Кинематика вращательного движения

Кинематика вращательного движения

Кинематика вращательного движения

При поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения. Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Вращательное движение тела нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Различают следующие виды вращательного движения: вращение вокруг неподвижной оси, вращение вокруг свободных осей, вращение вокруг неподвижной точки – полюса (гироскопы, волчки), плоское движение (качение шара, цилиндра по горизонтальной поверхности).

Будем рассматривать только вращение тела вокруг неподвижной оси. В этом случае ось вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

Вращение твердого тела описывается углом поворота φ(t), на который повернулось тело за время t.

Угловая скорость wвекторная величина, характеризующая быстроту вращения тела, которая равна производной от угла поворота тела j по времени t:

,

.где dj – угол поворота тела за малое время dt.

Угловая скорость является псевдовектором. Вектор угловой скорости может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси, так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1).

Рис. 1.

Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω = const, то вращательное движение называется равномерным.

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов n и периодом вращения T.

Частота оборотов nравна числу оборотов, сделанных за единицувремени,

.где N– число оборотов за время t.

Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2p, то

j= 2p×N и w= 2p×n

Период вращения T это время, за которое тело совершает один оборот.

Т.к.

, то

, .

[ω] = рад/с , [n] = об/с , [T] = с

Уравнение равномерного вращения имеет вид

φ = φ0 + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота

φ0 = 0, φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела

ω = φ /t

можно выразить и так: ω = 2π /T,

.где: T – период вращения тела;

φ = 2π – угол поворота за один период.

Неравномерное вращение

Неравномерное вращение (угловая скорость изменяется со временем) характеризуется угловым ускорением e.

Угловое ускорение 1 — вектор, равный производной от угловой скорости w по времени t ,

.где dω – изменение угловой скорости за время dt.

[e ]=

Векторы и направлены по оси вращения тела. При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны (рис. 2).

Рис. 2

Равнопеременное вращение

Если угловое ускорение ε = const, то вращательное движение называется равнопеременным. Равнопеременное вращение характеризуется следующими уравнениями:

и w = w0 + et,

w 0 и j 0 – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент t0 = 0,

w и j – в момент времени t. При ускоренном вращении в этих уравнениях выбирается знак «+», а при замедленном – знак «–».

Связь линейных и угловых характеристик

Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии r, то за время dt она проходит путь

dS = dj×r

Скорость точки

, или v = w×r

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки

, или

at=e×r

Нормальное ускорение точки тела

, или

/an=w 2×r

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

Момент инерции

Момент инерции — скалярная величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно этой оси. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Момент инерции элементарной (точечной) массы mi, отстоящей от оси на расстоянии ri, равен:

Ii = mi ri2

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

mi — масса i-й точки,

ri — расстояние от i-й точки до оси.

где:

— масса малого элемента объёма тела ,

— плотность,

— расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело Описание Положение оси a Момент инерции Ja
Материальная точка массы m На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m Ось цилиндра
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m Ось цилиндра
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 Ось цилиндра
Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m Ось проходит через центр сферы
Шар радиуса r и массы m Ось проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

J = Jc + ma2.

Рис. 3

где — полная масса тела (рис. 3).

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

.

Момент силы

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают момент силы относительно центра (точки — полюса) и относительно оси.

Если имеется материальная точка О, к которой приложена сила , то момент силы относительно этой точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точку О и точку приложения силы, на вектор силы :

., (Н•м).

Момент силыаксиальный вектор[4]. Он направлен вдоль оси вращения.
Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M (рис.4).

Рис. 4

Модуль момента силы:

M =F•l =F•r•sin α,

где: M – момент силы (Ньютонметр),

F – приложенная сила,

/r – расстояние от центра вращения до места приложения силы,

.l = r .sin α – плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы,

α — угол, между вектором силы F и вектором положения r.

Момент силы относительно оси величина алгебраическая, равная проекции на эту ось вектора Ммомента силы относительно любой точки О оси.

Пользуясь понятием момента силы можно по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси. Это условие называется правилом моментов:

если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю:

М1 + М2 + … + Мn = 0.

