График и уравнение гармонических колебаний

Построение графиков гармонических колебаний

График и уравнение гармонических колебаний

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Югорский государственный университет» (ЮГУ)

НИЖНЕВАРТОВСКИЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИКУМ

(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования «Югорский государственный университет»

(ННТ (филиал) ФГБОУ ВПО «ЮГУ»)

РАССМОТРЕНО

На заседании кафедры ЕиЭД

Протокол № __

«____»___________20__ г.

Зав.кафедрой_________Л.В. Рвачёва

УТВЕРЖДЕНО

Зам. директора по учебной работе

ННТ (филиала) ФГБОУ ВПО «ЮГУ»

«____»___________20__ г.

____________Р.И. Хайбулина

Методическая разработка занятия

« Построение графиков гармонических колебаний»

Преподаватель: Е.Н. Карсакова

Нижневартовск

-2014-

Занятие № 53

Практическое занятие № 25

«Построение графиков гармонических колебаний»

Дисциплина: Математика

Дата: 10.12.14

Группа: ЗБС41

Цели:

Образовательные:

  1. Формирование навыков построения графиков гармонических колебаний;

  2. Закрепление умений преобразования графиков функций;

  3. Применение знаний к решению нестандартных задач по смежным дисциплинам;

Развивающие:

  1. Способствовать развитию алгоритмического и логического мышления;

  2. Развитие точной, информативной речи;

  3. Формирование навыков исследовательской работы;

  4. Развитие творчества, инициативности;

Воспитательные:

  1. Способствовать эстетическому восприятию графических изображений;

  2. Воспитание умений действовать по заданному алгоритму;

  3. Воспитание аккуратного, точного выполнения геометрических построений;

Тип занятия: формирование умений и навыков

Оборудование и материалы: МД проектор, карты с заданиями, тетради, линейки, карандаши.

Литература:

  1. Н.В. Богомолов « Практические занятия по математике», 2006г.

  2. А.А. Дадаян « Математика», 2003г.

  3. О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский « Математика для техникумов», 2001г

План занятия:

Этап занятия

Цель этапа

Время (мин)

1.

Организационный момент

Объявление темы занятия; постановка целей;

3

2.

Актуализация знаний

Мотивация познавательной деятельности

7

3.

Проверка опорных знаний

а) фронтальный опрос

Повторить виды преобразований графиков функций и алгоритмы их выполнения; коррекция пробелов в знаниях

15

4.

Применение знаний к

изучению нового материала

Формирование умений и навыков построения графиков.

20

5.

Построение графиков гармонических колебаний.

Самостоятельная работа.

Закрепление умений и навыков построения графиков функций

30

6.

Демонстрация лучших работ студентов.

Воспитание эстетического восприятия графических изображений;

3

7.

Применение знаний к решению нестандартных задач

Показать связь математики с другими науками

6

8.

Итоги занятия

Обобщение знаний, умений, навыков; оценка деятельности студентов

3

9.

Домашнее задание

Инструктаж по домашнему заданию

3

Ход занятия:

Рождённый пустыней, колеблется звук,

Колеблется синий на нитке паук.

Колеблется воздух, прозрачен и чист,

В сияющих звездах колеблется лист.

Н. Заболоцкий

1.Организационный момент (3 мин.)

Сообщение темы занятия; постановка целей; освещение основных этапов.

Введение.

В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.

Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями.

Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать все колебательные процессы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называются периодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальная энергия и т. п.).

Если в какой-либо точке среды, в которой близко расположенные атомы или молекулы испытывают силовое воздействие, возбужден процесс механических колебаний, то этот процесс будет с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, распространяться от точки к точке. Так возникают механические волны. Примерами такого процесса являются звуковые волны в воздухе.

Как и колебания, волновые процессы различной физической природы (звук, электромагнитные волны, волны на поверхности жидкости и т. д.) имеют много общего. Распространение волн различной физической природы можно описывать с помощью одинаковых математических уравнений и функций. В этом проявляется единство материального мира.

2.Актуализация знаний (7 мин.)

