Квантовая статистика Бозе

бозе-эйнштейна статистика

Квантовая статистика Бозе

БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА (бозе-статистика) — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулевым или целым спином (в единицах ). Предложена в 1924 Ш. Бозе (Sh. Bose) для фотонов и в том же году развита А. Эйнштейном (A.

Einstein) применительно к молекулам идеального газа. Характерная особенность Б.- Э. с. заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W.

Pauli) доказал (Паули теорема), что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с чётным числом нуклонов, фотоны, p-мезоны и др.- т. н. бозоны)подчиняются Б—Э. с.

, а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов и др.- т. н. фермионы) подчиняются Ферми — Дирака статистике.

При квантовомеханич.

описании состояние системы определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Б.- Э. с., состояния описываются симметричными функциями, что является другой эквивалентной формулировкой Б—Э. с. Подобные системы наз. бозе-системами, напр. бозе-газ.

Для идеального бозе-газа в случае статистич. равновесия (при темп-ре выше вырождения температуры)ср. число частиц в состоянии г определяется Бозе — Эйнштейна распределением

где — энергия частицы в состоянии Г (для частиц с импульсом р и массой т, равная ), T — абс. темп-pa, — химический потенциал ,определяемый из след. условия: сумма всех должна быть равна полному числу частиц в системе. Хим.

потенциал бозе-газа не может быть положительным, иначе ф-ция распределения частиц по энергиям была бы для нек-рых состояний отрицательной, что невозможно по самому определению Для систем с переменным числом частиц . При , когда все малы, распределение Бозе — Эйнштейна переходит в Болъцмана распределение .

При низких темп-pax (ниже темп-ры вырождения бозе-газа) часть частиц переходит в состояние с нулевым импульсом и наступает Бозе — Эйнштейна конденсация.

Ф-ла для следует из Гиббса распределения для идеального квантового газа с уровнями энергии где , согласно Б.- Э. с., могут принимать лишь значения 0, 1, 2, ….

Распределение Бозе — Эйнштейна можно получить и др. методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамическую вероятность (статистический вес)такого состояния, т.е.

число способов реализации данного состояния газа и заданной энергией и числом частиц N. Для больших систем, когда N велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объёма системы к бесконечности.

Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим уровней в ячейке, число предполагается очень большим. Каждой i-й ячейке соответствует средняя энергия и число частиц . Состояние системы определяется набором чисел ,где -сумма по уровням ячейки. Для Б.- Э.с.

атомы предполагаются неразличимыми и в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. Поэтому статистич. вес равен числу различных распределений частиц по ячейкам:

он определяет вероятность распределения частиц по ячейкам. Энтропия такого состояния равна Наиболее вероятному состоянию отвечает максимум энтропии (при заданных ) и распределение Бозе — Эйнштейна . Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б.- Э. с., равна

Одним из применений Б.- Э. с. является теория теплоёмкости твёрдых тел. Тепловые колебания твердого тела описываются как возбуждения совокупности осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям кристаллич. решётки.

Возбуждённые состояния системы осцилляторов можно описывать как идеальный газ квазичастиц — фононов ,подчиняющихся Б—Э. с. На основании этого представления удаётся правильно описать поведение твёрдых тел при низких темп-рах, в частности получить Дебая закон теплоёмкости.

К важным приложениям Б.- Э. с. относится также теория излучения чёрного тела, опирающаяся на представление о квантах эл—магн. поля нах. Последние подчиняются Б.- Э. с.: в этом случае , а (- частота излучения).

При этом распределение Бозе — Эйнштейна даёт Планка закон излучения для спектрального распределения энергии излучения абс. чёрного тела.

Б.- Э. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы и поддаётся вычислению статистическая сумма

где суммирование ведётся по всем квантовым уровням системы для состояний, удовлетворяющих условиям квантовой симметрии. Последнее условие определяет тип квантовой статистики.

Задача вычисления Z не сводится к простой комбинаторной задаче и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало.

Её можно несколько упростить, если выразить гамильтониан системы в представлении вторичного квантования (в представлении чисел заполнения квантовых уровней) через операторы вторичного квантования , удовлетворяющие перестановочным соотношениям Б.- Э. с.