Считают момент силы положительным, если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным в противоположном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, согласно рис.5, силам F1 и F2 следует приписать положительный момент, а силе F3— отрицательный.

Рис. 5.

Момент импульса

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси.

Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Моментом импульса L материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса p (рис. 6):

(Дж•с),

где r – радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p – импульс частицы.

Рис.6.

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси z, представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела Lz относительно этой оси (Lz – скалярная величина).

Суммирование производим по всем элементарным массам mi(имеющим линейную скорость vi и радиус вращения ri), на которые разбивается тело. Так как vi=ωri, где ω — угловая скорость вращения тела, а I=∑miri2 — момент инерции тела относительно данной оси, тогда момент импульса тела относительно оси z равен:

Lz = ∑ mi vi ri = ∑ ω mi ri2 = ω ∑ mi ri2 = Iz ω .

В случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, векторы L и ω имеют одинаковое направление и тогда:

= I.(1)

Продифференцируем выражение (1) по времени:

.dLz / dt = Iz dω / dt = Iz e = Mz,

В итоге:

Lz / dt = dMz (2)

Таким образом, производная по времени от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси:

dL/ dt = M (3)

Из уравнения (3) видно, что если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.

Если M = 0, то: dL/dt = 0 ⇒ L = const. (4)

Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса:

момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.



Источник: https://infopedia.su/2x2805.html

�.�. ���������

Кинематика вращательного движения
      ��� ��� ����������, ������������ ��������� ��������� �������� ���� ������ ����������� ��� ���������� ����� ��� ��������, ��� ������� ��� ����� ���� �������� � ����������, ���������������� � ����������� ������, ���������� ���� ��������, � ��������� ����������, ������ ������� ����� �� ���� ���.

      ���������� ������� ����, ������� ��������� ������ ����������� ��� (���. 1.6). ����� ��������� ����� ����� ���� ����� ��������� ���������� ������ ��������, ������ ������� ����� �� ��� ��������. ����� ��������� ����� �������� �� ���������� ������� R.

�� ��������� ����� ���������� ������� Δt ������� ����� Δφ.

      ������� ��������� �������� ���������� ������, �������� ������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� ������� � ������������ ����� ��� �������� �� ������� ������� �����:

                                                                                   (1.18)

      ������� ��������� ������� �������� ������ � ������� (���/�).

      ����� �������, ������ ω ���������� ����������� � �������� ��������. ���� ω=const, �� �������� ���������� �����������.

      ������� �������� ����� ���� ������� � �������� ��������� υ ������������ ����� . ����� �� ����� Δt ����� �������� �� ���� ���������� ����� ���� Δs. ����� �������� �������� ����� ����� �����:

                   (1.19)

      ��� ����������� �������� ��� ����� ���������������� �������� �������� � ��������, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π:
      ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� �������� �� ����������, � ������� ������� ���������� �������� ��������:
������
      ��� �������������� �������������� �������� ���� �������� ������� �������� ���������. ������� ���������� ���������� ��������� ��������, ������ ������ ����������� ������� �������� �� �������:

                                                                                                             (1.20)

      ��� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ �������� ��������� ��������� ����� ��� �������� � ������� ������� ������� �������� (���. 1.7); ��� ���������� �������� ������ ε ��������� � �� �� �������, ��� � ω (dω/dt > 0), � � ��������������� ������� ��� ����������� �������� (dω/dt < 0).

      ������� �������������� � ���������� ������������ ��������� ����� A ������������ ���� ����� ������� �������� � ������� ���������:

                   (1.21)

                                           (1.22)

      � ������ ���������������� �������� ����� �� ���������� (ε=const):
��� ω0 — ��������� ������� ��������.       �������������� � ������������ �������� �������� ���� �������� ���� ����������� ������ ��� ��������. � ����� ������ �������� �������� ���� ����� ���� ������ �������. ������ � ������������� �������� ������������, ��� ����� ������� �������� �������� ���� ����� ����������� ��� ������������ ��������������� � ������������� ��������.       �������������� ��������� ��������������� � ������������� �������� ������� � ����. 1.1.

