Какой величиной измеряется инертность, в каких единицах

Содержание
  1. Момент инерции: относительно оси вращения, материальной точки и твердых тел
  2. Момент инерции тела относительно оси вращения
  3. Момент инерции материальной точки
  4. Момент инерции сложного тела с частицами
  5. Момент инерции твердого тела
  6. Момент инерции обода
  7. Момент инерции шара
  8. Момент инерции сферы
  9. Момент инерции к оси цилиндра
  10. Момент инерции к оси через центр цилиндра
  11. Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины
  12. 3. Что называют моментом силы, моментом импульса, моментом инерции? в каких единицах они измеряются?
  13. 5. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера
  14. Что такое момент инерции? В чем измеряется момент инерции? Пример задачи
  15. Понятие о моменте инерции для точки материальной
  16. Величина I для тела произвольной формы
  17. В чем измеряется момент инерции тела?
  18. Пример задачи
  19. Момент инерции в физике
  20. Что такое инерция?
  21. Определение момента инерции
  22. Формула момента инерции
  23. Теорема Гюйгенса – Штейнера
  24. Моменты инерции простейших объектов
  25. Рекомендованная литература и полезные ссылки
  26. Момент инерции, видео

Момент инерции: относительно оси вращения, материальной точки и твердых тел

Какой величиной измеряется инертность, в каких единицах

В статье узнаете что такое момент инерции, как влияет ось вращения, а также момент вращения для материальной точки, множества частиц и для твердых тел.

Момент инерции, обозначенный буквой I, является физической величиной, характерной для вращательного движения тела. Это значение предполагает постоянное значение для данного тела и конкретной оси его вращения.

 Величина момента инерции зависит от веса тела, положения оси вращения, вокруг которой вращается тело и распределения его массы. Поэтому можно написать, что момент инерции тела информирует нас о том, как масса вращающегося тела распределяется вокруг фиксированной оси его вращения.

 Чем выше значение момента инерции, тем сложнее установить или изменить вращательное движение данного тела (например, уменьшить или увеличить его угловую скорость).

Момент инерции тела относительно оси вращения

На следующем рисунке показано, как выбор оси вращения тела влияет на значение момента его инерции и, следовательно, на легкость/сложность его вращения. На рисунках а) и б) показан однородный цилиндр с радиусом r и высотой h, который вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и вокруг оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б).

Ролик с радиусом r и высотой h вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б)). Вес ролика в случае а) гораздо более сфокусирован вблизи его оси вращения, чем в случае б), поэтому цилиндр с рисунка а) вращать легче, чем ролик с рисунка б).

В обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же телом, но в первом случае (рис. А) легче вращать ролик.

 Причиной такой ситуации является различное распределение веса цилиндра вокруг его оси вращения: при вращении цилиндра вокруг продольной оси масса ролика более сфокусирована вблизи оси вращения, чем во второй.

 В результате получается меньшее значение момента инерции цилиндра из рисунка а), а не цилиндра из рисунка б).

Если вы не хотите читать всю информацию советуем вам посмотреть видео про момент силы, в котором вы узнаете абсолютно все:

Момент инерции материальной точки

Чтобы вычислить момент инерции и вращение отдельной частицы вокруг заданной оси вращения, используем следующее выражение:

где m — масса частицы, r — расстояние частицы от оси вращения. 

Момента инерции измеряется в кг ⋅ м2 в системе СИ.

Момент инерции сложного тела с частицами

Момент инерции тела, состоящего из n частиц, равен сумме моментов инерции каждой частицы относительно данной оси вращения.

 Например, для тела, состоящего из четырех частиц, имеем: 

где m1, m2, m3 и m4 — массы частиц, которые составляют тела, r1, r2, r3 и r4, расстояние от оси вращения соответственно частиц с массами m1, m2, m3 и m4.