где — дельта-функция Дирака. Тогда требования Б.- Э. с. оказываются выполненными и в статистич. сумме будут учитываться лишь симметричные состояния. Но и в такой псстановке задача вычисления статистич. суммы очень сложна и допускает приближённое решение лишь для слабовзаимодействующих систем (слабонеидеальный бозе-газ).

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд.,М., 1976; Майер Дж., Гепперт-Mайер M., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., M., 1980, гл. 7; Xуанг К., Статистическая механика, пер с англ., M., 1966; Боголюбов H. H., Лекции по квантовой статике. Избр. труды, т. 2, К., 1970 Д. H. Зубарев.

Источник: http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0354.html

Квантовая статистика Бозе

Квантовая статистика Бозе

Квантовая статистика Ш. Бозе в статистической механике является определяющей для распределения тождественных частиц со спином (нулевым или целочисленным). К таковым могут относиться, например, атомы гелия (4) или бозоны. Такое распределение частиц осуществляется в состоянии термодинамического равновесия по энергетическим уровням.

Квантовая статистика Бозе была в 1924 г. предложена Ш. Бозе для возможности описания фотонов. В 1924 г. А. Эйнштейну удалось сделать ее обобщение на системы атомов с целым спином.

Суть квантовой статистики Бозе

Определение 1

Суть квантовой статистики Ш. Бозе сводится к взаимосвязи с квантово-механическим принципом неразличимости частиц (тождественности), аналогично статистике Ферми-Дирака. Этим статистикам подчиняются такие системы тождественных частиц, в которых нельзя исключить квантовые эффекты.

Проявление таких эффектов наблюдается при значениях концентрации частиц:

$\frac{N}{V} \geqslant nq$

Где $nq$ считается квантовой концентрацией, среднее расстояние между частицами при которой будет равным средней волне де Бройля (при заданной температуре для идеального газа).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Замечание 1

Волновые функции частиц при концентрации $nq$ будут соприкасаться, однако не перекрывать одна другую. В статистике Ферми-Дирака основная роль отводится фермионам (частицам, для которых справедлив принцип Паули), а в статистике Бозе – бозонам.

Правило распределения бозонов по энергиям вытекают из так называемого «большого канонического распределения Гиббса» (с переменным количеством частиц). При этом есть условие, что число тождественных бозонов может быть любым в данном квантовом состоянии:

$N_i=\frac{1}{e(\frac{E_i-\mu}{kT})+1)}$

Данное распределение называется распределением Бозе-Эйнштейна.

Здесь:

  • $N_i$ характеризует среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией $E_i,$
  • $k$ — постоянная Больцмана;
  • $Т$ — термодинамическая температура;
  • $\mu$ — химический потенциал, не зависимый от энергии, а определяемый только плотностью числа частиц и температурой.

Поскольку квантовая концентрация с повышением температуры также увеличивается, то множество физических систем при высоких температурах подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана. Исключения составляют только системы с очень высокой плотностью.

В отличие от фермионов, бозоны не будут подчиняться принципу Паули (принципу запрета). Произвольное число частиц может одновременно находиться в одном состоянии.

По этой причине их поведение будет сильно отличаться от поведения фермионов при низких температурах.

В случае с бозонами, все частицы при понижении температуры собираются в одном состоянии, которому свойственна наименьшая энергия (это формирует так называемый конденсат Бозе-Эйнштейна).

Конденсат Бозе-Эйнштейна

Данный конденсат характеризует агрегатное состояние вещества, чью основу составляют бозоны, охлажденные до близких к абсолютному нулю температур (которые меньше миллионной доли кельвина).

В таком сильно охлажденном состоянии довольно большое число атомов окажется в своих минимально возможных квантовых состояниях.

При этом на макроскопическом уровне начинают проявляться и квантовые эффекты.

Конденсат Бозе-Эйнштейна теоретически предсказан А. Эйнштейном как вывод из законов квантовой механики на основании работ Бозе в 1925 г. В 1995 г. первый Бозе-конденсат был получен в Колорадо учеными Э. Корнеллом и К. Викманом.

Ученые использовали в своих экспериментах газ из атомов рубидия, предварительно охлажденный до 170 нК. Эту работу удостоили в 2001 г. Нобелевской премией.

