Квазистационарные токи

Квазистационарные токи

Квазистационарные токи

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и напряжения, если только их изменения происходят не слишком быстро.

Электромагнитные возмущения распространяются по цепи с огромной скоростью, равной скорости света в вакууме.

Если за время, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми.

Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для периодически изменяющихся сигналов квазистационарными считаются токи с частотой ~ 108 Гц. Ток промышленной частоты 50 Гц квазистационарен для цепей длиной до 100 км.

Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Следовательно, для них справедливы и правила Кирхгофа.

Пусть к зажимам сопротивления R (рис. 199, о), не обладающего индуктивностью и емкостью ') (такое со­противление называется активным), приложено на* пряжение, изменяющееся по закону

U = Umcos>t (92.1)

(Um — амплитудное значение напряжения). При выпол* нении условия квазистационарности ток через сопро* тивление определяется законом Ома

i = -5- = —rp cos (at = Im cos (£>t. (92.2)

Таким образом, между амплитудными значениями си» лы тока и напряжения имеется соотношение

/ = У™ , (92.3)

Соотношения между переменными токами и напря­ жениями делаются особенно наглядными, если изобра«

жать их (как и гармониче- „

U

•O'VO-

ские колебания) с помощью
векторов (см. т. I, § 68). а; Выберем произвольное на­ правление, которое назовем осью токов (рис. 199,6). ,-. Отложим вдоль этого на­ правления вектор тока дли­

ной 1т. Поскольку напряже- Рис. 199.

ние и ток в рассматриваемом

случае изменяются синфазно, вектор напряжения также будет направлен вдоль оси токов; длина его равна /?/т. Совокупность векторов напряжений или токов образует векторную диаграмму данной цепи.

§ 93. Переменный ток, текущий через индуктивность

Подадим переменное напряжение (92.1) на концы индуктивности L (например, катушки) с пренебрежимо малыми сопротивлением и емкостью (рис. 220, а). В ин­дуктивности начнет течь переменный ток, вследствие

') Всякий проводник (например, прямолинейный отрезок про» вода) обладает некоторой емкостью и индуктивностью. Поэтому «чистые» активное сопротивление К, индуктивность L и емкость С являются абстракциями.

22* 339

чего возникнет э. д. с. самоиндукции [см. формулу (59.9)]

=-4

s dt

(полагаем, что L не зависит от i). Уравнение (35.1) за­кона Ома запишется следующим образом (R = 0, раз­ность потенциалов равна U, &n — %>s):

/•ywyy-ч

и L-o— '

Umcos&t-L~ откуда

(93.1)

В рассматриваемом случае все
п внешнее напряжение приложено к

~~ индуктивности L. Следовательно,

«'-'•Т

есть не что иное, как падение напряжения на индуктив­ности.

Перепишем уравнение (93.1) в виде

di = Щ±- cos со/ dt.

Li

Интегрирование дает

i = — г- sin cof + const.

(OL

Постоянной составляющей тока, очевидно, нет; по­этому const = 0. Таким образом,

(93.3) где

'«-•й—

Сопоставляя соотношения (92.3) и (93.4), мы ви­дим, что роль сопротивления в данном случае играет величина

XL = wL, (93.5)

которую называют реактивным индуктивным сопротивлением или просто индуктивным сопротивлением. Если L взять в генри, а и — в сект1, то Хь будет выражено в омах.

Как видно из (93.5), величина индуктивного сопро­тивления растет с частотой со. Постоянному току (со = 0) индуктивность не оказывает сопротивления. Заменив в (93.1) Um через coL/m, получим для падения напряжения на индуктивности следующее выражение:

UL = wL/m cos at.

(93.6)

Максимум i

Из сравнения выражений (93.3) и (93.6) вытекает, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность, на я/2. Если направить, как и на рис. 199, ось токов горизонтально, получается векторная диа­грамма, изображенная на рис. 200, б.

Рис. 201.

Сдвиг по фазе между то­ком и напряжением на ин­дуктивности легко понять, если учесть, что производная косинуса имеет наибольшее

чем максимум самого косинуса

значение в тот момент, когда косинус равен нулю, причем максимум производной достигается на 'Д

периода раньше, (рис. 201).