Момент инерции твердого тела

Когда тело состоит из очень многих частиц, расположенных близко друг к другу, сумма моментов инерции в приведенном выше уравнении заменяется интегралом. Если расширенное тело разделено на бесконечно малые элементы с массой dm, удаленной от оси вращения на величину r, момент инерции I будет равен: 

На следующем рисунке показаны выбранные расширенные тела с их моментами инерции, рассчитанными для осей вращения, указанных на чертежах.

Момент инерции обода

Момент инерции обода будет равен I=mr2

Момент инерции шара

Момент инерции шара будет равен I=2/5mr2

Момент инерции сферы

Момент инерции сферы будет равен I=2/3mr2

Момент инерции к оси цилиндра

Момент инерции к оси цилиндра будет равен I=1/2mr2

Момент инерции к оси через центр цилиндра

Момент инерции к оси цилиндра, проходящей через центр цилиндра будет равен I=1/4mr2+1/12mh2

Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины

Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины, которая проходит через ее центр будет равен I=1/12m(x2+y2)

Важное примечание:
при вводе значения момента инерции I для данного тела не забывайте всегда указывать ось вращения, для которой было рассчитано значение I.

Источник: https://meanders.ru/moment-inercii.shtml

3. Что называют моментом силы, моментом импульса, моментом инерции? в каких единицах они измеряются?

Какой величиной измеряется инертность, в каких единицах

Моментсилы(синонимы: крутящий момент,вращательный момент, вертящий момент,вращающий момент) — векторнаяфизическая величина, равная произведениюрадиус-вектора, проведенного от осивращения к точке приложения силы, навектор этой силы. Характеризуетвращательное действие силы на твёрдоетело.

Понятия«вращающий» и «крутящий» моменты вобщем случае не тождественны, т.к втехнике понятие «вращающий» моментрассматривается как внешнее усилие,прикладываемое к объекту, а «крутящий» —внутреннее усилие, возникающее в объектепод действием приложенных нагрузок(этим понятием оперируют в сопротивленииматериалов).

Момент силы

Размерность — L2MT−2

Единицы измерения:

СИ — Ньютон-метр

Моме́нти́мпульса(кинетический момент,угловой момент, орбитальный момент,момент количества движения) характеризуетколичество вращательного движения.Величина, зависящая от того, сколькомассы вращается, как она распределенаотносительно оси вращения и с какойскоростью происходит вращение.

Следуетучесть, что вращение здесь понимаетсяв широком смысле, не только как регулярноевращение вокруг оси.

Например, даже припрямолинейном движении тела мимопроизвольной воображаемой точки, нележащей на линии движения, оно такжеобладает моментом импульса. Наибольшую,пожалуй, роль момент импульса играетпри описании собственно вращательногодвижения.

Однако крайне важен и длягораздо более широкого класса задач(особенно — если в задаче есть центральнаяили осевая симметрия, но не только вэтих случаях).

Моментимпульса относительно точки — этопсевдовектор, а момент импульсаотносительно оси — псевдоскаляр.

Моментимпульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса

Размерность — L2MT−1

Единицы измерения:

СИ — м2·кг·с−1

СГС — см2·г·с−1

Моментинерции— скалярная физическаявеличина, мера инертности тела вовращательном движении вокруг оси,подобно тому, как масса тела являетсямерой его инертности в поступательномдвижении. Характеризуется распределениеммасс в теле: момент инерции равен суммепроизведений элементарных масс наквадрат их расстояний до базовогомножества (точки, прямой или плоскости).

Различаютнесколько моментов инерции — взависимости от многообразия, от которогоотсчитывается расстояние точек.

Момент инерции

Размерность — L2M

Единицы измерения:

СИ — кг·м²

СГС — г·cм²

4. Вывести основное уравнение динамикивращательного движения.

