Интегральная форма основного закона динамики

Интегральная форма основного закона динамики

Интегральная форма основного закона динамики

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи:Интегральная форма основного закона динамики
Рубрика (тематическая категория)Технические дисциплины
Articles-ads

Теорему об изменении количества движения можно записать так в интегральнои̌ (конечнои̌) форме. Пусть в начале и конце некоторого рассматриваемого интервала времени [ t_{1} ,t_{2} ] количество движения равно соответственно overline{Q}_{1} ,overline{Q}_{2} . Домножим обе равенства на dt и проинтегрируем на ϶том интервале:

Понятие 1

Произведение вектора силы на бесконечно малый промежуток времени её действия overline{F}{k} dt называется элементарным импульсом силы overline{F}{k} .

Интеграл от элементарного импульса на интервале времени [ t_{1} ,t_{2} ]:

называется импульсом (полным импульсом) силы overline{F}_{k} на ϶том интервале. С использованием понятия теорема запишется в виде:

и читается так:

изменение количества движения механической системы за некоторый (конечный) промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот промежуток времени. Теорема в такой форме используется при изучении удара твердых тел.

Подставим в равенство:

выражающее теорему об изменении количества движения в дифференциальнои̌ форме, формулу:

служащую вычисления количества движения, и расшифруем обозначение overline{R{e} } . В результате придем к равенству:

в точности совпадающему с математическим выражением теоремы о движении центра масс. Откуда следует, что теоремы об изменении количества движения системы и о движении~центра масс вполне тождественны.

При ϶том по методу выражения общᴇᴦο объективного содержания эти теоремы настолько отличаются, что считаются вполне самостоятельными теоремами динамики.
Нужно отметить, что каждая ᴎɜ теорем имеет свою преимущественную область применения:

  • теорема об изменении количества движения в дифференциальнои̌ форме используется в механике сплошнои̌ среды;
  • в интегральнои̌ форме — в теории удара твердых тел;
  • теорема о движении центра масс используется в динамике твердого тела и системы твердых тел.

Пример 1

Космический корабль двигался с постояннои̌ по величине скоростью v
Важно сказать, что для изменения направления ᴇᴦο полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью v_{отн} относительно корабля в направлении, перпендикулярном к ᴇᴦο траектории. Определить угол alpha , на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса ᴇᴦο m_{0} , а конечная m .

Дано: v , v_{отн} , m_{0} , m .

Найти: alpha -?

Решение:

Ускорение корабля по абсолютнои̌ величине равно:

a=omega {2} r=omega v , причем v=const . По϶тому уравнение движения:

mfrac{dv}{dt} =v_{отн} frac{dm}{dt} переходит в: mvomega dt=-v_{отн} dm .

Так как dalpha =omega dt есть угол поворота за время dt , интегрируя наше уравнение, получим:

[alpha =frac{v_{отн} }{v} ln frac{m_{0} }{m} .]

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: alpha =frac{v_{отн} }{v} ln frac{m_{0} }{m}

Пример 2

Ракета перед стартом имеет массу m_{0} =250 кг. На какой высоте окажется ракета через t=20 с после начала двигателей? Расход топлива равен mu =4 кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты v_{отн} =1500 м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: m_{0} =250 кг, t=20 с, mu =4 кг/с, v_{отн} =1500 м/с.

Найти: H -?

Решение:

Рисунок 1.

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

[mfrac{Delta v_{0} }{Delta t} =mu v_{отн} -mg,]

где m=m_{0} -mu t , а v_{0} — скорость ракеты в момент времени t . Разделяя переменные получаем:

[Delta v_{0} =(frac{mu v_{отн} }{m_{0} -mu t} -g)Delta t]

Решение данного уравнения, удовлетворяющᴇᴦο начальному условию v_{0} =0 при t=0 , имеет вид:

[v_{0} =v_{отн} ln frac{m_{0} }{m_{0} -mu t} -gt]

Учитывая что H_{0} =0 при t=0 получим:

[H=v_{отн} t-frac{gt{2} }{2} +frac{v_{отн} m_{0} }{mu } (1-frac{mu t}{m_{0} } )ln (1-frac{mu t}{m_{0} } ).]

