Гравитационное поле и его характеристики

Сорокина т.п., сорокин б.п. и др. физика

Гравитационное поле и его характеристики

1.8.1. Закон всемирного тяготения

1.8.2. Сила тяжести, вес тела

1.8.3. Гравитационное поле — напряженность и потенциал

1.8.4. Гравитационное поле материальной точки

1.8.5. Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью гравитационного поля

1.8.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

1.8.7. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции

1.8.1. Закон всемирного тяготения

Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу.

Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения: две любые материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:

,(1.8.1)

где — гравитационная постоянная. Из формулы видно, что величина гравитационного взаимодействия не зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие тела, гравитационное взаимодействие существует и в вакууме. На рисунке1.8.1 изображено направление сил гравитационного взаимодействия двух материальных точек.

Рис. 1.8.1.

1.8.2. Сила тяжести, вес тела

Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности.

Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.

В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная

,(1.8.2.)

где R — радиус Земли, в месте расположения точки. Выражение (1.8.2.) можно переписать в виде:

,(1.8.3.)

где g — имеет смысл ускорения, с которым движутся под действием силы тяжести все материальные тела у поверхности Земли.

Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах.

Это обусловлено суточным вращением Земли, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км).

Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падания, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2.

Пусть тело расположено на расстоянии (±h) от поверхности Земли (знак плюс — над поверхностью, знак минус — под поверхностью), тогда сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается, а при приближении к центру Земли — увеличивается:

.(1.8.4.)

Вес тела — сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется, когда тело движется с ускорением отличным от ускорения свободного падения (g), т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию:

.

Тогда вес тела

.(1.8.5.)

Вес тела, движущегося с ускорением равен произведению массы тела на геометрическую разность ускорения свободного падения и ускорения тела.

Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:

, .(1.8.6.)

Например,

1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести () в лифте вертикально вниз;

2) космический корабль движется по орбите, при этом его центростремительное ускорение , направлено так же как ускорение силы тяжести вдоль радиуса к центру Земли, и вес всех тел находящихся в корабле равен нулю.

1.8.3. Гравитационное поле — напряженность и потенциал

Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.

Гравитационное поле — это особый вид материи, который создается вокруг любого тела обладающего массой, главное свойство гравитационного поля — действовать на тела, обладающие массой. Как и любое поле — гравитационное поле характеризуется с помощью двух физических величин:

1.Напряженность гравитационного поля (), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):

.(1.8.7)

Единица измерения напряженности гравитационного поля [g]=м/с2.

Линия напряженности гравитационного поля — линия, касательные, к каждой точке которой совпадает с вектором напряженности.

На всякое тело массой m, внесенное в поле, действует сила тяготения или сила тяжести, равная произведению массы тела на напряженность гравитационного поля в месте расположения тела:

.(1.8.9)

Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ()

2. Потенциал гравитационного поля (φ) — энергетическая характеристика поля, скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:

.(1.8.10)

Единица измерения [φ]=Дж/кг.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:

.(1.8.11)

Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 равна:

,

.(1.8.12)

Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, образованные точками поля, потенциал которых одинаков. Работа гравитационного поля при движении тела вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Можно дать второе определение потенциала поля тяготения — это работа по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

1.8.4. Гравитационное поле материальной точки

В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.

1. Напряженность гравитационного поля материальной точки массой (M) прямо пропорциональна массе точки, и убывает по величине обратно пропорционально расстоянию от этой точки (r), направлена вдоль лучей, сходящихся в точке — источнике поля:

.(1.8.13)

2. Потенциал гравитационного поля материальной точки массой (M) — прямо пропорционален массе материальной точки, создающей поле и убывает обратно пропорционально расстоянию от источника поля:

.(1.8.14)

Из формулы (1.8.11) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом, т.е. эквипотенциальные поверхности данного поля — это сферические поверхности.

Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).

Рис. 1.8.2.

Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на расстоянии r от источника гравитационного поля — тела массой (M):

.

Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

,

где R — радиус Земли. Так как

, и, учитывая, что h

Источник: http://www.kgau.ru/distance/2013/et4/001/01_08.htm

Гравитационное поле и его основные характеристики

Гравитационное поле и его характеристики

Известно, что все тела в природе притягивают друг друга. Такое притяжение называется гравитационным и описывается законом всемирного тяготения. Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле (поле тяготения).

Всякое тело (масса) изменяет свойства окружающего его пространства: создает в нем гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенное в него другое тело (масса) оказывается под действием силы.

Для количественного описания гравитационного поля вводятся понятия напряженности и потенциала.

