Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Граничные условия для векторов и магнитного поля в кусочно-однородной среде. Это условия для векторов и на границе раздела двух однородных магнетиков. Эти условия получаем с помощью теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции, кот. имеет вид: : .

Для : Представим малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела магнетиков. Тогда поток наружу из этого цилиндра можно записать так: . Взяв обе проекции на общую нормаль , получим => , т.е. нормальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела.

Для : Предположим, что вдоль пов-ти раздела магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i. Применим теорему о циркуляции к очень малому прямоугольному контуру, высота кот. мала по сравнению с длиной его .

Пренебрегаем вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура, запишем для всего контура : , где — проекция вектора на нормаль к контуру . Взяв обе проекции на общий орткасательной , получим => т.е. тангенциальная составляющая вектора при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок.

Но если на границе раздела магнетиков токов проводимости нет (i=0) то Т.о. если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет , то при переходе этой границы составляющие Bn и Hr изменяются непрерывно, а и при этом претерпевают скачок.

Магнитное поле в полостях в однородном магнетике.

В обычных случаях, когда токи текут по достаточно тонким проводам, магнитное поле в окруж. пр-ве (вакууме) зависит только от токов проводимости, т.к. поля от токов намагничивания компенсируют друг друга.

Заполним окружающее проводник пр-во однородным непроводящим магнетиком, на его границе с проводом появится поверхностный ток намагничивания I’.

В рез-те мы будем иметь ток намагничивания I, объемный и поверхностный токи намагничивания в проводнике и поверхностный ток намагничивания I’ на непроводящем магнетике. При достаточно тонких проводах магнитное поле В в магнетике будет опр-ся как поле тока I+I’.

Для нахождения I’ окружим проводник контуром, расположенным в поверхностном слое непроводящего магнетика, и пусть пл-ть контура перпендик-на оси провода, тогда . поля токов намагничивания отличается от В0 поля токов проводимости. , тогда В=В0+В’=(1+χ)В0=μВ0 – индукция результирующего поля, т.е.

при заполнении пр-ва однородным магнетиком возрастает в μ раз; разделив последнее на μμ0 => Н=Н0 (поле Н оказывается таким же и в вакууме). поля токов намагничивания связана с I магнетиков: .

Принципиальные методы измерения напряженности и индукции магнитного поля в магнетиках. Пусть соленоид, имеющий п1 ампер-витков на единицу длины, заполнен однородным магнети-ком с магнитной проницаемостью μ>1. Найдем магнитную ин­ дукцию В поля в магнетике.

тПри отсутствии магнетика внутри соленоида магнитная индукция В0=μμ0nI.Так как магнетик заполняет все пространство, где поле отлично от нуля (краевыми эффектами мы пренебрегаем), то магнитная индукция В должна быть в μ раз больше: .В этом случае поле вектора Н остается тем же, что и при отсутствии магнетика,т. е. Н = Н0.

Изменение поля В вызвано появлением токов намагничивания, обтекающих поверхность магнетика в том же направлении, что и тока проводимости в обмотке соленоида, это при μ> 1. Если же μ< 1, то направления указанных токов будут противоположными.

Полученные результаты справедливы и в случае, когда магнетик имеет вид очень длинного стержня, расположенного внутри соленоида параллельно его оси.

Магнетики.

Магнетиками называются макроскопические тела, способные намагничиваться – приобретать магнитные свойства.

Классификация магнетиков.

По магнитным свойствам магнетики (среды, способные намагничиваться в магнитном поле) разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Диамагнетики — вещества, у атомов (или молекул) которых в отсутствие внешнего магнитного поля нет собственного магнитного момента.

Магнитная восприимчивость и практически не зависит от температуры, тогда магнитная проницаемость µ < 1.

У диамагнетиков индукция собственного поля В' мала по сравнению с индукцией внешнего поля В0 , но оба поля направлены противоположно друг другу:

Парамагнетики – вещества атомы или молекулы которых обладают собственными орбитальными магнитными моментами. Магнитная восприимчивость , а магнитная проницаемость µ 1.

Магнитное поле стремиться установить магнитные моменты по полю, тепловое движение атомов стремится разбросать их равномерно по всем направлениям. Устанавливается некоторая преимущественная ориентация магнитных моментов вдоль поля В, тем меньшая, чем выше температура Т.

У парамагнетиков индукция собственного поля В' мала по сравнению с индукцией внешнего поля В0 , но оба поля направлены одинаково: .

