того чтобы можно было считать диэлектрик за пределами сферы непрерывным и его свойства характеризовать диэлектрической проницаемостью ε и поле, действующее на молекулы в сфере, можно было выразить через величину поляризации Р.

При вычислении электрического поля молекул, заключенных в сфере, нужно учитывать дискретное строение газа и вычислять поле от этих молекул как геометрическую сумму электрических полей, создаваемых каждым элементарным диполем.

Локальное поле Eл, действующее на молекулу, было вычислено Лорентцем.

Оно может быть представлено в виде суммы трех слагаемых: среднего поля Eср, создаваемого свободными зарядами на поверхности электродов и связанными зарядами в диэлектрике у поверхности электродов; поля E1 создаваемого всеми молекулами за пределами сферы, за вычетом поля связанных зарядов, сосредоточенных у поверхности электродов, действие которых уже учтено в поле Eср; поля E2, создаваемого всеми молекулами внутри сферы, за исключением данной молекулы

.

Рис. 6‑6. К вычислению поля Elt создаваемого в сферической полости Лорентца связанными зарядами, которые находятся на ее поверхности

При вычислении поля Е1 мы не учитываем поля, создаваемого всеми молекулами внутри сферы. Поле, создаваемое молекулами за пределами сферы, можно представить как поле от связанных зарядов на поверхности сферы и у поверхности электродов. Действие поля от связанных зарядов у поверхности электродов уже учтено при вычислении Ecp.

Таким образом, Е1 есть поле, создаваемое связанными зарядами на поверхности сферы (см. Рис. 6‑5). Вычислим напряженность этого поля, для чего направление поля выберем за направление оси z, которую проведем через центр сферы (Рис. 6‑6).

Проведем под углом к оси радиус, направленный в элемент поверхности dS; плотность связанного заряда на этом элементе поверхности

,

где — вектор внешней нормали к поверхности диэлектрика, лежащего за пределами сферы (Рис. 6‑6).

Заряды на элементе поверхности dS создают поле , направленное под углом к оси z. Проекция этого поля от зарядов на элементе поверхности dS на направление оси z обозначим через dE1. Она равна

где dq —- заряд, находящийся на элементе dS;

Подставив сюда величину σс из формулы , получим

Вычислим поле Е1,создаваемое связанными зарядами на поверхности сферы. Заметим, что проекции поля Е1 на оси x и y, перпендикулярные к оси z, равны нулю вследствие осевой симметрии. Таким образом, поле

,

где интегрирование производится по полям, создаваемым всеми зарядами на поверхности сферы.

Элемент поверхности в сферической системе координат

.

Из выражений , , и имеем

.

Подставляя это значение dE1 в , получаем

Таким образом, .

Для вычисления поля Е2, действующего на молекулу в центре сферы со стороны всех других молекул в этой сфере, разобьем весь объем сферы на шаровые слои толщиной dr (Рис. 6‑7).

Сначала вычислим поле, создаваемое всеми молекулами в шаровом слое с радиусом r, апотом произведем суммирование полей молекул, лежащих в различных шаровых слоях. Пусть в шаровом слое с радиусом r находится i-я молекула с индуцированным моментом μi.

Поскольку мы считаем диэлектрик нейтральным, то направление всех индуцированных моментов совпадает с направлением среднего индуцированного момента и поля Е.

Этот индуцированный момент в центре сферы создает поле, напряженность которого определяется выражением

.

Определим проекцию поля Еi на ось z, для чего учтем, что направление , совпадает с направлением оси z. Таким образом,

,

где zi — координата z для i-ймолекулы в декартовой системе координат, начало которой помещено в центре сферы.

Найдем составляющую поля вдоль оси z вцентре сферы от всех молекул, лежащих в шаровом слое радиусом r и толщиной dr, для чего возьмем сумму полей отдельных молекул, находящихся внутри слоя:

,

где суммирование производится по всем молекулам, лежащим в шаровом слое;
ri — радиус i-й молекулы,
ri r.

Поскольку радиус шарового слоя постоянен и индуцированные моменты всех молекул одинаковы, сумму можно переписать в виде

,

Считая распределение молекул в сфере изотропным, имеем

.

Сопоставляя формулы и , видим, что Еz= 0. Следовательно, поле, создаваемое в центре сферы всеми молекулами, лежащими внутри слоя, равно нулю.

Проекции этого поля на оси х и у вследствие симметрии относительно оси z равны нулю, а проекция на ось z равна нулю, как показывают вычисления. Поскольку от каждого слоя поле равно нулю, то и суммарное поле всех слоев будет равно нулю.

Таким образом, поле Е2, действующее на молекулу в центре сферы со стороны всех других молекул, находящихся в сфере, равно нулю.

Поле Е2 равно нулю в случае газов, неполярных жидкостей, которые мы считаем изотропными, и кубических кристаллов, для которых выполняется условие . Для неполярных кубических кристаллов это можно показать и непосредственно, если рассмотреть поле, действующее на какую-нибудь молекулу со стороны всех индуцированных диполей соседних молекул.

Рис. 6‑7. К вычислению поля Е2, действующего на молекулу со стороны других молекул, расположенных внутри сферы Лорентца

Подставив значения Е1, Е2 и Eср в формулу , найдем величину локального поля, действующего на молекулу в неполярных газах, жидкостях и кубических кристаллах,

.

Поле El, равное , называется лорентцовым внутренним полем.

Выразим величину локального поля Елчерез напряженность среднего поля Еср. Для этого вспомним, что между поляризацией и средним полем существует соотношение . Подставив из него значение Р вформулу , найдем

.

В газах величина ε близка к единице, поэтому локальное поле по величине очень мало отличается от среднего поля. В неполярных жидкостях величина ε составляет две-три единицы, и локальное поле несколько больше среднего.

Источник: https://megaobuchalka.ru/5/509.html

Booksm
Добавить комментарий