Квантовая статистическая физика

Элементы квантовой статистики

Квантовая статистическая физика

Таблица элементов, предложенная Д. И. Менделеевым (1869г) на основе их химических свойств, с открытием электронного строения атомов полностью объясняется электронной конфигурацией атомов.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ.

В системах, состоящих из очень большого числа частиц (газы, потоки света, электронное облако в металлах), невозможно проследить за движением одной частицы, тем более с учетом двойственной корпускулярно-волновой природы всех частиц. В таких случаях применяют статистические методы, вводя средние значения характеристик частиц и параметры, которые свойственны не отдельным частицам, а ансамблю частиц в целом.

В любой статистике основным законом является вероятностный закон распределения частиц по энергиям. Если обозначить энергию частицы как E, а

вероятность того, что частица имеет такую энергию как f, то должна быть известна функция распределения, т. е. зависимость f (E). [xviii] Зная эту зависимость, можно найти число частиц с энергиями в заданном интервале и вычислить, например, теплоемкость, электрическую проводимость и др. свойства вещества.

В нашем курсе мы не можем рассматривать вывод функций распределения, укажем только, что существует классическая статистика Максвелла-Больцмана и две квантовые статистики

В классической статистике частицы считаются различимыми друг от друга [xix] В квантовой механике считается, что однотипные частицы, например, электроны, имеют совершенно одинаковые свойства – массу, электрический заряд, спин и считаются неразличимыми.

Одни квантовые частицы имеют целые спины — их называют бозонами, поведение бозонов описывается симметричными пси-функциями, а статистику называют статистикой Бозе-Эйнштейна.

Другие квантовые частицы имеют полуцелые спины, их называют фермионами, поведение их описывается антисимметричными пси-функциями, а статистика называется статистикой Ферми-Дирака. [xx] Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны – нет.

1) Классическая статистика Максвелла – Больцмана. Она применяется в молекулярно-кинетической теории к молекулам газа. Закон распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) имеет вид:

f — вероятность того, что частица имеетэнергию E,k – постоянная Больцмана,T – абсолютная температура
График f (E) приведен на рис. А – некоторая константа(А = f при E = 0). Из графика и формулы следует, что классическая частица может иметь любую энергию, хотя и с разной вероятностью.

2) Квантовая статистика Бозе – Эйнштейна. Описывает поведение бозонов — частиц с целым или нулевым спином. Например, атом водорода состоит из электрона и протона, имеющих полуцелые спины.

Но спины могут быть либо параллельными, либо антипараллельными, поэтому атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном. Ядро атома гелия-4 (альфа-частица) – тоже бозон, т. к. состоит из 2-х протонов и 2-х нейтронов. Сам атом гелия-4 тоже бозон, т. к. у него два электрона.

Но ядро атома гелия-3, состоящее из двух протонов и одного нейтрона не является бозоном. К бозонам относятся также фотоны и мезоны.

распределение Бозе-Эйнштейна; f — вероятность того, что частица имеет энергию E,k – постоянная Больцмана,T – абсолютная температура,m — некоторый параметр распределения.

Бозоны не подчиняются принципу Паули, т. е. данное значение энергии могут иметь многие бозоны в системе.

Сверхтекучесть.

В 1938 г П. Л.Капица открыл явление сверхтекучести гелия. Гелий уникален тем, что даже при самых низких температурах он не затвердевает, оставаясь жидким.

В области температур от 4,2 К до 2,18 К (l — точка) гелий ведет себя как обычная жидкость, и в этой области температур его называют гелий-I. Ниже l — точки гелий становится сверхтекучим, и его называют гелий II.

Одно из свойств сверхтекучего гелия является способность проводить тепло без каких-либо потерь. Если подвести тепло к какой-либо точке жидкого гелия при температуре выше l — точки, жидкость закипит, бурно выделяя пузырьки.

Если, продолжая подводить тепло к этой точке, охладить гелий до l — точки, кипение прекращается, потому, что тепло мгновенно распространяется по всему образцу, и вся жидкость сразу же приобретает одну и ту же температуру.

В сверхтекучем гелии отсутствует вязкость, он беспрепятственно протекает через самые узкие капилляры, которые не пропускают не только обычные жидкости, но и гелий-I.

При температурах ниже 1 К весь гелий переходит в сверхтекучее состояние.

Объяснить сверхтекучесть гелия можно только на квантовомеханическом уровне. Атом гелия имеет нулевой спин, т. е. является бозоном и, следовательно, не подчиняется принципу Паули.