Закон Кюри для парамагнетиков:магнитная восприимчивость парамагнетиков обратно пропорциональна термодинамической температуре

где С — постоянная Кюри, зависящая от рода вещества, Т – термодинамическая температура.

Щелочные и щелочноземельные металлы не подчиняются закону Кюри – их магнитная восприимчивость практически не зависит от температуры.

Насыщение намагниченности – состояние парамагнетика, при котором магнитные моменты всех атомов парамагнетика ориентированы по направлению вектора магнитной индукции В.

Ферромагнетики— вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, сильно изменяющейся под влиянием внешнего магнитного поля.

Ферромагнетики – сильномагнитные вещества, их намагниченность в 1010 раз превосходит намагниченность диа- и парамагнетиков. Магнитная восприимчивость , а магнитная проницаемость µ 1.

У ферромагнетиков индукция собственного поля В' намного больше индукции внешнего поля В0 и оба поля направлены одинаково:

В ферромагнетиках внешнее поле многократно усиливается за счет возникновения весьма сильного собственного поля.



Источник: https://infopedia.su/7xc737.html

Граничные условия для магнитного поля

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Классификация магнетиков.

В то время как диэлектрическая проницаемость ε у всех веществ всегда больше единицы (диэлектрическая восприимчивость κ>0), магнитная проницаемость μ может быть как больше единицы, так и меньше единицы (соответственно магнитная восприимчивость χ >0 и χ>1Ферримагнетик 101 – 103 , μ(Н)>>1Антиферромагнетик 10-4 – 10-6, μ>1Сверхдиамагнетик — 1 , μ=0

Дадим краткую характеристику каждого типа магнетика.

Диамагнетики – вещества, характеризуемые отрицательным значением магнитной восприимчивости χ. Вследствие этого вектор намагничивания в этих веществах направлен противоположно внешнему намагничивающему полю . Диамагнетиками являются, например, вода (χ = — 9∙10-6), серебро (χ = — 2,6∙10-5), висмут (χ = — 1,7∙10-4).

Парамагнетики – характеризуются положительным значение χ , ведут они себя подобно диэлектрикам с диэлектрической проницаемостью ε>1, то есть вектор в этих веществах параллелен намагничивающему полю . К парамагнетикам относятся алюминий (χ = 2,1∙10-6), платина (χ = 3∙10-4), хлористое железо (χ = 2,5∙10-3).

Ферромагнетики – особый вид магнетиков, отличающийся от других магнетиков следующими характерными признаками: 1) высоким значением магнитной восприимчивости (см.

таблицу); 2) зависимостью магнитной проницаемости μ от напряженности магнитного поля, вследствие чегозависимость от для этих веществ является нелинейной; 3) наличием петли гистерезиса на кривой намагничивания; 4) существованием температуры, называемой точкой Кюри, выше которой ферромагнетик ведет себя как обычный парамагнетик. Из чистых металлов ферромагнетиками являются железо, никель, кобальт, а также некоторые редкоземельные металлы (например, гадолиний). К числу ферромагнетиков относятся сплавы и соединения этих металлов, а также сплавы и соединения марганца и хрома с неферромагнитными элементами (например, MnAlCu, CrTe и другие).

Ферримагнетики (ферриты) – вещества, в которых магнитные моменты атомов кристаллической решетки образуют несколько магнитных подрешеток с магнитными моментами, направленными навстречу друг другу.

Имея меньшую величину магнитной восприимчивости по сравнению с ферромагнетиками, в остальном ферримагнетики характеризуются теми же признаками, что и ферромагнетики. Типичными ферритами являются соединения оксидов железа с оксидами других металлов — шпинели (MnFe2O4), гранаты Gd3Fe5O12), гексаферриты (PbFe12O19).

Другую группу ферритов образуют двойные фториды типа RbNiF3, а также соединения типа RFe2 (R – редкоземельный металл).

Антиферромагнетики– частный случай ферримагнетиков, в которых магнитные моменты подрешеток с противоположно направленными магнитными моментами полностью компенсируют друг друга (скомпенсированный ферримагнетик).

Существование антиферромагнетиков было предсказано Л.Д.Ландау в 1933г.

В настоящее время известен широкий спектр веществ, обладающих антиферромагнитными свойствами: редкоземельные элементы (Er, Dy, Ho), оксиды и дифториды некоторых металлов (FeO, MnO, CoF2, NiF2), соли угольной и серной кислот (MnCO3, NiSO4) и другие.