������� 1.1

       ������� ������

  • ����� ������, ������� ������� �������������� ������������� �������� � �������, ���������� ��� ���������� ��� ��������, ���������� ���������. ������������ �������� (�������� �������-�������) ������� ������ �������� ���������������� ���, �������� ������� ���� �� ��������� �� ��������� ����� � �������.
  • ���������� � ������ ��������, ��������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ������������ ������, �������� ��� �������� �����������.
  • � �������� ��� �������� �������� ��� � ����������� �� ������� ���������� ����� ������������ ��������� ���������� ������: ������������ �����, ��������� ������� ����, ��������� ������� ����, ��������� ��������� ����.
  • �������� ��� ���������� � ������������ � �� �������. ������� ��� �������� �������� ������������ ����� ���� �����, � ����� ������ ������������ ��� ����� ���������� � � ����� ������� ������� ��� ��������� �� ��� ���� ���������. ������������ ���� �������, ��������� � ��� ������� ��������� � ������������������ ����� ����� ����� ���������� �������� �������.
  • ������ Δr=r-r0, ����������� �� ���������� ��������� ���������� ����� � ��������� �� � ������ ������ ������� ���������� �������� �����������. �����, ����������� ���������� ������������ ������ (�����) ������������ ��������� ������� ������� ���������� ����������� ��������. � ����������� �� ����� ���������� ��������� �������������������������� ��������. ����� ������� ����������, ����������� ������������ ������ �� ������ ���������� �������, ���������� ������ ����.
  • �������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������� ������������� �������� �������� � ��� ����������� � ������ ������ �������. ���������� �������� ������������ ������ ����������� �������-������� ���������� ����� �� �������: ������ ���������� �������� ��������� �� ����������� � ���������� � ������� ��������. ������ ���������� �������� ������������ ����� ����� ������ ����������� ����� �� ���� �� �������:
  • ��������� � ��������� ���������� �������� ��� �������������� �������������� ��������. ��� ���������� �������� ��������� �������� �� ������ � �����������. ���������� ��������� — ��������� ��������, ������ ������ ����������� �������� �� �������:�������������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� �������� (���������� �� ����������� � ���������� ��������):���������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� ����������� (���������� � ������ �������� ����������):������ ��������� ��� ������������� �������� � �������������� ����� �������������� � ���������� ������������:
  • ��������� ��������, ������������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� �������, ���������� ������� ���������: ������ ω ��������� ����� ��� �������� �� ������� ������� �����.
  • ��� ����������� �������� �����, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π, ���������� �������� ��������:������� �������� � ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� ��� �������� �� ���������� � ������� �������:
  • ������� ��������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������������ ������ ����������� ������� �������� �� �������: ��� ���������� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ ε ����������� �������ω, ��� ����������� � ���������������� ���.
  • ����� ����� ��������� (����� ���� s, ����������� ������ �� ���������� ������� R, �������� �������� v, �������������� ��������� , ���������� ��������� an) � �������� ���������������� (���� �������� φ, ������� �������� ω, ������� ��������� ε) ���������� ���������� ���������:

      ������� ��� ������������ � ����������

  1. ��� �������� ��������� �������� ��������? ������ ��������� ��������?
  2. ��� ����� ���������� ������? ����� ���������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������� ������������ ��������?
  3. ��� ������������ ����� ������� �������? ��� ���������� �������� �����������?
  4. ����� �������� ���������� ��������������? ������������?
  5. ��� ������������� �������� � ���������? ����� ����������� ������� �������� � �������� ���������, ���������� �������� � ����������� ���������.
  6. ��������� ��������� ���������� �������� ����, ���������� ������������� �� ��������� v0 � ��������� ������. ������������� ������� �� ���������.
  7. ��� ������������� �������������� � ���������� ������������ ���������? ������ �� ������?
  8. ��� ����� ���������������� �������� � ����������� �� �������������� � ���������� ������������ ���������?
  9. ��� ���������� ������� ��������� � ������� ����������? ��� ������������ �� �����������?
  10. ������ ��������� ������� ����� ����� �������� � ������� �������������� ��������?