При понижении температуры энергия атома гелия понижается, и при достаточно низкой температуре все атомы оказываются в наинизшем возможном энергетическом состоянии. Но если все атомы имеют одну и ту же энергию, то они имеют и одну волновую функцию.

Таким образом, атомы сверхтекучего гелия действуют согласованно, как единое целое. Поэтому когда мы прикладываем тепло в одной точке жидкого гелия, мы передаем ее сразу всему образцу. Между атомами невозможен обмен энергией, т. к.у всех она одна и та же – наинизшая.

Энтропия сверхтекучего гелия равна нулю. Фермион только один может иметь данную энергию, или два, но с разнонаправленными спинами, поэтому гелий-3, является фермионом, не обладает сверхтекучестью.

Сверхпроводимость.

В 1911 г. Камерлинг-Оннес обнаружил, что при температуре 7,2 К сопротивление свинца внезапно становится равным нулю.

(см. рис.), и свинец становится сверхпровдником. В одном из опытов в образце был наведен ток несколько сотен ампер, через год ток не изменился. В настоящее время известны более тысячи веществ, которые при различных низких температурах становятся сверхпроводниками. Очень важно, чтобы вещество было чистым, без посторонних примесей.

Квантовая теория сверхпроводимости был разработана Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ). Как и сверхтекучесть, сверхпроводимость наблюдается для частиц, которые являются бозонами, т. е. имеющими нулевой или целый спин.

В сверхпроводнике при некоторых условиях электроны проводимости объединяются попарно, при этом у них противоположно направлены спины, и они становятся бозонами. Эти пары неустойчивы, они легко разрушаются под действием тепловых колебаний, и могут существовать только при очень низких температурах.

При некоторой критической температуре все пары-бозоны оказываются в наинизшем энергетическом состоянии и имеют одну и ту же волновую функцию. Ни одна из пар не может изменить своего состояния, т. к. у всех оно одно и то же.

Поэтому при приложении внешнего поля попарные электроны действуют как единый коллектив, движутся все вместе, не теряя энергии и не встречая сопротивления.

Использование сверхпроводников в технике и для научных исследований имеют большие перспективы, т. к. при этом снижаются до минимума потери на джоулево тепло. Но пока они не получили широкого распространения из-за целого ряда трудностей.

Например, создание поезда на магнитной подушке, который мог бы двигаться со скоростью 500 км/ч, требует огромных затрат, дорога должна быть прямой, неясно влияние сильных магнитных полей на пассажиров, содержание такой дороги стоит больше, чем содержание авиации.

При передаче электроэнергии на большие расстояния выгоднее использовать переменный ток, тогда как сверхпроводники работают на постоянном токе. Многие трудности были бы преодолены, если бы удалось создать сверхпроводник

при более высоких температурах, в идеале – при комнатной температуре. Во всем мире идут поиски таких материалов, но пока максимальная температура 125 К.

3)Квантовая статистика Ферми-Дирака. Описывает поведение фермионов –частиц с полуцелым спином. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, ядра атома гелия-3.

Мы будем рассматривать распределение Ферми-Дирака (ФД) только в применении к свободным электронам в металле.

Основное отличие статистики ФД в том, что данное значение энергии может иметь только один электрон.

Закон распределения частиц по энергиям в статистике ФД имеет вид:

распределение Ферми-Дирака, f — вероятность того, что частица имеет энергию E,k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура,

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/elementy-kvantovoj-statistiki

Квантовая статистическая физика

Квантовая статистическая физика

Решающее значение для статистического метода в квантовой физике принадлежит характеру волновой функции. Она является определяющей не в отношении величин физических параметров, а вероятностного закона их распределения.

Это, в свою очередь, подразумевает выполнение основного условия статистической физики, а именно — задания вероятностного распределения, наличие которого считается обязательным условием активного распространения статистического подхода на всю область квантовой физики.

Рисунок 1. Квантовые статистические распределения микрочастиц. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Квантовый статистический подход успешно сочетает в себе представления относительно природы объектов с измерительным механизмом их признаков. В рамках классической физики значение параметра считается определенным. В квантовой физике любой параметр обладает вероятностным характером, по этой причине полное знание о нем предусматривает ряд практических опытов, невозможных без статистики.

Роль квантовой статистики в физике

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 1

Квантовая статистика представляет раздел статистической механики, в котором n-частичные квантовые системы описаны с позиции метода статистических операторов комплексов частиц (благодаря редуцированным матрицам плотности).