Цель: Мотивация познавательной деятельности

Сегодня мы увидим, как с помощью математических законов и преобразований можно описывать некоторые физические явления. Например,

гармонические колебания.

Что такое гармонические колебания?

Гармонические колебания – это периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса. Графиком гармонического колебания является синусоида или косинусоида, по которой можно определить все характеристики колебательного движения: амплитуду, период, частоту, начальную фазу.

Гармонические колебания играют важную роль в физике, электротехнике. Наша задача – построить графики гармонических колебаний, применив при этом все известные правила преобразований графиков без помощи трудоёмких вычислений и научиться описывать по ним колебательный процесс.

Гармонические колебания подчиняются следующему закону:

А— амплитуда, циклическая (круговая) частота,

начальная фаза колебаний, обычно

Период гармонических колебаний Т можно вычислить по формуле

Для построения графиков гармонических колебаний необходимо иметь чёткое представление о правилах построения графиков функций и их преобразованиях.

3. Проверка знаний учащихся по теме: «Преобразования графиков функций» (15 мин.)

Цель: Повторить основные виды преобразований графиков функций и алгоритмы их выполнения; коррекция пробелов в знаниях.

Задание 1. Сгруппируйте функции по общему признаку:

Изменение аргумента

Изменение функции

y = cos(x+2)

y = sinx +2

у = sin2x

y = ctgx +1

у =ctg1/3x

y = 4 — cosx

у = tg2x

y = 2ctgx

у = sin(x-5)

у = —3cosx

Рассмотрим подробно правила построения графиков функций с изменяющимся аргументом и меняющейся функцией. (Презентация.)

4. Изучение нового материала (20 мин.) (Презентация.)

Цель: Формирование умений и навыков исследования функции, построения графиков гармонических колебаний.

Задача 1. Построить график гармонических колебаний у = 2sin(2x ).

Решение:

Сразу укажем на типовую ошибку в подобных задачах: осуществляют сдвиг на  , а необходимо на  , поэтому у = 2sin2(x ).

Как построить график такого колебания? Алгоритм построения следующий:

1. у = sinx — исходная функция.

2.  у = sin2x — сжатие в 2 раза вдоль оси Ох.

3.  у = 2sin2x  — растяжение в 2 раза вдоль оси Оу (рис. 1).

4. у = 2sin2(x ) сдвиг на   вправо по оси Оx (рис. 2).

При построении данного графика были использованы следующие виды преобразования графиков:

1. у = f(kx),k =2 – сжатие вдоль оси Ох

2. у = mf(x),m=2 — растяжение вдоль оси Ох

3. у = f(xx)- параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Ох

Задача 2. Построить графики функций и определить основные характеристики гармонического колебания:

a) у = sin   б) у = sin3x 

Решение:

a). Найдем период функции у = sin

А=1;

Период колебания Т = 6 значит, достаточно построить график на участке .  Поделив этот участок на 4 равных промежутка, получим точки, которые определяют поведение графика:  (рис. 3).

б) Найдем период функции у = sin3x: 

А=1;

Построим график на участке длиной в период . Поделим его на 4 равных промежутка и получим точки    (рис. 4).

5.Построение графиков гармонических колебаний. Самостоятельная работа (30 мин).

Опыт – дитя мысли, мысль – дитя действий

Вениамин Дизраэли

Цель: Закрепление умений и навыков построения графиков функций

Задание учащимся:

Построить графики гармонических колебаний:

  1. y = — ctgx

  2. y = cos

  3. y = — sin(x+ ).

Критерии оценки деятельности учащихся:

(1-) – удовлетворительно; (1-2) – хорошо; (1-3) – отлично.

6. Демонстрация лучших работ студентов (3 мин).

Вдохновение нужно в математике, как и в поэзии.

А.С.Пушкин

Цель: Воспитание эстетического восприятия графических изображений;

7.Применение знаний к решению нестандартных задач (6 мин.)