      ������� ������� �����

      ������ 1. ����������� �������������� �������, ���������� ����, ��� ������� ���� ������� � ���������, ���� ������������ ������ ������� ���� ����� 1/4 ��������� ��� ������ (���. 1.8).

      ����: h = 1/4s.
      �����: α.
�������       ������������ ��������� �������� ���� v0x = v0cosα, v0y = v0sinα;
      �����: α=450.

      ������ 2. ���� ��������� ������ ����������� ��� �� ������, ����������� �������� φ = 10 + 20t — 2t2. ����� �������� ������� ��������� �����, ����������� �� ���������� 0,1 � �� ��� �������� ��� ������� ������� t=4 � (���. 1.9).

      ����: φ = 10 + 20t — 2t2; R=0,1 �; t=4 �.
      �����: a.

�������

      �����: � = 1,65 �/�2.

      ������ ��� ���������������� �������

  1. �������� ���� ������������ ����� ����������� ���������� �����������: x1 = 20 + 2t — 4t2x2 = 2 + 2t + 0,5t2. � ����� ������ ������� �������� ���� ����� ����� �����������? ���� ����� �������� � ��������� ����� � ���� ������?
  2. � ������ 1000 � ������ ���� ��� ��������� ��������. ������������ � ������ 1100 � ������ ������ ���� � ��������� ��������� ���������. ��� ���� ��������� ����� � ���� � ��� �� ������ �������. ����������� �������������� �������, ����� ��������� �������� ������� ����.
  3. ������������ ������� ������ ����� ���� �� ��������� 10 �/�, ����� �������� ���� �� ��������� 6 �/� � ���������� ����� ���� �� ��������� 2 �/�. ���� ����� ������� �������� �������������?
  4. ��� ������� �� ��������� 10 �/� �� ����� 400 � ���������. �� �������� ������������� �������, �����: �) �� ����� ������ ���������� ���? �) �� ����� ���������� �� ����� �������� ��� ������ �� �����? �) ������� ������� ��� ����� � ��������?
  5. ������, ��������� �������������, ���� �� ����� ����� 0,5 � �� ���������� 5 � �� ����������� �� ����� ��������. �� �������� ������������� �������, ����������: �) � ����� ������ ������ ������? �) ���� ����� ��������� �������� �����? �) � ����� ��������� ������ ���� �� �����? �) ����� ���� ���������� ���������� ����� � ���������� � ����� ��� ������� �� �����?
  6. ������ �������� R=0,1 � ��������� ���, ��� ����������� ������� �������� �� ������� �������� ���������� ω = 2At + 5Bt4, ��� =2 ���/�2 � �=1 ���/�5. ���������� ������ ��������� ����� ����� ������ ����� t=1 � ����� ������ �������� � ����� ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  7. ������� �������� ������ ��� ���������������� �������� �� t=1 ��� ����������� �� 300 �� 180 ��/���. ����������: �) ������� ��������� ������; �) ����� ������ ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  8. ���� �������� R=10 �� ��������� ������ ����������� ��� ���, ��� ����������� ���� �������� ������� ����� �� ������� �������� ���������� φ = A + Bt + Ct2 + Dt3 ( = 1 ���/�, = 1 ���/�2, D = 1 ���/�3). ���������� ��� ����� �� ����� ������ � ����� ������ ������� ����� ������ ��������: �) �������������� ���������; �) ���������� ���������; �) ������ ���������.
  9. ������, �������� ��������������, �������� ������� �������� 20 ���/� ����� 10 �������� ����� ������ ��������. ����� ������� ��������� ������.
  10. ������, �������� ��������������, ������ 1 ��� ����� ������ �������� ����������� ��������, ��������������� ������� 720 ��/���. ����� ������� ��������� ������ � ����� �������� �� ��� ������.

Источник: http://csfm.volgatech.net/elearning/Nurgaliev/text/1.3.html

Угловая скорость

Допустим, что некоторое твердое тело совершает вращения вокруг неподвижной оси. В таком движении точки данного тела описывают окружности. Центы этих окружностей принадлежат оси вращения, радиусы их различны.

