Как найти угол между векторами

Угол между векторами. урок. Геометрия 9 Класс

Как найти угол между векторами

На этом занятии мы поговорим об угле между векторами. Для начала дадим определение упомянутому понятию и используем его при обозначении скалярного произведения векторов. После рассмотрим примеры построения ненулевых векторов и вычисления угла между ними. Научимся находить скалярное произведение векторов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

Урок: Угол между векторами

Пусть даны ненулевые векторы  и  .

Определить и построить угол между векторами.

Построение:

Выбираем произвольную точку O и от нее откладываем вектор  и вектор . Полученный угол AOB и называется углом между векторами.

Естественно, возникает вопрос: что будет, если взять другую точку?

Выберем точку  , отличную от точки О, отложим от нее  и .

Углы AOB и   равны как углы с соответственно параллельными сторонами. Значит, угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются данные вектора.

Если один из векторов нулевой, например,  , то  .

Итак, мы определили угол между векторами и рассмотрели его построение.

А в каких пределах может изменяться угол между векторами? В отличие от угла между прямыми, угол между векторами может быть тупым. Проиллюстрируем это на примере.

Пример. Дано: p, q – прямые;

  векторы.

Построить: угол между векторами  и угол между прямыми .

Построение: Выберем произвольную точку О, проводим  и  . От точки О откладываем вектор  и вектор  .

 тупой;

стрый.

Угол между векторами может изменяться в следующих пределах:

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1.  Векторы  и  перпендикулярны.

2. Векторы  и  противоположно направлены.

3.   Векторы  и  сонаправлены.

Рассмотрим конкретные примеры нахождения угла между векторами.

Пример: Дан равносторонний треугольник АВС. Найти:

а)  ;

б)  

в)  .

Решение:

а) Выбираем удобную точку и от нее откладываем вектора. Такая точка у нас уже есть – это точка А.

 по свойству углов равностороннего треугольника.

б)  Выбираем удобную точку, например, точку А. откладываем вектор  , тогда .

в) Угол между прямыми    как наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых.

Рассмотрим еще несколько примеров нахождения углов между векторами в равностороннем треугольнике АВС.

г)   ;

д)  ;

е)  

ж)  

Решение:

г) Векторы  и  противоположно направлены, поэтому

д) Векторы  и   сонаправлены,

е) Векторы  и  противонаправлены,

ж) Векторы  и  сонаправлены,

Перед тем, как рассмотреть определение скалярного произведения векторов, напомним, какие действия мы уже умеем выполнять над векторами:

1.  Сложение векторов.

правило треугольника.

2. Умножение вектора на число.

Вектор  сонаправлен вектору  и  Вектор  противонаправлен вектору  и 

Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Поясним понятие скалярного произведения на физическом примере.

Сила  действует на вагонетку, вагонетка стоит на рельсах. Работа совершается не всей силой , а только ее частью – проекцией на ось  . Эта проекция равна  , таким образом  работа определяется формулой

Итак, скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение – это характеристика взаимного расположения векторов.

Рассмотрим перпендикулярные векторы   и , угол между ними равен  , значит,

ненулевые векторы.

Мы сформулировали два утверждения – прямое и обратное:

1. Прямое – если , то  .

2. Обратное – если  , то  .

Задача. Диагонали квадрата со стороной m пересекаются в точке О.

Найти:

а)   угол между векторами;

б)  скалярное произведение векторов:

1.      и  Решение: Известно, что диагональ квадрата со стороной m равна  .

2.    

а)     

б)     

3.                       и 

Решение:

а)     

б)     

4.                        и 

Решение:

а)         и    противонаправлены,

б)       

5.      и

Решение:

а)   Для определения угла между векторами нужно найти удобную точку, от которой будут отложены вектора, например, можно выбрать точку  D.

б)  

Итак, на этом уроке были рассмотрены угол между векторами и скалярное произведение векторов, решены соответствующие задачи. На следующем уроке мы продолжим изучать скалярное произведение векторов.