Цель: Показать связь математики с другими науками;

Задания для учащихся:

Тело движется по закону у = cos  . По графику (рис.5)функции установите:

  • Амплитуду колебаний А;
  • Частоту колебаний
  • Период колебаний ;
  • Начальную фазу

Ответ: А=1;

8. Итог занятия (3мин).

Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий.

  • Выполнение поставленных целей;
  • Приобретение навыков исследовательской работы;
  • Применение знаний к решению нестандартных задач;

Мы познакомились с графиками гармонических колебаний. Очевидно, что при их построении синусоида или косинусоида подверглись различным преобразованиям: сжатию, растяжению, сдвигу. Овладение этими правилами поможет при изучении других функций на последующих занятиях.

9. Домашнее задание (3 мин).

Построить график функции у = 3cos (2x+ ) и определить основные характеристики колебательного движения.

10. !

Биение сердца также относится к колебательному процессу.В течение минуты оно выбрасывает в аорту около 4 л крови. Сердце человека в среднем сокращается 100 тысяч раз в сутки. За 70 лет жизни оно сокращается 2 миллиарда 600 миллионов раз и перекачивает при этом 250 миллионов литров крови. Синусоидальные изменения ритмов сердца отражает кардиограф.

Источник: https://infourok.ru/postroenie-grafikov-garmonicheskih-kolebaniy-776798.html

График и уравнение гармонических колебаний

График и уравнение гармонических колебаний

Колебаниями в физике называют любой периодический или почти периодический процесс, в котором физические параметры системы, совершающей колебания повторяют свои значения точно или практически точно спустя равны (или почти равные) отрезки времени.

Специфика законов, при помощи которых описывают колебательные процессы в целом, не зависят от физической природы параметров, которые выполняют колебания. Эти законы исследует теория колебаний. Ей свойственен единый подход к колебаниям разной природы.

Уравнение механических колебаний

Пусть груз совершает вертикальные колебания на упругой пружине, колебания происходят вдоль оси $X$. Будем считать, что закон Гука выполняется. При движении груза появляется сила торможения, пропорциональная скорости движения груза ($F_t=-\alpha \dot{x}$). В таком случае уравнением движения груза станет:

$m\ddot{x}=-kx-\alpha \dot{x}+F$ или $ m\ddot{x}+kx+\alpha \dot{x}=F(1), $

где $x$- отклонение груза от положения равновесия; $-kx$ — величина силы упругости (восстанавливающая сила); $F$ — сумма всех остальных сил, которые оказывают воздействие на груз.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Допустим, что $F=0$, коэффициент сопротивления $\alpha$ можно считать очень маленьким, тогда при сообщении грузу толчка в вертикальном направлении в системе пружина – груз возникнут колебания, которые можно считать мало затухающими на некотором отрезке времени. При $\alpha = 0$ затухание отсутствует совсем.

Уравнения (1) являются дифференциальными уравнениями второго порядка. При отсутствии внешних сил ( при $F=0$) эти уравнения переходят в линейное и однородное относительно неизвестного параметра $x$ и его производных по времени:

$ m\ddot{x}+kx+\alpha \dot{x}=0(2). $

Уравнение (2) описывает свободные колебания.

Определение 1

Колебательные системы называются линейными, если их свободные колебания описываются при помощи линейных уравнений.

Введем обозначение:

  1. $\omega_02=\frac{k}{m}$ — собственная (циклическая, круговая) частота колебательной системы;
  2. $2\gamma=\frac{\alpha}{m}$ — коэффициент затухания.

Уравнение (1) запишем в виде:

$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+\omega_02x=\frac{F}{m}(3)$.

Для свободных колебаний получим:

$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+\omega_02x =0 (4)$.

При этом свободные незатухающие колебания, с учетом того, что $\gamma=0$ будут описываться уравнением:

$\ddot{x}+\omega_02x =0 (5)$.

Любая система, свободные колебания которой описываются при помощи уравнения формы (5) называется гармоническим осциллятором. Если имеются силы сопротивления ($2\gamma \dot{x}$), тогда система именуется гармоническим осциллятором с затуханием.