Напряженностью гравитационного поля называют величину, равную силе, действующей на материальную точку массой 1 кг

. (4.1)

Размерность напряженности гравитационного поля совпадает с размерностью ускорения. Вблизи поверхности Земли напряженность гравитационного поля равна ускорению свободного падения (с точностью до поправки, обусловленной вращением Земли).

Физическое поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках пространства одинакова.

Поле называется центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, пересекающихся в одной точке.

На рисунке 7 представлено гравитационное поле Земли. Видно, что оно является центральным и неоднородным.

Любая масса, помещенная в гравитационное поле, обладает потенциальной энергией. Энергетической характеристикой гравитационного поля является потенциал, численно равный потенциальной энергии W, которой обладает в данной точке поля материальная точка массой 1 кг

φ=W/m.(4.2)

Две характеристики гравитационного поля – напряженность и потенциал φ – связаны между собой соотношением

. (4.3)

Знак “–“ в формуле (4.3) означает, что вектор напряженности гравитационного поля направлен в сторону уменьшения потенциала.

Физические поля удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовой линиейгравитационного поляназывается воображаемая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности .

Эквипотенциальной поверхностьюназывается геометрическое место точек гравитационного поля с одинаковым потенциалом.

Легко показать, что силовая линия всегда пересекает эквипотенциальную поверхность под прямым углом.

Силовые линии гравитационного поля являются разомкнутыми: они приходят из бесконечности и заканчиваются на массах.

Сила гравитационного взаимодействия (тяготения) является консервативной, а гравитационное поле – потенциальным. В гравитационном поле выполняется закон сохранения механической энергии.

Рисунок 7 – Силовые линии и эквипотенциальные поверхности гравитационного поля Земли

Электростатическое поле

Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электрический заряд. Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное тело взаимодействует с другими заряженными телами. Имеются два вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых элементарных частиц. Заряд всех заряженных элементарных частиц одинаков по абсолютной величине и равен 1,6×10-19 Кл. Носителем элементарного отрицательного электрического заряда является, например, электрон. Протон несет положительный заряд, нейтрон электрического заряда не имеет.

Атомы и молекулы всех веществ построены из протонов, нейтронов и электронов. Обычно протоны и электроны присутствуют в равных количествах и распределены в веществе с одинаковой плотностью, поэтому тела нейтральны.

Процесс электризации заключается в создании в теле избытка частиц одного знака или в их перераспределении (создании в одной части тела избыток заряда одного знака; при этом в целом тело остается нейтральным).

Взаимодействие между покоящимися электрическими зарядами осуществляется через особую форму материи, называемую электростатическим полем. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электростатическое поле.

Это поле проявляет себя в силовом действии на любой электрический заряд, помещенный в какую-либо его точку. Опыт показывает, что отношение силы , действующей на точечный заряд q, помещенный в данную точку электростатического поля, к величине этого заряда для всех зарядов оказывается одинаковым.

Это отношение называется напряженностьюэлектрического поляи является его силовой характеристикой

(4.4)

Заряды, помещенные в электростатическое поле, обладают потенциальной энергией. Опыт показывает, что отношение потенциальной энергии W положительного точечного заряда q, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда есть величина постоянная. Это отношение является энергетической характеристикой электростатического поля и называется потенциалом

φ = W/q. (4.5)

Потенциал электростатического поля численно работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность.

Напряженность электростатического поля и его потенциал связаны между собой соотношением

. (4.6)

Знак “–“ в формуле (4.6) означает, что вектор напряженности гравитационного поля направлен в сторону уменьшения потенциала.

Для графического изображения электростатического поля, как и в случае поля тяготения, используют силовые линии и эквипотенциальные поверхности. На рисунке 8 представлены силовые линии и эквипотенциальные поверхности точечного электрического заряда и силовые линии электрического диполя – системы двух близко расположенных одинаковых по модулю электрических зарядов разного знака.

Видно, что электростатическое поле точечного заряда является неоднородным и центральным. Силовые линии электростатического поля оказываются разомкнутыми: они могут начинаться или заканчиваться только на зарядах либо уходить в бесконечность. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Источник: https://cyberpedia.su/16xc502.html

L11-1

Гравитационное поле и его характеристики

Лекция 11

Движение в поле гравитации

Закон всемирного тяготения. Экспериментальное определение постоянной гравитации. Гравитационное поле, его характеристики. Задача Кеплера. Гравитационная энергия однородного шара. Гравитационный радиус. Гравитационное красное смещение.

Закон всемирного тяготения.

На основе наблюдательных данных Кеплер (1571-1630) установил законы движения планет Солнечной системы:

— каждая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которого находится Солнце;

— радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;

— квадраты периодов обращений планет относятся как кубы больших осей соответствующих эллиптических орбит.

