Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

Задачи на нахождение периметра и площади для 4 класса с ответами

Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

Для решения задач на нахождения периметра и площади прямоугольников и квадратов необходимо освоить следующие основные формулы:

a — длина

b — ширина
P — периметр
S — площадь

Формулы площади и периметра для квадрата

P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата S = a · a; S = a² — площадь квадрата

Формулы площади и периметра для прямоугольника

P = a + b + a + b; P = 2a + 2b; P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

S = a ·  b — площадь прямоугольника

Задача 1
Каков периметр треугольника ABC?
Ответ: периметр треугольника равен 125 см.

Задача 2

Красный треугольник является равносторонним со стороной 23 сантиметров. Чему равен его периметр?
Ответ: Все три стороны равностороннего треугольника равны. Таким образом, его периметр равен 23 · 3 = 69 см.

Задача 3

Равнобедренный треугольник имеет периметр 37 сантиметров, а его основание имеет длину 9 сантиметров. Каждая из двух других сторон будет иметь длину _____ см.?

Ответ: Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Сумма равных сторон будет 37 — 9 = 28 см. Значит, каждая из них будет равна 28 : 2 = 14 см.

Задача 4

У Тимы есть сад в форме квадрата со стороной 9 метров. Какова длина забора, который опоясывает сад?

Ответ: Все стороны квадрата равны. Длина забора P равна длине стороны умноженной на 4. P = 4 · 9 = 36 метров.

Задача 5

В прямоугольнике ABCD красная сторона составляет 18 см, а синяя сторона 12 см. Чему равен периметр прямоугольника?
Ответ: Периметр прямоугольника равен 60 см.

Задача 6

Длина прямоугольника 8 дм, ширина 7 дм. Найди его площадь?

Ответ: Площадь прямоугольника 56 м².

Задача 7

Площадь витрины квадратной формы 64м². Узнай ее периметр.

Ответ: Периметр витрины равен32 м.

Задача 8

Длина прямоугольника 9 дм, ширина 7 см. Найдите его площадь.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 630 см².

Задача 9

Парк имеет форму прямоугольника с длиной 24 метра и шириной 18 метров. Если на его сторонах надо посадить деревья с отступом в 2 метра друг от друга, то сколько нужно деревьев?
Ответ: 42 дерева.

Задача 10

Каков периметр синей фигуры?
Ответ: Здесь есть два квадрата, у которых есть общая часть стороны. Так как сторона квадрата равна 10 см и часть стороны равна 8 см, то общая часть 2 см, а оставшаяся часть второго квадрата равна 8 см. Периметр равен 10 + 10 + 8 + 10 + 10 + 10 + 8 + 10 = 76 см.

Задача 11

Два прямоугольных участка имеют одинаковую площадь. Длина первого — 48 м, а ширина 30 м. Чему равна длина второго участка, если его ширина на 6 м больше ширины первого участка?

Ответ: Длина второго участка 40 м.

Задача 12

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.

Ответ: Периметр квадрата 32 см.

Задача 13

Сторона квадрата 6 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 3 см.
Решение:
6 · 4 = 24 (см) -находим периметр квадрата 3 + 3 = 6 (см) -сумма ширины прямоугольника 24 — 6 = 18 (см)- сумма двух длин прямоугольника 18 : 2 = 9 (см)
Ответ: Длина прямоугольника 9 см.

Задача 14

Длина бассейна прямоугольной формы 15 м. Найди периметр бассейна, если его площадь 120 м2.
Решение:
120:15=8 (м)- ширина бассейна (8+15)·2= 46 (м)
Ответ: Периметр бассейна 46 метров

Задача 15

Периметр квадрата 8 см. Из трех таких квадратов сложили прямоугольник. Найди периметр получившегося прямоугольника.
Решение:
8:4=2 (см)- сторона квадрата 2+2+2+2+2+2+2+2=16(см)
Ответ: Периметр прямоугольника 16 см.

Задача 16

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см. На сколько см² он ошибся?
Решение:
5 · 9 = 45 (см²) 6 · 8 = 48 (см²) 48 — 45 = 3 (см²)
Ответ: Ученик ошибся на 3 см²

Задача 17

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычисли площадь окна.
Решение:
4·2=8 (дм) -длина окна 8·4=32 (дм²)
Ответ: Площадь окна 32 дм²

Задача 18
Один прямоугольный участок имеет длину 36 м, а ширину 20 м. Найдите ширину другого участка с такой же площадью, если его длина на 6 м меньше длины первого участка.

Ответ: Ширина другого участка 24 м.

Задача 19

У какой фигуры площадь больше и на сколько: у квадрата со стороной 4 см или у прямоугольника со сторонами 2 см и 6 см?