Рассмотрим одну точку нашего тела. Пусть она перемещается по окружности, радиус которой равен $R$ (рис.1).

Рисунок 1. Угловая скорость. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Положение, рассматриваемой точки будем задавать при помощи угла поворота $\Delta \varphi$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Элементарно малые углы поворота можно рассматривать как векторы. При этом величина вектора $d\vec \varphi$ равна величине угла поворота $\Delta \varphi$ (рис.1).

Направление $d\vec \varphi$ подчинено правилу правого буравчика, то есть направлено вдоль направления поступательного перемещения острия винта, при вращении его головки, совпадающем с направлением вращения точки по ее окружности.

$d\vec \varphi$ называют аксиальным вектором (псевдовектором). Псевдо векторы не имеют точки приложения, их изображают в любой точке на оси вращения.

Определение 1

$\vec \omega =\frac {d\vec \varphi}{dt} (1)$,

$\vec \omega$ — угловая скорость.

Вектор $\omega$ направлен по оси вращения (правило правого винта), и совпадает по направлению с элементарным углом поворота $d\vec \varphi$ (рис.1).

Единица $\omega$ — это радиан, деленный на секунду (рад/с).

Линейную скорость нашей материальной точки можно связать с угловой скоростью, эту связь легко установить, рассматривая рис.1.

$v=\lim {_{\Delta t \to 0}}( \frac {\Delta s}{\Delta t})=R \lim {_{\Delta t \to 0}}(\frac{\Delta \varphi}{\Delta t})=R\omega.$

Мы получили, линейная скорость по величине равна:

$v=\omega R (2).$

Определение 2

В виде вектора линейная скорость материальной точки, определяется так:

$\vec v = \vec \omega \times \vec R (3),$

где $R$ — радиус окружности.

Из формулы (3) следует, что величина линейной скорости равна:

$v=\omega \times R sin (\alpha )(4),$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec \omega$ и $\vec R$.

Направление результата векторного произведения в (4) определяет правило правого винта. Головку винта вращают от $\vec \omega$ к $\vec R$, поступательное перемещение острия указывает направление $\vec v$.

При постоянной угловой скорости вращение называют равномерным.

Период вращения

Для характеристики равномерного вращения вводят такую физическую величину, как период вращения $T$.

Определение 3

Периодом вращения называют время, равное времени полного оборота точки на угол в $3600 C$:

$T=\frac{2\pi}{\omega}(5).$

Определение 4

Величину, обратную периоду вращения называют частотой ($u$):

$u=\frac{1}{T}(6).$

Следовательно:

$\omega = 2\pi u (7).$

Угловое ускорение

Определение 5

Угловым ускорением называют вектор, равный:

$\vec \varepsilon= \frac {d\vec \omega}{dt}(8),$

или второй производной от угла поворота:

$\vec \varepsilon= \frac {d2\vec \varphi }{dt2}.$

При движении по окружности вектор $\omega$ изменяется только по величине, не изменяя своего направления. В этом случае полное ускорение материальной точки можно найти, применяя выражение (3) и (8) как:

$\vec \varepsilon= \frac {d\vec \omega}{dt}=\frac {d\vec \omega}{dt} \times \vec R+\vec \omega \times \frac{d\vec R}{dt}=\frac {d\vec \omega}{dt} \times \vec R+ \vec \omega \times \vec v $.

Если тело совершает вращения около неподвижной оси, то $\vec \varepsilon$ имеет направление вдоль оси вращения тела.

Если угловая скорость вращения тела увеличивается (вращение ускоренное), то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости сонаправлены.

При замедленном вращении векторы углового ускорения и угловой скорости имеют противоположные направления.