Замедление атомов с задействованием охлаждающей аппаратуры позволило ученым получить сингулярное квантовое состояние – конденсат Бозе-Эйнштейна. Результатом усилий ученых концепция Бозе газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна. Данная статистика описывает статистическое распределение бозонов (тождественных частиц с целым спином).

Бозоны могут находиться в одинаковых квант-состояниях друг с другом. Ими являются фотоны (отдельные элементарные частицы) и также целые атомы. Согласно предположению Эйнштейна, охлаждение атомов (бозонов) до крайне низких температур спровоцирует их переход (конденсирование) в самое низкое (из возможных) квантовое состояние. Следствием такой конденсации станет появление новой формы вещества.

Применение квантовой статистики Бозе

Замечание 2

Одним из актуальных применений квантовой статистики Бозе считается теория теплоемкости твердых тел. Тепловые колебания твердых тел описываются в виде возбуждений совокупности осцилляторов, которые соответствуют нормальным колебаниям кристаллической решетки.

Возбужденные состояния системы осцилляторов могут быть описаны подобно идеальному газу определенных квазичастиц (фононов). Эти квазичастицы будут подчиняться квантовой статистике Бозе. На основании данного представления для ученых становится возможным правильное описание поведения твердых тел в условиях низких температур (в частности, сформировать закон теплоемкости Дебая).

Спин фонона принимает нулевое значение в единицах $\bar{h}$. Фононы и процессы их непосредственного взаимодействия с электронами имеют фундаментальное значение для современных представлений о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности и рассеяния в твердых телах.

Модель кристалла металла может быть представлена в качестве совокупности гармонически взаимодействующих осцилляторов, при этом максимально большой вклад в их среднюю энергию обеспечат низкочастотные колебания, соответствующие тем упругим волнам, квантами которых являются фононы.

К наиболее важным приложениям квантовой статистики Бозе ученые относят теорию излучения абсолютно черного тела. Данная теория основывается на представлениях о фотонах, которые являются квантами электромагнитного поля.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kvantovaya_teoriya/kvantovaya_statistika_boze/

Научная электронная библиотека Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Квантовая статистика Бозе

Как мы определили выше, к классу бозонов относятся частицы, для которых не выполняется принцип запрета Паули, имеющих целый спин (или нулевой), с симметричной Ψ-функцией состояния. Из реальных частиц к бозонам относятся некоторые ядра, элементарные частицы: фотоны, пионы (π-мезоны) и др., а также квазичастицы: фононы, экситоны, магноны.

Фундаментальной моделью бозонной термодинамической системы является фотонный газ в абсолютно черном теле. Рассмотрим равновесное состояние такой системы.

В качестве простого примера представим распределение трех бозонов Ni по трем ячейкам Zi с энергией εi. Будем иметь таблицу перестановок бозонов (рис.

39) для расчета термодинамической вероятности i-го состояния wТi, комбинаторно записываемую следующим образом:

(2.7.1)

Рис. 39. Десять перестановок трех бозонов по трем состояниям

Пусть система находится в k-состояниях с энергиями εi (i = 1, 2, …, k), каждое из которых, соответственно, характеризуется вероятностями wT1, wT2, …, wTk.

Тогда термодинамическая вероятность всей системы запишется в виде произведения вероятностей всех состояний . Найдем распределение вероятностей в зависимости от величины энергии каждого состояния.

В равновесии величины WT и lnWT максимальны, поэтому условие равновесия системы можно записать следующим образом:

d(lnWT) = 0. (2.7.2)

Произведем операцию дифференцирования при условии, что количество частиц Ni и состояний Zi велики, поэтому можно использовать формулу Стирлинга для вычисления факториалов больших чисел:

и

Для упрощения записи, при расчетах, единицей пренебрежем по сравнению с числом частиц (2.7.1):

(2.7.3)

При вычислениях, производимых в (2.7.3) было учтено, что дифференциал от постоянных величин Zi и lnZi! равен нулю, так как количество состояний с энергией εi не меняется, а меняется лишь число частиц в ячейках.

Кроме условия равновесия для системы должно выполняться еще два условия: первое, неизменность количества частиц в системе и постоянство величины полной энергии системы: и .