§ 94. Переменный ток, текущий через емкость

Пусть напряжение (92.1) подано на емкость С (рис. 202,а). Индуктивностью цепи и сопротивлением подводящих проводов будем пренебрегать. Емкость не­прерывно перезаряжается, вследствие чего в цепи течет переменный ток. Поскольку сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало, напряжение на конденса­торе £/с = -7т можно считать равным внешнему напря­жению U:

Uc = 4r= Umcos®t. (8-1.1)

Производная от q no t даст силу тока в цепи I. Ум­ножим выражение (94.1) на С и продифференцируем по t, заменив q через i:

где

= /mcos

(at + — -),

(94.2)

(94.3)

Величина

1 «С

(94.4)

называется реактивным емкостным сопро­тивлением или просто емкостным сопротив­лением. Если С взять в фа­радах, а со в се/с-1, то Хс будет выражено в омах.

в) Для постоянного тока

U (со = 0) Хс = оо — постоянный

б)

-ТЕ

г

Ось таков

Максимум заряда

Максимум тока

Рис. 202.

Рис. 203.

ток через конденсатор течь не может. Переменный ток (ю ф 0) может течь через конденсатор, причем оказы­ваемое току сопротивление будет тем меньше, чем боль­ше частота тока со и емкость конденсатора С.

Заменив в выражении (94.1) Um через —я- /т, для

(94.5)

падения напряжения на емкости получим tfc = i'mCosLIm) опережает ток по

фазе на л/2 (см. рис. 200, б) ; поэтому вектор, изобра­жающий ul, должен быть повернут относительно оси токов на угол л/2 против часовой стрелки. Наконец,

падение напряжения на емкости Uc (имеющее ампли-

туду -j/m отстает от тока по фазе на л/2 (см.

рис. 202,6); следовательно, вектор, изображающий Uc, должен быть повернут относительно оси токов на угол я/2 по часовой стрелке.

Падения напряжений UR, U L и U с в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению U. По­этому, сложив векторы, изображающие UR, UL и Uc, мы получим вектор, изображающий U (его длина рав­на Um), Этот вектор образует с осью токов угол ф, тан­генс которого, как видно из рис. 204, б, равен

(95.1)

Угол ф дает разность фаз между напряжением U и силой тока i. Из прямоугольного треугольника, гипоте­нуза которого Um, следует, что

откуда

Итак, если напряжение на зажимах цепи изме­няется по закону

U — Umcost,

то в цепи течет ток

/ = /тсозМ-ф), (95.3)

где ф и /т определяются формулами (95.1) и (95.2). Величина

-Xcf (95.4)

называется полным сопротивлением цепи. Ве­личина

А' = *,-Хс = а>£- (95.5)

называется реактивным сопротивлением. Та­
ким образом,

(95.6)

Ток отстает от напряжения (ф > 0) или опережает его (ф < 0) в зависимости от соотношения между XL и

Хс. При o>l>-£-tok отстает от напряжения, при ние тока от напряжения будет меньше я/2 — оно опре­деляется формулой

, со£,

tg Ф = — •

') Это относится также и к конденсатору; однако активное со­противление в цепи конденсатора может быть сделано значительно меньше, чем в цепи индуктивности.

В этом случае векторы i\ и ia не коллинеарны и сум­ма их не может быть равной нулю (рис. 216,а). Комп­лексные сопротивления обеих ветвей равны (см. рис. 215)

Сопротивление всей цепи будем вычислять по форму­ле (97.12)

+ jaL

'

R + jaL

откуда

_R + jab

Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим

s R + j [coL(l -co2LC)~ Q сопротивление контура Z стремится к бесконечности).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/10_142301_chastotnie-harakteristiki-parallelnogo-kontura.html

Квазистационарные токи — Автоматизированная Интернет-система формирования баз данных репродуктивных и формализованных описаний естественнонаучных и научно-технических эффектов

Квазистационарные токи

Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии

Общий каталог эффектов

  • Естественнонаучные эффекты (ЕНЭ)

Квазистационарные токи

Изменяющиеся низкочастотные токи, описываемые законами постоянного тока

Анимация

0

Описание

Законы для постоянных токов во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам. Это касается тех случаев, когда мгновенные значения токов практически одинаковы во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи называют квазистационарными. Квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только эти законы применять к мгновенным значениям величин токов и эдс.

Для того, чтобы переменный ток можно было считать квазистационарным, необходимо выполнение условия квазистационарности, которое для синусоидальных переменных токов сводится к малости геометрических размеров электрической цепи по сравнению с длиной электромагнитной волны, имеющей частоту рассматриваемого тока. Токи промышленной частоты, как правило, можно считать квазистационарными (частоте 50 гц соответствует длина волны порядка 6000 км). Исключение составляют токи в линиях дальних передач.