Тангенциальная и нормальная компоненты линейного ускорения

По определению, составляющая линейного ускорения ($a_{\tau}$), которая отвечает за изменение величины скорости движения тела (тангенциальное ускорение) равна:

$a_{\tau}=\frac{dv}{dt}(9).$

Принимая во внимание выражение (2), мы получим:

$a_{\tau}=\frac{d(\omega R)}{dt}=R \frac {d \omega}{dt}=R\varepsilon (10).$

Ускорение, отвечающее за изменение направления скорости движения при криволинейном перемещении – это нормальное (или центростремительное ускорение) ($a_n$) равно:

$a_n=\frac {v2}{R} (11).$

Использовав формулу (2), имеем:

$a_n=\frac {\omega2 R2}{R}=\omega2 R (12).$

Мы получили связи между линейными параметрами движения:

  • длиной пути ($s$) пройденным, материальной точкой по дуге окружности радиуса $R$;
  • линейной скоростью перемещения точки $v$;
  • тангенциальным ускорением $a_{\tau}$;
  • нормальным ускорением $a_n$

и угловыми величинами:

  • углом поворота $\varphi$;
  • угловой скоростью $\omega$;
  • угловым ускорением $varepsilon$.

$s=R\Delta \varphi$, $v=R\omega$, $a_{\tau}=R\varepsilon$, $a_n=\omega2R.$

Вращение с постоянным угловым ускорением

Определение 6

Если вращение материальной точки происходит с постоянным угловым ускорением ($\varepsilon = const$,), то его называют равнопеременным.

В таком случае это движение можно описывать при помощи следующих уравнений. Для угловой скорости имеют место равенства:

$\omega = \omega _0+\varepsilon t (13) $

при вращении с положительным ускорением (равноускоренное движение) и

$\omega = \omega _0-\varepsilon t (14) $

при равнозамедленном вращении. В формулах (13) и (14) $\omega_0$ — начальная скорость вращения.

Угол поворота материальной точки при равноускоренном движении задает формула:

$\varphi= \varphi_0 + \omega _0 t +\frac{\varepsilon t2}{2} (15)$

при равноускоренном движении

$\varphi= \varphi_0 + \omega _0 t — \frac{\varepsilon t2}{2} (16)$

при равнозамедленном движении. В уравнениях (15) и (16) $\varphi_0 $ — начальный угол поворота.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kinematika_vraschatelnogo_dvizheniya/

Тема 2. Динамика поступательного движения. Законы Ньютона

Первый законНьютона:существуюттакие системы отсчета, в которых всякаяматериальная точка (тело) сохраняетсостояние покоя или равномерногопрямолинейного движения до тех пор,пока воздействие со стороны других телне заставит ее изменить это состояние.Такие системыотсчета называются инерциальными.

Стремление теласохранять состояние покоя или равномерногопрямолинейного движения называетсяинертностью. Поэтому первый законНьютона называют также закономинерции.

Второй законНьютонаосновнойзакон динамики поступательного движения– отвечаетна вопрос, как изменяется механическоедвижение тела под действием приложеннойк нему силы: еслина тело действует сила, то это телоприобретает ускорение, прямопропорциональное действующей силе иобратно пропорциональное массе данноготела:

.

В том случае, еслина тела действует не одна, а несколькосил, то приведенная в этой формуле силаявляется равнодействующей всехдействующих на это тело сил и определяетсяих векторной суммой.

Из уравнения второго закона Ньютона следует:

.

В случае неизменностимассы тела можно записать:

, где .

Вектор называетсяимпульсом(иликоличеством движения)тела.

Отсюда следуетиная формулировка второго законаНьютона, называемая формулировкой вдифференциальном виде, а именно: скоростьизменения импульса тела равна силе,действующей на этр тело,то есть

.

В том случае, еслина тела действует не одна, а несколькосил, то приведенная в этой формуле силаявляется равнодействующей всехдействующих на это тело сил и определяетсяих векторной суммой.

Третий законНьютона определяетвзаимодействие между материальнымиточками: еслипервая материальной точка действуетна вторую с силой ,то вторая точка действует на первую ссилой ,помодулю равной, а по направлениюпротивоположной силе (силыи направленыпо прямой, соединяющей взаимодействующиеточки).

Импульс системытел. Еслипринять, что импульс системы, состоящейиз nтел, можноопределить, как векторную сумму импульсоввсехnтел, то есть,то из третьего закона Ньютона при условииотсутствия внешних сил (то есть, длязамкнутой системы) следует:

,т.е. .