Воспользовавшись далее методом Лагранжа неопределенных множителей α и β, запишем в виде системы уравнений условие равновесия (2.7.3), условия сохранения полного числа частиц и полной энергии следующим образом:

откуда, после суммирования этих трех равенств, имеем:

.

Сумма образовавшегося ряда равна нулю тогда и только тогда, когда при каждой i-й переменной коэффициенты ряда, записанные в квадратной скобке, обращаются в нуль. Поэтому можно записать следующее равенство:

(2.7.4)

Полученная функция характеризует распределение частиц – бозонов по состояниям с энергией ε.

Из принципа соответствия между классическими частицами и микрообъектами, по аналогии с тем, как это было сделано при выводе распределения для фермионов (§6), получим величину неопределенного множителя .

Полная функция распределения по энергиям, как это рассматривалось выше в §6 (2.6.6), должна состоять из распределения состояний по энергиям и распределения частиц по состояниям. Окончательно запишем:

(2.7.5)

Выведенное распределение для частиц с целым ненулевым спином называется распределением Бозе – Эйнштейна. Для бозонов с нулевым спином, число состояний у которых в два раза меньше из-за отсутствия спина, получим еще одно распределение:

(2.7.6)

Равенство (2.7.6) также является распределением Бозе – Эйнштейна.

В качестве примера применим полученное распределение к термодинамической системе, модель которой называют абсолютно черным телом.

В стенках черного тела находятся атомные осцилляторы, излучающие и поглощающие энергию электромагнитного поля порциями – квантами, что послужило Эйнштейну основанием считать «кванты» самостоятельными частицами. Эти частицы, названные позже фотонами, образуют в полости черного тела фотонный газ.

Напрямую применить к этому газу статистику Бозе – Эйнштейна (2.7.6) некорректно, так как масса покоя фотона равна нулю и величина его импульса определяется через полную энергию следующим образом: p = ε/c, где с – скорость распространения света в вакууме.

Поэтому пересмотру подлежит вывод распределения ячеек фазового пространства фотонного газа по энергиям (формула (2.6.6)). Полное число ячеек (с учетом спина фотона), предоставленное системе, запишем следующим образом:

откуда после взятия производной по энергии, получим z(ε):

(2.7.7)

Теперь перейдем к распределению частиц по энергиям, перемножив распределения частиц по состояниям w(ε) (2.6.6) и состояний по энергиям z(ε):

(2.7.8)

Умножая энергию отдельного фотона ε = hv на количество фотонов с той же частотой dN(v) найдем их энергию dE(v) = εdN. После замены переменной энергии на частоту в формуле (2.7.8), получим:

(2.7.9)

Выражение (2.7.9) является формулой Планка для объемной спектральной плотности энергии излучения в спектре абсолютно черного тела (рис. 40), если положить A = 1.

Рис. 40. Вид функции распределения Планка

При объяснении спектра излучения черного тела на основе классических представлений, Рэлей рассчитал спектральную плотность стоячих электромагнитных волн и получил функцию .

Умножая на величину средней энергии стоячей волны , получаем формулу Рэлея для спектра излучения черных тел . Очевидна аналогия с формулой Планка (2.7.9).

Различие заключается в том, что средняя энергия квантового осциллятора не равна kT, а определяется формулой:

(2.7.10)

Вопрос о величине коэффициента А в распределении Бозе –Эйнштейна является не простым вопросом. Как это рассмотрено выше, величина А вычисляется следующим образом: , то есть зависит от отношения коэффициентов Эйнштейна, а поэтому численно может быть не равна единице. Это принципиально отличает статистику бозонов от статистики фермионов.

Явления сверхтекучести и сверхпроводимости связаны как со статистикой фермионов, так и бозонов, поэтому рассмотрим основные физические принципы, лежащие в основе этих явлений.

Явление сверхтекучести вещества было открыто в 1938 г. П. Капицей для смеси изотопов при температуре T ≈ 2 K. Часть жидкости легко, не образуя капель и разрывов, как единое целое проходила через капилляры без вязкого трения. Простейший эксперимент, демонстрирующий связанное состояние жидкости, представим следующим образом.

Если из сосуда начать под наклоном выливать эту жидкость, то, вернув сосуд в вертикальное состояние, можно наблюдать, как жидкость продолжает вытекать, вытягивая из сосуда остальную часть жидкости. Упрощенную механическую модель связанного состояния жидкости легко предложить, если в качестве вещества избрать длинную металлическую цепочку, поместив ее в сосуд.