Ответ: Площадь квадрата больше на 4 см.

Задача 20

Длина стороны квадрата 6 см. Узнайте площадь и периметр квадрата.

Ответ: Площадь квадрата 36 см², периметр квадрата 24 см.

Задача 21

У прямоугольника длина 7 см, ширина 5 см. Узнайте площадь и периметр прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 35 м², периметр прямоугольника 24 см.

Задача 22

Сторона клумбы квадратной формы 8 м. 7/16 всей площади клумбы засажено ромашками, а остальная площадь – незабудками. На какой площади клумбы посажены незабудки?

Решение:

1) 8 ∙ 8 = 64 (площадь клумбы) 2) 64 : 16 = 4(1/16 клумбы) 3) 4 ∙ 7 = 28 (плошадь клумбы засаженая ромашками) 4) 64 – 28 = 36

Ответ: Незабудками засажено 36 м².

Задача 23

Длина прямоугольника 6 см. Чему равна его площадь, если периметр составляет 18 см?

Решение:

1) 6 ∙ 2 = 12 2) 18 – 12 = 6 3) 6 : 2 = 3 (ширина прямоугольника) 4) 3 ∙ 6 = 18

Ответ: Площадь прямоугольника 18 м².

Задача 24

Площадь прямоугольного стола 4800 кв см. Его ширина 60 см. Чему равен его периметр?

Решение:

1) 4800 : 60 = 80 (длина стола) 2) 60 ∙ 2 = 120 см 3) 80 ∙ 2 = 160 см 4) 120 + 160 = 280 см

Ответ: Периметр стола 280 см.

Задача 25

Периметр прямоугольника 40 см. Одна сторона 5 см. Чему равна его площадь?

Решение:

1) 5 ∙ 2 = 10 2) 40 – 10 = 30 3) 30 : 2 = 15 (другая сторона прямоугольника) 4) 5 ∙ 15 = 75

Ответ: Площадь прямоугольника 75 см².

Задача 26

Площадь квадрата 49 кВ дм. Узнайте его периметр.

Решение:

1) 49 : 7 = 7 (сторона квадрата) 2) 7 ∙ 4 = 28 (периметр квадрата)

Ответ: Периметр квадрата равен 28 дм.

Задача 27

Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

Решение:

1) 4 ∙ 2 = 8 (длина окна) 2) 4 ∙ 8 = 32

Ответ: Площадь окна равна 32 м².

Задача 28

Длина участка земли 54 м. ширина — 48 м. 5/9 площади засажено картофелем. Остальная часть участка – капустой. Какая площадь засажена капустой?

Решение:

1) 54 ∙ 48 = 2592 (площадь участка земли) 2) 2592 : 9 = 288 (1/9 площади) 3) 288 ∙ 5 = 1440 (5/9 площади) 4) 2592 – 1440 = 1152

Ответ: Капустой засадили 1152 м².

Задача 29

Найди периметр квадрата со стороной 16 см.

Ответ: Периметр квадрата 64 см.

Задача 30

Найди длину прямоугольника с помощью уравнения, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

Решение:

P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или (a + b) · 2 = P, где a —  длина = ?, b —  ширина = 7 см, P —  периметр = 40 см. Составим уравнение: (а + 7) · 2 = 40 2а + 14 = 40 2а = 40 — 14 2а = 26 а = 26 : 2 а = 13

Ответ: Длина прямоугольника 13 см.

Задача 31

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Ответ: Ширина прямоугольника 5 см.

Задача 32

Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.

Решение:

24 : 4 = 6 (см) 6 · 6 = 36 (см²)

Ответ: Площадь квадрата 36 см².

Задача 33

Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.

Ответ: Площадь прямоугольника 56 см².

Задача 34

Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см. Чему равен периметр прямоугольника?

Решение:

40 : 4 = 10 (см) (10 + 4) · 2 = 28 (см)

Ответ: Периметр прямоугольника 28 см.

Задача 35

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Решение:

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.

У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей). Если S = a · a — площадь квадрата, тогда S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6 2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: Площадь всех граней куба равна 24 см².

Задача 36

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Ответ: Площадь получившейся фигуры равна 44.

Задача 37

Площадь одной клетки равна 1см.

  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.
  • Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

Ответ: Площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры B 20,5 см², площадь фигуры C 30,5 см², площадь фигуры A 18,5 см², площадь фигуры E 12 см².

Задача 38

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Ответ: Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура A имеет четыре стороны, тогда 1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры. Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура B имеет четыре стороны, тогда 2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры. Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура C имеет шесть сторон, тогда 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры. Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура D имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры. Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда 1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры; фигура E имеет восемь сторон, тогда 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод: Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат. У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат. 