Таким образом,импульсзамкнутой системы тел не изменяется стечением времени,что является закономсохранения импульса.

Источник: https://studfile.net/preview/6334420/page:2/

Кинематика(Вращательное движение)

Кинематика вращательного движения

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) ?,
скорость u — угловая скорость ?,
ускорение a — угловое ускорение ?

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если 
? — угловое перемещение в радианах, 
s — длина дуги, заключенной  между сторонами угла поворота, 

r — радиус, 

то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков 
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ? от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ? от t) и график углового ускорения (зависимость ? от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если 
n — число оборотов, 
f — частота, 
T — продолжительность одного оборота, период, 
? — угловое перемещение, 
N — полное число оборотов, 
t — время, продолжительность вращения, 
? — угловая частота, 
то

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

Обратите внимание:
• формулы справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного.

В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.

• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т.е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

? — угловая скорость (постоянная в течение времени t)
? — угловое перемещение
t — время поворота на угол ?

Поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем:

или

Постоянная угловая скорость — есть отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости:

Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

? — мгновенная угловая скорость тела в момент времени t
? — угловое ускорение, постоянное в течение времени t
? — угловое перемещение тела за время t, (? в радианах)
t — время

Поскольку на графике скорости угловое перемещение равно площади треугольника, имеем:

Или

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости ?? равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости ?. Поэтому формула принимает следующий вид:

или

Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью

Начальная скорость тела, равная ?0 в момент t = 0, изменяется равномерно на величину ??. (Угловое ускорение при этом постоянно.)

?0 — начальная угловая скорость
? — конечная угловая скорость
? — угловое перемещение тела за время t в радианах
t — время
? — угловое ускорение постоянное в течение времени t

Поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем:

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем:

откуда

Далее из графика скорости следует

Совместив формулы мы получим

После преобразования получаем выражение, не содержащее времени:

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально времени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость и угловое ускорение являются функциями времени.

Связь величин ?, ? и ? представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Полный угол поворота тела в любой момент времени можно определить по графику углового перемещения. Чем круче график, тем больше в данный момент времени мгновенная угловая скорость.

? — угол между касательной и осью времени t
? — мгновенная угловая скорость
? — угловое перемещение к моменту времени t

или

Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функции ? = ?(t) по времени.

Обратите внимание:
1) чтобы вычислить мгновенную угловую скорость ?, необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.

2) формула углового перемещения при равномерном движении тела по окружности и формула углового перемещения при равномерно ускоренном движении по окружности без начальной угловой скорости являются частными случаями формулы (2) соответственно для ? = 0 и ? = const.

Из формул следует:

Проинтегрировав обе части выражения, получим

Угловое перемещение есть интеграл по времени от угловой скорости.

Обратите внимание:
Для вычисления углового перемещения ? необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

Вращательное движение тела, формулы

При вращательном движении твердого тела все элементы его массы, не лежащие на оси вращения, совершают движение по окружности. Аналогично и материальная точка, находящаяся на расстоянии r > 0 от оси вращения, также совершает движение по окружности, как и любое тело, достаточно удаленное от оси вращения.

Линейное перемещение Sл, линейная скорость uл и линейное ускорение aл при таком движении связаны между собой обычными для поступательного движения соотношениями.

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ?, угловой скоростью ? и угловым ускорением ?.

Sл Uл aл r d ? ? ? f
перемещение тела по траектории,метр
скорость тела при движении по траектории,метр / секунда
ускорение данного тела при движении по траектории,метр / секунда2
радиус траектории,метр
диаметр траектории,метр
угловое перемещение тела,радиан
угловая скорость тела,радиан / секунда
угловое ускорение тела,радиан / секунда2
частота,Герц

Примечание:Формулы справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векторов определяется по правилу буравчика, т. е.

совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении, что и тело.

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Источник: https://www.nivasposad.ru/school/homepages/belousova/2015-2016/konkurs/shebarshin_pavel_v/html/kinematikavrashenie.html

Booksm
Добавить комментарий