Сверхдиамагнетики (идеальные диамагнетики) – вещества, магнитная прони-цаемость μ которых равна нулю. Благодаря этой особенности для сверхдиамагнетиков имеет место эффект Мейсснера-Оксенфельда (Meissner W., 1882-1974; Ocksenfeld C.) – полное выталкивание магнитного поля из объема сверхдиамагнетика (магнитная индукция=0).

Сверхдиамагнетиками являются все вещества, находящиеся в сверхпроводящем состоянии — низкотемпературные сверхпроводники (металлы) и высокотемпературные сверхпроводники (керамики). Из несверхпроводящих материалов, обладающих сверхдиамагнитными свойствами, известен пока только один пример – хлорид меди (CuCl), открытый в 1986г. (Русаков А.П., МИСиС).

При переходе через границу раздела двух магнетиков с различными магнитными проницаемостями μ1 и μ2 силовые линии магнитного поля испытывают преломление (рис.11.2).

Для того, чтобы выяснить, как происходит преломление линий поля необходимо установить для его нормальных и тангенциальных составляющих граничные условия.

Вывод граничных условий для магнитного поля в точности аналогичен выводу граничных условий для электрического поля и основывается на применении основных теорем магнитостатики – теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции магнитного поля.

Рис.11.2. К выводу граничных условий для магнитного поля.

Для нормальных составляющих индукции теорема Гаусса дает (см. рис.11.2):

,

где S1 = S2.

Поток индукции поля через боковую поверхность цилиндра при (переход к пограничному слою) становится исчезающе малым и им можно пренебречь. Следовательно, при переходе через границу раздела двух однородных магнетиков нормальныесоставляющиеиндукции магнитного поля непрерывны:

.

Считая, что по границе раздела магнетиков не текут поверхностные токи (I = 0), будем иметь для тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля, согласно теореме о циркуляции поля (рис.11.2):

,

где a1 = а2 = а.

Составляющие циркуляции поля по коротким сторонам контура обхода границы при (стягивание к границе) исчезают. Таким образом, приходим к выводу, что при переходе через границу раздела двух однородных магнетиков тангенциальные составляющие напряженности магнитного полянепрерывны:

.

Для построения картины преломления силовых линий поля на границе раздела двух магнетиков к полученным граничным условиям необходимо присоединить еще условия, вытекающие из материального уравнения, связывающего векторы и :

и .

Тем самым, задача о преломлении линий поля полностью решается.

Источник: https://studopedia.su/9_72255_granichnie-usloviya-dlya-magnitnogo-polya.html

Граничные условия для векторов электромагнитного поля

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Поверхности физических тел являются границами, разделяющими среды с различными свойствами, например, воздух – поверхность моря или земли, металл – диэлектрик. Будем изучать поля непосредственно вблизи таких поверхностей, т.е.

в областях, где параметры среды σ, ε, μиспытывают скачок (рис.1.6).

Например, на границе раздела воздуха (I среда) и морской воды (II среда) относительная диэлектрическая проницаемость меняется скачком от ε1=1 до ε2=80, а удельная проводимость от σ1≈0 до σ2=4 См/м.

Рисунок 1.6 – Граница раздела двух сред

Этот скачкообразный характер изменения параметров сред нарушает непрерывность изменения векторов ЭМП. Дифференциальные уравнения как основной вычислительный аппарат на границе раздела двух сред теряют смысл, так как здесь производные обращаются в бесконечность.

Поэтому уравнения Максвелла дополняют граничными условиями, которые определяют поведение векторов поля при переходе через поверхность раздела сред. Для нахождения граничных условий векторы ЭМП у границы раздела сред раскладывают на тангенциальные и нормальные составляющие.

Например, вектор напряженности электрического поля можно представить в виде (рис.1.7):

, (1.16)

Рисунок 1.7 – Представление вектора нормальной и тангенциальной

составляющими

Воспользовавшись уравнениями Максвелла в интегральной форме, определяют граничные условия отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей. Затем для получения полного вектора поля у границы раздела эти составляющие складывают.

Опуская вывод, запишем граничные условия отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих. Так, для нормальных составляющих вектора

(1.17)

где ρS- поверхностная плотность заряда на границе раздела сред.

Из (1.

17) следует, что нормальная составляющая вектора электрического смещения при переходе через границу раздела сред претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда на этой границе. Физически это объясняется так. Поверхностный заряд создает (рис. 1.8) в I и II средах электрическое поле, которое в одной сфере усиливает, а в другой ослабляет внешнее поле.