Используя эти законы, Ньютон установил закон всемирного тяготения, согласно которому любые два тела (частицы) массами m1 и m2 в вакууме притягиваются друг к другу с центральными силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:

                                                 (11.1)

где  – одна из фундаментальных постоянных, называемая постояннойгравитации,  — расстояние между частицами (рис.11.1).

Рис. 11.1

Эти силы называются гравитационными силами, или силами всемирного тяготения.

Экспериментальное определение постоянной гравитации.

Опыт Кавендиша (1731-1810). Первое непосредственное доказательство закона (11.1) в лабораторных условиях и численное определение постоянной гравитации были проведены Кавендишем в 1798г. на крутильных весах (рис.11.2).

Вблизи концов коромысла, укрепленными одинаковыми шариками массы m, помещались два других больших свинцовых шара массы M каждый, причем , сначала в положении , затем – .

Из-за гравитационного притяжения шариков с шарами, коромысло поворачивался соответственно на углы  и .

Рис. 11.2

Углы измерялись смещением луча света, отраженного от зеркала З (рис.11.2). В положениях  и  на коромысло действует крутящий момент пары гравитационных сил , который уравновешивается упругим моментом закрученной нити :

где  — длина коромысла,  – расстояние между центрами шарика и ближайшего шара,  — модуль кручения, который находят из периода крутильных колебаний коромысла

В результате для определения G получаем формулу

где фигурируют только измеряемые величины.

Рис. 11.3

Опыт Жолли (1809-1880). В этом методе используются рычажные весы, на левом плече которых подвешены две чашки, как это показано на рис.11.3. Между чашками неподвижно установлен тяжелый свинцовый шар с узким вертикальным каналом, сквозь который проходит нить, соединяющая чашки.

Если на верхнюю чашку положить шарик массы m, то на него будет действовать вниз сила , где  — расстояние между центрами шарика и тяжелого шара. Если шарик перевести на нижнюю чашку, то на него будет действовать сила .

Следовательно, для восстановления равновесия рычажных весов после перемещения шарика в нижнее положение, надо уменьшить груз на правом плече чашки весов на , откуда и можно найти значение .

Гравитационное поле.

Согласно современным представлениям тяготение между телами осуществляется, так называемыми гравитационным полем. Каждое тело создает в окружающем пространстве силовое поле, которое и действует на тела в этой области. Силовой характеристикой этого поля служит его напряженность – сила, действующая на единицу массы пробной частицы массой , помещенной в точке  поля:

.                                                    (11.2)

Это – не что иное, как ускорение свободного падения частицы в данной точке. Для поля точечной массы m оно, с помощью (11.1), (11.2) выразится формулой

                       .                                                  (11.3)

Энергетической характеристикой гравитационного поля служит его потенциал. Это гравитационный потенциал единицы массы пробной частицы:

                       .                                                (11.4)

Для поля точечной частицы массы m имеем

                       .                                              (13.5)

Принцип независимости действия сил для полей приводит к принципу их суперпозиции: гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Математически этот принцип выражается формулами

.                                  (11.6)

На основе этих формул можно вычислить гравитационное поле любого тела. Для этого надо мысленно разбить тело на малые части, и подсчитать характеристики поля по формулам (11.3), (11.5) и (11.6).

Пользуясь принципом суперпозиции, можно показать (см. задачи), что внешние гравитационные поля однородного шара и шаровой оболочки, выражаются формулами (11.3) и (11.5), и поэтому два однородных шара (сферические оболочки) притягиваются между собой так, как если бы их массы были сконцентрированы в их центрах.

Источник: http://www.rau.am/fiz_osnovy_mexaniki/Lections/L11/L11-1.htm

Гравитационное поле и его характеристики

Гравитационное поле и его характеристики

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Всякое тело изменяет свойства окружающего его пространства — создает в нем гравитационное поле.

Это поле проявляет себя в том, что помещенное в него другое тело оказывается под действием силы. Об «интенсивности» гравитационного поля, очевидно, можно судить по величине силы, действующей в данной точке на тело с массой, равной единице.

В соответствии с этим величину называют напряженностью гравитационного поля:

$G=\frac{F}{m} $. (1)

В этой формуле $F$ есть гравитационная сила, действующая на материальную точку массы $m$ в данной точке поля.

Размерность $G$ совпадает с размерностью ускорения. Напряженность поля тяготения вблизи поверхности Земли равна ускорению свободного падения $g$ (с точностью до поправки, обусловленной вращением Земли).

Из формулы (1) легко заключить, что напряженность поля, создаваемого материальной точкой массы $m'$, равна:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $e_{r} $ — орт радиус-вектора, проведенного из материальной точки в данную точку поля, $r$ — модуль этого радиус-вектора.