Задача 39

Квадрат в данной фигуре имеет периметр 24 см. Синий треугольник — периметр 15 см. Каков периметр красной фигуры?
Ответ: Периметр красной фигуры равен 27 см.

Задача 40

Периметр каждого из зеленых квадратов 12 см. Каков периметр большого квадрата?
Ответ: Периметр равен 36 см.

Задача 41

Площадь прямоугольника 72 см2. Какова длина и ширина прямоугольника, если ширина в 2 раза меньше, чем его длина?

Ответ: Длина прямоугольника равна 12 см. а ширина — 6 см.

Задача 42

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 24 см.

Задача 43

Периметр красного квадрата равен 16см. Красные треугольники равносторонние. Каково расстояние проползет улитка по пути ABCDFGHA?
Ответ: Расстояние пройденное улиткой будет равно 28 см.

Задача 44

В зале длиной 12 м и шириной 8 м надо покрыть пол квадратными плитками. Сколько потребуется плиток, если площадь каждой плитки 4 дм2?

Ответ: 2400 плиток.

Задача 45

Каков периметр зеленой зоны, если ширина синей зоны равна 3 метра?
Ответ:

Источник: https://nauka.club/matematika/zadachi-na-perimetr-i-ploshchad-4-klass.html

Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. урок. Геометрия 8 Класс

Как найти площадь квадрата и площадь прямоугольника

Напомним, эталоном длины является отрезок длиной в 1 мм, 1 см, 1 км и т. д.

А что такое эталон площади? Это квадрат, сторона которого равна: 1 мм, 1 см, 1 м и т. д. Такой эталон длины называется квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным метром, квадратным километром.

Обозначение: ,  и т. д.

Площадь  геометрической фигуры – это положительное число, которое показывает, во сколько раз эталон площади уместился в данной фигуре. Таким образом площадь  – это результат сравнения с эталоном площади.

Предположим, что мы имеем квадрат со стороной . Чему равна площадь такой геометрической фигуры? (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Квадрат со стороной

Площадь такой геометрической фигуры равняется квадрату ее стороны: .

Такое свойство площади мы принимаем без доказательств. Однако поясним его.

Пусть выбран эталон длины 1 мм. Это означает, что на стороне квадрата укладывается  штук таких эталонов длины, при этом число  может быть любым положительным числом.

Свойство утверждает, что в квадрате со стороной  уложится  штук эталонов длины. В нашем случае эталон длины – . По-иному, площадь квадрата равна . Интересно заметить, что если  – иррациональное число (например ), то площадь  – натуральное число.

Итак, мы знаем свойство площади, что площадь квадрата со стороной  равна .

Рассмотрим другие свойства площади.

Равные многоугольники имеют равные площади.

Предположим, треугольник  равен треугольнику , тогда площадь первого треугольника равняется площади второго треугольника (см. Рис. 2).

Рис. 2. Равные треугольники

Следующее свойство площади.

Пусть многоугольник разрезан линиями, т. е. составлен из других многоугольников, таким образом, что общими у этих многоугольников являются только точки сторон, тогда площадь составного многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников (см. Рис. 3).

Рис. 3. Разрезанный треугольник

Итак, мы повторили три важных свойства площади. Они используются при выводе формул для площади.

Теорема о площади прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство: (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади прямоугольника

Рассмотрим квадрат со стороной .

Его площадь с одной стороны равна .

Разрежем этот квадрат двумя линиями и получим два квадрата (со стороной  и  соответственно), а также два прямоугольника со сторонами , .

  • Площадь квадрата со стороной  – .
  • Площадь квадрата со стороной  – .
  • Площадь прямоугольника со сторонами ,  – искомая площадь .

Таким образом, имеем:

Получили уравнение для . Решим его.

Что и требовалось доказать.

Итак, если имеем прямоугольник со сторонами  и , то его площадь равна .

В доказанной теореме используются три величины: ; ; . Если мы зададим две из них, то получим третью.

a) Найти , если ; .

Решение

Ответ: .

b) Найти сторону , если площадь прямоугольника равна , а сторона  равна 4 м.

Решение

Ответ: 8 м.

c) Найти сторону , если площадь равна , и .

Решение:

, так как это квадрат.

Ответ: .

d) Квадрат с неизвестной стороной равновелик прямоугольнику со сторонами 18 и 8. Найти сторону квадрата.

Решение

Равновеликие фигуры – фигуры с равными площадями.

Ответ: 12 см.

e) Теплица имеет форму прямоугольника, одну сторону увеличили в полтора раза, вторую – в два раза. Во сколько раз увеличилась площадь теплицы?