При ρS=0соотношение (1.17) примет вид: , т.е. нормальная составляющая вектора Dна границе раздела сред непрерывна.

Рисунок 1.8 – Граничные условия для вектора при ρS≠0

Граничное условие для нормальной составляющей вектора магнитной индукции имеет вид

или . (1.18)

Из (1.

18) следует, что нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе раздела сред всегда непрерывна.

Для тангенциальных (касательных) составляющих векторов и граничные условия запишутся:

(1.19)

или (1.20)

Из (1.

19) видно, что тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля при переходе через границу раздела сред претерпевает скачок, численно равныйнормальной составляющей линейнойплотности поверхностного тока, текущего на границераздела .

Физически это объясняется тем, что поверхностный ток создает в средах тангенциальную составляющую напряженности поля (рис.1.9), которое в одной среде усиливает, а в другой – ослабляет напряженность внешнего магнитного поля.

Рисунок 1.9 – Граничные условия для вектора при наличии

поверхностного тока

Выражение (1.20) указывает на непрерывность тангенциальной составляющей напряженности электрического поля.

В заключение приведем полную систему граничных условий на границе раздела двух сред:

; ;

(1.21)

; .

Часто на пути распространения ЭМВ встречаются хорошо проводящие металлические поверхности: борт самолета и корабля, антенна РЛС, стенка волновода и т.д. Металлические поверхности существенно влияют на распространение ЭМВ. Можно показать, что внутри проводника (II среда) электромагнитное поле не существует(рис.1.10).

II среда – металлσ2= ∞

Рисунок 1.10 – Граница раздела сред: воздух – идеальный проводник

Учитывая этот факт, выражения (1.21) перепишутся так:

; ;(1.22)

; .

Из (1.

22) следует, что на поверхности идеального проводника тангенциальная (касательная) составляющая электрического поля отсутствует (граничное условие Дирихле),а для магнитного поля та же составляющая максимальна (граничное условие Неймана).Эти условия иллюстрирует рис.1.11.

Рисунок 1.11 – Картина силовых линий векторов ЭМП на границе раздела воздух – идеальный проводник

Напомним, что вектор плотности поверхностного тока связан с тангенциальной составляющей векторным произведением (правый винт):

, (1.23)

т.е. если вращать винт по кратчайшему расстоянию от к , то его поступательное движение будет совпадать с направлением
вектора .

Знание поведения векторов ЭМП на поверхности идеального проводника необходимо в дальнейшем для понимания физической сущности процесса распространения электромагнитной энергии в металлических волноводах, проводящих средах и др.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_258009_granichnie-usloviya-dlya-vektorov-elektromagnitnogo-polya.html

Касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля

Получим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора $\overrightarrow{H}$магнитного поля ($H_{\tau }$). Предположим, что вдоль границы раздела течет поверхностный ток проводимости линейной плотности $\overrightarrow{j}$. Построим около границы магнетиков 1 и 2 замкнутый контур (рис. 1).

Рис. 1

Согласно теореме о циркуляции запишем, что:

У этого контура высота пренебрежимо мала по сравнению с длинной основания $l$. Следовательно, вкладом в циркуляцию магнитного поля боковых сторон (AB и СD) пренебрежем. В таком случае имеем:

Правая часть выражения (1) имеет вид:

где $j_n$ —составляющая поверхностной плотности тока вдоль нормали к контуру $\overrightarrow{N}=\left[\overrightarrow{n}\overrightarrow{t}\right]\ $(или, говорят в направлении перпендикулярном тому, в котором выбирают касательные составляющие $\overrightarrow{H}$). Надо отметить, что это поверхностные токи проводимости, а не молекулярные токи. Приравняем правые части выражений (2) и (3), получим:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В векторном виде имеем:

В том случае, если тока проводимости на границе раздела нет, то касательные составляющие $\overrightarrow{H\ }$на границе раздела непрерывны:

Нормальная составляющая вектора магнитной индукции поля

Граничное условие для $B_n$получают из уравнения:

Перпендикулярные составляющие $\overrightarrow{B}$на границе раздела двух магнетиков непрерывны:

Нормальная составляющая вектора $\overrightarrow{H}$Из уравнения (8), если применить материальное уравнение для векторов магнитного поля при переходе из одной среды в другую имеем:

Касательная составляющая вектора $\overrightarrow{B}$ магнитного поля

Тангенциальные составляющие магнитного поля испытываю скачек, причем:

Выражения (4, 6), (8), (9), (10) являются граничными условиями для магнитного поля. Они аналогичны граничным условиям для электрического поля.