Список литературы

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. E-science.ru (Источник).
  2. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1039, 1040.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/ugol-mezhdu-vektorami

Нахождение угла между векторами: примеры и решения, как найти косинус угла между векторами, вычислите угол между векторами

Как найти угол между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a→ и b→ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA→=b→ и OB→=b→

Определение 1

Углом между векторами a→ и b→ называется угол между лучами ОА и ОВ.

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a→,b→

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a→,b→=0, когда векторы являются сонаправленными и a→,b→=π , когда векторы противоположнонаправлены.

Определение 2

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a→,b→ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a→, b→=a→·b→·cosa→,b→.

Если заданные векторы a→ и b→ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cosa→,b→=a→,b→a→·b→

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Пример 1

Исходные данные: векторы a→ и b→ . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cosa→,b→=-93·6=-12 , 

Теперь определим угол между векторами: a→,b→=arccos (-12)=3π4

Ответ: cosa→,b→=-12, a→,b→=3π4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a→=(ax, ay), b→=(bx, by) выглядит так:

cosa→,b→=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a→=(ax, ay, az), b→=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa→,b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Пример 2

Исходные данные: векторы a→=(2, 0, -1), b→=(1, 2, 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cosa→,b→=2·1+0·2+(-1)·322+02+(-1)2·12+22+32=-170⇒a→,b→=arccos(-170)=-arccos170

  1. Также можно определить угол по формуле:

cosa→,b→=(a→, b→)a→·b→,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a→=22+02+(-1)2=5b→=12+22+32=14a→,b→=2·1+0·2+(-1)·3=-1cosa→,b→=a→,b→a→·b→=-15·14=-170⇒a→,b→=-arccos170

Ответ: a→,b→=-arccos170

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Пример 3

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A(2, -1), B(3, 2), C(7, -2). Необходимо определить косинус угла между векторами AC→ и BC→.

Решение 

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек AC→=(7-2, -2-(-1))=(5, -1)BC→=(7-3, -2-2)=(4, -4)

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cosAC→, BC→=(AC→, BC→)AC→·BC→=5·4+(-1)·(-4)52+(-1)2·42+(-4)2=2426·32=313

Ответ: cosAC→, BC→=313

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA→=a→ и OB→=b→ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:

AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) ,

что равносильно:

b→-a→2=a→+b→-2·a→·b→·cos(a→, b→)

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos(a→, b→)=12·a→2+b→2-b→-a→2a→·b→

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

cos(a→, b→)=a→, b→a→·b→

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 11 класс

Как найти угол между векторами

Два вектора a→ и b→ всегда образуют угол.

Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° включительно.

Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.

Векторы могут образовать:

1. острый угол;

2. тупой угол;

3. прямой угол (векторы перпендикулярны).

Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:

4. угол величиной 0° (векторы сонаправлены);

5. угол величиной 180° (векторы противоположно направлены).

Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0°.

Угол между векторами записывают так:

a→b→ˆ=α.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ.

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число). 

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0°, а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число). 

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180°. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай!

Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен \(0\).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a→2.

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1. a→2≥0, к тому же a→2>0, если a→≠0→.

2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения: a→⋅b→=b→⋅a→.

3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения: a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→.

4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения: k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→.

Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми

Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если a→x1;y1;z1, b→x2;y2;z2, то a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2.

Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cosα=a→⋅b→a→⋅b→, то

cosα=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2x12+y12+z12 ⋅x22+y22+z22.

Угол между прямой и плоскостью

Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n→ данной плоскости и неким вектором b→ равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90°.

При нахождении косинуса угла между n→ и b→ можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b→, и плоскостью.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/11-klass/metod-koordinat-v-prostranstve-dvizheniia-10439/skaliarnoe-proizvedenie-vektorov-9283/re-8b0497cc-7889-49d7-b63d-aa0d263c8c35

Нахождение угла между векторами, примеры и решения

Как найти угол между векторами
Векторы, действия с векторами

Когда мы говорим о векторах как о направленных отрезках, то такие понятия как длина вектора и угол между векторами кажутся естественными и интуитивно понятными.