Свесившийся конец цепочки вытянет всю остальную часть цепочки.

Рассмотрим эксперимент с точки зрения статистики бозонов. Анализируя функцию распределения (1.9.4), можно допустить, что величина константы А становится меньше единицы, а , которая всегда положительна, при низких температурах стремится к единице. Тогда возможна ситуация при которой произведение будет меньше единицы.

В этом случае производные и становятся отрицательными, но так как количество ячеек в фазовом пространстве dZ и интервал энергии dε положительны, приходится констатировать, что dN < 0.

Тогда и , а это означает, что некоторая доля частиц бозонного газа перестала быть объектом статистики, нарушилась гипотеза элементарного беспорядка, появилось упорядоченное состояние.

Другими словами, при определенных условиях произошел фазовый переход, и некоторая доля бозонов перестала подчиняться законам хаотического движения, стала двигаться согласованно, то есть конденсировалась в общее связанное состояние. Говорят, что образовался «бозе-конденсат».

Явление сверхпроводимости было открыто Камерлинг-Оннесом в1911году и заключалось в том, что при температуре около 4 К удельное сопротивление проводника (в опытах Камерлинг-Оннеса это была ртуть) становилось равным нулю.

Классическая физика не могла найти объяснения этому явлению и только после создания квантовой электродинамики, открытия сверхтекучести вещества и анализа статистики бозонов и фермионов Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ) было найдено решение проблемы.

Сложность применения фермионной статистики электронного газа, определяющего проводимость металлов, к объяснению явления сверхпроводимости по аналогии со сверхтекучестью наличием конденсированного состояния частиц, оказалось неправомерным. Действительно, в статистике Ферми-Дирака (формулы (2.6.7) и (2.6.

14)), производные и не могут быть отрицательными ни при каких условиях из-за отсутствия минуса перед единицей, стоящей в знаменателе функции распределения. Конденсироваться в какое-либо одно состояние электроны не могут, так как частицы с полуцелым спином подчиняются принципу запрета Паули.

Первым шагом в теории БКШ было использование условия квантования поля в применении к твердому телу, как к сплошной среде.

Так же как электромагнитная волна может быть представлена в виде потока движущихся фотонов, распространение возмущения в сплошной среде представляющее собой волновой процесс (звуковые волны), можно «проквантовать», то есть представить в виде движущихся частиц. Эти частицы были названы фононами (фонос (греч.) – звук), в отличии от фотонов (фотос (греч.) – свет).

Еще одной особенностью фононов является невозможность их самостоятельного существования в отрыве от среды. Такие объекты названы квазичастицами. Хаотические колебания ионов в узлах кристаллической решетки металлов создают хаос в движении фононов и можно говорить о фононном газе, который, как и фотонный газ, подчиняется бозонной статистике.

При низких температурах амплитуды колебаний ослабляются, и некоторые ионы могут попадать в своеобразный резонанс, то есть могут начать колебаться согласованно.

Эта ситуация похожа на согласованное резонансное движение некоторых математических маятников на одной струне, когда по ней распространяются колебания, идущие от одного из маятников, как от источника.

Взаимодействие ионов с электронами на квантовом языке представляется как электрон-фононное взаимодействие. Низкие температуры обуславливают передачу согласованных колебаний ионов электронам с помощью фононов. При этом энергетические состояния электронов также согласуются.

Но, согласованные состояния электронов возможны только в том случае, когда у них отличается хотя бы одно квантовое число. В результате, связанными оказываются два электрона с различными спинами.

Образовавшаяся пара связанных электронов, названная «куперовской парой» обладает суммарным спином, равным нулю, то есть может служить объектом бозонной статистики, для которой не работает принцип Паули. Образуется бозе-конденсат, состоящий из куперовских пар.

Под действием внешнего поля куперовские пары образуют направленное движение зарядов, то есть электрический ток в сверхпроводнике. Итак, сверхпроводимость это сверхтекучесть куперовских пар.

В 1986 г. Беднорц и Мюллер обнаружили способность керамики на основе оксидов меди, лантана и бария (La2-xBaxCuO4) переходить в сверхпроводящее состояние при 30 К.