Согласноуравнению ()второй закон Ньютона для вращательногодвижения

Поопределению угловое ускорение итогда это уравнение можно

переписатьследующим образом

сучетом (5.9)

или

(5.10)

Этовыражение носит название основногоуравнения динамики вращательногодвижения и формулируется следующимобразом: изменение момента количествадвижения твердого тела ,равно импульсу моментавсехвнешних сил, действующих на это тело.

5. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера

Теоре́маГю́йгенса — Ште́йнера, или простотеорема Штейнера(названа по именишвейцарского математика Якоба Штейнераи голландского математика, физика иастронома Христиана Гюйгенса): моментинерции телаIотносительнопроизвольной оси равен сумме моментаинерции этого телаIcотносительно оси, проходящей черезцентр масс тела параллельно рассматриваемойоси, и произведения массы телаmнаквадрат расстоянияdмежду осями:

Inew=Ic+md2,

гдеm— масса тела,d— расстояниемежду осями.

Например, Момент инерции стержняотносительно оси, проходящей через егоцентр и перпендикулярной стержню,(назовём её осью C) равен

Тогдасогласно теореме Штейнера его моментотносительно произвольной параллельнойоси будет равен

J=JC+md2,

гдеd— расстояние между искомой осьюи осьюC. В частности, момент инерциистержня относительно оси, проходящейчерез его конец и перпендикулярнойстержню, можно найти положив в последнейформулеd=L/ 2:

ТеоремаГюйнеса — Штейнера допускает обобщениена тензор момента инерции, что позволяетполучать тензор относительнопроизвольной точки из тензораотносительноцентра масс. Пусть—смещение от центра масс, тогда

где

—вектор смещения от центра масс, а δij—символ Кронекера.

Каквидно, для диагональных элементовтензора (при i=j) формула имеетвид теоремы Гюйгенса — Штейнера длямомента относительно новой оси.

Иллюстрация теоремы для момента площади.

Источник: https://studfile.net/preview/3846499/page:2/

Что такое момент инерции? В чем измеряется момент инерции? Пример задачи

Какой величиной измеряется инертность, в каких единицах

Механика представляет собой один из основных разделов физики, в котором рассматриваются законы движения и равновесия тел. При количественном описании движения вращения важной величиной является момент инерции. В данной статье изучим эту величину. Кроме того, ответим на вопрос о том, в чем измеряется момент инерции твердого тела.

Понятие о моменте инерции для точки материальной

Как физическую величину, его определяют в виде произведения массы на квадрат радиуса вращения. Предположим, что существует некоторая материальная точка, которая имеет массу m. Она вращается вокруг оси, при этом радиус окружности равен r. При заданных условиях инерции, момент вычисляется в соответствии со следующей формулой:

I = m*r2.

Этой формулой можно пользоваться даже в случаях изучения тел со сложной формой.

Главным условием справедливости равенства является наличие огромной разницы между расстоянием до оси вращения r и геометрическими размерами самого тела.

Например, при расчете величины I для нашей планеты, которая вращается вокруг Солнца по круговой траектории, можно считать Землю материальной точкой, поскольку расстояние до звезды на несколько порядков превышает радиус планеты.

Величина I для тела произвольной формы

В случае, если геометрические размеры вращающегося тела незначительно отличаются от радиуса r, тогда следует принимать во внимание форму тела. С учетом названного фактора рассчитывают момент инерции с использованием следующей формулы:

I = ∫m(r2*dm).

По сути, это равенство является суммой моментов инерций всех материальных точек, которые образуют тело. При проведении практических вычислений, записанной формулой пользуются в несколько ином виде, который представлен ниже:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Как видно, интегрирование по массе m заменяется на интегрирование по объему V. Здесь греческой буквой ρ обозначена плотность. Если тело является однородным, то ρ будет постоянной величиной, которую можно вынести за знак интеграла.

Если же масса неоднородно распределена по телу, то плотность будет функцией параметра r.

Записанную формулу удобно использовать при определении I разных тел, потому что расчет выполняется с помощью мысленного деления тела на элементарные объемы dV.