Чтобы переходные (неустановившиеся) электрические процессы (например, разрядка и зарядка конденсатора) были квазистационарными, необходимо, чтобы характерное время рассматриваемого переходного процесса (время релаксации t) было много больше времени прохождения электрического возмущения tel вдоль контура. Как известно, электрическое возмущение распространяется вдоль контура с конечной фазовой скоростью, равной:

,

где с — скорость света в вакууме;

e и m -диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, окружающей проводники.

Если L — длина контура, то время прохождения электрического возмущения вдоль контура tel равно:

.

Пусть длина контура L = 1 м, тогда время прохождения возмущения t el @ 10-8 с.

Неустановившийся процесс можно считать квазистационарным, если время релаксации t >>10-8 с.

Применяя законы постоянного тока к мгновенным значениям электрических величин, вместо алгебраических соотношений записывают дифференциальные уравнения, интегрирование которых и дает зависимость искомых величин от времени.

В качестве примера квазистационарных токов рассмотрим переходный процесс зарядки и разрядки конденсатора.

Пусть конденсатор емкостью С включен в схему (рис. 1).

Зарядка и разрядка конденсатора

Рис. 1

Тогда, ставя переключатель в положение 1, мы будем заряжать конденсатор от источника тока, а, перебрасывая переключатель в положение 2, — разряжать конденсатор.

Рассмотрим сначала процесс зарядки конденсатора.

В схеме рис. 1 последовательно с конденсатором включены сопротивление R и источник ЭДС e. Под R понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника ЭДС. Первоначально конденсатор не заряжен. В момент t = 0 переключатель перебрасывают в положение 1, и в цепи начинает идти ток, заряжающий конденсатор зарядом q.

Применим для мгновенных значений тока, разности потенциалов и ЭДС закон Ома для неоднородного участка цепи применительно к участку 1-e-R-3 (рис. 1).

IR = j1 — j3 + e.

Учитывая, что I = dq/dt (заряд на обкладках конденсатора возрастает) и j3 — j1 = U = q/c, получим:

,  (2)

где q0 = ec предельное значение заряда на конденсаторе (при t ® Ґ).

Закон изменения тока со временем:

,  (3)

где I0 = e/R — мгновенное значение силы тока в начальный момент времени.

В формулах (2) и (3) t = RC — постоянная, имеющая размерность времени и называемая временем релаксации данного процесса. Это время, за которое сила тока уменьшается в e раз. Графики зависимостей q(t) и I(t) при зарядке конденсатора показаны на рис. 2 и рис. 3.

Зависимость заряда на обкладке конденсатора от времени

Рис. 2

Зависимость тока при зарядке конденсатора от времени. Разрядка конденсатора

Рис. 3

Пусть I, q, U — мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов (напряжения) между обкладками конденсатора при перебрасывании переключателя в точку 2 (рис. 1). В этом случае конденсатор будет разряжаться через сопротивление R. В начальный момент времени t = 0 конденсатор заряжен зарядом q0.

Согласно закону Ома для однородного участка цепи, содержащего сопротивление R:

IR = U. (4)

Учитывая, что I = — dq/dt (заряд на обкладке уменьшается) и U = q/C, получим:

,

где q0- начальный заряд конденсатора;

t = RC — время релаксации (рис. 4).

Разрядка конденсатора. Зависимость заряда на конденсаторе от времени

Рис. 4

Продифференцировав (5) по времени, найдем закон изменения тока:

,

где I0 = q0/t — сила тока в момент t = 0.

Из (6) видно, что t — время, за которое ток уменьшается в e раз (рис. 5).

Разрядка конденсатора. Зависимость тока от времени

Рис. 5

Полученные результаты показывают, что переходные процессы заряжения и разряжения (установление электрического равновесия) происходят не мгновенно, а с конечной быстротой. Характерным временем установления равновесия является время релаксации t  = RC. Оценим величину t.

Если, например, емкость конденсатора С = 1 мкф, а сопротивление контура R = 1 Ом, то t = 10-6 с, что намного больше времени распространения электрического возмущения tel = 10-8 с.

В этом случае мы можем считать токи квазистационарными и применять законы постоянного тока к их мгновенным значениям.

Однако при уменьшении R и С условие t >> tel может оказаться нарушенным, и тогда данные переходные процессы уже нельзя будет считать квазистационарными.

Ключевые слова

Разделы наук

Применение эффекта

Квазистационарные токи используются практически во всей радиоаппаратуре (кроме СВЧ-диапазона). В частности, колебательные контуры применяются в качестве резонансной системы радиотехнических устройств в диапазоне частот от 50 кГц до 300 МГц.

Реализации эффекта

Колебательный контур

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая конденсатор С, и катушку индуктивности L.