Количество частиц n может оказаться произвольным натуральным (конечным) числом или, возможно, бесконечностью.

В более узконаправленном смысле под квантовой статистикой подразумевают статистику Бозе-Эйнштейна и также Ферми-Дирака.

Рисунок 2. Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Наряду с развитием квантовой и волновой и механики активно развивалась и вторая составная часть квантовой теории, получившая название квантовой статистики или статистической физики квантовых систем, которые являются состоящими из множества частиц. Основываясь на классические законы движения отдельных частиц, появилась теория поведения их совокупности под названием «классическая статистика».

Аналогично этому была разработана квантовая статистика (на основании квантовых законов движения частиц), главным направлением которой считалось поведение макрообъектов в случаях неприменимости законов классической механики при описании движения микрочастиц, их составляющих (проявление квантовых свойств наблюдается в макрообъектах).

Квантовую систему при этом невозможно рассматривать с точки зрения совокупности частиц, способных сохранять свою индивидуальность. Другими словами, квантовая статистика предполагает отказ от представления о различимости частиц (принцип тождественности). В атомной физике тождественными считались две частицы одной природы. При этом такая тождественность не признавалась как абсолютная.

Замечание 1

В квантовой статистике отсутствует возможность различать две частицы одинаковой природы. Основным принципом квантовой статистики считается то, что два состояния системы, отличающиеся друг от друга только перестановкой двух частиц одинаковой природы, являются тождественными и неразличимыми.

Таким образом, главным в квантовой статистической физике выступает принцип тождественности одинаковых частиц, включенных в квантовую систему. Этим квантовые системы отличны от классических систем.

В квантовой статистике важная роль принадлежит открытиям ученых:

  • Бозе и Эйнштейна (квантовая статистика Бозе-Эйнштейна);
  • Ферми и Дирака (квантовая статистика Ферми-Дирака).

Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна

Пример 1

В качестве одного из главнейших «объектов» в изучении квантовой статистики (и также классической), выступает идеальный газ. Состояние системы частиц, не взаимодействующих друг другом, задается посредством так называемых чисел заполнения (указывающих степень заполнения квантового состояния).

Рисунок 3. Функция распределения для вырожденного газа бозонов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для систем образованных фермионами частиц числа заполнения способны принимать только два значения: нулевое (для свободных состояний) и единичное (для занятых). Сумма всех чисел заполнения должна быть равнозначной количеству частиц системы. Квантовая статистика делает возможными подсчеты среднего количества частиц в данном квантовом состоянии (вычислить средние числа заполнения).

Идеальный газ из бозонов (называемый бозе-газом) описывается в квантовой статистике Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов согласно энергиям вытекает из канонического распределения Гиббса (с присутствием переменного числа частиц) при условии, что в конкретном квантовом состоянии число тождественных бозонов может быть любым. Данное распределение получило название Бозе-Эйнштейна.

Квантовая статистика Ферми-Дирака

В статистической физике статистика Ферми-Дирака представляет квантовую статистику, применяемую в отношении систем тождественных фермионов (зачастую, — , частиц с полуцелым спином, в отношении которых действует принцип запрета Паули). Иными словами, в ее задачи входит определение распределения вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, пребывающей в термодинамическом равновесии.

Она была предложена в 1926 Э. Ферми и П. Дираком, которому удалось выяснить ее квантово-механический смысл, также она позволяет определить вероятность, с которой фермион займет данный энергетический уровень.

Публикация работ вышеуказанных физиков появилась в 1926 году, а уже в следующем году ее принципы активно применил в своих исследованиях ученый А. Зоммерфельд в отношении электронов в металле.

Рисунок 4. Статистика Ферми-Дирака. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таким образом, статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна активно используются в случае необходимости учета квантовых эффектов (в ситуации обладания частицами «неразличимостью».

Квантовая концентрация представляет определенную концентрацию, расстояние между частицами при которой оказывается соразмерным длине волны де Бройля. То есть, это происходит в ситуации, когда волновые функции частиц будут соприкасаемыми, однако при этом они не перекрываются.

Квантовая концентрация зависима от температуры. Разделяют следующие принципы вышеуказанных статистик:

  • статистика Ферми-Дирака применима в отношении фермионов (частиц, на которые оказывает непосредственное воздействие принцип Паули);
  • статистика Бозе-Эйнштейна применима к бозонам.

Оба данных распределения при высоких температурах становятся распределением Максвелла-Больцмана.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/osnovy_statisticheskoy_fiziki/kvantovaya_statisticheskaya_fizika/

Booksm
Добавить комментарий