Уравнение электрических колебаний

Электрические колебания будем рассматривать в колебательном контуре (рис.1), который состоит из последовательно соединенных:

  • катушки самоиндукции ($L$);
  • проводника с сопротивлением $R$;
  • конденсатора, емкостью $C$.

Рисунок 1. Колебательный контур. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Уравнение колебаний в контуре имеет вид:

$L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=\varepsilon (6),$

где $ \varepsilon$ — ЭДС (электродвижущая сила).

При отсутствии сопротивления $R=0$ колебания в контуре будут незатухающими. Если источника ЭДС нет, то колебаний свободные. Свободные незатухающие колебания в электрическом контуре описывает уравнение:

$L\ddot{q}+\frac{q}{C}=0 (7).$

  1. Поясним, почему в нашем контуре можно создать и наблюдать электрические колебания. Допустим, что в начальный момент времени верхняя пластина конденсатора несет положительный заряд, а нижняя отрицательный, при этом тока в контуре нет. При $t=0$ вся энергия сосредоточена в конденсаторе.
  2. Если внешние ЭДС отсутствуют, то конденсатор будет разряжаться через катушку самоиндукции В контуре будет течь ток. Электрическая энергия конденсатора переходит в магнитную энергию катушки.
  3. Заряд конденсатора становится равным нулю. Ток в контуре становится наибольшим. С этого момента ток, не изменяя направления, станет уменьшаться.
  4. Сила тока становится равной нулю не одномоментно, так как возникает ЭДС индукции. Ток заряжает нижнюю платину конденсатора положительно, верхняя пластина получает отрицательный заряд. Появляется электрическое поле, которое стремится ослабить ток.
  5. Ток становится равным нулю. Конденсатор заряжен максимально, но заряд на пластинах поменялся местами. Процесс разрядки конденсатора начинается вновь.

Применим обозначения:

  • $\omega_02=\frac{1}{LC}$;
  • $2\gamma=\frac{R}{L}$;
  • $X=\frac{\varepsilon}{C}$

тогда уравнение электрических колебаний принимает вид:

$\ddot{q}+2\gamma\dot{q}+\omega_02q=X (8).$

Свободные незатухающие электрические колебания будет описывать уравнение:

$\ddot{q}+\omega_02q=0 (9).$

Решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора

Для решение уравнения (9) умножим обе его части на $\dot{q}$, после некоторых простых преобразований получаем:

$\frac{d}{dt}(\dot{q}2+\omega_02 q2)=0 (10).$

Уравнение (10) показывает, что величина $\dot{q}2+\omega_02 q2$ постоянна во времени. Данная величина является суммой двух квадратов, значит она больше нуля, представим ее как:

$\dot{q}2+\omega_02 q2=\omega_02 q_02 (11),$

где $q_0$ не изменяется. Равенство (11) отражает закон сохранения энергии, поскольку его можно представить как:

$\frac{1}{2}LI2+\frac{q2}{2C}=const (12).$

В уравнении (11) проводят разделение переменных и выполняют интегрирование, получают:

$arccos (\frac{q}{q_0}=\pm \omega_0 t+const )(13).$

или

$q=q_0 cos (\omega_0 t+\varphi)(14),$

где $q_0$ и $\varphi $ — постоянные, определяемые начальными условиями колебаний.

Формула (14) описывает и свободные колебания груза на пружине, физического и математического маятников при малых отклонениях от положения равновесия, ножки звучащего камертона, колебания напряжения в электрической сети города.

Если параметр изменяется по закону (14) синуса или косинуса, то говорят, что эта величина совершает гармонические колебания.

График гармонических колебаний

Если по оси абсцисс откладывать время, по оси ординат – величину $q$, то получим график синусоиды (или косинусоиды). Это периодическая кривая, значения ее ординат повторяется через $t=T$. Амплитуда $q_0$ — максимальное значение параметра $q$.

Рисунок 2. График гармонических колебаний. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/grafik_i_uravnenie_garmonicheskih_kolebaniy/

Booksm
Добавить комментарий