Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности

Квазистационарные электромагнитные поля План 1.Условия квазистационарности. 2.Закон Фарадея. Правило Ленца. 3.Самоиндукция. Индуктивность. 4.Взаимная индукция. — презентация

Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности

1 Квазистационарные электромагнитные поля План 1. Условия квазистационарности. 2. Закон Фарадея. Правило Ленца. 3.Самоиндукция. Индуктивность. 4. Взаимная индукция. 5. Энергия магнитного поля.

2 1. Условия квазистационарности. В природе существует большой класс явлений, при которых электромагнитные поля зависят не только от координат, но и от времени.

При изменении тока его магнитное поле не всегда будет соответствовать магнитному полю постоянного тока такой силы, которая рана силе переменного тока в фиксированный момент.

Если этим несоответствием можно пренебречь, то мы будем иметь дело с квазистационарными электромагнитными явлениями, которые обусловлены квазистационарными токами.

3 Квазистационарным называют переменный ток. если в каждый момент времени его магнитное поле совпадает с магнитным полем постоянного тока того же значения, что и мгновенное значение переменного тока. максимальное(амплитудное) значение силы тока циклическая частота колебаний. Распределение зарядов в таких случаях называют тоже квазистационарным.

4 Критериями квазистационарности, соблюдаемые в пределах точности задачи. 1. В каждом сечении проводника не имеющего разветвлений сила тока может быть принята одинаковой. 2.

Размеры области, в которой рассматривают явление, должны позволять не учитывать конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий.

Последнее обстоятельство приводит к тому, что эти взаимодействия в фиксированный момент соответствуют распределению зарядов которое было некоторое время назад.

5 2. Закон Фарадея. Правило Ленца. Магнитное поле порождается электрическим током. Фарадей и Ампер пытались обнаружить обратное явление -порождение тока магнитным полем. В 1835 г. Фарадей открыл это явление. Схема его установки показана на рис.1.

6 рис.1.

7 При замыкании ключа К наблюдался кратковременный всплеск тока в обмотке 2. Этот ток возникал при изменении магнитного поля в катушке 1. Изменение распространялось по магнитопроводу, выполненному в виде замкнутого сердечника из ферромагнитного материала.

Это явление названо электромагнитной индукцией. По результатам описанного эксперимента был установлен закон электромагнитной индукции — закон Фарадея: ЭДС индукции численно равна скорости изменения магнитного потока сцепленного с катушкой в которой она возникает.

8 Ленц сформулировал правило определения полярности индуцированной ЭДС. Правило Ленца: индуцированный ток имеет такое направление, что создаваемое этим током магнитное поле препятствует изменению магнитного потока вызывающего появление ЭДС индукции. Это правило иллюстрируется на рис.2.

9 рис.2.

10 Рис.2.А. Магнит движется так, что густота линий индукции пересекающих площадь витка увеличивается и возрастает магнитный полок сцепленный с этим витком.

Индукционный ток должен быть направлен так, чтобы вектор напряженности, порождаемого индукционным током магнитного поля был направлен против вектора напряженности поля движущегося магнита. Рис.2.Б.

поток вектора магнитной индукции сцепленный с витком убывает и ток должен быть направлен в противоположную, сторону.

11 Закон Фарадея и правило Ленца объединены в формуле (1) Знак минус отражает тот факт, что полярность ЭДС индукции должна быть такой, чтобы индуцированное магнитное поле препятствовало изменению магнитного потока. Гельмгольц показал, что закон Фарадея является отражением закона сохранения энергии. Рассмотрим замкнутый контур с источником ЭДС помещенный в неоднородное магнитное поле (рис.3).

12 рис.3

13 При протекании тока в контуре он будет перемещаться. При этом будет совершаться работа: (2) Одновременно, в соответствии с законом Джоуля — Ленца будет совершаться работа по преодолению активного сопротивления контура R: (3) Обе работы совершаются за счет энергии источника ЭДС, которая имеет вид: (4) — заряд перенесенный через сечение проводника за время dt, — ЭДС источника тока.

14 По закону сохранения энергии: (5) (6) Разделим обе части уравнения (6) на, получим: (7) (8) По закону Ома в числителе уравнения (8) показана общая ЭДС, т.е. сумма ЭДС источника и ЭДС индукции.