Закон преломления линий магнитного поля

Из граничных условий для магнитного поля следует закон преломления линий индукции:

где ${\alpha }_1$ — угол между линиями магнитной индукции в среде 1 и нормалью к поверхности раздела, ${\alpha }_2$- гол в среде 2.

Так как в изотропных средах направления вектора $\overrightarrow{B}$ и вектора $\overrightarrow{H}$ совпадают, то закон (11) является и законом преломления линий напряженности.

Из (11) следует, что если линии поля переходят из среды с меньшей магнитной проницаемостью в среду с большей проницаемостью, то они удаляются от нормали, и линии сгущаются.

Пример 1

Задание: На рис. 2 изображены линий вектора $\overrightarrow{B}\ $при переходе их одного магнетика (${\mu }_1$) в другой (${\mu }_2$). Какая из магнитных проницаемостей среды больше?

Рис. 2

Решение:

Рассмотрим, поведение силовых линий, когда они переходят границу двух магнетиков. Если отсутствуют поверхностные токи, выполняется условие:

\[\frac{tg\alpha }{tg\beta }=\frac{B_{1\tau }}{B_{2\tau }}=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\ \left(1.1\right).\]

Это означает, что в магнетике с большей магнитной проницаемостью, вектор $\overrightarrow{B}$ составляет больший угол с нормалью к границе раздела двух магнетиков.

Следовательно, в нашей задаче ${\mu }_2 > {\mu }_1$.

Ответ: ${\mu }_2 > {\mu }_1$.

Пример 2

Задание: Магнитное поле на границе двух магнетиков изобразили с помощью линий поля (рис.3). Какие это линии, какая из магнитных проницаемостей среды больше?

Рис. 3

Решение:

  1. На рис.3 изображены линии напряженности магнитного поля ($\overrightarrow{H}$), так как мы знаем, что они на границе магнетиков испытывают разрыв. Это является следствием связанных токов на границе раздела. Тогда как линии индукции магнитного поля не прерываются.
  2. ${\mu }_2 > {\mu }_1,$ так как в среде с большей магнитной проницаемостью линии поля имею больший угол между нормалью к границе раздела сред согласно закону преломления.

Ответ: 1. Линии напряженности магнитного поля. 2. ${\mu }_2 > {\mu }_1$.

Пример 3

Задание: В однородное поле помещают шар из магнетика, изобразите линии индукции магнитного поля. Считайте, что магнитная проницаемость шара больше, чем проницаемость окружающей среды.

Рис. 4

Решение:

В ситуации, которая задана линии индукции в теле шаровой формы будут параллельными линиями, значение индукции во всех точках шара одинаковое. При этом будут постоянны напряженность и намагниченность, то есть, говорят, что шар намагничен однородно. Кроме того рис. 5 учитывает, что ${\mu }_2 > {\mu }_1.$

Рис. 5

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/magnetiki/granichnye_usloviya_dlya_vektorov_napryazhennosti_i_indukcii_magnitnogo_polya/

Граничные условия для касательных составляющих векторов электромагнитного поля

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Лекция № 7. Граничные условия на поверхности раздела сред

Учебные вопросы лекции:

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля.

Граничные условия для касательных составляющих векторов электромагнитного поля.

Граничные условия на поверхности идеального диэлектрика и идеального проводника.

Введение

При решении практических задач электродинамики помимо уравнений Максвелла необходимо также знать граничные условия, т.е. знать соотношения между векторами поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела сред.

Если на границе между различными материальными средами параметры среды e, m, s скачкообразно изменяются, то, очевидно, векторные функции , ,  и  будут иметь разрывы. Определить характер этих разрывов и означает задать граничные условия на поверхности раздела сред.

Поскольку разрывные функции нельзя дифференцировать, то для нахождения соотношения поля на границе раздела, необходимо использовать интегральные уравнения Максвелла и предельные переходы.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В первом вопросе формулируется закон поведения нормальных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред.

Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с параметрамиea1, ma1, s1 и ea2, ma2, s2.

На поверхности раздела сред выделим достаточно малый элемент DS , в пределах которого в обеих средах нормальные составляющие вектора  равномерно распределены.