Важнейшей чертой открытия высокотемпературных сверхпроводников можно назвать то, что сверхпроводимость была обнаружена не у традиционных интерметаллидов, органических или полимерных структур, а у оксидной керамики, обычно проявляющей диэлектрические и полупроводниковые свойства.

Это позволило в течение короткого времени создать почти одновременно в США, Японии, Китае и России новые, более совершенные поколения структур металлоксидных сверхпроводников.

В феврале 1987 г. была синтезирована сверхпроводящая керамика из оксидов бария, иттрия и меди YBa2Cu3O7-x с критической температурой 93 К, то есть выше точки кипения жидкого азота. В 1988г. синтезирована серия соединений Bi2Sr2Can-1CunO2n + 4, среди которых фаза с n = 3 имеет Tc = 108 K.

Приблизительно в это же время получен сверхпроводник Ti2Ba2Ca2Cu3O10 c Tc = 125 K. В 1993 г. Антипов, Путилин и др. открыли ряд ртутьсодержащих сверхпроводников.

В настоящее время фаза HgBa2Ca2Cu3O8+d имеет наибольшее известное значение критической температуры (135 К), причем при внешнем давлении 350 тысяч атмосфер температура перехода в сверхпроводящее состояние возрастает до 164 К.

Источник: https://monographies.ru/ru/book/section?id=11215

БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА

Квантовая статистика Бозе

  НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

Расстановка ударений: БОЗЕ`-ЭЙНШТЕ`ЙНА СТАТИ`СТИКА

БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА, Бозе статистика, — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с целым спином (0, 1, 2,… в единицах ħ = 1, 05 ⋅ 10- 27 эрг ⋅ сек). Предложена Ш. Бозе (S. Bose) и А. Эйнштейном (A. Einstein) в 1924.

Согласно этой статистике, в каждом квантовом состоянии может находиться произвольное число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал, что тип квантовой статистики однозначно связан со спином частиц, так как совокупности частиц с целым спином подчиняются Б.-Э.

с, а с полуцелым спином — Ферми-Дирака статистике.

Состояние системы многих частиц в квантовой механике определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц может быть либо симметричной по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметричной (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Б.-Э. с, состояния описываются симметричными волновыми функциями, что является другой, эквивалентной формулировкой Б.-Э. с. Системы из большого числа частиц, подчиняющихся Б.-Э. с, наз. системами Бозе, например газом Бозе.

Для идеального квантового газа, т. е. для системы тождественных частиц с массой m без взаимодействия, находящихся в кубе объема V = L3, квантовые одночастичные уровни энергии равны

εp = р2 /2m,

где р — собственные значения импульса отдельной частицы: р = 2π ħ n/L, n — вектор с целочисленными (положительными, отрицательными или равными нулю) компонентами.

Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней {np}, где каждое np указывает число частиц в одночастичном состоянии р. Для систем Бозе np = 0, 1, 2,….

Для больших систем уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при V → ∞. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим Gi уровней в ячейке.

Каждой ячейке соответствует средняя энергия εi, число предполагается очень большим. Состояние системы определяется набором {Ni}, где Ni есть сумма np по уровням ячейки. Статистический вес, т. е.

число различных распределений частиц по ячейкам, равен

(1)

и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, характеризуемым числами заполнения n1, n2 .

Наиболее вероятное распределение, соответствующее заданной энергии Е и числу частиц N:

(2)

находится из экстремума (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны

(3)

где р — химич. потенциал β = 1/kТ, k — постоянная Больцмана (универсальная постоянная k = 1, 38 ⋅ 10- 16 эрг/град), Т — абсолютная температура. Величины β и μ находятся из условий (2).

Энтропия системы определяется логарифмом статистич. веса (1) для наиболее вероятного распределения (3):

(4)

По энтропии и средней энергии можно найти и другие термодинамич. функции.

Общий подход к Б.-Э. с. состоит в применении большого канонич. Гиббса распределения для вероятности wn заполнения квантового уровня n всей системы

(5)

где

(6)

— статистич. сумма, Еn — уровни энергии всей системы. Напр., для идеального газа Бозе

и из (5), (6) может быть получена для чисел заполнения формула (3), а для энтропии — формула (4) без использования комбинаторики. Такой подход особенно важен для неидеальных систем Бозе, когда применение Б.-Э. с. не сводится к простой комбинаторной задаче.