15 Явление индукции используют в генераторах переменного тока. Схема поясняющая принцип работы такого генератора приведена на рис.4.А. Рис.4

16 Рамка вращается в поле постоянного магнита с угловой скоростью. Угол между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции магнитного ноля изменяется по закону. Поток вектора индукции равен: (9) Следовательно, (10)

17 Уравнение (10) показывает, что ЭДС изменяется во времени по гармоническому закону. Величина — амплитудное (максимальное) значение ЭДС. Переменная ЭДС подключается к внешней цепи через щетки, скользящие по кольцам соединенным с концами рамки.

18 3. Самоиндукция. Индуктивность Рассмотрим виток (рис.5), по которому течет переменный ток (1) — максимальное(амплитудное) значение силы тока — циклическая частота колебаний. Очевидно, что при этом будет изменяться магнитный, поток сцепленный с витком и, как следствие, появится ЭДС индукции в витке.

19 Рис.5

20 Явление возникновения ЭДС индукции при изменении собственного тока называют самоиндукцией. Энергетической характеристикой такого процесса является ЭДС самоиндукции (2) В контуре по закону Био — Савара — Лапласа имеем: (3)

21 Вектор всегда перпендикулярен площади контура. Поэтому можно записать: (4) Магнитная проницаемость оставлена под интегралом так как среда внутри контура может быть не однородной. Из последнего равенства следует, что магнитный поток сцепленный с контуром пропорционален току: (5) Здесь (6) Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью.

22 Индуктивность контура — физическая величина числено равная потоку вектора магнитной индукции сцепленному с контуром при единичной силе тока в последнем. Для соленоида имеем (7) Здесь N — число витков, Ф М – поток сцепленный с одним витком. (8)

23 Для бесконечно длинного соленоида магнитная индукция имеет вид (9) Здесь S — площадь витка, п = N/l — число витков на единице длины соленоида. Подставим уравнения (8) и (9) в уравнение (7), получим: (10)

24 Домножив числитель и знаменатель на l, получим выражение индуктивности соленоида: (11) Здесь V=lS — объем соленоида. ЭДС самоиндукции(2) можно выразить следующим образом: (2) (12)

25 Значение индукции зависит только от среды и геометрической формы электрического элемента. Поэтому в недеформируемом контуре ЭДС самоиндукции можно представить выражением (13) Уравнение (13) показывает, что ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока.

26 4. Взаимная индукция В некоторых приборах катушку пронизывает магнитный поток возникший, от сторонних источников. Например, от другой катушки, расположенной но соседству. Взаимной индукцией называют явление возникновения ЭДС во всех проводниках расположенных вблизи от цепи с переменным током. Используют это явление в трансформаторах (рис.6).

27 Рис.6

28 Поток, сцепленный с каждой из обмоток будет представлен суммой двух потоков. С первой катушкой будет сцеплен поток (1) Здесь L 1 и I 1 индуктивность и ток в первой обмотке, I 2 — ток во второй обмотке, L взаимная индуктивность первого и второго контуров. Взаимная индуктивность зависит от среды и взаимного расположения обмоток.

29 Аналогичное уравнение можно записать для второй обмотки (2) Дифференцируя равенства (1) и (2) получим значения напряжений на обмотках: (3) (4) Обычно в обмотках среда одинакова, а ток квазистационарен.

30 Поэтому (5) Если обмотка 1 подключена к источнику питания и в ней течет переменный ток и если цепь обмотки 2 разомкнута, т.е. то в этом случае ток в первичной обмотке определится внешней ЭДС иЭДС самоиндукции (6)

31 Сопротивление обмоток мало. Таким образом, (7) (8) Равенства (7) и (8) справедливы потому, что потоки сцепленные с обоими обмотками одинаковы. Отсюда следует выражение (9)

32 Если источник подключить ко второй обмотке, то (10) Коэффициент трансформации Здесь N 1 — число витков в первичной обмотке трансформатора, N 2 — число витков во вторичной обмотке трансформатора.

33 5. Энергия магнитного поля Если цепь замкнуть, то энергия источника будет расходоваться на преодоление сопротивления и на изменение магнитного потока сцепленного с контуром. Работу, совершаемую при изменении магнитного потока можно рассматривать как работу по созданию магнитного поля.