На основании DS построим цилиндр с высотой h так, чтобы его основания находились в разных средах, как показано на рис. 1.

Рис. 1 – Пояснение к выводу граничных условий для нормальных составляющих электрического поля

Используем 3-е уравнение Максвелла в интегральной форме, согласно которому поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность S равна сумме зарядов в объеме V, ограниченном этой поверхностью, т.е.:

                                          ,

где: – единичный вектор, нормальный к малой площадке ; – нормаль к , r — объемная плотность электрического заряда.

Разобьем интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающий объем V, на три интеграла:

              .

Устремим высоту цилиндра h к нулю, тогда: основания цилиндра устремляются к площади круга на границе раздела двух сред, а площадь боковой поверхности воображаемого цилиндра к нулю, т.е.

    ΔS1 и ΔS2 ® ΔS;              Sбок = h×DS ® 0; ;

тогда интеграл по объему V будет стремиться к интегралу по элементарной площади:                            ,

где: rS – поверхностная плотность заряда на границе раздела сред.

Учитывая это, получаем: .

Определим теперь нормальные составляющие вектора . Из рис. 1 очевидно, что:

.

Наконец, считая площадку ΔS настолько малой, что на этой площади вектор  практически не изменяется, получим:

.

Окончательно: , или

D1n – D2n = rS.                              (1)

Итак, делаем вывод: нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через граничную поверхность претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда.

Поскольку из материальных уравнений  то, следовательно, граничные условия для нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля будут иметь вид:

eа1Е1n — eа2Е2n = rS .                    (2)

Если граничная поверхность не заряжена, то нормальнаякомпонента Dn вектора электрической индукции на основании (1) непрерывна при переходе из среды 1 в среду 2, а нормальная компонента En вектора напряженности электрического поля терпит разрыв, величина которого определяется соотношением диэлектрических проницаемостей сред:

(при rS = 0).

Рассмотрим теперь граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля. Для этого по аналогии охватим обе среды цилиндром с объемом V и используем 4-ое уравнение Максвелла в интегральной форме, согласно которому поток вектора магнитной индукции В через любую замкнутую поверхность S равен нулю:

.

Разобьём замкнутый интеграл по поверхности на три интеграла:

.

Устремим высоту цилиндра  h ® 0 тогда:

.

Наконец, учитывая постоянство  на площадке  из-за малости последней, получим для нормальных составляющих:

,

или                        B1n – B2n = 0.                                          (3)

В результате делаем вывод о том, что нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела двух сред остается непрерывной.

Поскольку из материальных уравнений   то, граничные условия для нормальных составляющих вектора напряженности магнитного поля имеют вид:

mа1Н1n = mа2Н2n .                                    (4)

Таким образом, нормальная составляющая вектора  на границе сред терпит разрыв, величина которого равна отношению абсолютных магнитных проницаемостей сред.

.

Граничные условия для касательных составляющих векторов электромагнитного поля

В этом вопросе формулируется закон поведения касательных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред.

Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с параметрами eа1, mа1, s1 и eа2, mа2, s2. Охватим обе среды элементарным контуром L, плоскость которого перпендикулярна поверхности раздела двух сред (см. рис. 2).

Рис. 2 –Пояснение к выводу граничных условий для касательных составляющих электрического поля

Используем 2-ое уравнение Максвелла в интегральной форме, согласно которому циркуляция вектора напряженности электрического поля Е (т.е. ЭДС) по любому замкнутому контуру L равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур с обратным знаком:

.

Разобьем контур L на четыре участка, два из которых определяются вектором элементарной длины , а два других – вектором элементарной высоты  , тогда интеграл по замкнутой кривой можно разбить на четыре линейных интеграла:

.

Устремим высоту контура Δh к нулю, тогда элементарная площадь, ограниченная контуром, ΔS = Δl .Δh в пределе будет стремится к нулю, а стороны АВ и CD сливаются на границе, и в этом случае получаем:

.

Определим касательные составляющие вектора напряженности электрического поля:

,

где   — единичный касательный вектор.

Наконец, полагая, что отрезок Δl настолько мал, что вектор   на данном участке не изменяется, получим:

.

Окончательно: , или

                               Е1t = Е2t .                                       (5)

Таким образом, касательная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на границе раздела сред.

Используя материальное уравнение  определяем:

.                                                   (6)

В результате делаем вывод о том, что касательные составляющие вектора  терпят разрыв, величина которого определяется соотношением диэлектрических проницаемостей обеих сред.