Результаты применения записанного выше равенства для геометрических тел идеальной формы, например, для сферы, цилиндра или стержня, собраны в соответствующие таблицы. В чем измеряется момент инерции? Ниже на рисунке приводятся величины I для некоторых тел. Как видим, все формулы линейно зависят от массы тел и от квадрата геометрического параметра.

В чем измеряется момент инерции тела?

Получив необходимые теоретические сведения для величины I, каждый легко сможет ответить на поставленный вопрос.

Действительно, если взглянуть на формулу для I материальной точки, то, отвечая на вопрос о том, в чем измеряется момент осевой инерции, следует ответить, что в килограммах на квадратный метр. Сокращенно эта единица записывается кг*м2.

Очевидно, что ту же самую единицу мы получим, если воспользуемся интегральным выражением через объем и плотность.

Отметим, что кг*м2 также можно записать, как м2*кг. Такая форма записи тоже допускается, однако, в практической физике ее не используют.

Поскольку и килограмм, и метр являются системными единицами измерения массы и длины, соответственно, то кг*м2 является также единицей СИ для момента инерции.

Не следует изучаемую единицу путать с другой, которая обозначается, как кг/м2. Хотя ее используют редко, и она не является единицей СИ, тем не менее она позволяет рассчитать соответствующее давление, если ее умножить на ускорение свободного падения.

Пример задачи

Разобравшись, в чем измеряется момент инерции, и как его вычислять, решим следующую задачу: необходимо определить момент инерции Земли, полагая ее материальной точкой.

Для успешного решения этой задачи следует знать всего два параметра: массу планеты и средний радиус ее солнечной орбиты. Оба значения можно посмотреть в соответствующих справочниках. Масса M и радиус орбиты R Земли равны:

M = 5,972*1024 кг;

R = 149,6*109 м.

Воспользовавшись выражением для вычисления инерции момента точки материальной, приходим к следующему результату:

I = M*R2 = 5,972*1024*(149,6*109)2 = 1,34*1047 кг*м2.

Мы получили гигантское значение. Если сравнить его с моментом инерции Земли относительно ее собственной оси, то окажется, что он будет в миллиард раз меньше рассчитанной величины. Таким образом, приближение материальной точки вполне уместно для рассмотренной задачи.

Источник: https://FB.ru/article/463612/chto-takoe-moment-inertsii-v-chem-izmeryaetsya-moment-inertsii-primer-zadachi

Момент инерции в физике

Какой величиной измеряется инертность, в каких единицах

  • Что такое инерция?
  • Определение момента инерции
  • Формула момента инерции
  • Теорема Гюйгенса – Штейнера
  • Моменты инерции простейших объектов
  • Рекомендованная литература по теме и полезные ссылки
  • Момент инерции, видео
  • Что такое инерция?

    Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни.

    Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма.

    «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки.

    И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.

    Определение момента инерции

    Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности.

    Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы.

    Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

    В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.

    Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.

    Формула момента инерции

    Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:

    J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.

    Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:

    Теорема Гюйгенса – Штейнера

    Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

    Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

    Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

    Где d – расстояние между осями

    Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

    Моменты инерции простейших объектов

    Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.

    Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.

    Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.

    Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.

    Рекомендованная литература и полезные ссылки

    • Тарг С. М. Момент инерции // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 206—207. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
    • Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. — 1999. — Vol. 286, no. 5437. — P. 77—84.

      — DOI:10.1126/science.286.5437.77. — PMID 10506564.

    • Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)русск. : journal. — 2012. — Vol. 117. — DOI:10.1029/2012JE004161.
    • Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с.

      — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X.

    • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
    • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
    • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г.

      , Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.

    • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
    • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с.

      ISBN 5-7107-5956-3

    Момент инерции, видео

    И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

    Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

    Источник: https://www.poznavayka.org/fizika/moment-inertsii/

    Booksm
    Добавить комментарий