34 Элементарную работу, выполняемую при приращении тока, можно определить как (1) При нарастании тока от 0 до I получим: (2) Здесь W- энергия магнитного поля создаваемого током I. Из уравнения (2) следует энергетическая трактовка индуктивности.

35 Индуктивность контура – физическая величина численно равная удвоенной энергии магнитного поля создаваемого протекающим по контуру током единичной силы. Энергия однородного магнитного поля для длинного соленоида: (3) Здесь учтено (11)

36 Плотность энергии магнитного поля: (4) Напряженность однородного магнитного поля для длинного соленоида : В этом случае плотность энергии магнитного поля:, (5)

37 Уравнение (5) определяет плотность энергии магнитного поля для длинного соленоида без сердечника. Плотность энергии магнитного поля для длинного соленоида с сердечником определяется суммой энергии поля в вакууме и в магнетике сердечника: (6) (7)

38 Для вакуума, для магнетика, В этом случае получим плотность энергии магнитного поля в магнетике: (8) Относительная диэлектрическая проницаемость среды Относительная магнитная проницаемость среды может быть и

39

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1271118/

Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности

Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности

В том случае, если рассматривают электрические колебания, то имеют дело с токами, которые меняются во времени.

Однако мы помним, что важнейшие законы для токов, закон Ома и законы Кирхгофа сформулированы для тока, который во времени не изменяется (постоянного тока).

Эти законы выполняются и для мгновенных значений тока и напряжения, если изменения происходят с небольшой скоростью. В случае рассмотрения изменяющихся полей и токов необходимо учесть следующее:

  1. Скорость распространения электромагнитных полей конечна (скорость распространения электромагнитных возмущений велика, в вакууме равна скорости света $(c=3\cdot {10}8\frac{м}{с})$).

  2. Источником магнитного поля является переменное электрическое поле, то есть существуют токи смещения ($j_{sm}-объемная\ плотность\ тока\ смещения$), которые равны:

При небольшой частоте переменного тока эти факторы обычно игнорируют. Если принимают то, что электромагнитные поля распространяются мгновенно, а магнитное поле порождается только токами проводимости, то такие токи и поля называют квазистационарными.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Критерий квазистационарности полей

Сформулируем математические критерии квазистационарности поля.

  • Допустим, что существует периодический процесс, который распространяется от источника со скоростью света ($c$), длина волны ($\lambda $) при этом для данного процесса равна:

где $T$ — период изменения заданного процесса во времени. Тогда критерий, который говорит о том, что в квазистационарных полях пренебрегают конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений, записывают так:

где пространственные изменения величины, которая характеризует процесс, изучаются в области линейные размеры которой ($l$) много меньше длины волны. Роль данного критерия определена частотой и пространственными размерами области, в которой рассматривается процесс.

Допустим, что длина цепи равна $l$. Тогда если за время равное:

требуемое для передачи возмущения в самую дальнюю точку цепи, сила тока изменяется несущественно, следовательно, мгновенные значения силы тока для всех сечений цепи очень близкие. Токи, которые удовлетворяют данному условию, называют квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности можно записать в виде:

где $T$ — период изменений.

Для переходного непериодического процесса условием квазистационарности служит неравенство:

где $\triangle $-промежуток времени в течение которого происходит изменение.

Таким образом, поле переменных токов может удовлетворять условиям квазистационарности только в ограниченной области пространства, не далеко от токов, в том случае, если сила токов, заряды конденсаторов и т.д. незначительно изменяются за промежуток времени, который необходим для распространения электромагнитного возмущения. Кроме того, переменные токи могут быть квазистационарными, только если они замкнуты.

По сути, основным условием квазистационарности полей можно назвать низкую скорость их изменения.

Для того чтобы изменение параметров в системе можно было считать мгновенным, необходимо, чтобы длительность их скачка была много меньше, чем время релаксации. Время релаксации электрической цепи, например, зависит от характеристик элементов, которые в нее входят.