.

Рассмотрим граничные условия для касательных составляющих вектора напряженности магнитного поля .

По аналогии с предыдущим случаем, охватим границу раздела сред контуром L и используем 1-ое уравнение Максвелла.

Согласно которому циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по любому замкнутому контуру L равна сумме электрического тока проводимости и тока смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:

.

Разбиваем интеграл по замкнутому контуру L на 4-ре интеграла:

.

Устремим высоту контура Δh к нулю, тогда элементарная площадь, ограниченная контуром, ΔS = Δl.Δh в пределе будет стремится к нулю, а интегралы:

, , , ,

где:  — вектор плотности поверхностного тока проводимости, пересекающий отрезок линии lпов (см. рис. 3.).

Рис. 3- Понятие вектора плотности поверхностного тока проводимости

Следовательно, получаем:

.

Наконец, учитывая постоянство  на площадке , получим для касательных составляющих:

,

или:                                           Н1t  – Н2t = JS.                                   (7)

Итак, делаем вывод о том, что касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе раздела сред претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности тока проводимости, протекающего по границе раздела сред.

Используя материальное уравнение , определим граничные условия для касательных составляющих вектора магнитной индукции:

.                                           (8)

Если по граничной поверхности ток не протекает, т.е.

, то касательная компонента Ht вектора напряженности магнитногополя на основании (7) непрерывна при переходе из среды 1 в среду 2, а нормальная компонента Bt вектора магнитной индукции терпит разрыв, величина которого определяется соотношением магнитных  проницаемостей сред:

(при JS = 0).

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 279;

Источник: https://studopedia.net/5_51689_granichnie-usloviya-dlya-kasatelnih-sostavlyayushchih-vektorov-elektromagnitnogo-polya.html

Теорема о циркуляции векторов магнитного поля. Граничные условия для векторов магнитного поля

Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля

Поле, работа силкоторого не зависит от траектории,называется потенциальным.

Отсюда следует,что если пробный заряд будет перемещатьсяпо замкнутой траектории, то суммарнаяработа будет равна нулю:

Если полесоздается несколькими точечнымизарядами, то работу по перемещениюпробного заряда можно рассчитать,используя принцип суперпозиции:

Следовательно, любое электростатическое полепотенциально.

Учитывая, что вэтом случае: ,

Тогда приперемещении по замкнутой траектории:

Поскольку qn=0 не имеет смысла, то для любогопотенциального поля:

теоремао циркуляции вектора напряженности.

Циркуляциявектора напряженности электростатическогополя по любому замкнутому контуру равнанулю.

Следствиемтеоремы является то, что линии напряженностиэлектростатического поля не могут бытьзамкнуты.

Теорема оциркуляции является критериемпотенциальности поля.

Теорема о циркуляциивектора магнитной индукции поляпостоянных токов в вакууме может бытьдоказана на основе закона Био-Савара,что, в общем случае, достаточно сложно.

— циркуляция векторамагнитной индукции по любому замкнутомуконтуру равна произведению магнитнойпостоянной на алгебраическую суммутоков охватываемых этим контуром.

Ток считаетсяположительным, если его направлениесвязано с направлением обхода по контуруправилом правого винта (рис.75).

РИС.75

Если ток распределенпо объему, в котором расположен контур,то полный ток охваченный контуром ,где интеграл берется по произвольнойповерхности натянутой на контур, плотность тока соответствует токерасположения площадки. В этом случае теорема о циркуляции:

ГРАНИЧНЫЕУСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ НАПРЯЖЕННОСТИ ИМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ.

На границе разделадвух магнетиков линии вектора индукциииспытывают преломление, но непрерывны .

Линиивектора напряженности преломляются потакому же закону, но терпят разрыв из-заповерхностных токов намагничивания(даже в отсутствие токов проводимости).

На рис. 103 представленылинии векторов индукции и напряженностидля случая >.

На этом основанамагнитная защита, т.е. использованиезамкнутой железной оболочки для защитывнутреннего пространства от внешнегомагнитного поля. Линии поля концентрируютсяв самой оболочке, а в окруженном оболочкойпространстве магнитное поле значительноменьшей величины, чем внешнее поле.

Электрическийток, текущий в замкнутом контуре, создаетвокруг себя магнитное поле, индукциякоторого, по закону Био-Савара-Лапласа,пропорциональна току. Сцепленный сконтуром магнитный поток поэтому пропорционален токув контуре:

,

где коэффициентпропорциональности называется индуктивностью контура.Индуктивность- коэффициент пропорциональности междуизменением силы тока и изменениемпотока, созданного этим током

ЯВЛЕНИЕСАМОИНДУКЦИИ.