В этом случае требования Б.-Э. с. могут быть удовлетворены, если для оператора Гамильтона Н использовать представление вторичного квантования, в к-ром его действие определено в пространстве симметрических волновых функций, или в пространстве чисел заполнения.

Тогда статистич. сумма равна

где N — оператор числа частиц, и с ее помощью можно найти все термодинамич. функции системы Бозе.

Лит. : [1] Хуанг К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966; [2] Кубо Р., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1967; [3] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 2 изд., М., 1964; [4] Шредингер Э., Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1948; [5] Боголюбов Н. Н., Лекции по квантовой статистике, в кн. : Избр. тр., т. 2, К., 1970.

Д. Н. Зубарев.

Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Источник: http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000545/index.shtml

Статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Квантовая статистика Бозе

Одним из важнейших объектов изучения, как и классической физики, является идеальный газ, поскольку реальную систему можно считать идеальным газом в достаточно хорошем приближении.

Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью Ni чисел заполнения, характеризующих степень заполнения квантового состояния, характеризуемого данным набором i квантовых чисел, частицами системы, состоящей из множества тождественных частиц.

При рассмотрении принципа Паули, мы уже говорили о принципе неразличимости тождественных частиц. Рассмотрим случай двух тождественных частиц с точки зрения уравнения Шредингера. Из самого понятия тождественности следует, что волновая функция должна удовлетворять одному и тому же уравнению Шредингера при перемене частиц местами (при этом не изменяется также и собственное значение энергии):

(2.42)

Гамильтониан энергии представляет собой эрмитову матрицу. Напомним, что квадратную — матрицу называют эрмитовой или самосопряженной, если каждый из ее элементов комплексно сопряжен элементу, симметричному данному относительно главной диагонали; иначе говоря, матрица А эрмитова, если:

Отсюда вытекает свойство самосопряженности эрмитовой матрицы: эрмитова матрица тождественно равна своей эрмитово сопряженной, и наоборот. Например, все следующие матрицы:

являются эрмитовыми (самосопряженными). Ввиду эрмитовости гамильтониана в случае отсутствия вырождения по энергии (при данном Е) можно заключить, что:

(2.33)

однако

Отсюда следует, что

(2.34)

Имеем две возможности:

, тогда — симметричная волновая функция

, тогда — антисимметричная функция (2.35)

Когда собственное значение Е вырождено, равенство (2.33) может и не выполняться. В этом случае, однако, вместо базисных функций можно взять их линейные комбинации:

либо — симметричная (по координатам тождественных частиц) комбинация;

либо — антисимметричная (по координатам тождественных частиц) комбинация.

Общими выводами из проведенных рассуждений является:

· волновую функцию системы, состоящей из двух тождественных частиц, всегда можно выбрать симметричной либо антисимметричной относительно операции перестановки этих частиц.

· если волновая функция в начальный момент времени является симметричной (антисимметричной), то в любой другой момент времени эта функция сохраняет свои свойства симметрии.

Как мы уже говорили, Паули показал, что частицы, описываемые антисимметричными волновыми функциями, имею полуцелый спин, частицы, описываемые симметричными волновыми функциями – целый (или нулевой) спин. Исключения из этого правила неизвестны.

Опыт показывает, что симметрия или антисимметрия ПСИ-функции определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса:

· частицы с дробным спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями являются фермионами.

· частицы с нулевым или целым спином описываются симметричными волновыми функциями — бозоны.

Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые значения: Для системы частиц, образованных фермионами, числа заполнения могут принимать лишь два значения: «0» — для свободных состояний и «1» — для занятых.

Это не что иное, как принцип Паули в новом выражении — . Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е.

определить средние числа заполнения — .

Идеальный газ из бозонов (бозе-газ) описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает избольшого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов данном квантовом состоянии может быть любым:

Это- распределение Бозе-Эйнштейна. -среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei ; k — постоянная Больцмана, Т — температура, m — химический потенциал (определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия, фиксированы).