  • Если вектор электрического смещения изменяется, например, в соответствии с законом:

то в соответствии с формулой (1) токи смещения имеют вид:

Следовательно, пренебречь наличием токов смещения в сравнении с эффектами, которые вызывают токи проводимости можно, если выполняется условие для модулей соответствующих токов:

Условие (9) может быть записано в виде:

где плотность токов проводимости связана с напряженностью электрического поля дифференциальной формой закона Ома как:

а вместо токов смещения используется правая часть формулы (8).

Надо отметить, что для переменных магнитных полей в вакууме и диэлектриках учитывать токи смещения необходимо, так как в этих веществах источниками магнитного поля являются именно они. Наличие токов смещения являются причиной существования электромагнитных волн.

Переменные токи, которые используют в технике сильных токов, с достаточной степенью точности удовлетворяют условиям квазистационарности. К электрическим колебаниям, которые используются в радиотехнике, теория квазистационарных токов не применима (или ограниченно применима), так как данные колебания считаются быстрыми.

Пример 1

Задание: Для цепи 3 м чему равно запаздывание $\tau ?$ До какой частоты ($u$) токи можно считать квазистационарными?

Решение:

Основой для решения задачи является условие стационарности токов в виде:

\[\tau =\frac{l}{c}\ll T\left(1.1\right).\]

Вычислим запаздывание $(\tau )$ для заданной цепи, если мы знаем, что скорость света в вакууме равна $c=3\cdot {10}8\frac{м}{с}$:

\[\tau =\frac{3}{3\cdot {10}8}={10}{-8}\left(с\right).\]

Можно сказать, что вплоть до $T={10}{-6}c$ токи в этой цепи можно будет считать квазистационарными. Период связан с частотой соотношением:

\[u =\frac{1}{T}\ \left(1.2\right).\]

Вычислим соответствующую частоту, при которой будем считать ток квазистационарным для заданной цепи:

\[u =\frac{1}{{10}{-6}}={10}6\left(Гц\right).\]

Ответ: $\tau ={10}{-8}с.$ $u ={10}6Гц.$

Пример 2

Задание: Объясните почему, если рассматривают распределение тока по проводника в пределах электростанции, переменный ток можно считать квазистационарным?

Решение:

Для технического тока частота равна $u =50\ Гц$. Найдем длину волны такого тока, используя формулу:

\[\lambda =cT\left(2.1\right),\]

где $T$ — период, который связан с частотой как:

\[u=\frac{1}{T}\left(2.2\right).\]

Вычислим длину волны, зная скорость света в вакууме ($c=3\cdot {10}8\frac{м}{с}$):

\[\lambda =c\frac{1}{u }=\frac{3\cdot {10}8}{50}\approx 6\cdot 106\left(м\right).\]

Из величины $\lambda =6\cdot 106м$ очевидно, что если мы будем рассматривать любую область пространства, где изменяются токи в пределах электростанции, то условие:

\[l\ll \lambda \ \left(2.3\right)\]

будет выполняться и ток и соответствующее ему поле можно считать квазистационарным.

При этом следует учесть, если время скачка значений переменного тока мало, например, $\triangle t={10}{-9}c$ в таком случае критерий стационарности примет вид:

\[l\ll c\triangle t,\ где\ c\triangle t\approx \ {10}{-9}\cdot 3\cdot {10}8=0,3\ (м)(2.4)\]

такой процесс можно считать квазистационарным только на расстояниях, существенно меньших $0,3$ м.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnye_kolebaniya/kvazistacionarnye_polya_kriterii_kvazistacionarnosti/

Квазистационарное приближение

Квазистационарные поля. Критерии квазистационарности

Квазистационарное (квазистатическое) приближение в электродинамике – это приближенное описание переменного электромагнитного поля (ЭМП), справедливое при достаточно медленных его изменениях во времени. Классификация приближений обычно основывается на безразмерных параметрах. Для электромагнитных полей в вакууме таким параметром может быть отношение

, (104.1)

где – характерный масштаб изменения поля (размер области, в которой ищется решение); – характерный временной масштаб изменения поля.

В соответствии с формулой (104.1) можно выделить четыре случая.

1. – статическое приближение, статика.

А. В соответствии с этим система уравнений Максвелла для описания электростатических полей имеет вид

(104.2)

Источниками полей в электростатике служат заданные распределения плотности электрического заряда .