Как ужеобсуждалось, явление электромагнитнойиндукции наблюдается при всяком изменениимагнитного потока независимо от причины,вызвавшей это изменение.

Если в некоторомконтуре течет изменяющийся во времениток, то изменяется магнитное поле этоготока, а, следовательно, магнитный потокчерез поверхность, ограниченную контуром.

ВозникновениеЭДС индукции в проводящем контуре приизменении в нем силы тока называетсяявлением самоиндукции.

Магнитныйпоток, обусловленный собственным токомконтура (сцепленный с контуром),пропорционален магнитной индукции,которая, в свою очередь, по законуБио-Савара-Лапласа, пропорциональнатоку.

, где L–коэффициент самоиндукции илииндуктивность, «геометрическая»характеристика проводника, так какзависит от его формы и размеров, а такжеот магнитных свойств среды.

=1Гн=1Вб/1А.

При изменениисилы тока изменяется и сцепленный сконтуром поток, а следовательно возникаетЭДС самоиндукции. Если контур жесткий,ферромагнетики отсутствуют, распределениеи магнитные свойства вещества средынеизменны, индуктивность L=const.

— знак (-) отражаеттот факт, что наличие индуктивности вцепи приводит к замедлению изменениятока в ней.

Рассчитаеминдуктивность настолько длинногосоленоида, что поле внутри его можносчитать однородным, а краевыми эффектамипренебречь. Пусть вся длина соленоидаL,общее число витков N,площадь поперечного сечения S,магнитная проницаемость магнетика,заполняющего объем соленоида .

Магнитный потокчерез все витки соленоида и, следовательно, индуктивность равна,гдеV– соленоида.

Индуктивнымисвойствами обладают любые реальныепроводники, но величина индуктивностинаибольшая для соленоида, поэтомуявление самоиндукции наиболее сильнопроявляется в цепях, содержащих этиэлементы.

Замкнем цепь,содержащую источник постоянной ЭДС, соленоид и сопротивление (рис.113).

Как ужеобсуждалось, ЭДС индукции появляетсяпри любом изменении магнитного потока,независимо от причины, вызывающей этоизменение. Тогда, в соответствии сзаконом сохранения энергии, ток в цепиопределяется как источником, так и ЭДСсамоиндукции: ,.

Введем новуюпеременную ,.

Тогда и. Интегрируем, учитывая, что приt=0 I=0 U=-,а установившееся значение тока.

, ,,.

Следовательно,ток в цепи устанавливается не мгновенно,а возрастая по экспоненциальному законудо стационарного значения (рис.114).

РИС.113 РИС.114 РИС.115

При размыканииэтой цепи сила тока также, поэкспоненциальному закону, убывает втечение некоторого времени:

,где равно, для этой цепи, тому же значениюи называется временем релаксации.

При большойвеличине индуктивности и малом времениразмыкания цепи токи самоиндукции могутдостигать очень большой величины,поэтому существует термин «экстратоки»самоиндукции.

ВЗАИМНАЯИНДУКЦИЯ.

Если проводящиеконтура или проводники расположеныдостаточно близко, то при изменениисилы тока в одном из них через поверхность,ограниченную вторым изменяется магнитныйпоток, и, соответственно, в нем возникаетиндукционный ток. Такие контура называются«сцепленными» или индуктивно связанными(рис.115).

Магнитноеполе первого тока создает поток черезповерхность второго контура и наоборот.

L21и L12 — называются коэффициентами взаимнойиндукции, зависят от геометрическойформы, размеров, взаимного расположенияконтуров и магнитных характеристиксреды.

Расчеты иэксперименты показывают, что принеизменной величине перечисленныхпараметров коэффициенты взаимнойиндукции равны L21=L12.

Это свойствокоэффициентов взаимной индукциипозволяет значительно упростить расчетсамих коэффициентов, а также магнитныхпотоков, и, поэтому это равенство принятоназывать теоремой взаимности.

Явление взаимнойиндукции двух катушек (рис.120), намотанныхна общий сердечник, лежит в основетрансформаторов, широко используемыхустройств для повышения или понижениянапряжения переменного тока.

Источник: https://studfile.net/preview/5623519/page:39/

Booksm
Добавить комментарий