Идеальный газ из фермионов (ферми – газ) описывается статистикой Ферми-Дирака:

Если , то распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана :

т.о., при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу. Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Параметром вырождения называется величина А, при А

Источник: https://megaobuchalka.ru/3/19857.html

Квантовые статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми –Дирака

Квантовая статистика Бозе

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в ко­торой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывает­ся на принципе неразличимости тождест­венных частиц. При этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статис­тикам.

Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное про­странство всех координат и импульсов частиц системы.

Каждой точке такого пространства соответствует 6N чисел, так как состояние каждой частицы определяет­ся тройкой координат х, у, z и тройкой соответствующих проекций импульса px, py, pz. Соответственно число «взаимно перпендикулярных» координатных осей данного пространства равно 6N.

Подоб­ное 6N-мерное пространство называется фазовым пространством. Каждому микро­состоянию системы отвечает точка в 6N-мерном фазовом пространстве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и импульсов всех частиц системы.

Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные эле­ментарные ячейки объемом dq dp = dq1 dq2 . . . dq3Ndpldp2. . . dp3N, где q — со­вокупность координат всех частиц, р — со­вокупность проекций их импульсов.

Кор­пускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества и соотноше­ние неопределенностей Гейзенберга приводят к выводу, что объем эле­ментарной ячейки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h3 (h — постоянная Планка). Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f(q, р):

dW = f (q,p) dq dp. (1)

Здесь dW —вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dq dp, расположенного вблизи данной точки q, р. Иными сло­вами, dW представляет собой вероят­ность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале q, q + dq и р, р + dp.

Согласно формуле ( 1 ), функция рас­пределения есть не что иное, как плот­ность вероятности определенного состоя­ния системы. Поэтому она должна быть, нормирована на единицу:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения f (q, р), можно решить основную задачу кванто­вой статистики — определить средние зна­чения величин, характеризующих рас­сматриваемую систему. Среднее значение любой функции

(2)

Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы характе­ризуется не непрерывной, а дискретной функцией распределения.

Явное выражение функции распределе­ния в самом общем виде получил амери­канский физик Д. Гиббс (1839— 1903). Оно называется каноническим распределением Гиббса. В квантовой статистике канони­ческое распределение Гиббса имеет вид

(3)

где А — постоянная, определяемая из усло­вия нормировки к единице, и — совокуп­ность всех квантовых чисел, характери­зующих данное состояние. Подчеркнем, что есть именно вероятность данного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии , так как данной энергии может соответствовать не одно, а несколь­ко различных состояний (может иметь место вырождение).

Одним из важнейших объектов изуче­ния квантовой статистики, как и класси­ческой, является идеальный газ. Это свя­зано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом.

Состояние системы невзаимодействую­щих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения n —чисел, указывающих степень заполнения кванто­вого состояния, характеризуемого данным набором i квантовых чисел, частицами системы, состоящей из многих тождест­венных частиц.

Для систем частиц, обра­зованных бозонами — частицами с нуле­вым или целым спином , числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2,… . Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином , числа заполнения могут при­нимать лишь два значения: О—для сво­бодных состояний и 1 — для занятых.

Сумма всех чисел заполне­ния должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения .

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бо­зе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемо­го большого канонического распределе­ния Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

(4)

Это распределение называется распреде­лением Бозе — Эйнштейна.

Здесь — среднее число бозонов в квантовом состоя­нии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая температу­ра, μ — химический потенциал.

Он опре­деляет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутрен­няя энергия, фиксированы.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака . Распределение фер­мионов по энергиям имеет вид

(5)

где — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei, μ — химический потенциал. Это распределение называется распределением Ферми — Ди­рака.

Если , то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Ди­рака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

(6)

где (7)

Таким образом, при высоких температу­рах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожден­ной, если ее свойства существенным об­разом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами.

Вырож­дение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения на­зывается величина А. При , т.е.

при малой степени вырождения, распре­деления Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака ( 4 ) переходят в класси­ческое распределение Максвелла — Больцмана .

Температурой вырождения То назы­вается температура, ниже которой отчет­ливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождест­венностью частиц, т.е. То— температура, при которой вырождение становится су­щественным. Если Т » То, то поведение системы частиц (газа) описывается клас­сически.

Предыдущая87888990919293949596979899100101102Следующая

Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 1694; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/4-76761.html

Booksm
Добавить комментарий