Б. Система уравнений Максвелла для описания полей в магнитостатике приобретает вид

(104.3)

Источниками в уравнениях магнитостатики являются заданные распределения плотности электрического тока .

В. К статической электродинамике относят и процессы протекания постоянных токов в распределенных проводящих средах. В этом случае справедлива система уравнений (104.2), где вместо третьего уравнения записано .

2. – квазистационарное (квазистатическое) приближение (квази – почти).

Все квазистационарные поля и процессы можно разделить на две группы. К первой принадлежат квазистационарные системы, в которых электрические и магнитные поля пространственно разнесены.

Простейшим примером является колебательный контур, в котором магнитное поле сосредоточено в основном в катушке самоиндукции, а электрическое – в конденсаторе. Сюда же относятся и некоторые цепи переменного тока и переходные процессы в электрических цепях.

Цепи с приближенно разнесенными электрическим и магнитным полями относят к системам с сосредоточенными параметрами.

Критерием медленности изменения поля в таких системах служит условие

, (104.4)

где – характерное время изменения поля (например период колебаний); – время распространения волновых возмущений через рассматриваемую ограниченную область пространства (квазистационарную зону). Квазистационарные электрические поля определяются зарядами, а магнитные – токами, так же как в электростатике и магнитостатике и подчиняются уравнениям Максвелла (104.2), (104.3).

При этом пренебрегают эффектом запаздывания, считается, что поля во всей квазистационарной зоне изменяются синхронно с источниками. Медленно изменяющимися магнитными полями наводятся электрические вихревые поля, а магнитные поля – электрическими полями.

Индуцированные поля существенно изменяют характер всего физического процесса, прежде всего благодаря возникновению в проводящих контурах ЭДС индукции.

Соотношение (104.4) – условие квазистационарности тока – реально выполняется только в макроскопических системах. Квазистационарное магнитное поле качественно отличается от стационарного электрического.

Это различие между электрическими и магнитными полями обусловлено явлением электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле порождает электрическое поле, линии которого замкнуты.

Поэтому квазистационарное электрическое поле не является потенциальным, оно всегда вихревое.

Вторая группа квазистационарных систем включает системы с неразделенными электрическим и магнитным полями.

Примером таких объектов могут служить хорошо проводящие среды, токи проводимости в которых существенно больше токов смещения.

Для таких систем характерны эффекты прижатия полей к поверхностям раздела проводник–диэлектрик (скин-эффект), наведение внешними полями вихревых токов в массивных проводниках (токи Фуко) и т. п.

Квазистационарные процессы подчиняются следующим уравнениям Максвелла:

(104.5)

Критерием квазистационарности таких процессов является малость токов смещения по сравнению с токами проводимости:

. (104.6)

Для получения числовой оценки рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда через среду проходит электромагнитная волна, вектор напряженности которой изменяется по гармоническому закону . Тогда вектор электрической индукции будет равен

,

.

В результате для амплитудных значений получим:

. (104.7)

Здесь – удельная электропроводность вещества; – диэлектрическая проницаемость.

Таким образом, из выражения (104.7) в соответствии с выражением (104.6) следует, что условие квазистационарности электромагнитного поля можно представить в виде

. (104.8)

Отсюда следует, что условие (104.8) выполняется тем лучше, чем больше электропроводность вещества и меньше частота изменения поля. Так, например, положив для меди при частоте , получим:

.

Таким образом, условие квазистационарности довольно хорошо выполняется для тонких (десятые доли миллиметра) проводников вплоть до дециметрового диапазона радиоволн. При более высоких частотах проводимость падает за счет скин-эффекта (см. формулу (105.5)) и справедливость условия (104.8) нарушается.

3. a ~1. Резонансные волновые поля описываются полной системой уравнений Максвелла. Из общего класса полей выделяются поля, возбуждаемые внутри полых волноводов либо в окрестности тонкой проволочной или щелевой антенны. При этом поля представляются дискретным набором колебаний.

4. – квазиоптическое приближение.

В заключение заметим, что квазистационарное приближение реализуется для полей любой физической природы: акустических, гравитационных и т. д. Критерием такого приближения, как и в случае электромагнитных систем, является малость параметра .

Источник: https://studopedia.su/6_27395_kvazistatsionarnoe-priblizhenie.html

Booksm
Добавить комментарий