Решение

Пусть  и  – стороны исходного прямоугольника. После увеличения стороны стали  и  соответственно.

 – площадь исходного прямоугольника.

 – площадь полученного прямоугольника.

Ответ: в 3 раза.

f) В прямоугольнике сторону , равную пяти метрам, увеличили на 20 %, сторону , равную десяти метрам, уменьшили на 20 %. Найдите длины сторон получившегося прямоугольника и сравните их площади.

Решение

Сперва найдем стороны нового прямоугольника. Сказано, что длина первой стороны увеличилась на 20 %.

5 м – 100 %

 м – 120 %

Таким же образом найдем вторую сторону:

10 м – 100 %

 м – 80 %

Итак, стороны известны, найдем площади.

Значит, исходная площадь уменьшилась на .

Ответ: 6 м; 8 м; площадь уменьшилась на .

g) Решим аналогичную задачу в общем виде.

Одну сторону прямоугольника увеличили на 20 %, а вторую уменьшили на 20 %, изменилась ли площадь прямоугольника? Если да, то на сколько?

Решение

Обозначим длины сторон исходного прямоугольника  и .

1. 

 и  – длины сторон получившегося прямоугольника.

2. 

Значит, площадь нового прямоугольника уменьшается на 4 %.

Ответ: а) изменилась; б) уменьшилась на 4 %.

Интересно заметить, что обе стороны изменились на 20 %, но площадь уменьшилась на 4 %.

Итак, мы рассмотрели площадь прямоугольника и площадь квадрата, вспомнили свойства площадей. По одному из свойств площадь квадрата со стороной  равна . Пользуясь свойствами площадей, мы доказали теорему: площадь прямоугольника со сторонами  и  равна . Мы доказали эту теорему и решили типовые задачи на нее.

Доказательство формулы площади квадрата

Дано: квадрат со стороной .

Доказать: .

Доказательство

Число  может быть любым.

Первый случай

Пусть , где . Возьмем квадрат со стороной 1 – это эталон. Разобьем его на  равных квадратов и по свойству площадей имеем:  – это площадь эталона, с другой стороны, она равна , где  – площадь искомого квадрата со стороной  (см. Рис. 5). Отсюда получаем искомую площадь :.

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (первый случай)

Что и требовалось доказать.

Примечание

В эталоне каждая из смежных сторон имеет длину 1. Она разбита на  частей, и тогда квадрат  разбит на  одинаковых частей, т. е. квадратов с искомой площадью . Искомую площадь  квадрата со стороной  сравнили с эталоном, площадью квадрата со стороной 1, например 1 м, т. е. квадратным метром, и получили, что искомая площадь  равна . Что и требовалось доказать в первом случае.

Второй случай (см. Рис. 6)

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (второй случай)

Пусть  – конечная десятичная дробь с  знаками после запятой.

Тогда , , то есть это натуральное число. Каждую из сторон квадрата со стороной  разобьем на  равных частей:

Квадрат с искомой площадью , разобьется на  равных квадратов со стороной  и площадью . Тогда искомая площадь  равна:

Что и требовалось доказать.

Пояснение на конкретных числах: (см. Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к пояснению

Пусть ;

Сторону, равную 2,14 искомого квадрата, разделили на 214 равных частей.

Отношение стороны к :

Это сторона малого квадрата, а таких квадратов  штук.

Тогда , а площадь  равна .

Подставляем: .

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Пусть  – бесконечная десятичная дробь. К такому числу  можно приближаться меньшими рациональными числами. Например: ; ; ;…; , т. е. мы отбрасываем все знаки, начиная с .

Пусть , тогда число  заключено в пределах: .

Разъясняющий пример:

Имеем:

Значит, для искомой площади  квадрата со стороной  имеем: .

Искомый квадрат вмещает в себя квадрат со стороной  и является частью квадрата со стороной , (см. Рис. 8),  пока фиксированно.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (третий случай)

Пусть теперь  стремится к плюс бесконечности (), тогда , .

То есть , что и требовалось доказать.

Итак, доказано, что площадь квадрата со стороной , где  – любое положительное число, равна .

Список литературы

1. Геометрия, 7–9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)

2. Интернет-сайт «Курсотека» (Источник)

3. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

Домашнее задание

1. Дан прямоугольник, у которого  и  – смежные стороны. Найдите площадь прямоугольника, если:

1. ; ; 2. ; ; 3. ; ;

4.  ; ; 5. ; ; 6. ; ;

7. ; .

2. В прямоугольнике одна сторона на 2 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/ploschad/ploschad-kvadrata-ploschad-pryamougolnika

Booksm
Добавить комментарий