При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и тока в катушке. Если линейные размеры l контура не слишком велики (l

Источник: http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/1440/index.html

Математическая запись критериев квазистационарности

1. Если мы рассматриваем периодический процесс, распространения электромагнитных возмущений от источника со скоростью света $(с)$, длина волны ($\lambda $) при этом для данного процесса равна:

где $T$ — период изменения заданного процесса во времени. Тогда критерий, который говорит о том, что в квазистационарных полях пренебрегают конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений, записывают так:

где пространственные изменения величины (например, силы тока), которая характеризует процесс, изучаются в области линейные размеры которой ($l$) много меньше длины волны. Роль данного критерия определена частотой и пространственными размерами области, в которой рассматривается процесс.

Допустим, что длина цепи равна $l$. Тогда если за время равное:

которое необходимо для передачи возмущения в самую дальнюю точку цепи, сила тока изменяется несущественно, следовательно, мгновенные значения силы тока для всех сечений цепи очень близкие. Токи, которые удовлетворяют данному условию, называют квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности можно записать в виде:

где $T$ — период изменений.

Для переходного непериодического процесса условием квазистационарности служит неравенство:

где $\triangle $-промежуток времени в течение которого происходит изменение.

2. Если вектор электрического смещения изменяется, например, в соответствии с законом:

то токи смещения имеют вид:

Следовательно, пренебречь наличием токов смещения в сравнении с эффектами, которые вызывают токи проводимости можно, если выполняется условие для модулей соответствующих токов:

Условие (8) можно записать как:

где плотность токов проводимости связана с напряженностью электрического поля дифференциальной формой закона Ома как:

а вместо токов смещения используется правая часть формулы (7).

Вопрос о критериях квазистационарности тока важен, так как закон Ома и его следствия, законы Кирхгофа выполняются для постоянных токов и мгновенных значений переменных токов.

Примечание 1

Надо отметить, что для переменных магнитных полей в вакууме и диэлектриках учитывать токи смещения необходимо, так как в этих веществах источниками магнитного поля являются именно они. Наличие токов смещения являются причиной существования электромагнитных волн.

Пример 1

Задание: Оцените область частот, в которой для проводников из никеля может выполняться второй критерий квазистационарности токов.

Решение:

Вторым критерием стационарности тока является возможность пренебречь токами смещения в сравнении с токами проводимости. Для проводника, коим является никель, этот критерий записывается как:

\[\frac{{\left|j_{sm}\right|}_{max}}{{\left|j\right|}_{max}}=\frac{\omega {\varepsilon }_0}{\sigma }\ll 1\ \left(1.1\right),\]

где ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}{-12}Ф\cdot м{-1}$ — электрическая постоянная, $\sigma =1,2\cdot {10}7\frac{См}{м}$ — удельная проводимость никеля.

Выразим частоту, получим:$\ $

\[\omega \ll \frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}\left(1.2\right).\]

Проведем расчет:

\[\omega \ll \frac{1,2\cdot {10}7}{8,85\cdot {10}{-12}}\approx {10}{18}\left(\frac{1}{с}\right).\]

Ответ: Для проводника из никеля токами смещения можно пренебречь, если частота колебаний будет до ${10}{18}\left(\frac{1}{с}\right)$. Такая частота соответствует ультрафиолетовой области частот.

Пример 2

Задание: Почему, кода речь идет о передаче электрического тока на тысячи километров нельзя считать его квазистационарным?

Решение:

Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид:

\[\tau =\frac{l}{c}\ll T\ \left(2.1\right).\]

Промышленный ток имеет частоту $u =50\ Гц.$ Частота и период связаны соотношением:

\[T=\frac{1}{u }\left(2.2\right).\]

Максимальная длина линии передач, вдоль которой можно считать передаваемый ток квазистационарным будет определяться условием:

\[l\ll \frac{1}{u }c\left(2.3\right),\]

где $c=3\cdot 108\frac{м}{с}$ — скорость света в вакууме. Проведем расчет:

\[l\ll \frac{1}{50}\cdot 3\cdot 108=6\cdot {10}6\left(м\right)=6\cdot {10}3\left(км\right).\]

Величина, которую мы получили $(6000 км)$ не является большой в сравнении с длинами линий электропередач, если мы говорим о действительно больших расстояниях. Следовательно, если в пределах электростанции, или какого — то населенного пункта ток можно считать квазистационарным, то при передаче его на тысячи километров требуется учитывать его переменность.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/peremennyy_sinusoidalnyy_tok/kvazistacionarnye_toki/

Booksm
Добавить комментарий