Потенциал гравитационного поля

Пусть гравитационное поле создается закрепленной в начале координат материальной точкой массы $m$. Тогда на материальную точку массы $m'$, находящуюся в точке с радиус-вектором $r$, будет действовать сила:

$F=Gm'=-\gamma \frac{mm'}{r{2}} e_{r}$ (2)

Потенциальная энергия точки $m'$ определяется в этом случае выражением:

$U=-\gamma \frac{mm'}{r} $. (3)

(потенциальная энергия при $r=\infty $ принята равной нулю). Выражение (3) можно трактовать также как взаимную потенциальную энергию материальных точек $m'$и $m$.

Из (3) видно, что каждой точке поля, создаваемого материальной точкой $m$, соответствует определенное значение потенциальной энергии, которой обладает в этом поле материальная точка $m'$. Поэтому поле можно характеризовать потенциальной энергией, которой обладает в данном месте материальная точка с $m'=1$ Величину

$\varphi =\frac{U}{m'} $. (4)

называют $потенциалом$ гравитационного поля. В этой формуле $U$ есть потенциальная энергия, которой обладает материальная точка массы $m'$ в данной точке поля.

Потенциал поля, созданного материальной точкой массы $m$на расстоянии $r$ от нее:

Зная потенциал поля, можно вычислить работу, совершаемую над частицей $m'$ силами поля при перемещении ее из положения 1 в положение 2. Эта работа будет равна:

$A_{1-2} =U_{1} -U_{2} =m(\varphi _{1} -\varphi _{2} )$. (5)

Согласно (4) сила, действующая на частицу $m'$, равна $F=m'G$, а потенциальная энергия этой частицы равна $U=m'\varphi $.

Так как $F=-abla U$, т. е. $m'G=-abla (m'\varphi )$. Вынеся из-под знака градиента константу $m'$ и сократив затем на эту константу, придем к соотношению между напряженностью и потенциалом гравитационного поля:

Принцип суперпозиции гравитационных полей

Принцип независимости действия сил для полей приводит к принципу их суперпозиции: гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности. Математически этот принцип выражается формулами:

На основе этих формул можно вычислить гравитационное поле любого тела. Для этого надо мысленно разбить тело на малые части, и подсчитать характеристики поля.

Гравитационное поле Земли является силовым полем, которое обусловлено притяжением ее массы и центробежной силой, возникающей как следствие вращения Земли. Гравитационное поле Земли:

  • зависит (хотя и в незначительной степени) от притяжения Луны, Солнца и прочих тел, а также массы земной атмосферы;
  • характеризуется силой тяжести, потенциалом и рядом различных производных (часть потенциала называют геопотенциалом — он обусловлен только притяжением Земли);
  • является основанием для определения геоида, который характеризует гравиметрическую фигуру Земли — по этой фигуре задаются высоты поверхности планеты;
  • по нему делают заключение о гидростатическом равновесном состоянии планеты и возникающих из-за этого напряжениях в её недрах, исследуют упругие свойства Земли;
  • помогает производить расчеты орбит искусственных спутников, траектории движения ракет;
  • аномалии поля помогают узнавать распределение неоднородностей по плотности в земной коре, верхней части мантии, проводить тектоническое районирование, искать полезные ископаемые.

Пример 1

Определить напряженность и потенциал гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности.

Дано: $r=\cdot 6,4\cdot 10{6}

Найти: $G$, $\varphi $-?

Решение:

Согласно второму закону Ньютона отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы равно ускорению частицы:

\[a=\frac{F}{m} .\]

У поверхности Земли это ускорение есть ускорение свободного падения $g$- величина, постоянная для всех тел.

Таким образом, получаем:

\[a=\frac{F}{m} =g.\]

По формуле (1) напряженность гравитационного поля Земли равна:

\[G=\frac{F}{m} .\]

Эта формула выражает величину напряженности через отношение силы тяготения, действующей на частицу, к массе этой частицы.

Сравнивая выражения для ускорения частицы и напряженности гравитационного поля, получаем:

$G=g=9,8$ Н/кг.

Зная величину напряженности и выражения для напряженности $G=-\gamma \frac{m}{r{2} } $ и потенциала $\varphi =-\gamma \frac{m}{r} $ гравитационного поля, найдем величину его потенциала:

\[\varphi =-Gr=-9,8\cdot 6,4\cdot 10{6} =-6,2\cdot 10{7} 6/:3.\]

Ответ: $G=9,8$ Н/кг, $\varphi =-6,2\cdot 10{7} 6/:3.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/dinamika/gravitacionnoe_pole_i_ego_harakteristiki/

Booksm
Добавить комментарий