Подставляя начальные значения, получаем:

H=v_{отн} t-frac{gt{2} }{2} +frac{v_{отн} m_{0} }{mu } (1-frac{mu t}{m_{0} } )ln (1-frac{mu t}{m_{0} } )=3177,5 м

Ответ: через 20c ракета окажется на высоте H=3177,5м.

Интегральная форма основного закона динамики — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Интегральная форма основного закона динамики»2018-2019.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1649_integral_naya_forma_osnovnogo_zakona_dinamiki

Динамика поступательного движения

Интегральная форма основного закона динамики

Свободное падение тел

Свободным падением тела называется движение тела в поле силы тяжести с ускорением g=9,81 м/с2.

Падение тела – равноускоренное движение.

Движение тела вверх –равнозамедленное движение.

Уравнения движения тела при свободном падении:

Движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты

Уравнения движения тела:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Уравнения движения тела на I этапе:

Уравнения движения тела на II этапе:

Максимальная высота подъема тела:

В любой точке траектории скорость:

В скалярной форме

В момент приземления

I закон Ньютона (закон инерции): существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или скорость постоянной, если на него не действуют другие тела (или действия других тел на него скомпенсированы).

Тело, не подверженное внешним воздействиям, называется свободным.

Явление сохранения скорости тела постоянной (в частности, равной нулю) называется инерцией.

Системы отсчета, относительно которых тела движутся с постоянной скоростью или покоятся при компенсации внешних воздействий на них, называются инерциальными (ИСО).

Инертность – свойство тел, состоящее в том, что для изменения скорости тела требуется некоторое время. Свойство инертности характеризуется массой.

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные свойства (гравитационная масса).

Воздействие тел друг на друга характеризуется силой.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся количественной характеристикой воздействия одного тела на другое.

Если к какому-нибудь телу приложено несколько сил, то сила, равная геометрической сумме всех приложенных к нему сил, называется результирующей силой(принцип суперпозиции):

(2.1)

Силы в механике:

· сила гравитационного взаимодействия (закон Всемирного тяготения):сила, с которой два тела притягиваются друг к другу, прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

, (2.2)

где – радиус – вектор тела 2 относительно тела 1,

— гравитационная постоянная,

— массы взаимодействующих тел;

· сила упругости – сила, возникающая при упругой деформации и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц тела при деформации

(2.3)

где k – коэффициент упругости (жесткости),

смещение системы из положения равновесия,

координаты тела в конечном и начальном положениях, соответственно;

· сила тяжести – сила, с которой Земля притягивает тело:

(2.4)

где m – масса тела,

– ускорение силы тяжести (свободного падения);

· вес тела – сила, приложенная со стороны тела к опоре или подвесу, ограничивающая свободное перемещение тела в поле сил земного тяготения; вес тела может быть равен, а также больше или меньше силы тяжести:

, (2.5)

где знак «+» выбирается при движении тела вверх, или знак «-» — при движении тела вверх;

· сила трения – сила, возникающая при движении или попытке движения соприкасающихся тел относительно друг друга и направленные по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению (сила трения скольжения, сила трения покоя, сила трения качения):

, (2.6)

где — коэффициент трения,

N – сила реакции опоры (нормального давления).

II закон Ньютона (в дифференциальной форме): скорость изменения импульса (производная от импульса по времени) материальной точки равна равнодействующей всех сил, действующих на нее

, (2.7)

где m – масса точки,

— скорость поступательного движения точки,

– импульс материальной точки ( ).

Разделяя переменные в (2.7), и переходя к интегрированию, получим закон изменения импульса точки:

, (2.8)

где интеграл называется импульсом силы.

Если , то , и такое движение называется движением по инерции.