В этой статье мы дадим определение угла между векторами на плоскости и в трехмерном пространстве, приведем графическую иллюстрацию.

Основное внимание сосредоточим на методах нахождения косинуса угла (и самого угла) между векторами, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Угол между векторами на плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Тогда справедливо следующее определение.

Углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB.

Угол между векторами и будем обозначать как .

Понятно, что угол между векторами может принимать значения от 0 до или, что то же самое, от до .

когда векторы и сонаправленные, когда векторы и противоположно направленные.

Векторы и называются перпендикулярными, если угол между ними равен ( радиан).

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то угол не определен.

К началу страницы

Косинус угла между векторами и , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах и .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть . Если векторы и ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов и , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Вычислите косинус угла между векторами и , а также найдите сам угол, если длины векторов и равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.

В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы . Вычисляем косинус угла между векторами и : .

Теперь находим угол между векторами: .

.

Намного чаще встречаются задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу , но в координатной форме. Получим ее.

В статье вычисление длины вектора мы выяснили, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, а в разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами на плоскости имеет вид , а для векторов в трехмерном пространстве — .

Разберем на примерах.

Найдите угол между векторами , заданными в прямоугольной системе координат.

Можно сразу воспользоваться формулой :

А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу , предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам:

.

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, ).

Действительно, угол равен углу между векторами и . Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора, об этом мы говорили в статье нахождение координат вектора через координаты точек.

На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите косинус угла между векторами и .

Определим координаты векторов и по координатам заданных точек:

Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах:

.

Угол между векторами и также можно вычислить по теореме косинусов.

Если отложить от точки O векторы и , то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать , что эквивалентно равенству , откуда находим косинус угла между векторами .

Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов и , которые легко находятся по координатам векторов и . Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле .

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/vectors/angle_between_vectors.html

Как найти угол между векторами

Как найти угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Определение 1

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет носить название угол между двумя векторами. (рис. 1).

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{δ}\overline{β}=|\overline{δ}||\overline{β}|cos∠(\overline{δ},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

Обозначение: $\overline{δ}\cdot \overline{β}$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\overline{δ}\cdot \overline{β}}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Из теоремы 1 мы знаем, что $\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$ и $|\overline{β}|$, окончательно получим

$cos∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{\sqrt{δ_12+β_12+γ_12 } \sqrt{δ_22+β_22+γ_22}}$

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Пример 1

Найти косинус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}|=\sqrt{12+(-2)2+22}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{32+02+42}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{11}{3\cdot 5}=\frac{11}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15}$.

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Определение 3

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{δ}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

  1. $|\overline{δ}х\overline{β}|=|\overline{δ}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{δ},\overline{β})$
  2. $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{δ}$, $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{β}$
  3. $(\overline{δ}х\overline{β},\overline{δ},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

${\sin \angle \left(\overrightarrow{\delta },\overrightarrow{\beta }\right)\ }=\frac{\left|\overrightarrow{\delta }х\overrightarrow{\beta }\right|}{\left|\overrightarrow{\delta }\right||\overrightarrow{\beta }|}$

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$, $|\overline{β}|$ и $|\overline{δ}х\overline{β}|$, окончательно получим

$sin∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\sqrt{(δ_2 β_3-δ_3 β_2)2+(δ_3 β_1-δ_1 β_3)2+(δ_1 β_2-δ_2 β_1)2}}{\sqrt{δ_12+δ_22+δ_32}\sqrt{β_12+β_22+β_32}}$

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.

Пример 2

Найти синус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&-2&2\\3&0&4\end{vmatrix}=-8\overline{i}+2\overline{j}+6\overline{k}=(-8,1,6)$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}х\overline{β}|=\sqrt{(-8)2+22+62}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$

$|\overline{δ}|=\sqrt{12+(-2)2+22}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{32+02+42}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$sin∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{2\sqrt{26}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{26}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{26}}{15}$.

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/metod_koordinat_v_prostranstve/kak_nayti_ugol_mezhdu_vektorami/

Booksm
Добавить комментарий