Из (2.8) следует, что изменение импульса материальной точки, равное импульсу силы, имеет геометрический смысл площади криволинейной трапеции.

Выражение (2.8) в проекциях на оси декартовой системы координат:

(2.9)

II закон Ньютона (в интегральной форме): ускорение тела пропорционально результирующей силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе:

. (2.10)

Вектор результирующей силы и ускорения тела направлены в одну сторону ( .

При движении материальной точки по криволинейной траектории, сила в (2.10), действующая на нее, может быть представлена в виде двух составляющих – тангенциальной и нормальной.

Тангенциальная составляющая

(2.11)

Нормальная составляющая силы

(2.12)

III закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению (при этом силы приложены к разным телам)

(2.13)

где и — силы, действующие со стороны второй точки на первую, и со стороны первой на вторую, соответственно.

Любое тело или совокупность тел представляет собой множество материальных точек, называемое системой материальных точек.

Если система с течением времени не меняется, то говорят, что она не изменяет своего состояния. Состояние системы материальных точек в механике определяется одновременным заданием координат и скоростей (или импульсов) всех материальных точек, входящих в систему.

Полный импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему

(2.14)

Система материальных точек (тел) называется замкнутой или изолированной, если она не испытывает никакого воздействия со стороны окружающих тел.

Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой (изолированной) системы материальных точек есть величина постоянная, то есть не изменяется со временем

(2.15)

При упругом взаимодействии двух тел выполняется закон сохранения импульса

(2.16)

где – скорости первого и второго тела до взаимодействия, соответственно, – скорости первого и второго тела после взаимодействия, соответственно.

При неупругом взаимодействии двух тел выполняется закон сохранения импульса

(2.17)

где – скорости первого и второго тела до взаимодействия, соответственно, – скорость первого и второго тел как единого целого после взаимодействия, соответственно.

Центром масс (центром инерции) механической системы материальных точек называется точка пространства, положение которой определяется радиус–вектором

(2.18)

или

,(2.19)

где X, Y, Z – проекции радиус–вектора центра масс,

, , – единичные векторы (орты).

Координаты радиус–вектора центра масс:

,

(2.20)

.

Импульс механической системы материальных точек можно представить как произведение массы системы

на скорость поступательного движения ее центра масс :

, (2.21)

где – скорость поступательного движения центра масс,

– масса i – й материальной точки.

Проекции вектора скорости центра масс на оси декартовой системы координат:

,

(2.22)

,

где , , – проекции вектора скорости центра масс,

, , – проекции вектора скорости i – й материальной точки.

Учитывая выражение для импульса системы материальных точек

и II закона Ньютона (в дифференциальной форме)

,

получим выражение II закона Ньютона для системы материальных точек (теорема о движении центра масс): центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему

. (2.23)

Источник: https://studopedia.su/14_106796_dinamika-postupatelnogo-dvizheniya.html

2 Законы динамики

Интегральная форма основного закона динамики

 Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном.  

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямо­линейного движения до тех пор, пока приложенные силы не за­ставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точ­кой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи — пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции.

Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоян­ной по модулю и направлению скоростью  (  =const); ускорение точки при этом равно нулю:  = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной).

По данным опыта для нашей Сол­нечной системы инерциальной является система отсчета, начало кото­рой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды.

При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Второй закон (основной закон динамики)  гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством.

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость   ma = F.

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета.

Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса кото­рой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействую­щей, равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражаю­щее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

 или .

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате­риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма­териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.         

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материаль­ными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе , той, которую мы прикладываем к нему.

Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки — . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе , . Но на основании второй аксиомы . Поэтому .

Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение

.

И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения.

Например, при движении точки по кривой линии ускорение . Поэтому сила инерции

.

То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции.

Рис.1

Причём

Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить.

Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодей­ствия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.

Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

;      

Источник: https://studizba.com/lectures/73-fizika/1041-dinamika-tochki-s-primerami-resheniya-zadach/19059-2-zakony-dinamiki.html

Booksm
Добавить комментарий